Anais do 14O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XIV ENCITA / 2008
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 20 a 23, 2008.
Cálculo dos Níveis de Energia do Átomo de Hidrogênio nas Proximidades de
um Buraco Negro
Pedro Henrique Guedes de Oliveira
Instituto Tecnológico de Aeronáutica - Praça Marechal Eduardo Gomes, Nº 50, São José dos Campos, São Paulo, Brasil
Bolsista PIBIC-CNPq
[email protected]
Resumo. O objetivo desse trabalho é o de analisar a modificação causada nos níveis de energia de um átomo de hidrogênio nas
proximidades de um buraco negro, devido ao grande potencial gravitacional presente nessa região. Para tal será inicialmente
calculado o potencial de quadrupolo ao qual o elétron estará submetido, em função da massa do buraco negro e da distância do
átomo ao buraco negro em questão. Tal potencial será então tomado como sendo uma perturbação ao potencial elétrico do próton
sobre o elétron, de modo a se obter as correções dos níveis de energia do átomo de hidrogênio utilizando-se a teoria de
perturbação de primeira ordem. Por fim será analisada numericamente a correção para o orbital Ψ210. Perceber-se-á, a partir
dessa análise, que a variação dos níveis de energia não só são significativos, como podem vir a ser tão grandes (para pequenas
distâncias do buraco negro) que invalidam os resultados obtidos pela teoria de perturbação (que considera que os termos
perturbativos são pequenos se comparados com os termos que estão perturbando). Observa-se assim que a análise da variação do
espectro de átomos podem vir a ser sim um método de detecção indireta de buracos negros e, eventualmente, de outros corpos
estelares de grande massa.
Palavras chave: níveis de energia, buraco negro, teoria de perturbação.
1. Introdução
Uma estrela é formada quando uma grande quantidade de gás, na maioria das vezes hidrogênio, começa a se juntar,
devido a sua atração gravitacional. Com isso a pressão do mesmo vai aumentando, com conseqüente aumento na
velocidade média das partículas e da temperatura desse gás. Essa temperatura pode vir a subir a tal ponto que os
choques entre as moléculas desse gás são tão energéticas que há a fusão desses dois átomos. Tal processo produz
energia, o que produz o brilho das estrelas, e aumenta ainda mais a pressão do gás, devido à produção de calor. Chegará
um ponto, entretanto, que a pressão do gás é suficiente para contrabalancear a pressão gravitacional, de modo a
estabilizar a estrela.
O hidrogênio presente no interior dessas estrelas, entretanto, não é infinito, de modo que, após algum tempo (que é da
ordem de milhões ou bilhões de anos, dependendo da massa da estrela) esse elemento acaba, e a estrela passa a fundir
elementos mais pesados. Essas fusões, entretanto, liberam menos energia e aumentam a densidade da estrela. Dessa
maneira há um aumento da pressão gravitacional sobre o gás, além de uma diminuição da temperatura da estrela, pela
menor produção de energia, o que diminui a pressão de origem cinética. Isso faz com que a estrela se contraia, e essa
contração dependerá da massa da mesma.
Ao uma estrela se contrair, pelo princípio da exclusão de Pauli, as partículas presentes nela desenvolvem inúmeras
velocidades diferentes, o que gera uma pressão de expansão, que pode vir a contrabalancear a pressão gravitacional.
Uma estrela com menos de aproximadamente uma vez e meia a massa do sol conseguiria então se estabilizar como uma
“anã branca” (com um raio de poucos mil quilômetros e uma densidade de dezenas de toneladas por centímetro cúbico),
devido a repulsão dos elétrons gerada pelo princípio da exclusão. Estrelas que, entretanto, tenham uma massa maior que
essa, e inferior à cerca de duas vezes a massa do sol podem se estabilizar como estrelas de nêutrons, se estabilizando
pela repulsão do princípio da exclusão entre prótons e nêutrons, chegando a um raio de poucos quilômetros e uma
densidade de centenas de bilhões de toneladas por centímetro cúbico.
Porém estrelas com massa superior a cerca de 2,7 vezes a massa do sol não conseguem se estabilizar por esses
processos, formando algo tão pequeno e de densidade tão grande que nem a luz consegue escapar de sua atração
gravitacional.
Como as informações obtidas por nós sobre objetos distantes dependem de radiação eletromagnética que é produzida ou
refletida sobre os mesmos e chegam aos nossos equipamentos de observação, não há um método direto de identificação
de buracos negros, de modo a ter-se de utilizar métodos indiretos. Métodos utilizados para tal podem ser então a
detecção de efeitos produzidos por grandes massas, como desvios em órbitas de corpos celestes identificáveis ou
desvios de raios de luz, ou certas explosões de raios gama.
O objetivo desse projeto, pois, é estudar um outro efeito que pode vir a ser causado por um buraco negro, efeito esse
que pode vir a ajudar a identificá-lo: o efeito dessa grande massa concentrada sobre o espectro de átomos nas
proximidades do mesmo.
O espectro de um átomo é obtido a partir de sua função de onda, que é obtida, por sua vez, a partir do potencial ao qual
os elétrons desse átomo estão sendo submetidos. Costuma-se, de maneira geral, se desprezar potencias de origem
gravitacional por serem eles ínfimos, se comparados com os de origem elétrica. Porém, no caso dos buracos negros,
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,
temos uma situação especial de uma enorme massa concentrada, de modo que o potencial de origem gravitacional
eventualmente não possa ser simplesmente desprezado. Como o espectro de um átomo o identifica, tem-se que, caso a
variação causada pela proximidade de um buraco negro seja considerável, tal diferença possa vir a ser calculada para se
determinar inclusive a massa desse possível buraco negro.
Estudaremos nesse projeto o efeito de um buraco negro perfeitamente esférico e estático sobre um átomo de hidrogênio
por questão de simplicidade. Calcular-se-á então as variações de energia dos primeiros orbitais nesse caso e analisar-seá o quão consideráveis são essas variações, variando-se parâmetros como a massa do buraco negro em questão e a
distância desse ao átomo,nesse caso, de hidrogênio.
2. Potencial de quadrupolo exercido pelo buraco negro
Como o espaço-tempo nas proximidades de um buraco negro tem uma curvatura muito acentuada não se pode
utilizar a geometria euclidiana para se calcular distâncias nesse caso, já que ela pressupõe um espaço-tempo plano.
Assim, como se estudará o espectro de um átomo de hidrogênio nas proximidades de um buraco negro, e a
variação no espectro desse átomo se deverá ao potencial de quadrupolo que depende da distância, ter-se-á de utilizar
argumentos da relatividade geral para o cálculo do mesmo.
2.1 Cálculo do potencial de quadrupolo
Primeiramente considerar-se-á o átomo livre de outros potenciais externos que não o gravitacional exercido pelo
buraco negro, e que, tanto o núcleo (próton) como o único elétron do átomo, encontram-se em órbita em torno do
buraco negro, fora de seu horizonte de eventos. Sendo τ o tempo próprio xµ(τ) as coordenadas do núcleo do átomo com
relação ao buraco negro e xµ(τ) + ξµ(τ) as coordenadas do elétron, tem-se que, como apresentado por Ohannian (1976),
já que ambos percorrem geodésicas em torno do buraco negro:
d 2 xµ
dτ
2
µ
+ Γαβ
(
d 2 xµ + ξ µ
dτ 2
dxα dx β
=0
dτ dτ
) + Γµ
αβ
 dxα d ξ α
+
( x + ξ ) 
dτ
 dτ
 dx β d ξ β
+


