Exercícios – Princípios de Modelagem Matemática
Modelagem Matemática e Computacional
Prof.
José Geraldo
(Dated: 05 de maio de 2014)
Questões
1. Quando uma viga vibra, sua frequência natural de oscilação ω, depende da densidade
de massa ρ, do módulo de elasticidade E, do seu comprimento l, de sua profundidade
h, e da área de sua seção reta A. Um protótipo de uma viga de aço é construído usandose material plástico, que tem densidade dez vezes menor que a do aço e módulo de
elasticidade mil vezes menor. Todos os comprimentos do protótipo são reduzidos em
uma escala 1:5 em relação ao modelo da viga de aço. Como as frequências naturais de
vibração do modelo de viga de aço e do protótipo se relacionam?
2. Use o teorema π de Buckingham para obter a relação entre o comprimento de uma
corda inextensível l que está conectada a um corpo de massa m que gira sobre uma
mesa sem atrito com velocidade angular constante ω e a tensão T na corda.
Adjutório: A velocidade angular é uma grandeza que mede a taxa de variação temporal
do ângulo descrito por um corpo em um movimento de rotação.
3. Use o teorema π de Buckingham para obter o número de Weber, We , que é uma quantidade adimensional usada em mecânica dos fluidos para relacionar a tensão superficial,
σ, que tem dimensão de força/comprimento, a velocidade do fluido, v, sua densidade
volumétrica de massa, ρ, e um comprimento característico, lc .
4. Um pêndulo oscila mergulhado em um fluido viscoso. Use o teorema π de Buckingham
para obter as relações entre as variáveis do pêndulo, dadas na tabela I, a viscosidade
do fluido, µ, a densidade do fluido, ρ, e o diâmetro do pêndulo, d.
Adjutório:
A viscosidade de um fluido tem dimensão de massa/(comprimento
×tempo).
5. A luminosidade (ou potência irradiada), L, de uma estrela é definida como a energia
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Quantidades derivadas
Dimensão
Comprimento do pêndulo, l
L
Massa do pêndulo, m
M
Aceleração da gravidade, g
L/T²
Tensão máxima na corda, Tmax
ML/T²
Período de oscilação, τ
T
Tabela I: As grandezas físicas associadas ao movimento do pêndulo.
luminosa que ela irradia por unidade de tempo e depende, basicamente, da temperatura
em sua superfície e do seu tamanho. Para determinar a luminosidade de uma estrela,
considera-se que a estrela irradia, aproximadamente, como um corpo negro. Deste
modo, a luminosidade de uma estrela é diretamente proporcional a T 4 , onde T é a
temperatura em sua superfície e diretamente proporcional à sua área superficial.
(a) Qual é a razão entre a luminosidade das estrelas abaixo e a luminosidade do Sol
(em geral, indicada por L )?
Nota: a temperatura na superfície do Sol é, aproximadamente, 6000 K.
i. Betelgeuse (α Orionis, supergigante vermelha) que tem raio 1000 vezes maior
que o raio do Sol e cuja temperatura superficial é 3000 K.
ii. Rigel (β Orionis, supergigante azul) que tem raio 74 vezes maior que o raio
do Sol e cuja temperatura superficial é 12000 K.
(b) O brilho de uma estrela é medido tanto por sua magnitude aparente, m, que é um
grandeza adimensional que indica o brilho da estrela vista por um observador da
Terra, quanto por sua magnitude absoluta, M , grandeza também adimensional
que indica o brilho da estrela vista por um observador colocado a uma distância
de 10 parsec da estrela (um parsec corresponde a 3,26 anos-luz ou 30, 9 × 1015 m).
Betelgeuse e Rigel possuem, aproximadamente, a mesma magnitude aparente.
Com base em suas respostas no item (b), qual destas estrelas tem a maior magnitude absoluta? Qual delas está mais distante da Terra (a intensidade luminosa
observada cai com o inverso do quadrado da distância)?
6. Texto (retirado de KAHNEMAN, D. Rápido e Devagar: Duas Formas de Pensar.
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Rio de Janeiro: Objetiva, 2012.)
A lei dos pequenos números
Um estudo da incidência de câncer renal nos 3.141 condados dos Estados Unidos revela
um padrão notável. Os condados onde a incidência de câncer renal é menor são na
maior parte rurais, esparsamente povoados e localizados em estados tradicionalmente
republicanos no Meio-Oeste, no Sul e no Oeste. Que conclusão você tira disso?
Sua mente ficou bastante ativa nos últimos segundos e foi principalmente uma operação do Sistema 2[1]. Você deliberadamente procurou na memória e formulou hipóteses.
Algum esforço esteve envolvido; suas pupilas se dilataram e seus batimentos cardíacos
aumentaram de modo mensurável. Mas o Sistema 1 não ficou ocioso: a operação do
Sistema 2 dependia de fatos e sugestões recuperados da memória associativa. Você
provavelmente rejeitou a ideia de que políticos republicanos proporcionam proteção
contra o câncer renal. Muito provavelmente, acabou se concentrando no fato de que
os condados com baixa incidência de câncer são na maior parte rurais. Os perspicazes
estatísticos Howard Wainer e Harris Zwerling, de quem peguei esse exemplo, comentaram: “É tão fácil quanto tentador inferir que os baixos índices de câncer dos condados
estão diretamente ligados ao modo de vida puro do meio rural — livre da poluição do
ar, da poluição da água, com acesso a alimento fresco e sem aditivos.” Isso faz perfeito
sentido.
