Polícia Rodoviária Federal
Prof. Dirceu Pereira
UNIDADE 2 – MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
5) Um atirador aciona o gatilho de sua espingarda que
aponta para um alvo fixo na terra. Depois de 1 s ele
ouve o barulho da bala atingindo o alvo. Qual a
distância do atirador ao alvo? Sabe-se que a
velocidade da bala ao deixar a espingarda é 1.000
m/s e que a velocidade do som é 340 m/s.
Solução
Observe que a distância da espingarda ao alvo é a
mesma do alvo à espingarda. Portanto, bala e som
terão de percorrer deslocamentos iguais. Como as
velocidades da bala e do som são diferentes, cada
um percorrerá seu deslocamento em um tempo
diferente, já que as distâncias percorridas são iguais.
Ainda, do problema, sabemos que a soma do tempo
que a bala leva para atingir o alvo mais o tempo que o
som leva para ir do alvo à espingarda é 1 s.
Física
Resolução de Exercícios
edição 1
Substituindo (4) em (3): 1000 ⋅ (1 − t S ) = 340 ⋅ t S (5)
Resolvendo (5), temos que: t S ≈ 0 ,746 s
Substituindo t S ≈ 0 ,746 s na equação (3), temos que:
d ≈ 254 m
Resposta: d = 254 m
7) Duas locomotivas, uma de 80m e outra de 120m de
comprimento movem-se paralelamente uma à outra.
Quando elas caminham no mesmo sentido são
necessários 20 s para a ultrapassagem e quando
caminham em sentidos opostos, 10 s são suficientes
para a ultrapassagem. Calcule a velocidade das
locomotivas sabendo que a maior é a mais veloz.
Solução
Temos duas situações distintas sendo descritas no
problema. Em uma, os trens deslocam-se no mesmo
sentido e, em outra, em sentidos contrários. Façamos
um esboço de ambas.
Situação 1: movimento no mesmo sentido
Consideremos nosso referencial como sendo o
ouvido do atirador. A bala, dentro da espingarda, é
muito próxima do ouvido do atirador e podemos
considerar que ambos estão na mesma posição.
Vamos arbitrar nosso referencial como sendo, então,
o ouvido do operador (S0 = 0).
Sabemos do enunciado que, no tempo de 1 s, estão
embutidos o tempo que a bala leva para atingir o alvo
mais o tempo que o som leva para atingir o ouvido do
atirador. Logo:
O trem A ultrapassará o trem B quando o ponto
material 1 coincidir com o ponto material 2. Neste
instante, SA = SB. Necessariamente, o trem A deve
estar inicialmente atrás do trem B, pois é mais veloz
que este. Do contrário, nunca haveria ultrapassagem.
Cada trem levará 20 s para atingir esta condição.
Vamos montar as equações horárias para esta
situação e encontrar a relação de velocidades:
S A1 = −120 + 20 ⋅ V A
S B1 = 80 + 20 ⋅ VB
S A1 = S B1
⇒ V A − VB = 10
(1 )
Situação 2: movimento em sentido contrário
t T = t B + t S = 1 s (1)
Como o movimento é uniforme (MRU) temos que:
S = S0 + V ⋅ t
⇒
função horária do MRU
Assim, precisamos montar as equações horárias para
a bala e para o som.
Para a bala:: S B = 0 + 1000 ⋅ t B ⇒ d = 1000 ⋅ t B (2)
Para o som: 0 = −d + 340 ⋅ t S ⇒ d = 340 ⋅ t S
(3)
Os trens se ultrapassarão quando o ponto material 1
coincidir com o ponto material 2. Neste instante, SA =
SB. Cada trem levará 10 s para atingir esta condição.
Vamos montar as equações horárias para esta
situação e encontrar a relação de velocidades:
De (1), temos que t B = 1 − t S
Substituindo em (2): d = 1000 ⋅ (1 − t S ) (4)
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Física
Resolução de Exercícios
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S A2 = −120 + 10 ⋅ V A
S B 2 = 80 − 10 ⋅ VB
S A2 = S B 2
móvel B:
⇒ V A + VB = 20
(2 )
Temos duas equações de velocidade com duas
incógnitas VA e VB. Somando as equações (1) e (2),
temos (artifício matemático):
SB = S0B + V A ⋅ t
S B = 10 + 30 ⋅ t
Aplicando o teorema de Pitágoras::
(10 ⋅ 18 ) 2 = ( S A ) 2 + ( S B ) 2
V A + VB = 20
(2 )
(10 ⋅ 18 ) 2 = ( 20 ⋅ t ) 2 + (10 + 30 ⋅ t ) 2
+ V A − VB = 10
(1 )
13 ⋅ t 2 + 6 ⋅ t − 17 = 0
2 ⋅ V A = 30
⇒ V A = 15 m / s
Substituindo VA em qualquer das equações (1) e (2),
encontramos VB:
15 + VB = 20
(1 )
⇒
e
t1 = +0 ,936 s
t 2 = −1,397 s
Como não existe tempo negativo, adota-se a primeira
raiz, ou seja, t ≈ 1 s.