dτ
 dτ

 = 0

(1)
Como ξµ, coordenadas do elétron com relação ao núcleo, podem ser consideradas como infinitesimais (já que xµ é
da ordem de quilômetros e ξµ de angstroms), o desvio geodésico, isso é, a segunda derivada de ξµ ao longo da geodésica
pode ser aproximada por, como também apresentado por Ohannian (1976):
D 2ξ µ
Dτ 2
µ
= − Rασβ
ξσ
dxα dx β
dτ dτ
(2)
Tomando-se um ponto P então da geodésica percorrida pelo núcleo, a posição inicial do mesmo, por exemplo, e o
considera-se inicialmente como origem do sistema de coordenadas. Nesse ponto então:
'
g µν
= η µν
'
g µν
,α = 0
(3)
Toma-se então o eixo do tempo ao longo da geodésica, e utiliza-se o tempo próprio ao longo dessa curva como
coordenada de tempo. Escolhem-se as coordenadas espaciais como perpendiculares entre si e perpendiculares ao eixo
do tempo. Deixando então o ponto P percorrer livremente a geodésica, de modo a manter o átomo sempre na origem, tal
sistema de coordenadas pode então ser utilizado para definir o espaço na região próxima a geodésica do núcleo, onde,
aliás, se encontra o elétron.
Como as direções dos eixos em queda livre foram definidas por transporte paralelo, se outro vetor arbitrário for
transportado ao longo da geodésica, as suas componentes não devem mudar, de modo que, ao longo dessa geodésica:
'µ
Γαβ
=0
(4)
Portanto, dessa maneira, temos que a derivada DA’µ/Dτ ao longo da geodésica se reduz à dA’µ/dτ ou dA’µ/dt’. E
como o núcleo se mantém permanentemente na origem do sistema tem-se:
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,
dx 'α
= (1, 0, 0, 0)
dτ
(5)
Pode-se ainda assumir que, comparando-se em um mesmo tempo as acelerações do próton e do elétron, ξ’0=0. A
Eq. 2 pode então ser reescrita na forma:
d 2ξ ' k
dt '
2
= − R0kl 0ξ 'l
( k = 1, 2 ou 3)
(6)
São necessárias então algumas considerações sobre a métrica que será utilizada para se obter os termos do tensor
de Riemann que aparecem na Eq. 6. Utilizar-se-á, nesse caso, considerando-se o buraco negro perfeitamente esférico e
em repouso e o campo produzido por ele estático (independente e simétrico com relação ao tempo), uma métrica da
forma, tomando x0 ≡ t, x1 ≡ r, x2 ≡ θ e x3 ≡ φ:
 e N (r )

