CAP. I - Precisão finita: Exercı́cios
1. Utilizando o MatLab, desenvolva um algoritmo que lhe permita fazer a conversão de um número
introduzido na base decimal para um número na base binária.
2. Utilizando a implementação efectuada, obtenha as representações binárias dos números (176)10 ,
(0.5)10 e (2.3)10 . Compare os seus resultados com os que são dados quando se utiliza a função
pré-definida do MatLab dec2bin.
3. Utilizando o MatLab, desenvolva um algoritmo que lhe permita fazer a conversão de um número
introduzido na base binária para um número na base decimal.
4. Utilizando a implementação efectuada, obtenha as representações, obtenha as representações decimais dos seguintes números: (101001)2 , (101.011)2 , (0.110001)2 e (0.11111111)2 . Compare os
resultados obtidos com os que se obtém utilizando a função pré-definida do MatLab bin2dec.
5. Desenvolva uma função no MatLab que lhe permita efectuar a soma de três números reais, a, b e
c, por forma a visualizar o output dessa soma. Utilizando essa função, efectue a soma dos seguintes
números:
i) a = 0.08, b = −0.5, c = 0.42;
ii) a = 0.08, b = 0.42, c = −0.5;
iii) a = 0.42, b = −0.5, c = 0.08;
Comente os resultados obtidos. Como os justifica?
6. Sejam x = 1.1 e y = 100.1. Calcule os erros absolutos e relativos absolutos que se cometem ao
considerar xa = 1 e ya = 100.
7. Represente os números que se seguem numa aritmética de quatro dı́gitos com arredondamento e
indique o respectivo erro cometido em cada uma das aproximações:
a) α = 20631
b) β = 684.37
c) γ = 0.026522
d) ω = 0.0000082
e) ξ = 9.3594
f) δ = 102.96
g) ε = 20630000
h) λ = 300025
i) σ = 10.0298
j) η = 0.56095
k) θ = 0.0021094
l) µ = 20.003
1
8. Determinar aproximações com cinco algarismos significativos dos seguintes números:
a) x = 38.46235;
b) y = 2.57325;
c) z = 0.00731235;
d) w = 0.80049.
9. Sabendo que 1.75 e 7.346 foram obtidos por arredondamento, indique intervalos que contenham os
possı́veis valores exactos;
10. Para cada um dos pares (x, xa ), determine o erro absoluto, |e (xa )|, e o erro relativo absoluto,
|eR (xa )|:
a) x = 0.6931471806 e
b) x = 98.350 e
c) x = 0.000068 e
xa = 0.69315;
xa = 98.000;
xa = 0.00006.
Indique o número de algarismos significativos para cada uma das aproximações xa .
11. Na determinação do valor da constante N obteve-se o valor aproximado, Na = 29.25, com uma
percentagem de erro inferior ou igual a 10. Determine os limites entre os quais N deve estar
compreendido.
12. Sejam x, y e z três quantidades exactas. Por arredondamento obtiveram-se as seguintes aproximações: xa = 0.231 × 103 , ya = 0.231 × 102 e za = 0.23147 × 102 .
a) Calcule limites superiores para o erro absoluto que afecta cada uma das aproximações;
b) Determine limites superiores para o erro relativo absoluto em cada uma das aproximações e
diga quantos algarismos significativos possui cada uma delas. Compare os resultados obtidos
e comente-os.
13. As propriedades associativa e distributiva da aritmética usual não são válidas em aritmética finita.
Utilizando uma aritmética de três algarismos significativos, verifique através dos valores a = 4.26,
b = 5.04 e c = 9.24, que (a + b) + c 6= a + (b + c) e que (a + b) × c 6= (a × c) + (b × c).
14. Calcule, em aritmética exacta e em aritmética de três algarismos significativos, o valor das seguintes
expressões:
a) 0.404 + 0.0404 + 0.00404 + 0.000404;
b) 0.000404 + 0.00404 + 0.0404 + 0.404.
15. Mostre que:
a) Para |eR (xa )| ≪ 1 e |eR (ya )| ≪ 1:
i. eR (xa ya ) ∼
= eR (xa ) + eR (ya );
xa ∼
ii. eR
= eR (xa ) − eR (ya ) .
ya
b) Se |eR (xa )| ≤ 0.5 × 10−m, então a aproximação xa tem pelo menos m algarismos significativos.