VB = 5 m / s
Resposta: V A = 15 m / s
Resolvendo (1), temos as raízes:
VB = 5 m / s
9) Dois móveis, A e B, deslocam-se segundo trajetórias
perpendiculares entre si com MRU e velocidades
VA = 72 km/h e VB = 108 km/h. No instante inicial, o
móvel A encontra-se na posição 0 e o móvel B na
posição +10 m. Determine o instante em que a
distância entre eles é 10 ⋅ 18 m.
Resposta: t ≈ 1 s
UNIDADE 2 – MOV. CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO
4) Uma roda é uniformemente acelerada a partir do
repouso e atinge uma velocidade angular ω = 20 rad/s
efetuando 10 voltas depois do início da rotação.
Determine a aceleração angular da roda.
Solução
Solução
As trajetórias são perpendiculares. Então, um se
desloca segundo o eixo x e o outro se desloca
segundo o eixo y, por exemplo. Portanto, nosso
referencial zero será o início dos eixos cartesianos.
Adotemos o móvel A em y e B em x.
Sabemos do enunciado que:
ϖ0 = 0
ϖ = 20 rad / s
ϕ0 = 0
ϕ = 10 voltas
Também sabemos que 1 volta = 2π rad.
Logo: 10 voltas = 20π rad.
Utilizando as equações do MCUV, temos:
ϖ =ϖ0 +γ ⋅t
20
γ =
t
⇒
20 = 0 + γ ⋅ t
(1 )
1
20
⋅ γ ⋅ t 2 e sabendo que γ =
2
t
1 20 2
2 ⋅π = 0 + 0 ⋅t + ⋅
⋅t
2 t
t = 2 ⋅π
(2)
Substituindo (2) em (1), temos:
20
γ =
⇒ γ = 3 ,18 rad / s 2
2 ⋅π
ϕ = ϕ0 + ϖ 0 ⋅ t +
Cada móvel terá uma função horária do MRU que
descreverá como variam SA e SB em função do tempo.
Como deslocamento é vetor e as trajetórias são
perpendiculares entre si, podemos utilizar o teorema
de Pitágoras para o triângulo retângulo.
Primeiro vamos reduzir as velocidades para a mesma
base de unidades do deslocamento.
Resposta: 3,18 rad/s²
km
m
= 20
h
s
km
m
108
= 30
h
s
70
Agora, montamos as equações horárias dos móveis A
e B:
móvel A:
S A = S0 A + V A ⋅ t
⇒
S A = 0 + 20 ⋅ t
5) Um ponto material, partindo do repouso, percorre uma
circunferência com raio de 10 cm em MCUV. Durante
os dois primeiros segundos o ponto descreve um
ângulo de 45º. Determine:
a) a aceleração angular e a aceleração linear do
movimento;
b) a velocidade angular e a velocidade linear no
instante t = 4 s.
S A = 20 ⋅ t
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Solução
Temos do enunciado que:
φ0 = 0
R = 10 cm
45 º ⋅2 ⋅ π π
≈ rad
360 º
4
Em t = 2 s, percorre-se 45º =
a) Sabemos que ϕ = ϕ 0 + γ ⋅ t
⇒
π
4
= 0 + 2 ⋅γ
π
rad / s 2
8
Da equação a = γ ⋅ R tiramos que:
5 ⋅π
π
a = ⋅ 10 ⇒ a =
cm / s 2
8
4
b) Com as acelerações linear e angular são
constantes neste tipo de movimento, decorre:
Logo: γ =
ϖ =ϖ0 +γ ⋅t
⇒ ϖ =0+
V =ϖ ⋅R
V =
⇒
π
2
⋅ 10
π
8
⋅4
⇒ ϖ =
π
2
rad / s
⇒ V = 5 ⋅ π cm / s
Resposta:
a)
b)
π
8
π
2
rad / s 2
rad / s
e
e
5 ⋅π
cm / s 2
4
5 ⋅ π cm / s 2
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