 0
=
 0

 0
g µυ
0
0
−e L ( r )
0
0
−r 2
0
0



0

0

2
2 
−r sen θ 
0
(7)
k
Nesse caso temos que, R0 l 0 , com k≠l, igual a zero, logo se pode simplificar a Eq. 6, para a Eq. 8 abaixo:
d 2ξ ' k
2
dt '
= − R0kk 0ξ ' k
( sem somatório)
(8)
Assim só é necessário calcular 3 termos do tensor de Riemann para uma métrica do tipo apresentado na expressão
i
(7), sendo eles R0 i 0 , com i=1, 2 ou 3. Tais termos, entretanto, dependem de N(r) e de L(r) para a métrica utilizada, de
modo a se fazer necessária a utilização das equações de campo de Einstein para obtê-las. Assumindo-se a constante
cosmológica como sendo igual a zero e o meio o vácuo tem-se que:
1
Rνµ − δ µν R = 0
2
(9)
Dessa maneira, resolvendo-se as equações de campo obtêm-se:
 2GM 
N ( r ) = ln 1 − 2 
c r 

 2GM 
L ( r ) = − ln 1 − 2 
c r 

(10)
A solução das equações de campo de Einstein, nesse caso, denominada solução de Schwarzschild, leva então a
uma métrica da forma:
g µυ
 2GM
1 − 2
c r


0

=


0


0

0
−
1
 2GM 
1 − 2 
c r 

0
0
0
−r 2
0
0




0




0

2
2 
−r sen θ 
0
(11)
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,
Tem-se então que obter, utilizando essa métrica, os termos do tensor de Riemann que serão utilizados. Para tal é
útil definir-se os símbolos de Christoffel, que são dados por:
µ
Γαβ
=
(
1 µν
g
gνα , β + g βν ,α − gαβ ,ν
2
)
(12)
O inverso da métrica gµν é dado por:
g µα g αν = δ µν
g µµ g µν = δ µν ( sem somatório)
(13)
 g µν = 0 ( se µ ≠ ν )

1
 µν
 g = g ( se µ = ν )
µν

O tensor de Riemann é então definido a partir dos símbolos de Christoffel da seguinte maneira:
α
Rβµν
= −Γαβµ ,ν + Γαβν , µ + Γσβν Γασµ − Γσβµ Γασν
(14)
Obtêm-se, a partir das Eq. 12, Eq. 13, Eq. 14 e da métrica apresentada na Eq. 7:
0
R101
= − N ''+
1
1
L ' N '− ( N ')2
4
4
1
0
R202
= − re − L N '
2
1
0
R303
= − re− L N ' sen 2θ
2
(15)
Substituindo N e L presente na Eq. 10 nessas expressões tem-se:
0
R101
=2
GM
0
R202
=−
GM
0
R303
=−
r
3
c2 r
GM
2
c r
1
GM
1− 2 2
c r
(16)
sen 2θ
A partir desses três termos do tensor de Riemann pode-se obter os três termos desejados a partir das seguintes
relações:
σ
Rαβµν = gασ Rβµν
α
Rαβµν = gαα Rβµν
( sem somatório)
(17)
Rαβµν = − Rβαµν = Rβανµ
Delas temos, para i=1, 2 ou 3:
Ri 0i 0 = R0i 0i
g ii R0i i 0 = g 00 Ri00i
R0i i 0 =
g 00 0
Ri 0i
gii
(18)
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,
Dessa maneira tem-se que os termos procurados do tensor de Riemann são dados por:
GM  2GM 
1 − 2 
r3 
c r 
GM  2GM 
= 3 1 − 2 
r 
c r 
GM  2GM 
= 3 1 − 2 
r 
c r 
1
R010
= −2
2
R020
3
R030
(19)
Tomando-se ξ0 ≡ t , ξ1 ≡ z, ξ2 ≡ y, ξ3 ≡ x, o que mantém o sistema de coordenadas geodésicas como ortonormal
positivo, de (8) tem-se:
d2x
dt
2
d2 y
dt 2
d2z
dt
2
=−
GM  2GM
1 − 2
r3 
c r

x

=−
GM  2GM
1 − 2
r3 
c r

y

=2
GM  2GM
1 − 2
r3 
c r

z

(20)
Assim sendo o potencial do elétron com relação ao átomo, devido à curvatura do espaço tempo é:
F = mrɺɺ
−∇U (r ) = mrɺɺ
−∇V (r ) = ɺɺ
r
(21)
 d2x d2 y d2z 
∇V = −  2 + 2 + 2 
 dt
dt
dt 

