REDE ISAAC NEWTON
ENSINO MÉDIO – 3º ANO
DATA: ___/___/____
PROFESSOR(A):LUCIANO VIEIRA
TURMA: _________
ALUNO(A): ___________________________________________________ Nº: ___________
UNIDADE: ( ) Riacho Fundo
( ) Taguatinga Sul
EXERCÍCIOS DE REVISÃO - AVALIAÇÃO ESPECÍFICA – 3º TRIMESTRE – 2012
MATEMÁTICA / ÁLGEBRA
(QUESTÃO 01) Sabendo que o lucro referente à venda de
celulares de uma determinada loja é dado pela função
L( x)  100 x2  3400 x  6000 , onde x é o preço de
venda de cada celular, determine:
(QUESTÃO 02) Um míssil foi lançado acidentalmente do
ponto A, como mostra a figura, tendo como trajetória o
gráfico da função
km.
f ( x)   x2  70 x , onde x é dado em
a) O preço que maximiza o lucro
Resolução:
O preço que maximiza o lucro é exatamente o
XV 
XV :
b
3.400
 XV 
 X V  17
2a
200
Logo, R$17,00 é o preço que maximiza o lucro.
b) O lucro máximo
O lucro será exatamente o
YV e para calcular podemos utilizar

ou calculando a L 17  .
4a
Faremos calculando a L 17  :
sua fórmula:
YV 
L( x)  100 x 2  3400 x  6000,
Dividimos por 100.
L(17)   x 2  34 x  60
a) O valor de k para que ocorra a destruição no ponto
determinado.
Resolução:
L( x)  17 2  34 17  60
L(17)  289  578  60
Se no ponto em que x é igual a 40 f(x) e g(x) tem a mesma
L(17)  289  578  60
L(17)  289  638
L(17)  349
Desejando-se destruí-lo num ponto B, que está a uma
distância horizontal de 40 km de A, utiliza-se um outro míssil
que se movimenta numa trajetória descrita, segundo o gráfico
da
função
Então
determine:
g ( x)  kx .
f  40   g (40) :
imagem, temos
f  40   40  70.40  f  40   1.600  2800
2
Multiplicando
100
L(17)  34.900 , este é o lucro máximo.
por
f  40   1200  g (40)
Para concluir:
g ( x)  kx  g (40)  k  40  1.200  40k
k
1.200
 k  30
40
b) Qual a altura máxima atingida pelo primeiro míssil.
Basta calcularmos o YV

(b 2  4ac)
(702  4  (1)  0)
 YV 
 YV 
4a
4a
4  (1)
4.900
YV 
 YV  1.225
4
YV 
“Ponha Seu Futuro em Movimento”
página 1
Subtraindo a equação I da III temos:
(QUESTÃO 03) (UFAL) Sejam a parábola p e a reta r,
representadas na figura abaixo.
4  a  b  c
I 
0  abc
 III 
4  2b  b 
4
b  2
2
Subtraindo a equação I da II temos:
 II 
0  9a  3b  c
4  a  b  c
I 
4  8a  2b , substituindo o valor de b:
8
4  8a  2  2  4  4  8a  a   a  1
8
Finalmente, substituindo a e b na equação I, descobriremos o
valor de c:
4  a  b  c  4  1  2  c
c  4  1  c  3
2
Logo, P( x)  x  2 x  3
Determine os pontos Q e R, intersecções de p e r.
Igualando a R(x) temos:
x2  2x  3  2x  1  x2  4  0
Resolução:
Temos primeiro que encontrar as duas funções para
depois calcularmos o ponto de intersecção:
Temos dois pontos da R(x):
Utilizando qualquer uma das funções, descobriremos o y dos
pontos P e Q:
 1 
R( x) :  , 0  e  0,1 ,
 2 
A função R(x) é uma reta, logo ela é representada na forma
R( x)  ax  b
1
1
a
R( )  a   b  0 
b
2
2
2
R(0)  a  0  b  1  b  b  1
 2, 3 e  2,5
(QUESTÃO 04) A figura abaixo ilustra uma ponte
suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de
parábola.
a
a
a
b 0 
 1  1 
2
2
2
a  2  a  2
0
R( x )  2 x  1
Temos dois pontos da
A
R(2)  2 x  1  R(2)  2  2  1  R(2)  5
R(2)  2 x  1  R(2)  2  (2)  1  R(2)  3
Logo os pontos de intersecção Q e R são respectivamente:
Substituindo b na primeira equação temos:
Logo,
x 2  4  x 2  2
função
P(x)
P( x) :  1, 4  ;  3,0  e 1,0  ,
pode
ser
escrita
na
forma
de
P( x)  ax2  bx  c
P(1)  a(1)2  b(1)  c  4  a  b  c
P(3)  a(3)2  b(3)  c  0  9a  3b  c
P(1)  a 1  b 1  c  0  a  b  c
2
I 
 II 
 III 
Agora, basta resolver este sistema de equações para descobrir
a função P(x):
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a
distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se
que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao
plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m,
determina a altura de DH.
“Ponha Seu Futuro em Movimento”
página 2
Resolução:
Para resolver essa questão podemos considerar que a parábola
que representa essa ponte cruza a origem de um plano
cartesiano exatamente no ponto A. Desta forma, os pontos B,
C, D e E são respectivamente:
(25, F), (50, 20), (75, H) e (100, 0)
Utilizando os pontos que temos é possível descobrir a função:
A função é tipo
Resolução:
L( x)  100(10  x)( x  4) , percebam que essa função está
na forma fatorada, assim, percebemos facilmente que as suas
raízes são 10 e 4. Mas faremos passo a passo:
f ( x)  ax 2  bx  c
L( x)  100(10  x)( x  4)  L( x)  (1.000  100 x)  ( x  4)
f (0)  a  02  0  x  c  f (0)  c  c  0
L( x)  1.000 x  4.000  100 x 2  400 x 
f (50)  a  50  b  50  c  20  2.500a  50b
20  2.500a  50b Dividindo toda a equação por 10:
2
2  250a  5b
(QUESTÃO 05) (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela
venda
diária
de
x
peças,
é
dado
por L( x)  100(10  x)( x  4) . Determine os valores de x
que zeram o lucro, o lucro máximo e construa o gráfico da
função.
I 
L( x)  100 x 2  1.400 x  4.000
Calculando as L(4) e L(10) podemos confirma que de fato
essas são as raízes da função e, logo, são esses valores que
zeram o lucro de tal loja.
f (100)  a 1002  b 100  0  10.000a  100b
Para calcular o lucro máximo, basta utilizar a fórmula do
Dividindo toda a equação por 100 chegamos a:
0  100a  b
YV 
 II 
YV .

