VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
Resoluções das Atividades
Sumário
Capítulo 1 – Arcos e ângulos na circunferência.................................................. 1
Capítulo 2 – Unidades de medida de arcos e ângulos....................................... 3
Capítulo 3 – Trigonometria no triângulo retângulo............................................ 5
Capítulo 4 – Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.................................................. 7
Capítulo 1 Arcos e ângulos na circunferência
Atividades para Sala
100º + 140º + 2a = 360º
140º
Portanto,
B
α
A
2a = 360º – 240º
A
2a = 120º
α
0
(2α)
C
70º
∴ a = 60º
D
2a
C
B
40º
A
Temos a circunferência a seguir, de diâmetro AC .
50º
100º
04 a)
B
03 D
Denominamos a o ângulo que desejamos determinar
 ). Assim, analisando os arcos representados na
( CBD
figura, verificamos que:
01 B
Lembrando a propriedade do ângulo inscrito:
Capítulo 5 – O sistema trigonométrico e o estudo da circunferência
trigonométrica................................................................................ 9
Capítulo 6 – Relações trigonométricas I – Seno e cosseno de um arco
trigonométrico.............................................................................. 11
Capítulo 7 – Relações trigonométricas II – Secante e cossecante de um arco
trigonométrico.............................................................................. 12
5º
x
50º
2
y
O
D
E
y − 50 o
⇒ y − 50 o = 80 o ⇒ y = 130 o
2
50 o + y
x=
⇒ x = 90 o
2
40 o =
'B
B
130º
D
130º
50º
25º
A
⇒
C
A
65º
P
C
b)
a
N
90º
90º
A
60º
02 A
Lembrando:
α
⇒ α=
C
− AB
ACB
2
05 D
B
A
0
47º
b
a
B
I.
a−b
= 47º ⇒ a − b = 94º
2
II. Como sabemos que a + b = 360º, temos o sistema:
a + b = 360 o
+

a − b = 94º
2a = 454º
a = 227º
M
120º
A
0
210 o − 150 o
2
60 o
α=
2
α = 30 o
α=
B
900 360
720 2,5
1800
1 volta → 360o
x → 900o
↓
2 voltas e meia
Atividades Propostas
01 B
 = a, teremos a seguinte distribuição:
Sendo AOB

Como COD = 60º, então:
B
3α = 60º
α = 20º
A
α
C
2α
2α
α
α + 2α
O
b = 133º
1a Série – Ensino Médio | 1
D
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
 corresponde a um arco de 60º.
02 Se CD = R, então CD
60º
C
60º 60º
R
D
R
α
A
B
100º
100 o + 60 o
2
α = 80 o
α=
θ=
 + DE
 40 o + 40 o
HG
=
= 40 o
2
2
O ângulo γ também tem seu vértice no interior, então:
γ=
 + BD
 80 o + 80 o
GE
=
= 80 o
2
2
O único ângulo que não pode ser obtido é 30º.
α
A
O
y
–
–
60
AB
= 30 o
α=
= 15o ⇒ AB
2x
O ângulo θ tem seu vértice no interior da circunferência:
07 D
E
03 B
120 o
= 60 o
2
60
β=
A
2
AED
+ AB
210 o
BAD
⇒
=
= 105o
β=
=
2
2
2
2y
60
º
60º
C
B
R
O ângulo β é um ângulo inscrito:
D
B
β
B
x
E
2y
2x
60º
C
04 D
C
60º
α
A
60º
O
B
β
60º
 =α
BAD
 =β
COB
60
Temos que:
(2y – 60) + (2x – 60) + 60 = 360
2x + 2y = 360 + 60
2x + 2y = 420
x + y = 210o
β = 120º
α = 30º
C
05 E
08 I.
o
 = 360
I. AB
6
 = 60 o
AB
A
II.
o
 = 360 II. CD
180º – α
4
 = 90 o
CD
B
α
D
40º
a
D
40º
α
80º
40º
C
B
C
40º
40º
θ
β
G
40º
B
H
A
o
40º
40º
y = 55o
360
= 40 o, pois cada corda cujo tama9
nho equivalha à corda AB é lado do eneágono.
I
x = 105o
09 C
Cada arco mede
2x = 210
C
α = 105o
40º A
x−y
= 25
2
x − y = 50
x − y = 50
 + CD

AB
2
60 o + 90 o
180 o − α =
2
180 o − α = 75o
x+y
= 80
2
x + y = 160
III. x + y = 160
III. 180 o − α =
06 B
D
40º
F
D
γ
40º
40º
E
Com os prolongamentos dos lados HB e FC , obtemos o
ângulo α:
α=
 − BC
 80 o − 40 o
FH
=
= 20 o
2
2
2 | 1a Série – Ensino Médio
 . Logo, se

 é arco tanto de BAD
como de BCD
BD
o
o
o



BAD = 40 , BD = 80 e BCD = 40 . Assim, como CD é
 = 40, AC
 = 80 o , já que
 B = 80 e ABC
uma bissetriz, ACD
AB = AC. Por fim, temos que em ∆ABC:
α + 80 + 80 = 180
α = 180 – 160
α = 20o
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
10 A
2b
Calculando:
rad
graus
2π360o
y
2,25
D
A
d
q
2a
a
C
b
2q
B
c) A medida de um ângulo em radianos é dada pelo comprimento do arco correspondente no círculo trigonométrico (cujo raio é 1).
Observe:
rad
graus
2p
360°
360
⇒ x=
2π
1
x
x ≅ 57,32°
 + AC