Dessa maneira obtêm-se:
GM  2GM  x 2 GM
1 − 2  2 + 3
r3 
c r 
r
2

GM  2GM  x
y2
V = 3 1 − 2  
+
2
r 
c r   2
V=
2
GM
 2GM  y
1 − 2  2 − 3
c r 
r


− z2 


 2GM
1 − 2
c r

 2
z

(22)
Passando a expressão obtida para coordenadas esféricas, ainda geodésicas, de maneira à relação entre elas e as
coordenadas anteriores ser:
x = r ' senθ 'cos φ '
y = r ' senθ ' senφ '
z = r 'cos θ '
Tem-se:
(23)
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,
V=
GM  2GM
1 − 2
r3 
c r
V=
GM
V=
GM
r3
r3
2
2

  r ' sen θ '
− r '2 cos 2 θ ' 
 

2


 2GM
r '2  1 − 2
c r

2
  1 − 3cos θ ' 



2
 

(24)
2
 2GM
  3cos θ '− 1 
r '2  2 − 1  

2
 c r
 

Deve-se ter em mente que em tal expressão r é a distância do núcleo do átomo ao centro do buraco negro e r’ é a
distância desse mesmo núcleo ao elétron.
2.2 Análise do potencial de quadrupolo
Tal expressão para o potencial de quadrupolo obtida é a que vai ter que ser adicionada ao potencial de origem
eletrostática criado pelo próton sobre o elétron para que seja obtida a equação de onda do mesmo, a partir da equação de
Schrödinger. Como o núcleo está sobre uma geodésica em torno do buraco negro, o considerando perfeitamente
esférico e sem rotação, r vai ser uma constante, que pode assim ser variada para se analisar o efeito da distância do
átomo a buraco negro. Como não é possível se obter informações com relação à átomos cujo r é menor que o raio do
horizonte de eventos (raio do qual nada, nem mesmo a luz,consegue escapar), para que possamos obter informações
referentes a esse átomo, teremos de considerar r maior que o raio do horizonte de eventos. O raio para o horizonte de
eventos, considerando-se a métrica de Schwarzschild, é o raio que conduz a singularidade nessa métrica, que é dado
por:
rS =
2GM
(25)
c2
Dessa maneira, escolhendo-se um r arbitrário maior que rs, poder-se-á obter a equação de onda para o elétron a
partir da equação de Schrödinger, o que será feito, utilizando a teoria de perturbação. Tomando-se então r=αrs (α>1) e
M=λMS (MS: massa do sol) tem-se:
V=
GM
r3
2
 2GM
  3cos θ '− 1 
r '2  2 − 1  

2
 c r
 





2

GM
2GM
2
  3cos θ '− 1 
V=
r
'
−
1
3




2
GM
2

2
 2GM 


 c α 2  
α 2 
c  
 
c 

V =−
V =−
c6
1

r '2  1 −
3
2
2
α 8G M
 α
1
c6
1
α 8G λ M S
3
2
2
2
(26)
  3cos θ '− 1 


2
 

1

r '2  1 −
α

2
2
  3cos θ '− 1 
 

2


Pode-se no momento, entretanto, sem a resolver a equação de Schrödinger, fazer uma analise comparativa do
potencial de quadrupolo obtido e do potencial elétrico e gravitacional do próton sobre o elétron que são geralmente
utilizados (sem considerar a deformação do espaço tempo), para simplesmente comparar suas ordens de grandeza. Para
tal utilizar-se-á os seguintes valores para as constantes físicas (a0: raio de Bohr; mp: massa de repouso do próton) e para
a massa do sol:
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,
a0 = 5.29177 ⋅10−11m
ε 0 = 8.85419 ⋅10−12 Fm −1
e = 1.60218 ⋅10−19 C
m p = 1.67262 ⋅10−27 kg
c = 2.99792 ⋅10 ms
8
(27)
−1
G = 6.67428 ⋅10−11ms −1
M S = 1.98892 ⋅1030 kg
O potencial elétrico exercido pelo próton sobre o elétron, considerando por simplicidade r’ igual ao raio de Bohr
é de:
Velet . =
1 e
⇒ Velet . = 2.72114 ⋅101V
4πε 0 r '
(28)
Já o potencial gravitacional é dado por, também tomando r’ igual ao raio de Bohr:
Vgrav. = −
Gm p
r'
⇒ Vgrav. = −2.10960 ⋅10−27 V
(29)
Fazendo a mesma consideração acima para o potencial de quadrupolo, considerando ainda θ’=900, α=2 e λ=10:
Vquad . = −
1
c6
α 3 8G 2 λ 2 M S 2
 1   3cos 2 θ '− 1 
−15
r '2 1 −  
 ⇒ Vquad . = −9.01308 ⋅10 V
2
 α  

