Escola Secundária Morgado Mateus
Matemática aplicada às Ciências Sociais.
Fevereiro 2008
Ficha de Trabalho VII
Professor da disciplina: Pedro Alves.
Turma: 12ºC.
1. Uma loja de briquedos empregou três mulheres para embrulhar presentes durante a época de Natal. A Maria
embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preço em 3% dos casos; Ana embrulha 20% dos
presentes e esquece-se de tirar o preço em 8% dos casos, a Rosa embrulha os restantes e esquece-se de tirar
o preço em 5% das vezes.
a) Qual a probabilidade de um presente comprado nessa loja ainda ter o preço marcado?
b) Supõe que compraste um presente na loja e posteriormente verificou-se que tinha o preço marcado,
qual a probabilidade de ele ter sido embrulhado pela Rosa?
2. A Luísa tem três moedas no bolso, uma viciada e duas normais. Na moeda viciada a probabilidade de sair
face nacional é
3
. A Luísa tira uma moeda do bolso aleatoriamente, atira-a ao ar e verifica que saiu face
4
europeia. Qual a probabilidade de ter tirado do bolso a moeda viciada?
3. De um baralho de 52 cartas retiram-se duas cartas sucessivamente sem reposição.
a) Qual a probabilidade da segunda carta ser de copas?
b) Sabendo que a segunda carta é de copas, qual a probabilidade da primeira ser de ouros?
4. Numa amostra de 1000 funcionários de um banco verificou-se que 7% eram mulheres. Das mulheres, 40%
eram magras, 50% tinham o peso ideal e 10% tinham excesso de peso. Dos homens, 10% eram magros,
70% tinham o peso ideal e 20 % tinham excesso de peso.
De acordo com estes resultados é escolhido ao acaso um funcionário do banco.
a) Se o funcionário escolhido tem excesso de peso, qual a probabilidade de ser mulher?
b) Se o funcionário escolhido é magro, qual a probabilidade de ser homem?
5. Numa fábrica de parafuso a produção é representada por cinco máquinas, A, B, C, D e E que produzem 20,
25, 30, 15 e 10 % dos parafusos respectivamente. A percentagem de parafusos defeituosos que cada
máquina da fábrica é 2, 3, 5, 6 e 4 % respectivamente. Seleccionou-se ao acaso um parafuso produzido na
fábrica.
a) Qual a probabilidade de ser defeituoso?
b) Sabendo que o parafuso escolhido é defeituoso, qual a probabilidade de ter sido fabricado na
fábrica C?
6. Numa certa região, a probabilidade de uma pessoa ter menos de 20 anos é de 35% e mais de 50 anos é de
25%. A probabilidade de que uma pessoa com menos de 20 anos tenha sangue tipo A é de 24% , enquanto
que a probabilidade de uma pessoa com idade entre 20 e 50 anos ter sangue do tipo A é de 45% e com mais
de 50 anos é de 30%.
Seleccionou-se ao acaso uma pessoa dessa localidade.
a) Qual a probabilidade da pessoa ter sangue do tipo A.
b) Sabendo que a pessoa escolhida não tem sangue do tipo A, qual a probabilidade de ter menos de 20
anos?
7. Observou-se que
5
1
dos alunos de uma escola usam sapatilhas e
chapéu e, a terça parte dos que usam
9
6
chapéu também usam sapatilhas. Seleccionou-se um aluno da escola ao acaso, qual a probabilidade de não
usar chapéu nem sapatilhas?
8.
Com o objectivo de estudar o grau de informação dos cidadãos da União Europeias (UE) sobre as politicas e
instituições da UE, uma empresa de sondagens realizou um inquérito no Outono de 1999. A dimensão da amostra foi
de 15 800 pessoas, escolhidas aleatoriamente entre os cidadãos da UE com 15 ou mais anos. Perguntava-se aos
inquiridos em que medida se sentiam informados sobre a UE, sendo a resposta dada mediante um número, de 1 (não
sabe nada) a 10 (sabe muito). No quadro seguinte, apresentam-se os resultados desse inquérito. Para cada nível, indicase a percentagem de inquiridos que se auto-avaliaram nesse nível.
Nível
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Percentagem 10
12
16
17
19
12
8
4
1
1
8.1 Admite que os níveis 8, 9 e 10 correspondem a um elevado conhecimento sobre questões da UE. Determina
o número de indivíduos que considera ter um grau de conhecimento elevado sobre questões da UE.
1
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8.2 Tendo em conta a tabela acima e com base nas respectivas definições, justifica que o primeiro quartil é 3 e a
mediana é 4.
8.3 Admite que
ƒ dos inquiridos que declararam não saber nada (nível 1) 20% são Portugueses.
ƒ dos inquiridos que se auto-avaliaram com nível superior a 1, 5% são Portugueses.
Escolhido ao acaso, um inquirido, constatou-se que era português. Determina a probabilidade de se ter
auto-avaliado com nível 1. Apresente o resultado na forma de percentagem arredondado às unidades.
9. A tabela seguinte contém dados relativos ao número de rapazes e de raparigas das três turmas de 12º ano de
uma escola secundária.
Rapazes
Raparigas
Total
Turma A
14
13
27
Turma B
16
10
26
Turma C
5
10
15
Total
35
33
68
Os alunos do 12º ano desta escola estão a organizar uma viagem de finalistas. Das agências de viagens
contactadas, os organizadores optaram por uma que oferece uma viagem a um dos alunos. Para escolher o
contemplado, decidiram organizar um sorteio. Há duas propostas de modalidades de sorteio:
1ª modalidade - cada aluno escreve o seu nome num papel; colocam-se os 68 papéis num saco; extrai-se, ao
acaso, um dos papéis.
