Probabilidade Condicional e Independência
FCT/UNL, Probabilidades e Estatı́stica I
MLE
1 Exercı́cios
Exercı́cio 1 (Localização de um documento). [Jaf76, p. 15] Considerem-se as seguintes hipóteses.
[1]
H1 O documento X pode estar arquivado ou não. A probabilidade de que esteja arquivado é 1/2.
H2 Na sala de arquivo há 9 estantes. O documento X pode ter sido arquivado numa qualquer das 9
estantes com igual probabilidade.
1. Determine p a probabilidade de que o documento X esteja na nona estante.
2. Determine q a probabilidade de que tendo verificado que o documento não se encontra nas oito
primeiras estantes, o documento esteja na nona estante.
3. Comente a relação observada entre p e q.
Exercı́cio 2 (Primeiro exemplo de acontecimentos independentes). Considere um modelo para dois
lançamentos sequenciais de um dado equilibrado. Considere os acontecimentos:
[1]
B = {no primeiro lançamento saiu 6 } , A = {no segundo lançamento saiu 2 } .
Mostre que A e B são independentes.
Exercı́cio 3. [Jaf76, p. 17] Sejam a, b e N três inteiros estritamente positivos tais que N seja divisı́vel
por a e por b. Seja ω extraı́do ao acaso em Ω = {1, 2, . . . , N }. Considere os dois acontecimentos:
[2]
A = {ω é divisı́vel por a} , B = {ω é divisı́vel por b} .
Dê uma condição para que A e B sejam independentes.
Exercı́cio 4. [Jaf76, p. 15] Numa assembleia de N pessoas escolhe-se uma comissão com s elementos e,
de entre estes, um presidente. Sabendo que uma certa pessoa da assembleia não é presidente da comissão,
qual é a probabilidade dessa pessoa fazer parte da comissão?
[1]
Exercı́cio 5. [KL72, p. 74] Procuramos um guarda chuva que se encontra com uma probabilidade p/7
num qualquer dos sete andares de um prédio. Procurou-se em vão nos seis primeiros andares.
[1]
1. Determinar a probabilidade que o guarda-chuva se encontre no sétimo andar.
2. Seja f (p) a probabilidade determinada na alı́nea anterior. Represente graficamente a variação de
f (p) em função de p.
Exercı́cio 6 (Sobre a fórmula das probabilidades totais). [KL72, p. 74] Uma urna contem bolas brancas
e pretas. Efectuamos uma sequência de n tiragens na urna. Supomos que a probabilidade que a k-ésima
bola saia branca, dado que as k − 1 bolas tirandas anteriormente o eram também, é igual a 1/(k + 1).
Determine a probabilidade de que as n primeiras bolas sejam todas brancas.
1
[1]
Capı́tulo II
Probabilidade Condicional e Independência
Secção: 1
Exercı́cio 7 (Acontecimentos independentes dois a dois e acontecimentos mutuamente independentes 1 ).
[Mig05, p. 20] Considere um tetraedro regular equilibrado em que uma das faces é verde, uma outra é
encarnada, uma outra é azul e a quarta face é às pintas encarnadas, azuis e verdes. Lançamos o
tetraedro sobre uma superfı́cie e observamos a face apoiada. Para cada uma das cores c ∈ {V, A, E},
considere os acontecimentos: Ac = { A face apoiada contem a côr c}. Estude, quanto à independência,
os acontecimentos Ac para c ∈ {V, A, E}.
Exercı́cio 8. Considere uma sucessão infinita de lançamentos independentes de uma moeda equilibrada
ao ar. Em cada lançamento n há dois resultados possı́veis, a saber, cara (0) e coroa (1) e, como a moeda é
equilibrada temos que n [{1}] = 0.5 = n [{0}]. Admita-se que o modelo para o fenómeno atrás descrito
é o seguinte. Ω = {(αn )n≥1 : αn ∈ {0, 1}}, a álgebra -σ está bem definida e a probabilidade do modelo é
tal que se um dado acontecimento A ∈ A só depender de um número finito de lançamentos N ≥ 1, então
[A] coincide com b N [A] em que b N é a probabilidade usual sobre {0, 1}N = {(β1 , . . . , βN ) : βi ∈ {0, 1}}.
Mais concretamente, para (β1 , . . . , βN ) ∈ {0, 1}N tem-se que:
P
P
P
P
[1]
[2]
P
P
Pb
N [{(β1 , . . . , βN )}]
=
N
Y
P
n [{βn }]
.
n=1
1. Considerando para cada N ≥ 1 o acontecimento definido por saı́ram caras nos N primeiros
lançamentos, isto é:
AN = {(αn )n≥1 : αn ∈ {0, 1} , ∀ 1 ≤ i ≤ N αi = 1}}
mostre que a probabilidade de só saı́rem caras numa infinidade de lançamentos independentes de
uma moeda equilibrada ao ar é nula.