(30)
Dessa maneira tem-se:
Vgrav.
Velet .
Vquad .
Velet .
Vquad .
Vgrav.
= 7.75265 ⋅10−29
= 3.31224.10−16
(31)
= 4.27240.1012
Observa-se dessa maneira o motivo pelo qual, de maneira geral, se despreza o potencial o potencial gravitacional
exercido pelo próton. O potencial de quadrupolo, entretanto, é da ordem de 1012 vezes o mesmo, de modo que, apesar
de ainda muito pequeno se comparado com o potencial elétrico, deve vir a causar uma diferença mensurável nos níveis
de energia de um átomo.
Interessante se notar, ainda nesse passo, é que a técnica anteriormente imaginada para se aumentar o potencial de
quádruplo, a de aumentar a massa do buraco negro, atua de maneira exatamente inversa, o diminuído. O que ocorre é
que o potencial de quadrupolo é a princípio sim proporcional a massa, porém inversamente proporcional à distância do
átomo ao buraco negro ao cubo. Tal distância do átomo ao buraco negro deve ser maior que o raio do horizonte de
eventos, que é também proporcional a massa do mesmo, de modo que aparece um termo M2 no denominador da Eq. 26.
Dessa maneira verifica-se que na verdade quanto menor a massa do buraco negro maior o possível efeito sobre o nível
de energia dos átomos pode ser verificado, já que pode-se ter informação de átomos que estão muito mais próximos do
mesmo.
3. Correção dos níveis de energia
Tendo isso em mente, para se avaliar quantitativamente a variação de energia para os orbitais de nível quântico
principal 1, 2 e 3 utilizar-se-á a teoria de perturbação de primeira ordem, utilizando como solução não perturbada os
orbitais do átomo de hidrogênio obtidos da solução da equação de Schrödinger para um espaço-tempo plano. Tal
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,
utilização é bastante razoável tendo em vista que o que se deseja é calcular é a variação dos níveis de energia, e não as
equações de onda perturbadas em si (especialmente para maiores distâncias do átomo em questão ao buraco negro). O
problema não perturbado e o problema a ser resolvido são dados então abaixo, sendo o operador hamiltoniano em
coordenadas esféricas e utilizando-se o índice (0) para a solução não perturbada:
ˆ (0) ( r ',θ ', ϕ ' ) = E ( 0 ) Ψ ( 0 ) ( r ', θ ', ϕ ' )
ΗΨ
nlm
nlm nlm
( Ηˆ + Vˆ ) Ψ
quad .
nlm
( r ',θ ', ϕ ') = Enlm Ψ nlm ( r ',θ ', ϕ ')
 3cos 2 θ '− 1 
Vˆquad . = kr '2 


2


k =−
1
c6
α 8G λ M S
3
2 2
2
(32)
1

1 − α 


( 0)
As funções de onda para o problema não perturbado, na forma Ψ nlm ( r ', θ ', ϕ ') , sendo no número quântico principal, l
o secundário e m o magnético, para os três primeiros níveis do átomo de hidrogênio, são dadas por, como apresentadas
em McQuarrie (1983):
(0)
Ψ100
Ψ (0)
200
( r ',θ ', ϕ ') =
π a03
r'

r '  − 2a
 2 − e 0
a0 

32π a03
r'
r ' − 2 a0
e
cos (θ ')
a0
1
Ψ (0)
210 ( r ', θ ', ϕ ' ) =
32π a03
Ψ (0)
21±1 ( r ', θ ', ϕ ' ) =
Ψ (0)
310
e
r'
a0
1
( r ',θ ',ϕ ') =
Ψ (0)
300 ( r ', θ ', ϕ ' ) =
−
1
r'
1
64π a03
1
81 3π a03
1
2
( r ',θ ', ϕ ') =
81 π a03
1
Ψ (0)
31±1 ( r ', θ ', ϕ ' ) =
Ψ (0)
320 ( r ', θ ', ϕ ' ) =
81 π a03

r'
r '2
 27 − 18 + 2 2
a0
a0

81 6π a0
( r ',θ ', ϕ ') =
 r ' r '2
 6 − 2
 a0 a0
 − 3a
± iϕ '
 e 0 sen (θ ' ) e

a0 2
3
r '2
81 π a03 a0
2
−
e
−
e
r '2
1
162 π a0
r'
 − 3a
 e 0 cos (θ ' )

