http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0160
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MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DA VELOCIDADE TANGENCIAL EM UM
SISTEMA DE BOBINAMENTO DE TIRAS DE AÇO
Erlon Cavazzana1 and José Denti Filho2
1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, Av. Filogônio Peixoto S/N, Linhares-ES, Brasil, [email protected]
2
Universidade Federal do Espírito Santo, Av. Fernando Ferrari 514, Goiabeiras, Vitória-ES, Brasil, [email protected]
Resumo: Este trabalho apresenta a modelagem, simulações
e uma proposta de controlador de velocidade tangencial para
uma Bobinadeira de tiras de aço utilizando a técnica Gain
Schedulling clássica. Este sistema possui características nãolineares durante a operação devido variações da inércia, do
raio da bobina e do torque, sendo que a qualidade de controle alcançada interfere diretamente na qualidade do produto laminado. Apesar da importância do controle eficaz
deste sistema, pouco estudo de desempenho da técnica Gain
Schedulling para bobinadeiras foi até então realizado. Simulações utilizando dados de um processo real mostraram que
o controlador proposto foi eficaz para controlar este sistema.
O processo de bobinamento estudado foi baseado em um
sistema real, apresentado em [2].
2. SISTEMA DE BOBINAMENTO
O processo estudado consiste em uma bobinadeira composta por um motor de corrente contínua acoplado a um sistema de engrenagens ideal, que aciona um rolo bobinador de
raio interno r1 e raio externo r2 . Um esquema da bobinadeira
estudada é apresentado na Figura 1. Manter a força F constante na tira implica em manter a velocidade tangencial da
tira v constante [1].
Palavras-chave: Gain Schedulling, Aplicações de Engenharia, Bobinadeira.
1. INTRODUÇÃO
O processo de laminação de tiras de aço consiste, basicamente, em passar a tira pelos rolos do laminador até que
se obtenha a redução de espessura e a forma desejada. O
momento final do processo, que pode ocorrer de forma contínua, é quando a tira segue para bobinadeira para ser enrolada. É importante que uma força constante seja aplicada
à tira. Além dessa força ser um parâmetro operacional do
laminador, interferindo na espessura de saída, uma força excessiva pode causar deformações na tira prejudicando a qualidade do material produzido e, por outro lado, uma força insuficiente implica em um bobinamento ineficaz [1, 2]. A preocupação exclusiva com a espessura de saída não significa
que o produto final satisfaça a todos os fatores de qualidade
como por exemplo a forma geométrica e/ou a distribuição de
tensões residuais internas no material. Isto implica que devese adotar uma ação de controle tal que a espessura de saída
seja mantida na faixa de valores aceitável mas que outros fatores como a forma da tira não fiquem comprometidos. O
termo forma é aqui utilizado para referenciar-se tanto à geometria como à distribuição de tensões residuais internas.
Figure 1 – Esquema da bobinadeira.
2.1. Motor de Corrente Contínua
As equações fundamentais de um motor CC de excitação
independente são descritas pelas Equações 1 e 2, onde ea =
kv ia e T = kt ia .
dia
+ Ra ia
dt
(1)
dω1
= T − Tc
dt
(2)
Vta = ea + Laq
J1
Vta é a tensão aplicada no motor, ea é a força contraeletromotroz, Laq , Ra e ia são a indutância, resistência e
corrente de armadura, respectivamente, J1 é o momento de
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inércia do rotor, ω1 é a velocidade angular do motor, T é o
torque eletromagnético desenvolvido e Tc é o torque de carga
no eixo do motor.
2.2. Bobinadeira
A inércia da bobina pode ser obtida pela equação abaixo,
onde M é a massa do rolo bobinador e J2 o seu momento de
inércia.
M
r1 2 + r2 2
(3)
2
Uma vez que o acionamento se dá por meio de um sistema
de ingrenagens ideal, ocorre o seguinte efeito na redução da
inércia:
J2 =
J1e = J1 +
ω2
ω1
2
J2
(4)
Sendo que, J1e é o momento de inércia efetivo no eixo do
motor, ω2 é a velocidade angular do rolo bobinador e ω1 é a
velocidade angular do motor.
No decorrer do processo de bobinamento o acúmulo de
material na bobinadeira provoca um aumento do raio da bobinadeira. Esse aumento de raio pode ser modelado conforme
mostrado na Equação 5.
Z
r(t) =
0
t
ω2 e
dt.
