PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
LMAC - 1o Sem. 1998/99
Justique todas as respostas
Exame 2a Época: 99.02.26
Duração do Exame: 3h
I - 5 val.
Uma urna contém bolas azuis e/ou bolas brancas, num total de K bolas. Em cada instante,
uma bola escolhida ao acaso é retirada da urna. Se a bola retirada for azul, é colocada
novamente na urna; se for branca, é substituída por uma bola azul retirada de um saco com
bolas azuis. Seja Xn o número de bola azuis na urna depois de a operação anterior ter sido
efectuada n vezes, n ≥ 0, e µn = E[Xn ]. Para 0 ≤ i, j ≤ K , dena-se:
Tij = inf{n ≥ 0 : Xn = j | X0 = i}.
(a) Derive a recursão:
(1.5)
µn+1 = (1 − 1/K) µn + 1, n ≥ 0,
que implica, em particular, que:
µn = K − (1 − 1/K)n [K − µ0 ].
(b) Justique que, para 0 ≤ i < K ,
(1.5)
E[Ti,i+1 ] = (1 − i/K)−1 .
(c) Calcule, para 0 ≤ i < K , E[Ti,K ].
(1.0)
(d) Será que existe uma distribuição limite para Xn ? Em caso armativo, determine-a.
(1.0)
II - 5 val.
Uma máquina produz artigos segundo um processo de Poisson {N (t), t ≥ 0} de taxa λ.
Ao ser embalado, cada artigo é, independentemente dos restantes, sujeito a um choque cuja
intensidade possui distribuição G, sendo que um choque de intensidade x provoca um prejuízo
no valor de c(x) euros.
Seja, para t ≥ 0, C(t) o prejuízo total respeitante a choques sofridos durante a embalagem
pelos artigos produzidos no intervalo [0, t].
(a) Diga se {C(t), t ≥ 0}, possui incrementos independentes, se possui incrementos estacionários e se é um processo de Poisson.
(2.0)
(b) Se um choque de intensidade superior a I provocar a destruição do artigo, determine
a distribuição do instante de produção do primeiro artigo destruído.
(1.5)
(c) Designando por A(u) a idade do processo {N (t)} no instante u, e usando uma equação
de tipo renovamento, calcule o valor esperado limite de A2 (u).
(1.5)
III - 5 val.
As nanças anuais da Casa do Dámouro podem ser modeladas por uma cadeia de Markov
com espaço de estados {0, 1, 2} (0 - falência; 1 - quase-falência; 2 - solvência) com matriz de
probabilidades de transição


0
0
1

P=
 0.5 0.25 0.25 
0.5 0.25 0.25
sendo que a transição que ocorre após ser atingido o estado de falência se deve à injecção de
dinheiro que o Estado efectua na Casa do Dámouro.
(a) A cadeia de Markov descrita é irredutível? É aperiódica?
(1.5)
(b) Determine o número esperado de anos que decorre entre injecções de dinheiro pelo
Estado.
(2.0)
(c) Partindo do estado de solvência, calcule a probabilidade de não demorar mais de três
anos a ocorrer a primeira injecção de dinheiro pelo Estado.
(1.5)
IV - 5 val.
Considere uma fábrica com 2 máquinas idênticas e 2 técnicos de reparação com igual ritmo
de trabalho. As máquinas funcionam durante períodos com distribuição Exp(λ), os tempos que demoram a ser reparadas possuem distribuição Exp(µ) e os sucessivos tempos de
funcionamento e de reparação são independentes.
Considere que, para t ≥ 0, X(t) representa o número de máquinas avariadas no instante t.
(a) Justique que {X(t), t ≥ 0} é uma cadeia de Markov e obtenha a respectiva matriz
geradora innitesimal Q.
(2.0)
(b) Diga se {X(t), t ≥ 0} é reversível no tempo e calcule as distribuições limite de
{X(t), t ≥ 0} e da respectiva cadeia de Markov em tempo invertido.
(1.5)
(c) Calcule a fracção de tempo a longo prazo que cada um dos técnicos de reparação está
ocupado (assuma que estes repartem equitativamente o trabalho de reparação).
(1.5)