r '2
1
r'
 − 3a
 e 0

 r ' r '2
 6 − 2
 a0 a0
1
Ψ (0)
32 ±1 ( r ', θ ', ϕ ' ) =
Ψ (0)
32 ± 2
r ' − 2 a0
e
sen (θ ') e± iϕ '
a0
3
a0 2
r'
3a0
r'
3a0
−
e
r'
3cos 2 (θ ' ) − 1


sen (θ ') cos (θ ') e ± iϕ '
r'
3 a0
(33)
sen2 (θ ') e±2iϕ '
Já a energia relativa à esses orbitas depende apenas do número quântico principal dos mesmos, e é dada por:
( 0)
Enlm = −
e2
8πε 0 a0 n 2
(34)
Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008
,
Para se aplicar a teoria de perturbação de primeira ordem, como apresentada por Butkov (1988), e se obter as
(0)
(1)
correções de energia para os orbitais na forma Enlm
, são necessários os termos Wnml
definidos como mostrado abaixo,
em função do produto interno no espaço de funções adotado, também apresentado abaixo:
( Ψ ,Vˆ
1
quad . Ψ 2
(
) = ∫ Ψ Vˆ
1 quad . Ψ 2 dτ
) ∫
(35)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
Wnlm ≜ Ψ nlm ,Vˆquad . Ψ nlm = Ψ nlmVˆquad . Ψ nlm dτ
( 0)
Obtêm-se então os valores apresentados na Tab. 1 para os termos Wnlm relativos aos orbitais considerados. Nos
resultados apresentados já foram substituídos os valores das constantes, e os mesmos são apresentados multiplicados
 λ 2α 4 
por 
, o que, em todos os casos, resulta em uma constante.
 α − 1 


( 0)
Tabela 1. Resultados para Wnlm relativos aos orbitais considerados.
2 4
(0)  λ α 
Wnlm * 
 α − 1 


