Exercı́cios de Análise Matemática I
Funções reais de variável real
→ Função exponencial e função logarı́tmica
1. Determine a base de cada logaritmo.
(a)
loga 36 = 2
(b)
loga (25a) = 5
(c)
loga 4 = 0.4
2. Considere x = log10 2 e y = log10 3. Determine o valor de cada logaritmo, em
função de x e de y.
(a)
log10 6
(b)
3. Mostre que loga (x +
log10 (4/3)
(c)
log3 2
√
√
x2 − 1) = − loga (x − x2 − 1).
4. Determine os valores de x que satisfazem cada equação.
(a)
ln (1 + x) = ln (1 − x)
(d)
32x−1 =
x
ex + e−x
=1
2
(c)
2x + 2x+2 = 80
(e) 3 − ln e3x = 0
(f)
e−x − 3ex + 2 = 0
(b)
√
3
x
(g) 32 = 23
(h)
2x
2
−5x
=
1
64
5. Determine a solução das seguintes inequações.
(a)
ln (x − 2) > ln (x − 1) − ln 5
(b)
log1/3 (x + 3) > −3
6. Calcule os limites.
(a)
lim (2x − 2−x )
(b)
x→−∞
1 − 2x
x→+∞ 1 − 3x
lim
(c)
lim (2x − 3x )
x→+∞
7. Apresente um esboço do gráfico de cada função.
(a) f (x) = 1 + e−x
(d)
f (x) = 3−x−2
(b)
f (x) = 1 − e−x
(e)
f (x) = e 1/x
(c)
f (x) = ex+1
8. Caracterize a função inversa indicando o domı́nio e o contradomı́nio.
(a) f (x) = −10 + 64x−1
(b)
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f (x) = 3 + log3 (x + 5)
1
Exercı́cios de Análise Matemática I
→ Funções hiperbólicas
9. Verifique as seguintes identidades.
(a)
sinh x = − sinh (−x)
(b)
cosh x = cosh (−x)
(c)
cosh2 x − sinh2 x = 1
(d)
sinh x + cosh x = ex
(e)
cosh x − sinh x = e−x
(f)
sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
(g)
cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
10. Caracterize a função inversa indicando o domı́nio e o contradomı́nio.
(a) f (x) = sinh x
(b)
f (x) = cosh x
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Exercı́cios de Análise Matemática I
Cálculo diferencial
11. No ponto indicado, calcule por definição a derivada de cada função.
(a) f (x) =
√
x,
a=2
(b)
f (x) = x2 ,
a = −1
12. Calcule por definição a derivada das funções.
(b) f (x) = x3
(a) f (x) = c
(d)
f (x) = ex
(c) f (x) =
√
x
(e) f (x) = sin x
13. Mostre que f (x) = |x − 4| não tem derivada em x = 4.
14. Mostre que
f (x) =
(
x2 + 2 se
2x + 1 se
x<1
x≥1
tem derivada no ponto x = 1.
15. Determine a derivada de cada função.
(a) 3x3 − 5x + 4
(b) 30 x−4
(c) (3x2 − 5) ln x
(d)
cos x
√
3
x
(e)
x3 + 3x
2x + 1
(f)
sinh x
(g)
cosh x
(h)
tan x
(i)
cotg x
(j)
sin x
1 + cos x
(l)
tan (x − 1)
sec x
(m)
loga x
(n)
ln x
x2
(o) x2 ln x + 2 ex
(p)
x ex cos x
(q)
3x
x2 + 1
16. Seja g(x) = f (e3x ) onde f indica uma função diferenciável. Calcule g ′ (0) sabendo
que f ′ (1) = 3.
17. Seja g(x) = x f (x2 −2) onde f é uma função diferenciável. Sabendo que f (−1) = −2
e f ′ (−1) = 3, calcule g ′ (1).
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Exercı́cios de Análise Matemática I
18. Determine a derivada de cada função.
(a)
cos (3x)
(b)
√
5 − 7x
(c)
1
√
6x + 5
(d)
(x2 + x + 1)5
(e)
cos ex
(f)
cos (2x)
sin (5x)
(g) etan x
(h)
ln (sec x + tan x)
(i)
(j)
sin (cos x)
(l)
ln (ax + b)
(m)
(n)
ln
(o)
x3 e4x+5
(p)
(q)
xx
(r)
xln x
(s) ex ln (sin x)
(t)
ln (1 − x2 )
(u)
e
(x)
log3 (x2 − 3)
(z)
ecos
(b1)
1+x
1−x
sin (2x3 )
√
x
2
p
cos (2x)
(v)
x
loga (x2 + 1)
2
10 a
−x2
ln (ln x)
(a1) 43x + log5 x2
(c1) (sin (2x))3
19. Seja f uma função diferenciável que satisfaz as condições f (2) = −1 e f ′ (2) = 5.
Determine as equações da recta tangente e da recta normal ao gráfico de f no ponto
de abcissa 2.