2π
Esta técnica consiste em projetar controladores lineares
de diferentes ganhos para controlar sistemas não-lineares e
depois associá-los em um único controlador. Desta forma
são utilizados diversos controladores lineares onde cada um
opera em uma determinada faixa de operação do sistema ou,
de forma equivalente, é utilizado apenas um controlador de
ganho variável para realizar a tarefa global de controle de
um sistema não-linear. Na forma clássica de projeto Gain
Schedulling utiliza-se a Linearização Jacobiana da planta
não-linear sobre uma família de pontos de equilíbrio ou pontos de operação, sendo algumas vezes chamado de método
de escalonamento por linearização. Assim, passa a existir modelos lineares válidos nas vizinhanças dos pontos de
operação. Ao utilizar esta forma, é preciso atentar para as
duas práticas correntes nos projetos Gain Schedulling clássicos, que são: “a variável de escalonamento deve capturar
as não linearidades da planta” e “é necessário que a variável
de escalonamento esteja limitada a variações lentas”, sendo
estas limitações do controle por ganho escalonado.A Figura
2 apresenta um esquema de controle Gain Schedulling geral,
onde o bloco Escalonador pode empregar técnicas que utilizam, por exemplo, estados do sistema (x), dados da entrada
(r), da saída (y), de uma variável interna (z), de um sinal
externo (s) ou combinações destes para alterar os ganhos do
controlador.
(5)
Por sua vez, o aumento do raio do material bobinado
provoca um aumento de inércia e de massa no rolo, conforme
descrito nas Equações 6 e 7, respectivamente.
J2 =
M 2
2
r1 + (r2 + r(t))
2
(6)
Figure 2 – Esquema Gain Schedulling geral.
M (t) = m + 2πr2 r(t) + πr(t)2 ρd
(7)
O torque efetivo no eixo do motor e a força aplicada na
tira podem ser modelados de acordo com as Equações 8 e 9,
respectivamente, onde a relação de transmissão é dada por
n = ω1 /ω2 .
TC1 = F (r2 + r(t)) /n
F =
n · TC1
r2 + r(t)
(8)
(9)
Combinando as equações anteriores é possível obter a
equação final para a força aplicada na tira, lembrando que
sua velocidade tangencial é dada por v = ω2 (r2 + r(t)).
F =
J2 (t)
2
J2 dω
dt + ω2 (t) dt
r2 + r(t)
(10)
3. CONTROLE GAIN SCHEDULLING
A técnica de controle Gain Schedulling tem se mostrado
de grande utilidade em aplicações não-lineares [3, 4], onde
é possível citar o controle de vôo [5], o controle de processo
industrial [6] e o controle da suspensão ativa de veículos [7].
4. PROJETO DO CONTROLADOR
Uma vez que o sistema é não linear, o projeto do controlador Gain Schedulling requer a sintonização de controladores lineares em diferentes pontos de operação. No presente caso, esta tarefa foi realizada linearizando o modelo
para cada volta da tira na bobina e sintonizando o controlador
correspondente. Vale ressaltar que, a linearização do sistema para cada volta permite a utilização do parâmetro r(t)
como variável de escalonamento. Uma vez que a espessura
da tira é relativamente pequena, o raio da bobina permanece
aproximadamente constante a cada volta. Dessa forma, este
parâmetro “captura bem” as não-linearidades do sistema e
varia lentamente, respeitando assim as duas premissas básicas para o projeto de controladores Gain Schedulling, apresentadas na seção 3.
O desenvolvimento matemático dos modelos lineares foi
realizado substituindo a Equação 5 pelo valor correspondente a “rt = nvoltas ∗ e” e, posteriormente, representando o
sistema encontrado no Espaço de Estados.
A Figura 3 apresenta o esquema de controlador linear “local” utilizado, onde os estados são x1 = v2 e x2 = v̇2 e a
629
ação de controle é a tensão aplicada no motor. Este controlador foi escolhido por permitir realizar, de forma relativamente simples, a avaliação de controlabilidade e a determinação dos ganhos do controlador para cada ponto de linearização, de forma a obter o mesmo desempenho local desejado
utilizando alocação dos pólos em malha fechada.
Figure 5 – Velocidade linear da tira e visão ampliada do início
do processo.
Figure 3 – Estrutura de controle “local”.
A seguir, um controlador não-linear global baseado nas
Figuras 2 e 3 foi obtido interpolando-se os ganhos dos controladores lineares. A Figura 4 mostra os ganhos k1 , k2 e ki
obtidos por interpolação linear dos ganhos dos controladores
“locais”.
A ação de controle do sistema é apresentada na Figura
6 (a), onde é possível observar que não há picos de tensão
aplicada no motor durante os estágios transitórios.
(a)
(b)
Figure 4 – Variação dos ganhos no controlador Gain
Schedulling.
5. RESULTADOS
Figure 6 – (a) Ação de Controle. (b) Velocidade angular do motor.
O desempenho de controle foi primeiramente analisado
aplicando um sinal variável de referência de velocidade de
bobinamento em diferentes estágios do processo com objetivo de explorar variações de raio, momento de inércia e
torque no sistema. Em todos os testes realizados a tira foi
enrolada com tração constante de 100N e resultaram em 190
voltas na bobina.
A Figura 5 mostra a velocidade tangencial da tira como
referência de controle e a resposta alcançada pelo sistema.