Agora considere os condados em que a incidência de câncer de rim é mais elevada.
Esses condados atingidos tendem a ser na maior parte rurais, esparsamente povoados
e localizados em estados tradicionalmente republicanos no Meio-Oeste, no Sul e no
Oeste. Ironicamente, Wainer e Zwerling comentam: “É fácil inferir que suas elevadas
taxas de câncer podem ser diretamente devidas à pobreza do estilo de vida rural —
sem acesso a bons cuidados médicos, com dieta rica em gorduras, excesso de álcool e
tabaco.” Alguma coisa está errada, é claro. O estilo de vida rural não pode explicar
ao mesmo tempo uma incidência muito alta e muito baixa de câncer renal.
O fato-chave não é que os condados sejam rurais ou predominantemente republicanos.
É que condados rurais têm populações pequenas. E a principal lição a ser aprendida
não é sobre epidemiologia, mas sobre o difícil relacionamento entre nossas mentes e
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estatísticas. O Sistema 1 é altamente proficiente numa forma de pensamento — automaticamente e sem esforço ele identifica ligações causais entre eventos, às vezes mesmo
quando a ligação é espúria. Quando recebeu a informação sobre elevada incidência,
você imediatamente presumiu que esses condados são diferentes de outros condados
por um motivo, que deve haver uma causa que explique a diferença. Como veremos,
contudo, o Sistema 1 é inepto quando confrontado com fatos “meramente estatísticos”,
que mudam a probabilidade de resultados, mas não faz com que aconteçam.
Um evento aleatório, por definição, não se presta a explicação, mas grupos de eventos
aleatórios de fato se comportam de modo altamente regular. Imagine uma grande urna
cheia de bolas de gude. Metade das bolas são vermelhas, metade, brancas. A seguir,
imagine uma pessoa muito paciente (ou um robô) que cegamente tira quatro bolinhas
da urna, registra o número de bolas vermelhas na amostra, joga as bolas de volta na
urna e faz isso de novo, várias vezes. Se você sintetiza os resultados, vai descobrir
que o resultado “duas vermelhas, duas brancas” ocorre (quase exatamente) seis vezes
tão frequentemente quanto o resultado “quatro vermelhas” ou “quatro brancas”. Essa
relação é um fato matemático. Você pode prever o resultado da amostragem repetida
de uma urna quase com o mesmo grau de confiança que prevê o que vai acontecer se
bate num ovo com um martelo. Você não pode prever cada detalhe de como a casca
vai quebrar, mas pode ter certeza sobre a ideia geral. Há uma diferença: a gratificante
percepção de causalidade que você sente quando pensa num martelo atingindo um ovo
está completamente ausente quando você pensa em amostragem.
Um fato estatístico relacionado é relevante para o exemplo do câncer. Na mesma urna,
dois contadores de bolinhas de gude muito pacientes se revezam. Jack tira quatro bolinhas em cada tentativa, Jill tira sete. Ambos registram cada vez que observam uma
amostra homogênea — todas brancas ou todas vermelhas. Se prosseguirem por tempo
suficiente, Jack vai observar esses resultados extremos com mais frequência do que Jill
— por um fator de oito (as porcentagens esperadas são 12,5% e 1,56%). Mais uma
vez, nenhum martelo, nenhuma causalidade, mas um fato matemático: amostras de
quatro bolinhas produzem resultados extremos com mais frequência do que amostras
de sete bolinhas.
Agora imagine a população dos Estados Unidos como bolinhas de gude numa urna gigante. Algumas bolinhas estão marcadas CR, para câncer renal. Você extrai amostras
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e bolinhas e povoa cada condado por vez. Amostras rurais são menores do que outras
amostras. Assim como no jogo de Jack e Jill, resultados extremos (taxas de câncer
muito elevadas e/ou muito baixas) têm maior probabilidade de serem encontrados em
condados esparsamente povoados. Essa é a única conclusão a se tirar do caso.
Começamos por um fato que pede uma causa: a incidência de câncer renal varia amplamente de condado para condado e as diferenças são sistemáticas. A explicação
que ofereci é estatística: resultados extremos (tanto altos como baixos) têm maior
probabilidade de serem encontrados em amostras pequenas do que nas grandes. Essa
explicação não é causal. A população pequena de condado não causa nem previne
câncer; meramente permite que a incidência de câncer seja muito mais elevada (ou
muito menor) do que numa população maior. A verdade mais profunda é que não há
nada para explicar. A incidência de câncer não é verdadeiramente mais baixa ou mais
elevada do que o normal num condado com uma população pequena, apenas parece
ser assim num ano particular devido a um acidente de amostragem. Se repetirmos a
análise no ano seguinte, vamos observar o mesmo padrão geral de resultados extremos
nas amostras pequenas, mas os condados onde o câncer era comum no ano anterior
não necessariamente terão uma incidência alta nesse ano. Se esse é o caso, as diferenças entre condados densos e rurais não contam realmente como fatos: são o que
os cientistas chamam de artefatos, observações que são produzidas inteiramente por
algum aspecto do método de pesquisa — nesse caso, pelas diferenças no tamanho da
amostra.