20. Obtenha a equação da recta tangente e a equação da recta normal ao gráfico de
f (x) = e3x−1 , no ponto de ordenada 1.
21. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f (x) = x2 + 1, que é paralela
à recta y = −2x + 4.
22. Considere a função f (x) = x + cos x. Calcule todos os pontos onde a tangente ao
gráfico de f tem declive nulo.
23. Considere
f (x) =
(
x2
se
x
se
x≤1
x>1
e determine as funções f ′ e f ′′ .
Apresente um esboço do gráfico das funções f , f ′ e f ′′ .
24. Apresente o esboço de uma função contı́nua f , que na vizinhança de um ponto
x0 ∈ Df , satisfaz as condições f (x0 ) = 2, f ′ (x0 ) > 0, f ′′ (x0 ) = 0 e f ′′′ (x0 ) = 1.
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Exercı́cios de Análise Matemática I
25. Determine a derivada de ordem n, n ∈ N, de cada função.
(a) f (x) = ex
(b)
f (x) = (x + 1) ex
(c) f (x) = 1/x
(d)
f (x) = sin x
26. Determine o polinómio p de grau 2 que satisfaz as condições p(1) = 5, p′ (1) = 3 e
p′′ (1) = −4.
27. Determine a derivada das funções.
2
(a)
arcsin (x/2)
(b)
arcsin tan x
(d)
√
√
x − arccotg x
(e)
(g)
arctan x
x2 + 1
(h)
1−x
√
2
(c)
arccos
arcsin (sin x − cos x)
(f)
arccos (1/x)
arcsin (ln x)
(i) x2 arctan x2
28. Mostre que a equação cos x = 2x tem uma única raiz no intervalo [0, π/4].
29. Determine para que valores de c ∈ R é que a equação x3 + 3x2 − 9x + c = 0 tem
uma única raiz real.
30. Verifique que x = 0 é a única raiz real da equação ex = 1 + x.
31. Verifique que a recta de equação y = −x intersecta o gráfico da função f (x) =
x3 − 6x2 + 8x. Mostre que a recta é tangente ao gráfico de f e determine o ponto
de tangência.
32. Mostre usando o teorema de Rolle que existe um ponto no intervalo ]π, 2π[ onde a
recta tangente ao gráfico da função f (x) = esin x é horizontal.
33. Usando o teorema de Lagrange, mostre que existe um ponto no intervalo ] − π/2, 0[
onde a recta tangente ao gráfico de f (x) = ex cos x tem declive 2/π.
34. Considere a função f (x) = x2 −2x+1. Mostre que f verifica as condições do teorema
de Lagrange no intervalo [0, 4] e determine o ponto c indicado pelo teorema.
35. Sejam a, b ∈ R tais que a < b. Mostre, utilizando o teorema de Lagrange, que
arctan b − arctan a ≤ b − a.
36. Mostre, usando o teorema de Rolle, que a equação tan x = 1 − x tem uma única
solução no intervalo ]0, 1[.
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Exercı́cios de Análise Matemática I
37. Confirme os seguintes resultados aplicando a regra de Cauchy.
(a)
(c)
(e)
sin x
=1
x→0 x
lim
lim
x→0
(b)
2
cos x + 2x − 1
=
3x
3
1
lim (1 + x) x = e
x→0
(g)
e2x
lim
= +∞
x→+∞ x2
(i)
ex
= +∞
lim
x→0+ cotg x
(d)
ex − 1
=1
x→0
x
lim
lim
x→+∞
(f)
ex + e−x − 2
1
=
x→0 1 − cos (2x)
2
(h)
x
1
lim
=1
1+ 2
x→+∞
x
lim
1
(l)
lim x
sin x
x→0+
=1
ln x
=0
x
(j)
lim
x→ π
2
(m)
lim
x→0
2x − π
= −2
cos x
3
1
−
sin x x2
= −∞
→ Acréscimos e diferenciais
38. Considere as funções f (x) = x2 e g(x) = 1/x e o ponto x = 1. Determine para
cada função, expressões para as quantidades ∆y, dy e ∆y − dy, correspondentes ao
acréscimo ∆x > 0 de x. Interprete graficamente.