2α + 2β 2 ⋅ ( α + β )
AB
= α+β
=δ⇒
=
2
2
2
Unidades de medida de arcos e
Capítulo 2 ângulos
Atividades para Sala
01 a) π
3π
−x
5
b)
c)
180
7π
⋅ 180
x= 8
π
1260
= x = 157, 5o
x=
8
c) x =
180
:45
=
2π · x = 360 · 0,105
37, 8
x=
⇒ x = 6 (aproximadamente) 2π
b)Observe:
15 1
= = 0, 25o
15' =
60 4
Assim: 2o15' = 2o + 15' = 2o+ 0,25o
Então = 2o15' = 2,25o
π
12
Assim, temos:
π

a − b = 12
(Somando-se as equações do sistema)

a + b = 7π

4
3π
4
graus
03 a)rad
2π360o
0,105 x
180 o −−− π
x=
510 π 17π
=
180
6
135 π :45
12
15o −−− x
12x = π
180o
200
200 π 10 π
=
x=
180
9
Como a resposta pedida é em radianos, temos da equação (I).
1
x = 1200
b) x =
o
Organizando os dados em um sistema, temos:
a − b = 15o
(I)


7π
rad (II)
a + b =
4

20
π ⋅ 180
x= 3
π
02 a) π
x
04 C
x
3π
⋅ 180
x= 5
= 108o
π
360y = 2π · 2,25
180y = π · 2,25
2, 25π
π
⇒ y = rad ≅ 0, 039
y=
180
80
π 7π
+
12 4
π + 21π
2a =
12
22π
22π 11π
=
2a =
⇒a=
12
24
12
2a =
7π
−a
4
7π 11π
b=
−
4
12
21π − 11π 10 π 5π
=
=
b=
12
12
6
b=
π
05 Ângulo central a = 30º ou rad . Aplicamos a relação
6
 = α · R.
π
π ⋅ 25
⋅ 50 ⇒  =
6
3
3,14 ⋅ 25
=
⇒  = 26,16m
3
=
1a Série – Ensino Médio | 3
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
N < 2,5 · 3,14
N < 7,85
II)Como N é um número de fatias, ele deve ser um
número natural, sendo 7 o maior valor.
III)2π – (0,8 · 7)
6,28 – 5,6 = 0,68
Atividades Propostas
01 a) π −−− 180 o
5π
−−− x
4
5π
180 o ⋅
4
x=
π
180 ⋅ 5
x=
= 225o
4
b) x =
180 o ⋅
π
180 ⋅ 7
x=
6
x = 210 o
c)
x=
180 o ⋅
π
11π
6
x = 330 o
07 B
B
60
o
7π
6
20
A
5
 = (360 − 60 ) de 2πr ⇒ 300 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 20
AB
360
6 360
 = 100m
AB
20000
20000m
⋅T
; temos : 100 =
3600
3600s
360000
T=
= 18s
20000
Como V =
7
b)
⋅ 360 = 252o
10
252π 7π
x=
=
180
5
2
02 a) ⋅ 360 = 144 o
5
Logo, 180 −−− π
144 −−− x
144 π 4 π
x=
=
180
5
08 15 
5  x 15
 =
x 10 5
γ= 
10 
11
12
1
10
2
9
b
3
a
8
4
7
6
5
O relógio pode ser representado da
maneira como mostra a figura. Para
calcular o ângulo entre os ponteiros,
devemos, então, considerar o
ângulo b e o a, referente ao ângulo
provocado pelo movimento do
ponteiro das horas em relação ao
algarismo 3.
x = 30cm
Note que, entre dois algarismos consecutivos, o ângulo é
360º
= 30º . Assim, b = 60º e a = 15º (metade de
30º, pois
12
uma hora = metade do ângulo).
04 B
π
Convertido a radianos, o ângulo central é rad .
3

Assim, α =
e  = α ⋅r
r
π
Logo,  = ⋅ 6 = 3,14 ⋅ 2 = 6, 28
3
5
102.610 ⋅ 3,1416
x=
648.000
0,4972 rad
06 C
2π
I) N <
0, 8
4 | 1a Série – Ensino Médio
x
D
09 5, 25 
2, 5  
 = 2,1 ⇒  = 12, 6cm

6
θ=
6 
θ=
l
q
6cm
10 2,5
cm
12, 6
6
θ = 2,1 rad
θ=
π
rad
2
2π rad
90 o =
05 E
I) π rad → 648.000"
II)28º30'10" → (28 · 3600) + (30 · 60) + 10"
100.800 + 1.800 + 10 = 102.610
III)π ––––– 648.000
x ––––– 102.610
15
B
m
5c
Teremos, então: ângulo entre os ponteiro = a + b
A
γ
5,2
C
10
γ=
03 C
20m
20
20m
x rad
x=
a) No sentido horário: ∆ϕ = −
360 o
90 o
π
rad
2
π
rad
2
 π
 3,14 
Distância = 0, 50 ⋅  −  = 0, 50 ⋅  −
 = −0, 78m
 2