0
( 0)
Ψ nml
( )
Ψ100
0
Ψ (200)
0
Ψ (210)
−1.73051 ⋅10 −10
Ψ (21)±1
0
8.65255 ⋅ 10 −11
Ψ (300)
0
Ψ (310)
−1.03831 ⋅ 10 −9
Ψ (31)±1
0
5.19153 ⋅ 10 −10
Ψ (320)
−5.19153 ⋅ 10−10
Ψ (32)±1
−2.59577 ⋅10 −10
Ψ (32)± 2
5.19153 ⋅ 10 −10
0
0
0
0
0
0
0
Sendo o orbital 100 (1s) não degenerado tem-se que a correção de energia de primeira ordem para o mesmo será
simplesmente:
(1)
(1)
E100 = W100
(36)
(1)
E100 = 0
Como, entretanto, os orbitais de nível quântico principal 2 ( Ψ (200) , Ψ (210) , Ψ (21)+1 , Ψ (21)−1 ) são todos degenerados,
é necessário aplicar um procedimento diferente para as correções de primeira ordem para os mesmos. As correções de
primeira ordem são então dadas por, como apresnentado por (Butkov, 1988 e Schiff, 1955):
0
0
210
quad
0
) ( Ψ( ) ,Vˆ Ψ( ) ) ( Ψ( ) ,Vˆ Ψ( ) )
( )
( )
Ψ )
W − E( )
( Ψ( ) ,Vˆ Ψ( ) ) ( Ψ( ) ,Vˆ Ψ( ) ) = 0
( )
( )
( )
( )
Ψ ) ( Ψ ,Vˆ Ψ )
W − E( )
( Ψ( ) ,Vˆ Ψ( ) )
( )
( )
( )
( ) ˆ
( )
( )
,V
Ψ )
W
− E( )
Ψ ) ( Ψ , Vˆ Ψ ) ( Ψ
( Ψ( ) ,Vˆ
1
( 0)
W200 − E ( )
( Ψ( ) ,Vˆ
( Ψ( ) ,Vˆ
( Ψ( ) ,Vˆ
0
0
211
quad
0
21−1
quad
0
200
0
200
(0)
quad Ψ 210
0
210
1
0
200
0
211
quad
0
210
0
200
0
21−1
quad
0
210
0
200
quad
0
211
0
200
quad
0
21−1
0
210
quad
0
211
0
210
quad
0
21−1
quad
0
21−1
0
211
0
21−1
0
211
1
quad
0
211
0
21−1
1
0
(37)
Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008
,
Os resultados obtidos para os produtos internos fora da diagonal principal do determinante da Eq. 37 são todos
iguais à zero, de maneira que as correções de primeira ordem para as energias são iguais aos termos presentes na tabela
1, sendo dadas por:
(1)
( 0)
(1)
E200 = W200 ⇒ E200 = 0
α −1
α 4λ 2
α −1
(1)
( 0)
(1)
E21+1 = W21+1 ⇒ E21+1 = 8.65255 ⋅10−11 4 2
α λ
α −1
(1)
( 0)
(1)
E21−1 = W21−1 ⇒ E21−1 = 8.65255 ⋅10−11 4 2
α λ
(1)
( 0)
(1)
E210 = W210 ⇒ E210 = −1.73051⋅10−10
(38)
Após um procedimento análogo para os orbitais de nível quântico principal 3, também degenerados, obtêm-se
como correções de energia os seguintes valores:
α −1
α −1
α −1
; -1.03831 ⋅10−9 4 2 ; - 2.59577 ⋅10−10 4 2 ;
4 2
α λ
α λ
α λ
−
1
−
1
α
α
α −1
-2.59577 ⋅10−10 4 2 ; 5.19153 (1806 ) ⋅10−10 4 2 ; 5.19153 (1806 ) ⋅10−10 4 2 ;
α λ
α λ
α λ
α
−
1
α
−
1
α
−1
5.19153 (1808 ) ⋅10−10 4 2 ; 5.19153 (1808 ) ⋅10−10 4 2 ; 6.94169 ⋅10−10 4 2 .
α λ
α λ
α λ
-1.21332 ⋅10−9
(39)
A rigor dever-se-ia utilizar a teoria de perturbação para estados degenerados de ordens superiores, visto que a
degenerescência não foi rompida pela correção de primeira ordem. Entretanto, visto que o desejado são apenas as
correções de energia, e correções de segunda ordem pouco modificariam a correção de primeira ordem obtida, tal
procedimento não será realizado nesse trabalho.
4. Análise do efeito da correção sobre o orbital Ψ 210
Observou-se que todas as correções obtidas foram da forma de uma constante multiplicada por
α −1
, constante
α 4λ 2
essa de módulo entre 10-11 e 10-9. Com o objetivo de estudar o quanto essa correção representa se comparada com a
energia do orbital não perturbado se analisará a correção para o orbital Ψ 210 , analisando-se a efeito da variação dos
parâmetros α e λ.
A energia relativa ao orbital Ψ 210 não perturbado é dada por:
( )
E210
= −5.44968 ⋅10−19 J
0
(40)
Já o valor máximo para a correção de primeira ordem para esse orbital, que é obtido para λ=2.7 (limite inferior
4
para a massa de buracos negros estelares) e α = , é dado por:
3
()
E210
= -2.50363 ⋅10−12 J
1
(41)
Observa-se que a correção obtida é, em módulo, da ordem de 106 vezes maior que o módulo da energia do orbital
que está sendo corrigido. Isso não implica que a energia do orbital será variará tanto, mas sim que a teoria de
perturbação aplicada não é válida nesse caso, visto que uma das considerações dessa teoria é que as correções são
pequenas se comparadas com o valor que está sendo corrigido. Isso mostra apenas que, para distâncias do átomo ao
buraco negro iguais à poucas vezes o raio do horizonte de eventos a teoria de perturbação não é válida, sendo necessário
algum outro procedimento para o cálculo das variações de energia.
Considerando-se que a teoria de perturbação seja válida para correções, em módulo, da ordem de 1% do valor do
módulo da energia do orbital têm-se que, para buracos negros estelares típicos (de massa igual a dez vezes a massa
solar, isso é, λ=10) a teoria de perturbação é válida para α superior à:
Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008
,
1.73051 ⋅10−10
α ≥ 681.903
α −1
1
≤
5.44968 ⋅10−19
4 2
100
α λ
(42)
Considerando-se que correções de energia só sejam mensuráveis para valores que, no mínimo corrijam a quinta
casa decimal da energia (devido à incerteza relativa da constante universal da gravitação que é da ordem de 10-4) o
valor máximo para α, considerando ainda λ=10, para que seja obtida ainda alguma variação mensurável é de:
1.73051 ⋅10−10
α ≤ 12005.4
α −1
≥ 0.00001 ⋅10−19
4 2
α λ
(43)