Neste caso, com a sintonia utilizada, foi possível observar
erro em estado estacionário nulo e tempo de assentamento de
aproximadamente 80ms. Notou-se que só existe erro durante
as variações da referência de velocidade. O valor quadrático
médio do erro foi 0,5604 e o erro médio -0,1023.
Uma vez que o raio da bobina aumenta durante o processo
percebe-se, pela Figura 6 (b), uma diminuição gradativa da
velocidade angular do motor conforme esperado.
Nas Figuras 7 (a) e (b) são apresentados, respectivamente,
a variação do raio da bobina incluindo o raio do rolo bobinador e a força aplicada na tira onde nota-se que há variações
apenas quando há mudanças na referência de velocidade, ou
seja, durante acelerações e desacelerações do motor. Nos
demais instantes a força aplicada permanece igual a 100N,
conforme desejado.
O último teste consistiu na inserção de distúrbios de processo traduzidos em variações no torque de carga no motor,
cujo resultado está apresentado na Figura 8. Esse distúrbio
630
(a)
Figure 8 – Teste com distúrbios de processo e visão ampliada do
início da operçação.
(b)
Figure 7 – (a)Raio da Bobina. (b) Força aplicada na tira.
penho dinâmico para toda faixa de operação, ou seja, no
início e no fim do bobinamento. Verificou-se erro em estado estacionário nulo e tempo de assentamento aproximadamente 80ms com a sintonia utilizada. Testes de resposta a
distúrbios também foram realizados e mostraram a capacidade do sistema de controle em recuperar o ponto de operação. Também foi possível observar que, mantendo a velocidade tangencial da bobinadeira constante, a tensão na tira
permanece constante.
AGRADECIMENTOS
consistiu em um ruído de média zero e SNR de 83,25. Notase que, neste caso, o controlador também foi capaz de controlar o processo reagindo aos distúrbios para recuperar o ponto
de operação.
Table 1 – Dados do sistema.
r1
B
m
e
J1
Ra
Kv
= 10 [cm]
r2
= 55 [Nm.s/rad] ρ
= 100 [kg]
d
= 1 [mm]
n
= 0,4 [kg.m2 ]
La
= 67 [mΩ]
Kt
= 1,28
Ktg
= 25 [cm]
= 7800 [kg/m3 ]
= 10 [cm]
=6
= 0,5 [mH]
= 1,28
= 0,468
6. CONCLUSÕES
Este trabalho mostrou que o sistema de controle proposto
é eficaz para aplicação na bobinadeira estudada e pode alcançar um excelente desempenho de controle da velocidade
tangencial da tira, relacionada com o parâmetro de laminação
“tensão a frente” e com a qualidade da tira laminada.
Grande parte do sucesso do projeto deve-se a escolha
da parcela de raio r(t) como variável de escalonamento,
por respeitar as duas premissas básicas do controle Gain
Schedulling. Dessa forma foi possível linearizar o modelo
para cada volta da tira determinando assim os ganhos dos
controladores lineares correspondentes. Por fim, o controlador “global” Gain Schedulling foi projetado utilizando interpolação linear dos ganhos dos controladores “locais”.
Análises de desempenho de controle mostraram que o
controlador proposto alcança praticamente o mesmo desem-
Este trabalho contou com o apoio do Programa de PósGraduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal
do Espírito Santo e do Instituto Federal do Espírito Santo.
REFERENCES
[1] Denti Filho, J., Figueiredo, B. R. e Helman, H., “Modelamento e Simulação do Processo de Bobinamento
na Laminação de tiras para Aplicações de Controle,”
Anais do VII Congreso Latinoamericano de Control
Automático (VII CLCA), pp. 714-719, 1996.
[2] Lima, F., Oliveira Junior, A. A. e Tosetti, J. P. V.,
“Análise e Simulação de um Sistema de Bobinamento
de Tiras de Aço,” IV Encontro de Especialistas em Automação, pp. 155-163, 2000.
[3]'2, Leith, D. and Leithead, W., “Survey of Gain Scheduling Analysis e Design,” International Journal of Control Vol. 73(11), pp. 1001-1025, 2000.
[4]DOI Rugh, W. J. and Shamma, J. S., “Research on
Gain Scheduling,” Automatica Vol. 36, pp. 14011425, 2000.
[5]DOI Stein, G., Hartmann, G. L. and Hendrick, R.
C., “Adaptive Control Laws for F-8 Flight Test,”IEEE, Trans. on Aut. Control Vol. 22, pp. 758-767, 1977.
[6]DOI Doyle, F. J. I., Kwatra, H. S. and Schwaber, J.
S., “Dynamic Gain Scheduled Process Control,” Chemical Engineering Science Vol. 53, pp. 2675-2690, 1998.
[7]DOI Tran, M. N. and Hrovat, D. , “ Application of
Gain Scheduling to Design of Active Suspensions,” San
Antonio, TX, USA pp. 1030-1035, 1993.