GEOMETRIA PLANA: CONGRUÊNCIA E PONTOS NOTÁVIES DE TRIÂNGULOS
1. (Ufpe 95) Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita em um triângulo retângulo com
catetos medindo 6cm e 8cm. Quanto vale 24r?
2. (Unitau 95) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta
suporte do lado oposto é denominado:
a) mediana.
b) mediatriz.
c) bissetriz.
d) altura.
e) base.
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3. (Unicamp 91) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos como indica a
figura adiante, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a
ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível.
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4. (Ufpe 96) Na figura a seguir o triângulo ÐABC é equilátero com lados de comprimento 2cm.
Os três círculos C, C‚ e Cƒ têm raios de mesmo comprimento igual a 1cm e seus centros são
os vértices do triângulo ÐABC. Seja r>0 o raio do círculo C„ interior ao triângulo ÐABC e
simultaneamente tangente aos círculos C, C‚ e Cƒ. Calcule 9(1+r)£.
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5. (Pucmg 97) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0
e raio 2 cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em
centímetros, é:
a) 2Ë3
b) 2Ë5
c) 3
d) 5
e) Ë26
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6. (Unirio 96)
Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo
que os pontos F e G são os pontos médios dos lados åî e æî, respectivamente. Quantos
rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura,
se cada rolo possui 1m de fita?
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
e) 26
7. (Puc-rio 99) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1cm em que O é o ponto de encontro
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das alturas. Quando mede o segmento AO?
8. (Ufpi 2000) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem respectivamente
5cm, 7cm e 9cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB,
PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
a) 10/9
b) 9/8
c) 7/6
d) 4/3
e) 7/5
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9. (Ufc 2002) Na figura a seguir, temos dois triângulos equiláteros ABC e A'B'C' que possuem o
mesmo baricentro, tais que AB||A'B', AC||A'C' e BC||B'C'. Se a medida dos lados de ABC é
igual a 3Ë3 cm e a distância entre os lados paralelos mede 2 cm, então a medida das alturas
de A'B'C' é igual a:
a) 11,5 cm
b) 10,5 cm
c) 9,5 cm
d) 8,5 cm
e) 7,5 cm
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10. (Ufg 2003) A figura abaixo representa um pentágono regular
ABCDE com 2 cm de lado e os pontos de interseção das retas determinadas pelos lados AB e
DC e das retas determinadas por BC e ED.
Com base na figura, julgue os itens abaixo:
(
) O raio da circunferência que circunscreve o
pentágono é maior que 2.
(
) Os triângulos ADC e FBC são congruentes.
(
) DC . DF = (CF)£, onde DC, DF e CF, representam as medidas dos respectivos segmentos.
(
) cos ‘ = (1+Ë5)/5.
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11. (G1) Na figura a seguir, temos o segmento AD que é idêntico a CD e AB que é idêntico a
BC. Prove que o ângulo A é idêntico ao ângulo C.
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12. (Unesp 97) No cubo ABCDEFGH, sugerido pela figura a seguir, considere o ponto médio,
M, da aresta AE.
Se N é o ponto em que o plano determinado por H, M e B corta a aresta CG, prove que:
a) HMBN é um paralelogramo;
b) os lados de HMBN têm mesma medida.
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13. (Enem 98) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura mede 60cm. No mesmo
momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00m. Se, mais tarde, a sombra
do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm
b) 45 cm
c) 50 cm
d) 80 cm
e) 90 cm
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14. (Uff 2001) Um pedaço de papel tem a forma do triângulo eqüilátero PQR, com 7cm de lado,
sendo M o ponto médio do lado PR:
Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam, conforme ilustrado acima.
O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a:
a) 9
b) 17,5
c) 24,5
d) 28
e) 49
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GABARITO
1. 48
2. [D]
3. R = r(2Ë3 + 3)/3
4. 12
5. [A]
6. [E]
7. AO = (Ë3)/3 cm
8. [D]
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9. [B]
10. F V V F
11. åæ ¸ æî
åè ¸ èî
BC é comum
então (LLL):
Ð ABC ¸ Ð DBC
logo  ¸ ð
12. a)
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Sendo ‘ o plano definido por HMBN, tem-se:
‘ º pl (ADHE) = HM
‘ º pl (BCGF) = BN
pl (ADHE) // pl (BCGF), portanto, HM // BN (I)
‘ º pl (ABFE) = MB
‘ º pl (DCGH) = HN
pl ( ABFE) // pl (DCGH), portanto MB // NH (II)
De (I) e (II) vem que HMBN é um paralelogramo.
b)
AM ¸ EM
AB ¸ EH
BAM ¸ HEM (ângulos retos)
Ì (L.A.L.) portanto, ÐABM ¸ Ð EHM Ì BM ¸ HM (III)
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No paralelogramo HMBN, tem-se:
HM ¸ BN e BM ¸ NH (IV)
De (III) e (IV) pode-se concluir que:
HM ¸ MB ¸ BN ¸ NH
13. [B]
14. [B]
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