39. Determine o diferencial de cada função.
(a)
√
2x + 1
(b)
x
x+1
(c) (x2 − 2)2
(d)
√
1
x+ √
x
40. Considere a função y = x2 e determine os valores de ∆y e dy para x = 2 e dx = 1.
Compare com os valores obtidos quando dx = 0.1.
41. Seja A(r) = πr2 a função que fornece a área de um cı́rculo de raio r. Determine
∆A, dA e interprete ∆A − dA.
42. A área de um quadrado de lado x é dada por A(x) = x2 .
Identifique geometricamente:
(a) a região cuja área é dA
(b) a região cuja área é ∆A − dA
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Exercı́cios de Análise Matemática I
43. Use diferenciais para aproximar as seguintes quantidades.
√
√
(a)
16.5
(b)
15.8
(c) tan (31◦ )
(d)
cos (46◦ )
(e) 0.01 cos (0.01)
44. Utilize diferenciais para determinar uma estimativa para o aumento no volume de
um cubo de aresta igual a 10cm, quando esta aumenta de 0.1cm.
45. A medida da aresta de um cubo é 25cm com erro não superior a 0.002cm. Determine
uma estimativa para o erro máximo cometido no cálculo da área da superfı́cie do
cubo.
46. Mostre que, se y = f (x) é uma função diferenciável, então ∆y − dy = ε · ∆x onde
ε depende de x e ∆x, e ε −→ 0 quando ∆x −→ 0.
→ Aproximação de funções por polinómios de Taylor
47. Para cada função, determine o polinómio de Taylor de grau n na vizinhança do
ponto x0 .
(a) f (x) = ex
para n = 4 e x0 = 0
(b)
f (x) = ex
para n = 4 e x0 = 1
(c)
f (x) = ln x
para n = 3 e x0 = 1
(d)
f (x) =
√
x
para n = 3 e x0 = 4
(e)
f (x) = sin x para n = 5 e x0 = 0
(f)
f (x) = ln (1 + x)
para n = 2 e x0 = 0
48. Determine a derivada de ordem n, n ∈ N, de cada função.
(a) f (x) = x ex
(b)
f (x) = cos x
(c) f (x) = sin (2x)
49. Determine a fórmula de Mac-Laurin com resto de ordem n, para cada função do
exercı́cio 48.
50. Determine o grau do polinómio de Mac-Laurin de ex , que é necessário para calcular
um valor aproximado do número e, com erro inferior a 0.005.
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Exercı́cios de Análise Matemática I
51. Utilize um polinómio de Taylor de grau 2, para determinar um valor aproximado de
cada expressão. Calcule um majorante para o erro cometido em cada aproximação.
√
√
(a)
0.8
(b) ln (1.25)
(c) 3 e
(d) sin (π/5)
→ Métodos numéricos de resolução de equações não lineares
52. Localize graficamente as raı́zes reais de cada equação.
(a)
sin x − x2 = 0
(b)
ex − |x| = 0
(c)
cos x − x3 = 0
(d)
x − 1 + ln x = 0
53. Efectue três iterações do método da bissecção para aproximar a solução de menor
valor da equação ex − 3x = 0. Calcule um majorante para o erro cometido na
aproximação.
√
54. Efectue duas iterações do método da bissecção para obter uma aproximação de 3 5.
Indique qual a precisão do resultado obtido.
55. Utilize o método da bissecção para aproximar a solução da equação x3 − x − 1 = 0,
com erro absoluto não superior a 10−2 .
56. Utilize o método da bissecção para aproximar a solução da equação x − 2−x = 0,
com erro absoluto não superior a 0.1.
57. Considere a função f (x) = x − ln x − 2.
(a) Localize graficamente e analiticamente as raı́zes da equação f (x) = 0.
(b) Aplique duas iterações do método da bissecção para aproximar a solução de
menor valor da equação.
(c) Aplique duas iterações do método de Newton-Raphson para aproximar essa
solução. Utilize o resultado da alı́nea anterior como aproximação inicial.
58. (a) Mostre graficamente e analiticamente que a equação sin x = e−x tem uma única
solução no intervalo [0, 1].
(b) Aplique o método de Newton-Raphson para aproximar essa solução com erro
inferior a 10−2 .
59. Localize graficamente todas as soluções da equação x2 −1−ln (x + 1) = 0. Aproxime
a solução de maior valor usando o método de Newton-Raphson com precisão de
10−2 .
60. Localize graficamente todas as soluções da equação |x| − cos x = 0. Aproxime a
solução de maior valor usando o método de Newton-Raphson com precisão de 10−3 .
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