2
16. Determine as expressões gerais da propagação do erro para cada uma das funções que se seguem:
a) y = xn ;
b) y = ln (x) , com x > 0;
c) y = log10 (x) , com x > 0;
d) y = ax , com a > 0;
1
2
, com x 6= 0.
f) y = sin
x
e) y = xx , com x > 0;
17. O raio de uma circunferência é, aproximadamente por arredondamento, 9.8 cm. Calcule aproximações para o perı́metro e para a área da circunferência, supondo que 3.141592 é o valor exacto
de π. Obtenha uma estimativa para o majorante do erro absoluto que se comete em cada uma das
aproximações.
18. Um rectângulo mede 19 ± 0.2 cm de largura e 31 ± 0.5 cm de comprimento.
a) Determine uma estimativa do valor da área deste rectângulo e calcule uma estimativa do limite
superior do erro absoluto para o valor aproximado obtido.
b) Indique o intervalo a que pertence o valor exacto da área do rectângulo.
19.
∗
Considere a seguinte figura geométrica,
d
h
Admitindo que h = 3 ± 0.2 cm e que d = 5 ± 0.3 cm, estime o valor da área do rectângulo e diga
quantos algarismos significativos pode garantir para a aproximação obtida.
20. Um construtor civil comprou um terreno para habitação à Câmara Municipal com uma área de
aproximadamente 150 × 200 m2 . Na medição de cada um dos lados do terreno, comprimento e
largura, tolerou-se um erro de ±5 cm por cada 10 m.
Calcule a percentagem máxima de erro de que vem afectado o valor da área do terreno, devido ao
facto dos seus lados não terem sido medidos exactamente.
21. A reactância de um condensador é dada pela expressão
Xc =
1
,
2π f c
onde Xc = reactância capacitiva (Ω), f = frequência (Hz) e c = capacidade. Estime o erro absoluto
máximo para o valor aproximado de Xc , quando tomamos f = 400 ± 1 Hz, c = 10−7 ± 10% e
πa = 3.14, obtido por arredondamento.
∗ Exame
de Época de Recurso, Matemática, 2005/2006
3
22. Dois lados de um triângulo medem, aproximadamente por arredondamento, aa = 485.24 cm e
ba = 415.08 cm, e o ângulo entre eles, digamos θ, mede cerca de 47o 25′ 10′′ . Possuindo o valor de
θa um erro absoluto que não excede 10′′ , determine um majorante para o erro absoluto da área do
1
triângulo, sabendo que a fórmula para obter o valor dessa área pode ser A = a b sin (θ).
2
23. Dada a função
y (θ, β, x) = cos (2θ) tan (β) − exp (x) sin (θ) ,
determine um majorante para o erro absoluto, quando obtemos o valor da função no ponto
(θa , βa , xa ) = (30o , 59o , 2.11), sabendo que |e (θa )| ≤ 15′ , |e (βa )| ≤ 30′ e considerando o valor
de xa convenientemente arredondado.
24. Considere a seguinte figura,
h
b
b
b
l
Admitindo que, h ≈ 2852 cm, l ≈ 7124 cm e que por cada 100 cm medidos se admite um erro absoluto
máximo de 1 mm, estime o valor da área do rectângulo e diga quantos algarismos significativos
garante para a aproximação.
25. Seja θ = 0.5αβ 2 . Determine o limite superior para o erro relativo absoluto de θ, sabendo simplesmente que as aproximações para α e β estão igualmente afectados por percentagens de erro
não-superiores a 1%.
26.
†
Considere a seguinte função
w = log2
x4 y 3
z2
.
Admita que xa = 2.14, ya = 3.17 e za = 4.1 são valores obtidos por conveniente arredondamento
de x, y e z, respectivamente.
a) Determine uma aproximação para w, wa , e o majorante para o erro absoluto admissı́vel nessa
aproximação. Quantos algarismos significativos garante para wa ?
b) Caso se pretenda obter uma aproximação para w com 6 algarismos significativos, quais os
máximos de erro admissı́veis para as aproximações em xa , ya e za ?
† Exame
de Época Normal, ESI, 2005/2006
4
27. Pretende-se medir a área do trapézio que se segue com um erro absoluto não superior a 0.5 m.
ℓ1
h
ℓ2
Admitindo que ℓ1 ≈ 3 m, ℓ2 ≈ 5 m e que h ≈ 1.4 m, diga quais os erros absolutos máximos que se
podem cometer em cada uma das medidas para os lados e para a altura, por forma a que se obtenha
o resultado pretendido.
28. Quando uma partı́cula se desloca, fazendo um ângulo α com a linha de acção da força que lhe
provocou o movimento, o trabalho realizado pela partı́cula é traduzido através da fórmula
ω = f cos (α) d,
onde d = distância percorrida pela partı́cula, que é medida em metros, f = força exercida sobre a
partı́cula, a qual é medida em gramas força, e ω = trabalho realizado, que é medido em Joules.