4a
Agora, basta resolvermos o sistema de equações:
Multiplicando os dois lados da II equação por -5 chegamos ao
seguinte sistema de equações:
Mas, podemos calcular de maneira mais simples. Basta
lembrarmos que o X V é a média aritmética das raízes, desta
2  250a  5b
Somando as duas temos o seguinte:
0  500a  5b
2
1
2  250a  a 
a
250
125
forma,
Substituindo o valor de a na equação II chegamos ao valor de
b:
L(7)  4.900  5.800
L(7)  900  Esse é o lucro máximo.
 1 
0  100a  b  0  100   
b
 125 
4
4
 1 
0  100   
b 0   b b 
5
5
 125 
1 2 4
Desta forma, assim fica a função: f ( x)  
x  x
125
5
Como a questão pediu a altura DH, basta calcularmos a
f (75) :
1 2 4
1
4
x  x  f (75)  
 752   75
125
5
125
5
5.625 300
f (75)  

 f (75)  45  60  f (75)  15
125
5
f ( x)  
Logo a medida de DH solicitada é 15 metros.
4  10
 X V  7 , assim, basta calcularmos
2
o valor da L(7) para sabermos o lucro máximo.
XV 
L(7)  100  7 2  1.400  7  4.000
L(7)  100  49  9.800  4.000
(QUESTÃO 06) (ESPM – SP) A estrutura do lucro de uma
pequena empresa pode ser estudada através da equação
y   x2  120 x  2000 , sendo y o lucro em reais quando
a empresa vende x unidades. Logo o número de unidades a
serem vendidas a fim de se obter o lucro máximo é:
a)
b)
c)
d)
e)
15
40
30
120
60
Resolução:
O preço que maximiza o lucro é encontrado calculando-se o
XV :
XV 
b
120
120
 XV 
 XV 
 X V  60
2a
2  (1)
2
Portanto, OPÇÃO E.
“Ponha Seu Futuro em Movimento”
página 3
(QUESTÃO 07) Uma indústria produz, por dia, x
unidades de um determinado produto, e pode vender tudo
o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x
unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais,
da produção diária é igual a x  20 x  700 . Portanto,
para que a indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, o
número de unidades produzidas e vendidas deverá ser:
2
a)
b)
c)
d)
e)
(QUESTÃO 08) (ENEM 2010) Um posto de combustível
vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro.
Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de
desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a
mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool
foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no
preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia
com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x
é:
40
25
15
60
30
a)
b)
Resolução:
c)
Chamemos de R(x) a receita desta indústria. Podemos dizer
que R( x)  100 x , pois x é a quantidade de peças e 100 é o
valor de venda de cada uma.
d)
e)
V
V
V
V
V
 10.000  50 x  x2
 10.000  50 x  x2
 15.000  50 x  x2
 15.000  50 x  x2
 15.000  50 x  x2
Resolução:
Chamemos de C(x) a função que calcular o custo de produção
diária desta empresa que é dada
por: C ( x) 
x 2  20 x  700 .
Para resolver essa questão, é necessário chegar primeiramente
a seguinte expressão:
Para calcular o lucro desta indústria temos a seguinte
expressão:
x 