2ª modalidade - lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6; se sair face 1 ou face 2, escolhe-se, ao
acaso, um aluno da turma A (utilizando um procedimento idêntico ao da 1ªmodalidade); se sair face 3 ou face 4,
escolhe-se, ao acaso, um aluno da turma B; se sair face 5 ou face 6, escolhe-se, ao acaso, um aluno da turma C.
9.1 Em alguma destas duas modalidades é mais provável que o aluno contemplado seja uma rapariga? Justifica
a tua resposta, apresentando todos os cálculos que efectuar.
9.2 Admite que o sorteio já se realizou e que a modalidade adoptada foi a segunda.
9.2.1 Qual é a probabilidade de o aluno contemplado ser da turma C? Apresenta o resultado na forma de
fracção irredutível.
9.2.2
O aluno contemplado foi uma rapariga. Qual é a probabilidade de ela pertencer à turma C? Apresenta o
resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
10. Uma companhia de seguros distribui os segurados por três classes, A, B e C, consoante o menor ou maior
risco que lhes atribui. A composição das classes em dado momento é:
Classe A: 35 000, Classe B: 50 000 e classe C : 15 000.
A probabilidade dos segurados terem um ou mais acidentes durante um ano é nas diferentes classes,
respectivamente, 0,01 ; 0,04 e 0,15. A companhia nunca tem a certeza a que classe pertence o segurado. Se o
segurado tiver um acidente durante o primeiro ano de seguro, qual a probabilidade de pertencer a cada uma das
classes?
11. Numa clínica, são tratadas três doenças: A, B e C. Dos doentes da clínica, 25% tem a doença A, 40% a
doença B e 35% a doença C. A probabilidade de cura de cada uma das doenças é 10% para a doença A,
70% para a doença B e 50 % para a doença C.
11.1 Um doente tem a doença B. Qual a probabilidade de sair curado, se for internado nesta clínica?
11.2 Qual a probabilidade de um doente da clínica se curar?
11.3 Um doente desta clínica ficou curado. Qual a probabilidade de ter tido a doença C?
12. Temos as caixas A e B. A caixa A tem duas bolas brancas e uma preta e a caixa B tem três bolas pretas e
uma branca. Escolhemos ao acaso uma bola da caixa A e colocamo-la na caixa B. Em seguida, escolhemos,
ao acaso uma bola da caixa B. A segunda bola é preta, calcula a probabilidade da primeira bola retirada da
caixa A ser branca?
13. A função massa de probabilidade da variável aleatória X, que representa a classificação a matemática do 9
ano é a seguinte
2
3
4
5⎞
⎛1
X =⎜
⎟
⎝ 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2 ⎠
13.1 Determina a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso
13.1.1 ter nota 5.
2
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13.1.2 Ter nota superior a 2.
12.2 Calcula o valor médio do modelo probabilístico associado à variável X e o desvio padrão.
14. Numa papelaria, a procura diária de uma certa revista é uma variável aleatória a que está associada o
seguinte modelo probabilístico.
x
P(x)
0
A
1
0,2
2
0,05
3
0,02
4
0,03
5
0,16
6
0,04
7
0,3
14.1 Qual a probabilidade de ninguém procurar a revista num dia?
14.2 Calcula o número esperado de pessoas que poderão procurar a revista em determinado dia?
14.2 Determine o desvio padrão e indique o seu significado.
15. Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes, por semana, que a Ana vai ao supermercado.
Admite que a distribuição de probabilidade é a seguinte:
X = xi
P ( X = xi )
0
1
2
3
4
0,1
0,15
0,4
0,25
0,1
15.1 Determina o valor médio, µ , da distribuição de probabilidades e interprete o valor obtido.
15.2 Determina a probabilidade de a Ana ir ao supermercado mais do que duas vezes por semana.
15.3 Determina o desvio padrão da distribuição.
15.4 Define a distribuição de probabilidades do número de vezes que a Ana vai ao supermercado em duas
semanas, admitindo que as idas de semana para semana são independentes umas das outras.
16. Define o modelo de probabilidades associado ao número de filhas que um casal pode vir a ter, se decidir ter
quatro crianças.
a) para o modelo encontrado, determina a média e o desvio padrão.
b) O que é mais provável: ter três crianças do mesmo sexo ou ter duas de cada sexo?
17. Tem-se um cofre e cinco chaves. Sabe-se que só uma das chaves abre o cofre. Considera a experiência de
abrir o cofre com uma das chaves. Experimenta-se uma das chaves, se não for a chave que abre o cofre
experimenta-se outra . o procedimento repete-se até descobrir a chave que abre o cofre. Seja X a variável
aleatória que representa o número de tentativas que são feitas até conseguir abrir o cofre.
a) Obtém a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
b) Qual é o valor médio da distribuição de probabilidade? Explica qual o seu significado.
18. O professor de matemática atribuiu no final do 1º período as seguintes classificações a uma turma do 11
ano
Classificação
Número de alunos
8
5
9
7
10
6
11
4
12
1
13
5
18.1 Escolheu-se um aluno da turma ao acaso. Considera a variável aleatória Y que representa a classificação
obtida a matemática pelo aluno escolhido.
a) Elabora a distribuição das probabilidades da variável Y.
b) Indica a probabilidade da nota obtida pelo aluno escolhido ser inferior a 11.
c) Calcula o valor médio e o desvio padrão da distribuição.
18.2 Escolheram-se três alunos da turma. Considera a variável aleatória X, número de alunos com negativa a
matemática .
a) Elabora a distribuição das probabilidades da variável aleatória X.
b) Indica a probabilidade de terem sido escolhidos pelo menos dois alunos com negativa a matemática.
c) Calcula a média e o desvio padrão da distribuição.
3
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