2 
4 
4 4
x  =
 x 5
16
γ =  x = 5cm
20 
γ=
b)
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
Trigonometria no triângulo
Capítulo 3 retângulo
05 I.
Atividades para Sala
0m
10
x
01 a) cos 28 = = 0, 88 ⇒ x = 3, 52
4
2x
= 0, 46 ⇒ x = 1, 38
b) sen28o =
6
x +1
= 0, 53 ⇒ x = 5, 36
c ) tg28o =
12
x
o
45o
x
x
100
02 E
= sen45o ⇒
2
x
=
⇒ x = 50 2m
100
2
II.
A
x
x
2m
x
h
= 0, 961 ⇒ h = 7, 688cm
8
x
o
2
b) cos 74 = = 0, 276 ⇒ x = 4, 416cm
8
a) sen74 o =
x
x
B
C
Atividades Propostas
30o
6x
01 A
2
3
=
6x
3
6
3
x=
.
6 3
3
tg 30 o =
x=
I.
cosα =
B
3
3
x 3
= ⇒ x = 6cm
10 5
Soma dos catetos = 6 + 8 = 14cm
03 a)
10cm
8cm
N
α
60o
II.
senB = b/a
45o
A
A
x
C
1200m
B
02 C
N
sen30 o =
b)
x
03 D
60o
A
45o
1200 – x
tg 60 o =
x 1
= ⇒ x = 4km
8 2
B
x
x
= 3 ⇒ x = 1200 3 − x 3
1200 − x
(
)
x=
1200 3
m
1+ 3
x 1 + 3 = 1200 3
04 B
cos60 o =
100 1
= ⇒ x = 200m
x
2
04 D
x
P
30o
30o
x
Q
sen60 o =
1,2m
15m
100
60o
30o
R
100
x
3
=
⇒ x = 50 3m
100
2
S
x
3
=
⇒ x ≅ 8, 65
15
3
x + 1, 2 ≅ 9, 86m
tg 30 o =
1a Série – Ensino Médio | 5
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
II. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
05 B
( 3)
r2 = (r – 1)2 +
m
c
24
x+4
2
⇒ r 2 = r 2 − 2r + 1 + 3 ⇒ r = 2
III.Se r = 2, então temos o triângulo:
30o
3
F
x+4 1
= ⇒ 2x = 24 − 8 ⇒ x = 8
24
2
Altura do sup orte = x + 3 = 11cm
B
1
2
06 D
x
= 3⇒
104
,
03
− 103, 5
⇒ x = 0, 53 ⋅ 1, 73 = 0, 9169km = 916, 9m
O
tg 60 o =
IV.Como o triângulo AOB é isósceles, então OF é bissetriz, mediana, altura e mediatriz. Assim, se α = 60º,
 = 120 o . Isso quer dizer que a área do setor
então AOB
07 E
circular é
Observe a figura:
πr 2 π ⋅ 4
.
=
3
3
09 A
Q
y
I. Podemos representar o enunciado da questão pela
figura a seguir:
b
θ
E
B
Bissetriz
x
θ
P
3
⇒ α = 60 o
2
senα =
sen 30 o =
θ
θ
A
a
01
r
R
r
02
R
(R – r)
R
r
Destacando o triângulo hachurado na figura, temos:
02
• Do triângulo APE, temos:
a
a
1
⇒x=
⇒ x =a⋅
cos θ
x
cos θ
⇒ x = a ⋅ sec θ
cos θ =
r+
• Do triângulo BEQ, temos:
1
b
b
⇒y=
⇒y=b⋅
⇒
y
sen θ
sen θ
⇒ y = b ⋅ cossec θ
Como PQ = x + y, então PQ = a · secq + b · cossecq
Lembrando:
R −r
⇒ (R + r ) ⋅ sen θ = R − r ⇒
R+r
⇒ R ⋅ sen θ + r ⋅ sen θ = R − r ⇒
⇒ r sen θ + r = R − R sen θ ⇒ r( sen θ + 1) = R(1 − sen θ) ⇒
R(1 − sen θ)
⇒r =
1 + sen θ
sen θ =
II. Observe que:
08 C
(R – r)
θ
01
sen θ =
R
• DC é tangente do arco, então é perpendicular ao raio.
d
• AB será corda, então F é ponto médio de AB .
1,85
I. Observe a figura:
1
3
A
C
1
3
0,15
45o
1,85m
B
F
d
(r – 1)
d
r
x
D
45o
α
O
6 | 1a Série – Ensino Médio
45o
2 = 1,85 + 0,15
45o
2
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
cos45o =
Lei dos Senos e Lei dos
2
d
Capítulo 4 Cossenos
2 2
=
d
2
Atividades para Sala
d 2 =4⇒ d=
4
2
01 C
Aplicando a Lei dos Senos:
Portanto:
2
16
 4 
d2 + 20 = 
+ 20 =
+ 20 = 28
 2 
2
2
1
α
2α
10 A
Dada a figura a seguir:
2
1
=
sen 2α sen α
A
sen2α = 2 ⋅ senα
D
y
B
2 senα ⋅ cos α = 2 senα
x
30o
60o
cos α =
C
a
Chamando o lado BC (que é comum aos dois triângulos)
de a, temos:
A
I.
2
⇒ α = 45o
2
02 B
Aplicando a Lei dos Senos:
x
d
=
sen α sen [180 o − (α + β )]
dsen α
x=
sen(α + β )
β
y
L
tg 60 o =
x
y
y
⇒a=
a
3
d
β
o
0
18
α
a
–(
)
+b
x
L
60o
B
C
a
03 A
Considere a figura:
D
II.
A
x
B
30o
a
tg 30 o =
x
3 x
3x
⇒
= ⇒a=
a
3
a
3
3
C
60°
P
x
2
M
2
1
B
III.Igualando as expressões I e II, temos:
y
3x
=
⇒ y = 3x
3
3
IV. Se y – x = 4 3 , então 3x – x = 4 3 ⇒ 2x = 4 3 ⇒
⇒x= 2 3
y=6 3
V. Assim, x + y = 6 3 + 2 3 = 8 3
C
 é 60º.
I.Se ∆ABC é equilátero, o ângulo A
II.Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo APM,
temos:
x2 = 32 + 22 – 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ cos60º
1
x2 = 9 + 4 – 2 ⋅ 6 ⋅
2
2
x
=
13
–
6
x= 7
III.Como queremos o perímetro de APM, temos:
P=3+2+ 7 = 5+ 7
1a Série – Ensino Médio | 7
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
04 B
02 C
A
Aplicando a Lei dos Cossenos:
A
4
B
C
75o
45o
x2 = 52 + 82 – 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos120º
 1
x = 25 + 64 – 80 ⋅  − 
 2
x2 = 89 + 40
x
4
=
sen45º sen30º
x ⋅ sen30º = 4 ⋅ sen45º
x
5
2
30o
x
120o
x2 = 129
60o
x = 129
x ≅ 11km
1
2
=4⋅
2
2
4 2 ⋅
1 ⋅
8
x=
2
x=
8
B
05 x⋅
L
2
2
03 D
12
6
= 2R ⇒
=R
sen 60 o
3
2
12
⇒ R=4 3
3R = 12 ⇒ R =
3
I. Observe a figura:
B
θ
3
2
3
Atividades Propostas
01 C
Para um triângulo inscrito em uma circunferência vale a lei:
a
b
c
=
=
= 2r
 senB
 senC