As variações da energia do orbital Ψ 210 são iguais às variações da energia da transição de um elétron desse
orbital para o orbital 1s, visto que a correção para esse orbital foi obtida como sendo zero.
Na Tab. 2 estão apresentadas as correções obtidas para o esse orbital com λ=10 para diversos valores para α
dentro da faixa calculada acima.
Tabela 2: Correção de primeira ordem do orbital Ψ210 para diferentes valores de α com λ=10
α
Correção (J)
Energia (J)
Correção/Energia
−
19
<682.903
*
−5.44968 ⋅10
≻ 1.0 ⋅10−2
−
21
−
19
682.903
−5.44733 ⋅10
−5.44968 ⋅10
1.0 ⋅10 −2
1000
−1.72878 ⋅10 −21 −5.44968 ⋅10 −19
3.2 ⋅10 −3
5000
-1.38413 ⋅10−23
−5.44968 ⋅10 −19
2.5 ⋅10 −5
−
24
−
19
10000
-1.73034 ⋅10
−5.44968 ⋅10
3.2 ⋅10 −6
12005.4
-1.00002 ⋅10 −24
−5.44968 ⋅10 −19
1.8 ⋅10 −6
>12005.4
**
−5.44968 ⋅10 −19
≺ 1.8 ⋅10 −6
*: Valor superior, em módulo, ao módulo do relativo à α=682.903
**: Valor inferior, em módulo, ao módulo do relativo à α=12005.4
Para λ=10 a massa do buraco negro e seu raio de horizonte de eventos são dados por:
M 10 = 1.98892 ⋅1031kg
rs ,10 = 2.95310 ⋅105 m
(44)
5. Conclusões
Pôde-se perceber nesse trabalho que o aumento da massa do buraco negro em vez de aumentar o potencial de
quadrupolo (e conseqüentemente a variação da energia dos orbitais), como imaginado inicialmente, atua de maneira
exatamente inversa, o diminuído. O que ocorre é que o potencial de quadrupolo é a princípio sim proporcional a massa,
porém inversamente proporcional à distância do átomo ao buraco negro ao cubo. Tal distância do átomo ao buraco
negro deve ser maior que o raio do horizonte de eventos, que é também proporcional a massa do mesmo, de modo que
aparece um termo M2 no denominador da Eq. 26. Dessa maneira verifica-se que na verdade quanto menor a massa do
buraco negro maior o possível efeito sobre o nível de energia dos átomos pode ser verificado, já que pode-se ter
informação de átomos que estão muito mais próximos do mesmo.
Foi possível se concluir com esse trabalho que a proximidade com um buraco negro não só causa diferenças
significativas no espectro do átomo de hidrogênio (o que se imagina que ocorra também para outros átomos) como, para
pequenas distâncias do buraco negro, essa diferença pode ser tão grande à ponto de impossibilitar o uso da teoria de
perturbação (que considera que a correção perturbativa é bem menor que o que ela está corrigindo). Para se calcular a
variação no espectro do átomo à essas pequenas distâncias, se deve então aplicar algum outro método, como a resolução
da equação de Schrödinger, usando o potencial de quadrupolo como termo extra, numericamente, o que foge do escopo
desse trabalho.
Pôde-se perceber assim que realmente, como esperado, o potencial de natureza gravitacional nas proximidades de
um buraco negro não pode ser desprezado (como geralmente é feito com o potencial de mesma natureza gerado pelo
próton na região onde se encontra o elétron) no cálculo dos níveis de energia do átomo de hidrogênio. Desse modo,
como proposto inicialmente, a análise da variação de espectro de átomos pode eventualmente ser sim aplicada como
Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008
,
mais uma maneira de se identificar indiretamente a presença de buracos negros, visto que a variação desses níveis de
energia, sobretudo a pequenas distâncias do buraco negro, é bastante considerável, como pôde ser visto nesse trabalho.
6. Agradecimentos
Gostaria de agradecer inicialmente ao Professor Rubens de Melo Marinho Jr. por ter orientado a pesquisa além de
ter oferecido auxilio e material para o estudo dos princípios de relatividade geral necessários para a obtenção dos
resultados presentes nesse relatório e ao CNPQ, pela bolsa de pesquisa concedida que incentivou todo esse estudo.
Gostaria também de agradecer ao professor Francisco Bolívar Correto Machado por ter aceitado a matrícula no curso
ministrado por ele de FQ-290 (Química Quântica), que facilitou muito estudos necessários com relação à mecânica
quântica.
Gostaria de agradecer ainda: à mestranda Fernanda Gomes de Oliveira, também orientada pelo professor Rubens
de Melo Marinho Jr., por seu auxilio com relação à parte da bibliografia utilizada e por seu apoio e incentivo; à
bibliotecária Major Satyco Cristina Kikuchi Sakude, por seu auxilio e compreensão com questões relativas a
empréstimos de livros na biblioteca do ITA; e ao aluno do primeiro ano fundamental do ITA Carlos Henrique Melo de
Souza, pelas longas discussões envolvendo buracos negros e relatividade geral.
7. Referências
Butkov, E., 1989, “Física Matemática”, Ed. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, Brasil, 725 p.
McQuarrie,D. A., 1983, “Quantum Chemistry”, Ed. University Science Books, Sausalito, EUA, 517 p.
Ohanian, H. C., 1976, “Gravitation and Spacetime”, Ed. W. W. Norton & Company Inc., Nova Iorque, EUA, 461 p.
Schiff, L.I., 1955, “Quantum Mechanics”, Ed. McGraw-Hill Book Company Inc., Nova Iorque, EUA, 417 p.