Realizou-se uma experiência em que se efectuaram as seguintes medições, d = 20 m ± 10 cm,
π
f = 4, 5 ± 0.05 grf, e α = , considerando o valor de π com 3 algarismos significativos.
4
a) Qual a percentagem máxima de erro cometida no cálculo do trabalho realizado pela partı́cula?
b) Quais os erros absolutos máximos que podemos admitir nas grandezas medidas para que o
erro absoluto que afecta o valor calculado para o trabalho não seja superior a 0.6?
29.
‡
Considere a seguinte função
z
f (x, y, z) = z 2 sin (x) − .
y
π
e
, z =
e que o valor exacto de y é 2.15, determine a precisão com que
3
2
se devem conhecer os dados do problema para que a função possa ser calculada com 3 algarismos
Admitindo que x =
significativos.
30. Considere Xa = 0.937, uma aproximação para X, com três algarismos significativos.
a) Determine um majorante para o erro relativo absoluto que se comete em Xa ;
√
b) Seja f (x) = 1 − x. Qual o número de condição da função f no ponto Xa ?
‡ Exame
de Época Normal, Matemática, 2005/2006
5
c) Determine um majorante do erro relativo absoluto de f (Xa ) em relação a f (X).
31. Para as funções que se seguem, indique o intervalo de valores possı́veis para x, por forma a que se
verifique a relação cond (f (x)) ≤ 10:
10
,
1 − x2
√
b) f (x) = x + 1;
a) f (x) =
c) f (x) =
x 6= ±1;
ex
.
x
32. Sejam x1 = 0.0043787 e x2 = 0.0043783 (valores exactos). Calcule y = x1 − x2 numa aritmética de
quatro algarismos significativos, e determine o erro e o erro relativo que afectam esse cálculo.
33. Considere a seguinte função
√
√ x+1− x .
f (x) = x
a) Para x = 10k , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, calcule os valores de f (x) e de f l (x), sendo os valores de
f l (x) obtidos num computador com aritmética de seis algarismos significativos;
b) Encontre uma expressão equivalente a f (x) que lhe permita obter melhores resultados no seu
cálculo.
34. Pretende-se obter o valor da função f (x) = 1−cos (x) para valores de x muito pequenos, |x| ≤ 10−3 ,
por exemplo. O cálculo da função pela expressão dada conduz a uma perda significativa de precisão,
porquê? Encontre uma fórmula alternativa, equivalente, que evite esta dificuldade.
35. O cancelamento subtractivo, em determinadas situações, pode ser evitado através do rearranjo dos
termos da função, usando identidades conhecidas da Análise Matemática e/ou da Álgebra. Encontre
fórmulas equivalentes para cada uma das seguintes funções que evitem o cancelamento subtractivo.
a) f (x) = ln (x + 1) − ln x, para valores de x grandes;
√
b) g (x) = x2 + 1 − x, para valores de x grandes;
c) h (x) = cos2 (x) − sin2 (x) , para x ≈ π/4;
r
1 + cos (x)
d) l (x) =
, para x ≈ π.
2
36. § Pretende-se calcular uma aproximação para o valor de
β=
√
2−1
6
utilizando uma aritmética de 3 algarismos significativos.
§ Prova
Suplementar, ESI, 2005/2006
6
,
(1)
a) Prove que, o valor de β pode também ser obtido através de uma das expressões que se seguem,
1
√
6
2+1
ou
1
√ .
99 + 70 2
(2)
(3)
b) Qual das expressões (1), (2) ou (3) é a mais adequada para obter uma aproximação para o
valor de β? Justifique. Com base na justificação dada, aproxime o valor de β com a máxima
precisão possı́vel.
37. Dada a equação x2 + 0.4002x + 0.00008 = 0. Encontre, utilizando uma aritmética de quatro
algarismos significativos, as duas raı́zes da equações, com a maior precisão possı́vel.
38. Utilize uma aritmética finita de quatro algarismos significativos para obter as duas soluções da
seguinte equação,
x2 + 0.7341x + 0.6000 × 10−4 = 0.
a) Utilizando a fórmula resolvente para ambas as raı́zes;
b) Prove que, se x1 e x2 são as duas soluções da equação do segundo grau
ax2 + bx + c = 0,
então verifica-se a seguinte relação x1 x2 =
c
;
a
c) Com base na relação provada na alı́nea anterior, obtenha uma nova, e melhor, aproximação,
para a raiz que na alı́nea a) possuia menor precisão.
7