senA
2
3
2q
D
A
3
 é externo do ∆BCD, assim ele é a soma
• O ângulo ADB
dos internos não adjacentes. Então, temos que o
ângulo C 
BD = θ.
A
II. O triângulo BCD é isósceles, pois temos dois ângulos
congruentes.
III.Para a área do triângulo BCD, temos:
b
c
120o
θ
C
C
a
A=
B
3
2 3 ⋅ 2 3 ⋅ sen120 o
3
⇒A= 6 ⋅
⇒A=3 3
2
2
04 B
a
I. Temos o triângulo a seguir:
b
α
A
c
I. 3a = 7c
b
c
C
B
a
7c
a=
3
a + b + c = 20x
+ senB + senC
=x
senA
Aplicando a Lei dos Cossenos:
a2 = b2 + c2 – 2bc · cosα
2
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
a
b
c
=
=
= 2r ⇒
 senB
 senC

senA
a+b+c
20 x
⇒
= 2r ⇒
= 2r ⇒ r = 10



x
senA + senB + senC
II. A = πr2 ⇒ A = π ⋅ 102 ⇒ A = 100π
8 | 1a Série – Ensino Médio
II. 3b = 8c
8c
b=
3
2
8c
 7c 
 8c 
2
⋅ c ⋅ cosα
  =   + c − 2 ⋅
3
3
3
49c 2 64c 2
16c 2
=
+ c2 −
⋅ cos α
9
9
3
49c 2 = 64c 2 + 9c 2 − 48c 2 ⋅ cos α
48 c 2 ⋅ cos α = 24 c 2 , c ≠ 0
24
cos α =
48
1
cos α = ⇒ α = 60º
2
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
05 Sendo α o ângulo agudo do paralelogramo, teremos:
5
5
10 A
x2 = 25 – 9
6
4
4
4
k
4
5
5
I.6 = 4 + 5 – 2 · 4 · 5cosα
36 = 16 + 25 – 40cosα
40cosα = 5
5
cos α =
40
1
cos α =
8
2
2
2
3
y2 = 82 + 42
y2 = 64 + 16
2
(
2o – 4 5
1
= 46
8
06 C
135o
135
12
x
45o
B
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo ACD, temos:
12
2x ⋅ a
x
=
⇒
⇒ x = 12 2 µ.c
o
o
2
sen135
sen30
5
(4 5 )
o
o
01 a) 478 360 ⇒ 2o quadrante
o
(118 ) 1
o
o
b) − 4249 360 ⇒ 1o quadrante
( −289o ) 11
6 2
2
= 2 ⋅ 6 ⇒ sen α =
⇒ α = 45o
sen α
2
08 D
c) −7436
x2 = a2 + a2 – 2a2cos120º
360 o ⇒ 2o quadrante
( −236 ) 20
o
o
d) 10.112 360 ⇒ 1o quadrante
09 B
25π
= 1125o ⇒ 1o quadrante
4
17π
b)
= 382o30 ’ ⇒ 1o quadrante
8
213π
c)
= 4260 o ⇒ 4o quadrante
9
−14 π
= −840 o ⇒ 3o quadrante
d)
3
B
3cm
60o
A
x
3cm
C
o
x = 3 + 4 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ cos 60
1
x 2 = 9 + 16 − 24 ⋅
2
x 2 − 13 → x = 13
2
2
28
02 a)
x = 3a2 = a 3
I.
o
o
(32o )
x2 = 2a2 + a2
5
θ
Atividades para Sala
C
07 C
= 52 + 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ cos θ
O sistema trigonométrico e o estudo da
circunferência trigonométrica
D
30o
o
2
Capítulo 5
Considere a figura a seguir:
A
)
4
8
80 = 50 − 50 cos θ
50 cos θ = −30
3
cos θ = −
5
2
k 2 = 41 + 40 ⋅
y
y2 = 80
y= 4 5
II.k = 5 + 4 – 2 ⋅ 5 ⋅ 4cos(180º – α)
k2 = 25 + 16 + 40cosα
2
x
x=4
180 – α
α
5
x2 = 16
5
1o –x2 + 32 = 52
2