A história que eu contei talvez o tenha surpreendido, mas não foi uma revelação. Você
já sabe faz tempo que os resultados de grandes amostras merecem mais confiança do
que amostras menores, e mesmo pessoas que são ignorantes de conhecimentos estatísticos já ouviram falar dos grandes números. Mas “saber” não é um negócio sim-não, e
talvez você descubra que as seguintes afirmações se aplicam a você:
A característica “esparsamente povoado” não se sobressaiu imediatamente como relevante quando você leu o histórico epidemiológico.
Você ficou no mínimo razoavelmente surpreso com o tamanho da diferença entre amostras de quatro e amostras de sete.
Mesmo agora, você deve empregar algum esforço mental para perceber que as duas
seguintes afirmações significam exatamente a mesma coisa:
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Amostras grandes são mais precisas do que amostras pequenas.
Amostras pequenas fornecem resultados extremos com mais frequência do que amostras grandes o fazem.
A primeira afirmação soa claramente como verdadeira, mas, até que a segunda versão
faça sentido intuitivamente, você não compreendeu realmente a primeira.
A questão principal é: sim, você sabia de fato que os resultados de grandes amostras
são mais precisos, mas talvez agora perceba que não sabia muito bem. Você não está
sozinho. O primeiro estudo que Amos[2] e eu fizemos juntos mostrou que mesmo pesquisadores sofisticados têm intuições fracas e uma compreensão incerta de efeitos de
amostragem.
(a) Verifique o seguinte resultado apontado no texto: tem-se uma urna com N bolas
de gude, metade das quais vermelha e a outra metade branca. A probabilidade
de que, entre as quatro bolas retiradas desta urna, duas sejam vermelhas e duas
sejam brancas é seis vezes maior que a probabilidade de que todas elas possuam
a mesma cor.
(b) Verifique um outro resultado apontado no texto: para a mesma urna da questão
(6a), a probabilidade de que sejam retiradas quatro bolas da mesma cor é de
12,5%, aproximadamente, e a probabilidade de que sejam retiradas sete bolas da
mesma cor é de 1,56%.
(c) Na maternidade A nascem, por dia, cerca de 45 crianças e na maternidade B,
cerca de 15 crianças. Ao longo de um ano, 50% dos bebês nascidos em ambas
maternidades são meninos. Esta percentagem, entretanto, pode variar de um dia
para o outro. Em determinados dias, pode ser maior que 50%, em outros pode
ser menor. Durante o período de um ano, cada maternidade registra os dias em
que mais de 60% dos bebês eram meninos. Qual hospital provavelmente registrou
o maior número de dias desses?
i. O hospital A.
ii. O hospital B.
iii. Ambos hospitais registraram o mesmo número de dias.
7. Considere a seguinte equação de reação-difusão que descreve duas espécies que com-
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petem pelos mesmos recursos em um ambiente fechado de área A:
∂uA
= αuA − βu2A + γ∇2 uA − δuA uB
∂t
∂uB
= λuB − µu2B + ν∇2 uB − δuA uB
∂t
A densidade populacional da espécie A é uA (x, y, t), a da espécie B é uB (x, y, t). x, y
são coordenadas espaciais e t representa o tempo. Para cada espécie, as taxas de
natalidade são, respectivamente α e λ; β e µ estão relacionados com as capacidades
de carga do ambiente para cada uma das espécies; γ e ν são os coeficientes de difusão
e δ a taxa de mortalidade de uma espécie devido à presença da outra.
(a) Liste o conjunto de parâmetros para este modelo.
(b) Qual é a dimensão de uA e uB ?
(c) Quais são as dimensões de α e λ; β e µ, γ e ν, e δ?
(d) Reduza o número de parâmetros, definindo quantidades adimensionais x̄, ȳ e t̄ e
ūA e ūB .
[1] O autor denomina “Sistema 1” e “Sistema 2” os dois modos de pensamento. Enquanto o Sistema
1 “opera automatica e rapidamente, com pouco ou nenhum esforço e nenhuma percepção de
controle voluntário”, o Sistema 2 “aloca atenção às atividades mais laboriosas que o requisitam,
incluindo cálculos complexos. As operações do Sistema 2 são muitas vezes associadas com a
experiência subjetiva de atividade, escolha e concentração.”
[2] Amos Tversky, psicólogo que durante anos foi colaborador de Daniel Kahneman em pesquisa
acerca dos vieses do pensamento intuitivo, sobre julgamento e tomadas de decisão. Por este
trabalho, Daniel Kahneman recebeu, em 2002, o prêmio Nobel de Economia (Amos Tversky
faleceu aos 59 anos em 1996).