TRANSFORMADA Z
A transformada Z (TZ) tem o mesmo papel, para a análise de sinais e sistemas
discretos LTI, que a transformada de Laplace na análise de sinais e sistemas
nos sistemas contínuos do mesmo tipo. Assim como no domínio da
transformada de Laplace (TL), a convolução entre dois sinais o domínio do
tempo corresponde ao produto de suas transformadas no domínio TL, a soma
de convolução no domínio discreto corresponde ao produto de suas
transformadas Z no domínio TZ. Esse procedimento simplifica muito a análise
de sistemas discretos, alem disso a transformada Z permite a carcterização dos
sinais e sistemas LTI em termos dos polos e zeros de suas respectivas
funções de transferências discretas no domínio do plano Z.
DEFINIÇÃO:
A transformada Z de um sinal x(n) é definida como a série de potências:
Onde z é uma variável complexa e pode ser indicada como
.
REGIÃO DE CONVERGÊNCIA:
Como a transformada Z é a soma de uma série geométrica, ou seja a soma
das potências negativas de z, ela deve ser utilizada com parcimônia, já que
pode apresentar não convergência em seu uso, o que caracterizaria
instabilidade do processo representado, assim é fundamental estabelecer as
condições para que a série opere em uma região de convergência (ROC
Region Of Convergence), ou matematicamente:
É fundamental a especificação da ROC para que não hajam ambiguidades no
uso da transformada Z, para dar um exemplo do que se trata, suponha que se
deseje obter a transformada z de
e de
,
as respectivas transformadas são:
1
Pela definição da série geométrica, a mesma converge apenas para a condição
na qual
, ou seja a ROC exige que
ou que
, que
no plano complexo, define uma região no exterior de um círculo de raio , no
plano Z complexo.
No caso do segundo sinal temos,
Fazendo
obtemos:
A ROC para esse caso ocorre na condição
ou que
ocorre no interior do círculo de raio no plano Z complexo.
o que
Conclusões gerais:


A transformada Z de uma sequência discreta, juntamente com sua ROC
define de forma inequívoca a referida sequência, ou seja não é possível
determinar uma transformada Z sem conhecer sua respectiva ROC.
Todas transformadas Z que tem sua forma como uma função racional
em z, podem ser decomposta em termos da forma:
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z:
a) Linearidade
Se
e
então:
Onde a ROC resultante é uma intersecção da ROC1 e da ROC2.
b) Deslocamento temporal
Se
então:
A ROC é mantida.
c) Escalonamento no domínio Z.
Se
, ROC:
, então:
d) Inversão temporal:
Se
então:
2
e) Diferenciação em Z:
Se
então:
Mesma ROC
f) Convolução de duas sequências:
Se
e
então:
g) Correlação de duas sequências:
Se
e
então:
.
h) Multiplicação de das sequências:
Se
e
então:
Onde C é um caminho fechado que contem a origem e se encontra na
ROC comum a
e
.
i) Relação de Parseval:
Se
são sequências complexas, então:
Será vista oportunamente.
j) Teorema do valor inicial:
Se x(n) é causal, ou seja,
para
, então:
TRANSFORMADA Z UNILATERAL:
Se o sinal é causal ,ou seja é nulo para índices temporais negativos, etão:
3
No caso geral, quando se obtém uma transformada Z cujos índices vão de 0 a
diz-se que a mesma é uma transformada Z unilateral
. O limite
inferior é a única diferença, já que é sempre nulo indenpendente do sinal ser ou
não causal (
). Algumas propriedades importantes
associadas a esta transsformada são:
a) Não contem informações sobre
para
.
b) É única apenas para sinais causais.
c) A transformada Z unilateral satisfaz
a função degrau unitário.
d) Como
é causal, a ROC de
é sempre exterior a um círculo de raio
, sendo
e portanto a ROC de
.
Outras propriedades:

Retardo temporal
Se

Avanço temporal
Se

, então:
, então:
Teorema do valor final
Se
, então:
CAUSALIDADE E ESTABILIDADE
Um sistema é estável quando, diante de entradas limitadas (finitas) se obtem
saídas limitas (finitas), que classificamos como um sistema BIBO (Bounded
Input Bounded Output). Utilizando a transformada Z, um sistema é estável no
sentido BIBO quando a transformada Z de sua resposta impulsional apresenta
todos os polos dentro de uma circunferência unitária no palno complexo Z. Esta
característica torna a transformada Z uma ferramenta muito útil na análise de
sistemas discretos.
Para estudar a causalidade de um sistema, a transformada Z também pode ser
utilizada. Assim um sistema é causal se e somente se a ROC de sua
transformada Z para a entrada impulsional,
situa-se no exterior do círculo.
4
CÁLCULO DA TRANSFORMADA Z INVERSA:
A finalidade da transformada Z no processamento digital é a análise de
sistemas lineares do tipo LTI no tempo discreto. A forma de procedimento na
grade maioria dos casos, é passar do domínio temporal para a transformada Z
para a realização de uma operação específica e posteriormente voltar
novamente ao domínio do tempo discreto (ou temporal). Essa operação é
realizada pela determinação da transformada Z inversa (TZI). Existem métodos
mais ou menos formais para a realização desse procedimento, o qual pode ser
definido matematicamente por:
Onde C é qualquer contorno que envolva a origem e se encontra na ROC de
X(z). A integral é realizada em uma circunferência em sentido anti-horário.
Existem três formas básicas para o cálculo da transformada Z inversa:
1) Cálculo direto utilizando a integral de contorno
Sempre que os polos
forem simples. Se
não tiverem polos
dentro do contorno C para um ou mais valores de n, então
para
esses valores.
2) Expansão em uma série de termos em z e z-1.
A idéia é expandir
em uma série de potências da forma:
Que converge na dada ROC . Como a transformada Z é única
. Quando
for racional, a expansão é feita dividindo o
numerador pelo denominador
3) Expansão em frações parciais:
A idéia é apresentar
como uma combinação linear:
5
Onde
são expressões com transformadas Z inversas de
disponíveis em tabelas de pares de transformadas
disponíveis na literatura.
Se a decomposição for possível utilizado a propriedade de linearidade
obtemos:
Esse método é bastante útil se a transformada Z for expressada em uma
forma racional do tipo:
Como as sequências com as quais trabalhamos são quase sempre as
mesmas, os dois últimos métodos são os preferidos por sua facilidade
de operação.
Método de Inspeção:
O método de inspeção consiste no reconhecimento de determinados
padrões utilizando as tabelas de transformadas, como a mostrada
abaixo que é a bastante limitada, mas bastante útil para aplicações
úteis.
Sinal temporal
Transformada Z
ROC
1
Todo o plano Z
Pequena tabela de transformadas Z.
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES SIMPLES:
Em muitas ocasiões a transformada Z inversa não pode
ser encontrada
diretamente através da tabela, uma vez que os padrões da tabela não casam
com a funcional racional encontrada, mas devido a propriedade de linearidade
da transformada, é possível expandir a transformada original de modo a
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expressa-la em conformidade com os padrões definidos nas tabelas de
transformadas.
É possível verificar a seguinte relação entre a transformada Z e os sinais
temporais na ROC.
Pode se verificar existem duas transformada Z para dois tipos diferentes de
sequências temporais, porém as ROCs são diferentes segundo o tipo de sinal
considerado (causal e não causal). Assim, uma transformada Z da forma:
A expressão que define a transformada Z é:
Se compararmos esse somatório com o resultado da divisão obtem-se:
,
,
,
,
,
,
ANALISE DE SISTEMAS LTI UTILIZANDO A TRANSFORMADA Z:
A transformada Z é uma importante ferramenta na análise e representação de
sistemas LTI discretos. Isso ocorre principalmente devido a sua capacidade de
realizar convolução de maneira simples, apenas uma multiplicação dos sinais
em sistemas em convolução. Assim é possível a determinação da saída de um
sistema sem a necessidade de realizar diretamente uma operação de
convolução, mas apenas uma multiplicação no domínio da TZ.
SISTEMAS LTI CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFERENÇAS
LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES:
Uma das principais características da transformada Z é sua substituição prática
da transformada Z nas operações de convolução, que transformam-se em
simples multipicações.
OS SISTEMAS LTI CARACTERIZADOS POR EQUAÇÔES A DIFERENÇAS
COM COEFICIENTES CONSTANTES
7
Os sistemas LTI caracterizados por equações a diferenças com coeficientes
constantes, de forma generalizada, podem ser descritos pela expressão:
Aplicando-se a propriedade de deslocamento no tempo obtemos:
O que define a função de transferência:
Note-se que a função de transferência não traz informação alguma sobre a
ROC. A partir dessa definição estabelece-se os seguintes modelos:

Sistema FIR (media móvel): Se

 O sistema tem M zeros determinados por O sistema tem M
zeros determinados por
e um pólo de
ordem M na origem (
). Esse sistema também é
conhecido como sistema “tudo zero”.
 Esse sistema tem uma resposta de duração finita
(FIR=Finite Impulse Response) o que significa que
para
.
Sistema IIR (autoregressivo): Se
para
, obtemos:

 Esse sistema tem N polos determinados por
e um zero de ordem N na origem (
). Isso torna esse
sistema conhecido como “sistema tudo polos”.
 O sistema tem uma resposta impulsional de duração
infinita (IIR, Infinite Impulse response), o que significa que
para
.
Sistema ARMA. Quando se tem a expressão conjunta
para
temos:
Tem-se um sistema ARMA (Autoregressive Moving Average) que
possui zeros e polos em um sistema do tipo IIR.
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A RESPOSTA EM FREQUENCIA UTILIZANDO A TRANSFORMADA Z
A resposta em frequência de um sistema
pode ser determinada
utilizando a transformada Z substituindo
pela variável complexa
. Assim
uma determinada transformada Z substituindo a variável complexa por
é
definida por:
Onde
e
são os zeros e polos da transformada Z da resposta ao impulso
, a resposta em frequência do sistema é dada por:
Se houver interesse apenas no módulo da resposta em frequência esta
expressão deve ser substituída pela seguinte expressão:
Os termos que aparecem nos diferentes produtos são a distância que existe
entre os zeros/polos e o número complexo
do módulo “1” e da fase
(pontos que definem a circunferência de raio unitário). Esta igualdade permite a
determinação da resposta em frequência de forma intuitiva a partir de seus
polos e zeros.
Um exemplo disso é a eliminação de uma série de frequências
. A
transformada Z desse sistema terá seus zeros em
, onde
é a
frequência de amostragem. Se for desejável determinar a resposta em fase,
com a equação que define
utiliza-se:
OBTENÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS A PARTIR DE SISTEMAS
CONTÍNUOS
Existem numerosos métodos de projeto de controle de sistemas contínuos que
estabelecem a base para os projetos de sistema discretos no tempo.
Denomina-se a transformação de sistemas contínuos em sistema discretos de
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“transformações bilineares invariantes ao impulso” e são bastante utilizadas
nos projetos de filtros digitais, como será visto posteriormente.
O esquema de transformação é o seguinte:
O esquema parte da transformada de Laplace de um determinado sistema
contínuo, a partir do qual é obtida a resposta ao impulso do sistema. A maioria
dos sistema contínuos possui sua função de transferência na forma de um
função racional em . que podem ser sintetizadas pela seguinte expressão:
Cada um desses termos tem uma transformada de Laplace inversa igual a
, assim a resposta ao impulso do sistema contínuo é:
que amostrada com período
fornece:
Calculando a transformada Z deste sinal temporal discreto utilizando a
conceituação ou uma tabela de transformadas, obtemos:
Ou por caminho direto entre as transformadas:
10
OBTENÇÃO DE ESTRUTURAS DIGITAIS
Os sistemas digitais podem ser configurados basicamente em sistemas em
cascata ou sistema em paralelo, o que pode ser feito através da transforma Z
sem maiores problemas.
A relação que vincula a entrada a saída de um sistema no domínio da
transformada Z é:
Sendo que
pode estar disposta de diferentes formas, as quais podem ser:
Que no primeiro caso seria algo do tipo:
Que conduz a transformada Z inversa:
Onde
é a transformada inversa de
. Esta expressão indica
que a saída do sistema é uma soma das saídas de uma série de sistemas uma
vez que existe uma estrutura em paralelo. No segundo caso, a estrutura está
conectada em cascata onde certamente deverá se levar em conta os atrasos e
possíveis situações de saturação e não-linearidades disso decorrentes.
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EXERCÍCIOS SOBRE TRANSFORMADAS Z
ETZ1) Determine a transformada inversa de
, aplicando:
a) Diferenciação no domínio Z.
b) Desenvolvimento em série de potências
c) Divisão direta
ETZ2) Determine a transformada inversa de
propiedade de diferenciação direta.
utilizando a
ETZ3) Um sistema é excitado por uma entrada degrau discreta
dada por
, determinar:
, a saída é
a) A resposta ao impulso do sistema.
b) As condições imposta a para que o sistema seja estável.
c) Discuta a causalidade do sistema.
ETZ4) Projetar um sistema digital causal, que excitado pela entrada
elimine as duas primeiras componentes e deixe
a terceira inalterada salvo por uma determinada defasagem e a partir desse
projeto, determinar:
a) A resposta ao impulso do sistema.
b) A saída do sistema quando
.
ETZ5) Determinar a transformada Z inversa de
utilizando:
a) Série de potências
b) Diferenciação no domínio Z.