II. 62 = 4 2 + 52 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ cos ϕ 36 = 16 + 25 − 40 cos ϕ
40 cos ϕ = 5
1
cos ϕ = = 0,125
8
03 a)360º ÷ 8 = 45º
A = 0º, B = 45º, C = 90º, D = 135º, E = 180º, F = 225º,
G = 270º, H = 315º.
b)360º ÷ 6 = 60º
A = 0º (0)
B = 60º   3
 4π 
E = 240º  
 3
C = 120º 
 2π 
 3
 5π 
F = 300º  
 3
 π
D = 180º (π)
1a Série – Ensino Médio | 9
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
04 a) L = 135o ; M = 225o ; N = 315o
04 I. 1a DN =
b) P = 60 ; M = 240 ; N = 300
c) P = 35o ; L = 145o ; N = 325o
o
o
o
π
7π
11π
;M=
;N=
6
6
6
2π
4π
5π
e) L =
;M=
;N=
3
3
3
π
3π
5π
f) P = ; L =
;M=
4
4
4
d) P =
−8π
−8π
− 2kπ ,k ∈ Z
⇒ expressão geral =
5
5
II. a)
π
4
O
05 I.a) 80 o + 360 o ⋅ K ; k ∈ Z
4π
+ 2kπ ; k ∈ Z
3
c) 300 o + 360 o ⋅ K ; k ∈ Z
b)
b)
–240
O
–60
II.
C
−2650 o 360 o
−130 o 7
III.
III.
E
−1425 360
o
( −345o )
o
220°
–140°
Maior:
2p · 12 –––––––– 360º
x –––––––– 240º
⇒
3 24 π
=
⇒ x = 16πcm
2
x
Menor:
2p · 6 –––––––– 2prad
16p –––––––– y
320°
–40°
05 E
01 E
40°
–320°
360° − 345° = 15°
3
Atividades Propostas
140°
–220°
130 π 7π
7π
⇒ 1a DP
+
= 26π +
5
5
5
06 135s = 2min e 15s
60min ______ 360o
⇒y=
4
16 π ⋅ 2 π
8π
⇒
rad
12
π
3
3
1
6
2min ______ x ⇒ 60 = 360 ⇒ x = 12o
x
2
3600s ______ 360o
02 M = 70º; N = 160º; P = 250º; Q = 340º
10
03 a)7392o 360 o ⇒ 20 voltas
3o quadrante
(192o ) 20
o
o
b) −4000 360 ⇒ 11 voltas
4o quadrante
( −40 o ) 11
Logo, 135s correspondem a 13º30’.
e) −675 360 ⇒ 1 volta
360 1
1o quadrante
( −315)
10 | 1a Série – Ensino Médio
=
360
⇒ y = 1, 5o = 1o30 ’
y
07 C
17π
o
c) 3 rad = 1020º 360 ⇒ 2 voltas
−720º 2
4o quadrante
300º
−3060 360 ⇒ 8 voltas
−2880 8
( −180 )
1
d)
2
3600
15s ________ y ⇒
15 3
7π
= 630 o que possui 1a DP = 270
2
Assim,
7π
− α ∈ 3o quadrante.
2
08 D
29π 28π π
π
=
+ = 4 π + ⇒ 1a DP
7
7
7
7
09 B
100 ⋅ 2 ⋅ 3,14 ⋅
1
= 314m
2
10 330º + 360º · k, k ∈ Z
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
Capítulo 6
03 sen
Relações trigonométricas I –
Seno e cosseno de um arco trigonométrico
3
2
06 I. Pela condição dada, temos:
13 π
5π
π − 2
b) sen
= sen
= − sen =
4
4
4
2
5π
17π
π − 3
c ) sen
= − sen =
= sen
3
3
2
3
−1
2
4π
5π
ou x =
3
3
02 A = sen45º − 3senπ +
sen 270 o
2 1 2 2 −1
=
− =
4
2 4
4
03 Pela condição dada, temos:
cos x =
π
3
=
6π − π
3
=
5π
3
cos x = –1 torna 3 – cosx o maior possível:
1
1
=
3 − ( −1) 4
1 3
⋅
o
o
04 cos 300 ⋅ cos 30 = 2 2 = 3 ⋅ 2 ⋅
o
cos 45
4
2
2
2
2
2
05  − 3 + 3  ⋅ 1 = 3 − 3
 2 2
2