2. Considerando para cada N ≥ 1 o acontecimento definido por saı́u caras no lançamento N ,
isto é:
BN = {(αn )n≥1 : αn ∈ {0, 1} , αN = 1}}
mostre que vale 1 a probabilidade de numa dada infinidade de lançamentos independentes de uma
moeda equilibrada ao ar saı́rem uma infinidade de caras e uma infinidade de coroas.
Exercı́cio 9. Seja para cada N ≥ 1 um prisma PN de base quadrada com lado igual a 1/N e de altura
N/4. Suponhamos que por razão de simetria e de homogeneidade, quando lançamos o prisma ele aterra
numa dada face com probabilidade proporcional à área da face.
1. Mostre que sendo aN a área total do prisma e sendo li = {o prisma caı́u sobre a face i}, para
i = 1, . . . , 4, e se bj = {o prisma caı́u sobre a base j}, para j = 1, 2, se considerarmos Ω =
{l1 , l2 , l3 , l4 , b1 , b2 } e A = P(Ω) e ainda,
P[l ] = 4a1 , P[b ] = N 1a ,
então o espaço de probabilidade (Ω, A, P) é um modelo para o lançamento de o prisma P
i
i
N
2
N
N
descrito
acima.
2. Seja para cada N ≥ 1 o acontecimento AN definido pela condição: o prisma cai sobre uma
das bases. Mostre que se lançar sequencialmente os prismas P1 , P2 , . . . , PN , . . . a probabilidade
de uma infinidade de prismas caı́rem sobre uma das suas bases é zero.
3. Seja para cada N ≥ 1 o acontecimento BN definido pela condição: o prisma cai sobre uma
das faces laterais. Mostre que se lançar sequencialmente e de forma independente os prismas
P1 , P2 , . . . , PN , . . . a probabilidade de uma infinidade de prismas caı́rem sobre uma das suas faces
laterais é um.
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Capı́tulo II
Probabilidade Condicional e Independência
Secção: 1
Exercı́cio 10 (Probabilidade das causas). Suponhamos que é possı́vel efectuar um teste de diagnóstico
de uma doença tal que:
[1]
• a probabilidade que o teste dê positivo sabendo que o doente tem a doença é 0.95;
• a probabilidade que o teste dê negativo sabendo que o doente não tem a doença é 0.95;
• a probabilidade que um paceinte tenha a doença é: 0.005.
Determine a probabilidade que uma pessoa com um teste positivo tenha a doença.
Resposta: 0.005.
Exercı́cio 11 (Probabilidade das causas). Sejam A1 e A2 dois conjuntos de bolas brancas e pretas.
Suponhamos que:
[1]
• A1 contem 70% de bolas brancas;
• A2 contem 80% de bolas brancas;
• A1 contem 3 vezes mais bolas que A2 .
Colocam-se todas as bolas de A1 e A2 numa urna e tira-se ao acaso uma bola da urna observando-se que
é branca. Qual a probabilidade que a bola provenha do conjunto A1 .
Resposta: 0.724.
Exercı́cio 12. Uma urna contem quatro bolas vermelhas e 6 bolas pretas, distintas umas das outras.
Retiramos duas bolas da urna sequencialmente. determine a probabilidade que a primeira bola extraı́da
seja vermelha e a segunda seja preta sabendo que:
[1]
1. a primeira bola é reposta na urna antes da segunda extracção;
2. não se repõe a primeira bola extraı́da na urna.
Respostas: 24/100 e 24/90.
Exercı́cio 13. Uma urna contem sete bolas vermelhas, cinco bolas brancas e três bolas pretas, distintas
umas das outras. Retiramos três bolas da urna sequencialmente. Determine a probabilidade que a
primeira bola extraı́da seja vermelha, a segunda seja branca e a terceira preta, sabendo que:
[1]
1. não se repõem as bolas extraı́das na urna;
2. após cada extracção a bola extraı́da é reposta na urna antes da extracção seguinte.
Exercı́cio 14. Seja (An )n≥1 uma sucessão de acontecimentos mutuamente independentes (independentes no seu conjunto). Sejam I, J ⊂ ∗ tais que I ∩ J = ∅. Mostre que:
!
\
\
Ai ,
Aj
N
i∈I
[1]
j∈I
é um par de acontecimentos independentes.
Exercı́cio 15. Seja (An )n≥1 uma sucessão de acontecimentos dois a dois disjuntos e tais que para cada
n ≥ 1 os acontecimentos AN e B sejam independentes. Mostre que:


[

An , B 
n≥1
é um par de acontecimentos independentes.
1
Na obra clássica [Fel68, p. 126] W. Feller refere que as situações em que os eventos são independentes
dois a dois mas não são mutuamente independentes são tão raras que o fenómeno passou despercebido
até que o matemático S. Bernstein construı́u um exemplo artificial.
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