(10.000  100 x)  1,50 

100 

L( x)  100 x  ( x 2  20 x  700)
Percebam que (10.000+100x) é a quantidade de litros
vendidos em função x que é o desconto a ser concedido.
L( x)  100 x  x 2  20 x  700
Percebam também que
Lucro  Re ceita  Custo  L( x)  R( x)  C ( x)
L( x)   x 2  80 x  700
Sabendo a função do lucro, agora, basta igualarmos esta a 900
para saber o valor de x, ou seja, o número de unidades a serem
produzidas e vendidas para se ter um lucro de R$ 900,00:
 x 2  80 x  700  900   x 2  80 x  1.600
  802  4  (1)  (1.600)    6.400  6.400
0
80  0
x
 x  40
2
x 

1,50 
 é o valor por litro de
100 

combustível também em função do desconto x a ser
concedido. Desta forma, basta multiplicarmos as duas
expressões que chegaremos à resposta:
x 

(10.000  100 x)  1,50 

100 

15.000  100 x  150 x  x 2
15.000  50 x  x 2
Logo, tem-se que vender 40 unidades para se obter o desejado
lucro de R$ 900,00. OPÇÃO A.
Portanto, OPÇÃO D.
“Ponha Seu Futuro em Movimento”
página 4
(QUESTÃO 09) Uma loja de departamentos compra
cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta
a R$28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for
vendido a x reais, serão vendidos 200  2x cartuchos por
mês.
a) Encontre uma fórmula que fornece o lucro mensal em
função do preço de venda x de cada cartucho.
Resolução:
f ( x)  2 x2  256 x  5.600 , dividimos a equação por 2:
f ( x)   x 2  128 x  2.800
f (64)  642  128  64  2.800
f (64)  4.096  8.192  2.800
f (64)  4.096  8.192  2.800
f (64)  8.192  6.896
f (64)  1.296
Multiplicando por 2:
Devemos entender que se x é preço de vendo e 28 é custo de
f (64)  2.592
cada peça,
Este é lucro máximo.
 x  28 é o lucro de cada cartucho vendido.
Como  200  2x  é a quantidade, o lucro será
 x  28   200  2 x   200 x  2 x 2  5.600  56 x
2 x 2  256 x  5.600 Essa é a fórmula.
b) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de
x para os quais existe efetivamente lucro.
Para saber a quantidade de cartuchos vendidos quando
adquirimos o lucro máximo, basta dividirmos 2.592 que é o
lucro máximo por (64  28) , pois é 64 é preço que gera o
lucro máximo, mas ele é composto pelo preço de custo que é
R$ 28,00 e o lucro unitário de cada cartucho vendido que é o
que nos interessa. Desta forma, (64  28)  36
2.592
 72 cartuchos vendidos quando se teve o
36
Resolução:
Assim,
Basta descobrirmos as raízes da função:
Deixando a função ainda nesta forma, fica simples
lucro
descobrirmos as raízes:
(QUESTÃO 10) 08. Suponha que um grilo, ao saltar do
solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do
 x  28   200  2 x 
x  28  0  x  28
máximo.
tempo (em segundos) pela expressão
onde h é a altura atingida em metros.
200  2 x  0  2 x  200  x  100
h(t )  3t  3t 2 ,
Logo, para que haja lucro, x deverá estar no intervalo
]28,100[
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
Resolução:
c) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de
venda x de cada cartucho?
Resolução:
Neste item, basta que calculemos o
X V da função encontrada
Imaginando o gráfico desta função, enxergaremos que o grilo
se encontra no solo exatamente no ponto onde o gráfico cruza
o eixo x. Ou seja, nas raízes da função:
h(t )  3t  3t 2  3t 2  3t  0  t  (3t  3)  0
no item a:
Ou t  0
b
256
256
XV 
 XV 
 XV 
 X V  64
2a
2  (2)
4
Ou
Logo o preço de venda que gera o lucro máximo é de R$
64,00 por cartucho.
d) Qual será o lucro máximo e quantos cartuchos serão
vendidos mensalmente ao preço que maximiza esse lucro?
Para calcular o lucro máximo, basta utilizarmos a fórmula
do
YV , que é YV 
que é o

, ou simplesmente calcular a f (64)
4a
X V encontrado:
 3t  3  t 
3
 t 1
3
Ou seja, no ponto 0 o grilo se encontra no solo e retorna a
ele no ponto de t  1 .
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?
Resolução:
Basta calcularmos o
YV que é YV 

4a
  9  4  (3)  0    9

9
9
 YV 
 YV 
4a
4  (3)
12
3
YV  , ou 0, 75m
4
YV 
“Ponha Seu Futuro em Movimento”
página 5