Atividades Propostas
01 3 ⋅
=
6
4
09 B
−a2 + ( a − b ) + 2ab −a2 + a2 − 2ab + b2 + 2ab
2 =
=1
b
b2
2
10 I. B
2x 2 − 3
−1 ≤
≤ 1 ⇒ −5 ≤ 2x 2 − 3 ≤ 5 ⇒ −2 ≤ 2x 2 ≤ 8 ⇒
5
–1 ≤ x2 ≤ 4
(I)
1
3
2
11+ 6 3 + 2 2
+6⋅
+2⋅
+ 4 ⋅ 1=
2
2
2
2
II)
c) sen(–720°) = – sen720° = 0
2
cos315 =
d)
2
e)cos400π = cos0 = 1
f)
cos(–2700) = cos180 = –1
(II)
I. x + 1 ≥ 0 ⇒ ∀x ∈ R
2
II. x 2 − 4 ≤ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2
III. ∩ (II) ⇒ −2 ≤ x ≤ 2
02 a) senπ = 0
2
sen315° = − sen45º = −
b)
2
5
4k − 13
4k − 13
⇒ −1 ≤
≤ 1⇒ ≤ k ≤ 4
3
3
2
senx =
2 − 4
3
2 − 4
−1 ≤
≤ 1 ⇒ −3 ≤ 2 − 4 ≤ 3 ⇒
3
−1
5
−5 ≤ −4 ≤ 1 ⇒
≤≤
4
4
08 A
3
2π −
sen4397° = sen77°
sen(10°) = – sen10°
Portanto, temos:
P = (+) · (–) · (+) · (–) = + (Positivo)
II) D
cos x =
1
2
 π 5π 
S= ,

3 3 
4397° 360°
4320° 12
77°
07 C
π
x ∈ [0 ,2 π ]
p = sen10° · sen211° · sen4397° · sen(–10°)
d) sen( −150 o ) = sen210 o = − sen30 o =
II. x =
04 x = 90o ou x = –270o ⇒ Soma = –180º ou –πrad
3
3
 1 1 
⋅
 −  ⋅ +  1+
2 2 
2  2
= −1
05 N =
3 
3 1
 1
−
⋅
−
1
+
⋅
 
2
2 
2  2
Atividades para Sala
01 I. a) sen420 o = sen60 o =
7π
3π
π
< senπ = sen 0 = sen2π < sen
< sen
4
2
6
x
Soma = x + 2π – x = 2π
0
2π – x
1a Série – Ensino Médio | 11
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
Atividades Propostas
Capítulo 7
Relações trigonométricas II –
Secante e cossecante de um arco trigonométrico
Atividades para Sala
01 a)tg900° = tg180° = 0
900° 360°
720° 2
180°
b) tg(–540°) = – tg540° = – tg180° = 0
01 Pela condição dada, temos:
a) tg
π
3
7π
= tg =
6
6
3
b) tg
5π
π
= − tg = − 3
3
3
c) tg
π
9π
= tg = 1
4
4
540° 360°
360° 1
180°
c) tg1500° = tg60° = 3
1500° 360°
1440° 4
60°
d) tg
d) tg240° = tg60° = 3
780° 360°
720° 2
60°
e) tg( −315°) = − tg315° = −( − tg45°) = tg45° = 1
02 a) tg70 o > tg760 o
f) tg120° = − tg60° = − 3
g) tg150° = − tg30° = −
3
⋅
3
(
3
3
(
)
d) tg −160 o > tg128o
b) tg 21 > tg −21
o
o
c ) tg129o < tg 217o
)
e) tg 0 = tg400 π
o
f ) tg
20 π
< tg −16o
3
(
)
x
x
03 a) f   = 1 + tg
2
2
π
π π
π
b) g   = ⇒ f   = 1 + tg = 2
4
2 4
4
h) tg( −300°) = − tg300° = −( − tg60°) = tg60° = 3
02 a) R = 2 ⋅
60°
13 π
= tg780° = tg60° = 3
3
3 − 2 ⋅ 1= 0 ∴R ⋅ S = 0
3
−1
+
cos120 o + sen60 o
3 −1 2
2
2
b)
⋅
=
=
=
4 cos 30 o + tg60 o
2
4 3
6 3
+ 3
2
3 −1 3 3 − 3
⋅
=
18
6 3
3
2
04 tg x = 3tg x ⇒ tg x = 0 ⇒ x = 0 ou x = π
π
4π
ou tg x = 3 ⇒ x =
ou x =
3
3
π 4π
5π 8π
Soma = 0 + π + +
=π+
=
rad
3
3
3 3
05 B
03 D
π
2
α
3
3
sen 300 o ⋅ cos 30 o − 2 ⋅ 2
3
M=
=
=−
tg 45o
1
4
b
p
0
cos β < cos α ⇒ sec β > sec α
06 a)
1

04  2 + 

2
 2
 5  2−4
⋅
− 2 = ⋅ 
 = 1, 25 ⋅
 2
 2  2 
3
+1
05 sen120 o − cos180 o
2
=
=
tg30 o
3
3
3 +2 3
3 3+2 3
⋅
⋅
=
2
2
3
3
12 | 1a Série – Ensino Médio
(
2 −4
)
y=
cos 360 o + 2tg45o − sen180 o
1+ 2 − 0
=
=3
cot g90 o ⋅ cossec 90 o + sec 720 o
1
b) Pela condição dada, temos:
 − π 3π 
x ∈ ,
 2 2 
2k − 1
sec x =
k
k
⇒ cos x ∈[ −1,1]
cos x =
2k − 1
k
−1 ≤
≤1
2k − 1
k
k
ou
≤1
−1 ≤
2k − 1
2k − 1
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
k
+ 1≥ 0
2k − 1
k + 2k − 1
≥0
2k − 1
3k − 1
≥0
2k − 1
k
− 1≤ 0
2k − 1
k − 2k + 1
≤0
2k − 1
−k + 1
≤0
2k − 1
ou
−k + 1 = 0 ∴ k = 1
3k − 1 = 0
3k = 1∴ k =
1
3
2k − 1 = 0 ∴ 2k = 1 ∴ k =
2k − 1 = 0
+
1
2k = 1 ∴ k =
2
–
–
1
–
+
1
3
–
+ + + +
1
2
+ +
+ + + +
1
2
1
2
+
–
1
1
2
+ +
1
3
–
1
2
+ + +
S = {x ∈ R / x ≤
07 1
1
1
ou x > ou x < ou x > 1}
3
2
2
4
2
7
= ⇒ 6k − 2 = 12 ⇒ k =
3k − 1 3
3
 3