ETZ6) A série ou sequência de Fibonacci é bastante utilizada em economia e
vem definida da seguinte forma: Dados dois termos iniciais quaisquer, o termo
n’ésimo é definido como a soma de seus dois termos anteriores (n-1) e (n-2).
Utilize a transformada Z para determinar a expressão geral (sem recorrências)
de um termo dessa série considerando os dois primeiros termos iguais a
unidade.
ETZ7) Determinar a resposta ao impulso do sistema causal definido or:
ETZ8) Implementar utilizando o menor número possível, o sistema digital
equivalente a sistema contínuo definido pela seguinte transformada de Laplace:
12
Com uma frequência de amostragem
ETZ9) Determine a transformada Z da sequência temporal
.
com
ETZ10) Dados os diagramas de blocos mostrados na figura abaixo, com as
sequências:
ETZ11) Implemente um sistema digital causal, utilizando o menor número de
retardos cuja resposta impulsional seja correspondente ao seguinte oscilador:
ETZ12) Dado o sistema de equações a diferenças acopladas
Determinar:
a) A relação existente, em termos de equações a diferenças, entre y(n) e
x(n).
b) A resposta ao impulso do sistema
que define a relação entre as
entradas.
ETZ13) Um sistema bastante empregado em processamento digital de sinais é
conhecido como prémediador móvel e é definido pela seguinte equações a
diferenças:
Que realiza uma pré mediação dos últimos N pontos de uma sequência.
13
a) Determinar um sistema recursivo equivalente desse prémediador.
b) Comente, em virtude da posição dos polos e zeros do sistema, a
resposta em frequência (magnitude) desse sistema.
ETZ14) Determine a correlação cruzada dos sinais
e
utilizando a transformada Z e sabendo que se cumpre a relação
ETZ15) Dada a transformada Z da resposta ao impulso de um sistema causal
Determine a resposta ao impulso.
ETZ16) Dado uma sistema definido por
que tem polos
e
e com um par de zeros na origem , determinar a saída do sistema
em estado estacionário quando a entrada é:
Utilizando a transformada Z e a resposta em frequência do sistema.
ETZ17) Determine a saída de um sistema cuja resposta ao impulso unitário é
quando a entrada é:
ETZ18) Um sistema causal é definido pelas seguintes equações a diferenças:
a) Determinar a equação a diferenças entre
.
b) Discuta a estabilidade do sistema.
c) Determine a saída de regime quando a entrada é:
EZT19) Dois sistemas possuem funções de transferências discretas
e
tal que para toda entrada
nas topologias apresentadas abaixo,
ocorre a saída
a) As respostas impulsionais
b) A estabilidade dos sistemas.
. Determinar:
e
14
.
ETZ20) Implemente um sistema digital, utilizando o menor número de tempos
de retardos tal que o ganho máximo seja 10 na frequência
e deixe o
resto das frequências inalteradas. (
.
ETZ21) Determine um sinal discreto que dá lugar para a seguinte transformada
Z.
ETZ22) Um sistema causal tem transformada Z tal que, sua resposta ao
impulso apresenta os polos e zeros mostrados na figura abaixo. Determinar a
resposta desse sistema assim com esboce sua resposta em frequência.
ETZ23) Dado o sistema definido por:
Determinar sua resposta ao impulso.Qual será a saída do sistema se sua
entrada for
?
ETZ24) Dado o sistema definido pela função de transferência
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Determinar:
a) Os polos e zeros do sistema.
b) Esboce o módulo da resposta em frequência do sistema para a entrada
Com
determinar a saída de estado estacionário do sistema para a
entrada especificada.
c) Determinar o valor mínimo de D se esse sistema for utilizado para
eliminar a interferência de ruído de rede (60Hz) em um sistema de
eletrocardiografia. (
).
ETZ25) Projetar um sistema para eletrocardiografia de forma que elimine a
componente contínua e a componente de 60Hz, alternando o menos possível o
restante das componentes de frequência do ECG. Implemente o sistema
utilizando o menor número de retardos e frequência de amostragem de 300 Hz.
ETZ26) Um sistema causal LTI tem saída dada por
e entrada
dada por
Determinar sua função de transferência, o diagrama de polos e zeros e indique
qual o tipo de filtro o sistema realiza.
ETZ27) Um sistema estável de segunda ordem tem uma resposta ao impulso
dada por
. Se a entrada do sistema é uma
sequência exponencial complexa do tipo
, determinar a função
de transferência do sistema e a saída para a entrada especificada. Obtenha a
saída em regime estacionário para o caso particular dado por
,
,
e
16
,