3
3
3
, 3 ⇒
< tgx < 3 ⇒
<
< 3⇒
08 tgx ∈ 
3
3 m+1
 3

1
1
<
< 1⇒ 3 > m + 1 > 1⇒ 2 > m > 0 ∴ 0 < m < 2
3 m+1
09 Pela condição dada, temos:
1
cotg x = −5 ∴ tg x = −
5
x ∈[ −4 π; 4 π ]
Note que: no intervalo – 4π a 4π, damos 4 voltas no ciclo.
Como a cada volta temos duas raízes, ao todo temos 8 raízes.
2
10 3m − 1 = 2 ⇒ 3m2 − 8m − 1 = 0 ⇒ m = 4 ± 19
4m
3
1a Série – Ensino Médio | 13
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
Resoluções de ENEM e Vestibulares
 = 45º ⇒ CD
 = 90º. Observe que
Como CAD
90º
+
110º
b + 123 = 360º ⇒ b = 160º.
200º
Aplicando as relações métricas na circunferência,
01 E
12
3
b
a
15 Horas e 20 minutos
123
60min — 30º
⇒ 60b = 20 · 30 ⇒ b = 10º
20min — b
Observe na figura que:
a + b = 30º ⇒ a + 10º = 30º ⇒ a = 20º
p
Como 180º = prd ⇒ 20º =
9
05 A
a + 85º + 70º = 180º ⇒ a = 25º ⇒ C 
BD = 25º
140º
A
40º
123
02 C
Como faltam 20 minutos para o meio-dia, são 11 horas e
40 minutos.
60min — 30º
⇒ 60 b = 40 · 30 ⇒ b = 20º
20min — b
Sendo a o menor ângulo formado, observe na figura
que:
a = b + 60º + 30º ⇒ a = 20º + 90º ⇒ a = 110º
E
D
4
2m
D
45º
2n
m
n
65º
C
90º
60º
30º
8
03 D
85º
06 A
b
B
C
12
11
a
70º
B
20º
85º
º
200º −160º
⇒ α = 20º ⇒ A PD = 20º
2
130
α=
4
2m + 2n + 130º + 90º = 360º ⇒
⇒ 2m + 2n = 140º ⇒ m + n = 70º
07 A
5
5
5
de uma volta é
de 360º ⇒
· 360º = 300º
6
6
6
R
Como existem 18 cadeiras, entre elas formam-se ângulos
de 360º ÷ 18 = 20º.
Logo, 300 ÷ 20 = 15 (décima quinta cadeira posicionada
sob a letra P quando se percorre o perímetro da circunferência no sentido anti-horário).
a
0
T
S
04 B
b
2a
Observe que b = 2a.
Então:
A
B
110º
45º
a
b
C
D
90º
3x + 42º = 2 · 5x ⇒ 10x - 3x = 42º ⇒
7x = 42º ⇒ x = 6º
Logo:
123
P
a = 5 · 6º ⇒ a = 30º
b = 3 · 6º + 42º ⇒ b = 60º
ou
b = 2a ⇒ b = 2 · 30º ⇒ b = 60º
1a Série – Ensino Médio | 1
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
08 B
14 E
Aplicando a Lei dos Cossenos, tem-se:
x2 = 3202 + 3602 – 2 · 320 · 360 · cosx ⇒
45º
x2 = 102.400 + 129.600 – 230.400 · 0,934 ⇒
28 · 32 · 93,4 ⇒
x2 = 232.000 – 123
90º
x
70º
≅ 215.100
35º
x = 232.000 – 215.100 ⇒ x2 = 169.000 ⇒
2
90º +70º
160º
x
⇒x=
⇒ x = 80º
2
2
09 D
B
100m
x = 130km.
Velocidade média = Vm =
t = tempo.
Logo, Vm
A
37º
x
, em que x = espaço e
t
130 km 130 km
60
=
= 130 ⋅
= 600km/h.
13
13 min
13
h
60
Sendai
l
32
m
360k
a
10 A
Tóquio
100m
B

cos 30”=
⇒
100
3

=
⇒
2
100
 = 50 3 m
C
0m
30º
10
l
30º
rio
30º
60º 30º
A
11 C
y
y
⇒ 3=
⇒
100
100
y = 100 3 metros.
C
tg 60º =
y
A
Como cos45º =
0º
15
B
1000
, temos que:
x
Obs.:
2 ≅ 1, 4142...
O
L
R=
80 3
m
3
2 | 1a Série – Ensino Médio
m
160º
10º
30º
C
B (barco)
16 D
Aplicando do a Lei dos Senos, tem-se:
S
x
45º
P2
1000m
P1
13 B
Aplicando a Lei dos Senos, tem-se:
200
x
x 200
=
⇒ =
⇒
1
sen 30º sen 45º
2
2
2
200
⇒ x 2 = 200 ⇒ x =
⇒ x = 100 2 m
2
A
C
5º
A
60º
R
10
0
0m
80
80
2R ⇒
= 2R ⇒
sen60o
3
2
3
80
2R ⋅
= 80 ⇒ R =
⇒
2
3
40º
60º
A
N
2 1000
=
⇒ x 2 = 1000 ⇒
x
2
x = 1000 2 ⇒
x ≅ 1414 metros.
30
x
100m
12 C
Seja P2B = x.
º
º
20
60º
20
15 B
Aplicando a Lei dos Senos no ∆ABD, temos:
160
x
=
⇒
sen 150º sen 20o
160
x
=
⇒ 0, 342 x = 80 ⇒ x ≅ 233, 91812 ⇒
1 0, 342
2
x ≅ 234 metros.
D
80m
B
º
Epicentro
0k
C


tg 37º =
⇒ 0, 75 =
⇒  = 75 m
100
100
30
m
x
C
x
º
45
B
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
22 A
17 D
1
1
1
=
= = −2
o
o
1
cos240
cos60
2
5p 
53p
 48p 5p 

cos
= cos 
+  = cos  16p +  =
 3

3
3
3
4380º 360º
sec1320 o = sec 240 o =
cos
5p 1
=
3
2
(tg2220 ) = (tg 60 ) = ( 3 )
o 2
2
o 2
=3
Então:
sec 1320 o
 53p 
- 2 cos 
+ tg2220 o
 3 
2
-2
1
− 2x + 3 = −1 − 1+ 3 = 1
2
2
(
)
2
=
18 E
4555º 360º ⇒ 4555º ≅ 235º ∈3o quadrante.
(235º) 12
4195o 360º ⇒ 4195o ≅ 235º ∈ 3o quadrante.
(235º)
(60º)
sen (– 4380º) = sen (– 60º) = sen 300º = −
2
Para x =
π
, temos que:
2
π
=1
2
π
1
1
 x
cotg   = cotg =
= =1
 2
4 tg π
1
4
cos 2n = cos π = −1
sen
 x
tg   = tg π 4 = 1
 2
1
1
π
cossec x = cossec =
= = 1.
π
2 sen
1
2
1
1
sec4x = sec 2π =
= = 1.
cos 2π 1
 x
senx + 2 ⋅ cotg   − cos 2x
1 + 2 ⋅ 1 − ( −1)
 2
Então:
=
=
1⋅ 1 + 1
 x
tg   ⋅ cossec x + sec 4 x
 2
1+ 2 + 1 4
= =2
1+ 1
2
5 ⋅ cos 90o − 4 ⋅ cos 180o 5 ⋅ 0 − 4 ⋅ ( −1)
0+4
4
=
=
=
= −1
2 ⋅ sen 270o − 2 ⋅ sen 90o 2 ⋅ ( −1) − 2 ⋅ 1 −2 − 2 −4
4π
1
1
=
=
= −2
4
π
1
3
cos
−
3
2
5π
1
1
cossec
=
=
= −2
5π
1
6
sen
−
6
2
5π
4π
sen 2π − sec
− cossec
= 0 − ( −2) − ( −2) =
3
6
= 2+2 = 4
sec
20 C
21 D
= −1 + 3 = 2
25 A
Logo, sen 2340º = sen 180º = 0.
sen2 270º − cos 180º + sen 90º ( −1) − ( −1) + 1
=
=
tg2 45º
12
1+ 1+ 1 3
= =3
1
1
 86 π 
 11π 
 1
Então: 2 ⋅ cos 
− 3 ⋅ tg 
= 2 ⋅  −  − 3 ⋅ ( −1) =
 3 
 4 
 2
24 B
(180º) 6
3
2
23 C
86π 84 π 2π
2π 2π
=
+
= 28π +
=
⇒
3
3
3
3
3
1
 86π 
 2π 
⇒ cos 
= cos   = −
 3 
 3
2
3π 3π
11π 8π 3π
=
+
= 2π +
=
⇒
4
4
4
4
4
 11π 
 3π 
⇒ tg 
= tg   = −1
 4 
 4
11
o
Logo, 4555º ≅ 4195º ≅ 235º ∈3 quadrante.
19 C
2340º 360º ⇒ 4555º ≅ 2340 ≅ 180º
12
26 B
Sendo a a expressão geral pedida, temos que:
3π 2kπ
+
⇒
4
2
3π
⇒α=
+ kπ, com k ∈ .
4
α=
3p
4
7p
4
27 A
2π 
2π
3
 8π 
 6π 2π 

+
sen   = sen 
=
 = sen  2π +
 = sen
 3
 3
3
3
3
2
(
)
cos 5π = cos 4 π + π = cos π = −1
3
π
 13π 
 12π π 

= tg 
+  = tg  25 +  = tg π 6 =
tg 
 6 
 6

3
6
6


 8π 
3
3
+1
− ( −1)
sen  3  − cos 5π 


2
2
Então:
=
=
=
 13π 
3
3
tg 
 6 
3
3
3 +2 3
3 +2
3+2 3
⋅
=
⋅ 3=
2
2
2
3
1a Série – Ensino Médio | 3
VOLUME 1 | TRIGONOMETRIA
28 B
senx
2π
, para x =
.
cosx
3
senx
D = sen2 x + 2senx ⋅ cosx + cos2 x +
cos x
D = 1 + sen2x + tgx
D = (senx + cosx ) +
2
4π
2π
+ tg
3
3

3
D = 1+  −
+ − 3
 2 
D = 1 + sen
(
)
3
− 3
2
2− 3 −2 3
2−3 3
D=
⇒D=
2
2
D = 1−
4 | 1a Série – Ensino Médio