Identificação de estados tripartite de q-bits puros com
máximo valor de emaranhamento a partir de
uma interpretação geométrica
Wanessa C. Gazzoni 1 , Reginaldo Palazzo Jr. 1 , Carlile Lavor 2
1
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Caixa Postal 6101 – 13.083-970 – Campinas – SP – Brasil
2
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Caixa Postal 6065 – 13.081-970 – Campinas – SP – Brasil
{wanessa, palazzo}@dt.fee.unicamp.br, [email protected]
Abstract. The aim of this paper is to present a procedure that, based on a geometric interpretation for an arbitrary 3 qubit state, is able to determine all the
maximally entangled 3 qubit states. In order to verify that these states are in fact
maximally entangled, we apply the entanglement measure known as “tangles”
to these “candidate states”. From this, we show that all theses states are in fact
maximally entangled.
Resumo. O objetivo deste trabalho é apresentar um procedimento que, baseado
em uma interpretação geométrica para o estado genérico com 3 q-bits, determina todos os estados maximamente emaranhados com 3 q-bits. Considerando
os estados obtidos por tal procedimento, utilizamos a medida de emaranhamento conhecida na literatura como “tangles” para verificar que os estados
candidatos são, de fato, estados maximamente emaranhados.
1. Introdução
É conhecido o interesse e a importância das pesquisas referentes ao emaranhamento quântico, seja pelas características surpreendentes do fenômeno ou pelas aplicações fundamentadas sobre tal conceito, tais como a codificação superdensa, o teletransporte e a criptografia quântica, [Nielsen and Chuang 2000], que têm sido cada vez mais discutidas e exploradas. Em termos de reconhecer algebricamente se um dado estado é emaranhado ou
não e, para o caso de ser, estimar a se quantidade de emaranhamento contida neste estado
é máxima ou não, são questões importantes nesse contexto. Quanto à estimativa da quantidade de emaranhamento, salientamos que não existe medida generalizada, a partir da
qual seja possível medir o emaranhamento em um estado com N q-bits, conforme as discussões apresentadas em [Cunha 2005]. Para o caso de estados com 3 q-bits, há uma medida de emaranhamento apresentada por [Coffman et al. 1999], denominada tangle (τ ).
Nossa proposta é apresentar um procedimento, baseado na interpretação geométrica do
estado genérico com 3 q-bits, que gera estados que denominamos candidatos a estado
de emaranhamento máximo. Obtidos tais estados, utilizamos os tangles para verificar
que os estados candidatos gerados pelo procedimento são, de fato, estados maximamente
emaranhados. Como é conhecido o resultado que todos os estados maximamente emaranhados são puros [Santos 2006], o estudo está restrito, sem perda de generalidade, a esta
classe de estados. O trabalho está dividido da seguinte forma. Na Seção 2, apresentamos
a interpretação geométrica a partir da qual o procedimento foi gerado e, na Seção 2.1,
discutimos as relações entre os fatos decorrentes desta interpretação e a quantidade de
emaranhamento. Na Seção 3, definimos os tangles e na Seção 4, analisamos os estados
candidatos ao máximo emaranhamento obtidos na Seção 2, de acordo com as medidas
definidas na Seção 3. Finalmente, na Seção 5, apresentamos as considerações finais sobre
o trabalho.
2. Interpretação geométrica de um estado genérico com 3 q-bits
Um estado puro genérico com 3 q-bits na forma
|ψi3 = α0 |000i + α1 |001i + α2 |010i + α3 |011i + α4 |100i + α5 |101i + α6 |110i + α7 |111i,
P
onde αi ∈ C, i ∈ {0, · · · , 7}, tais que 7i=0 |αi |2 = 1, pode ser representado geometricamente por um cubo unitário no espaço de todas as sequências binárias de comprimento
três [Gazzoni et al. 2006, Yu and Song 2005]. Neste cubo, os kets que compõem o estado
|ψi3 são representados pelos vértices v0 = (000), v1 = (001), v2 = (010), v3 = (011),
v4 = (100), v5 = (101), v6 = (110) e v7 = (111), onde cada amplitude αs está associada
ao vértice vs , s = 0, ..., 7 (veja Fig. 1).
α7 ∼ 111
α6 ∼ 110
PSfrag replacements
α3 ∼ 011
α2 ∼ 010
α5 ∼ 101
α4 ∼ 100
α0 ∼ 000
α1 ∼ 001
Figura 1. Cubo unitário que representa o estado |ψi 3 .
Desta interpretação geométrica, decorre que todos os estados com 3 q-bits podem
ser entendidos como combinações de vértices do cubo e suas respectivas amplitudes associadas, uma vez que cada vértice representa um ket ou parcela do estado. A proposta
de encontrar os estados de máximo emaranhamento com 3 q-bits, neste contexto, é entendida, então, como sendo a procura por combinações de vértices que resultem em estados
satisfazendo as condições de máximo emaranhamento, que serão definidas na Seção 3.
Tais combinações entre os vértices são geradas sem restrição alguma e, por isso, pode
ocorrer de nem todos estados resultantes serem simétricos (considerações acerca da simetria dos estados quânticos podem ser vistas em [Cohen-Tannoudji et al. 1977]). Dado que
esta é uma propriedade fundamental em muitos estudos, encontramos estados com característica de máximo emaranhamento que não são citados explicitamente pela literatura.
Como já foi dito, o objetivo é encontrar combinações de vértices que resultem
em estados de máximo emaranhamento. Ainda que as condições para esta classificação
não estejam definidas, discutimos, a seguir, que algumas das combinações de vértices
possíveis no cubo geram estados que, com certeza, não têm características de máximo
emaranhamento e, por isso, devem ser excluídas do nosso estudo.
2.1. Existência de padrões entre parcelas versus separabilidade ou menor
emaranhamento entre q-bits
Considere a descrição de cada face do cubo separadamente:
• os vértices 000, 001, 010 e 011 possuem em comum o dígito 0 na primeira entrada,
enquanto os vértices 100, 101, 110 e 111 possuem o dígito 1 nesta posição;
• os vértices 000, 001, 100 e 101 possuem em comum o dígito 0 na segunda entrada,
enquanto os vértices 010, 011, 110 e 111 possuem o dígito 1 nesta posição;
• os vértices 000, 010, 100 e 110 possuem em comum o dígito 0 na terceira entrada,
enquanto os vértices 001, 011, 101 e 111 possuem o dígito 1 nesta posição.
Destas considerações, é possível concluir que cada face do cubo pode ser representada por um padrão. Suponha agora que queiramos fazer uma estimativa não rigorosa
acerca do emaranhamento de um certo estado quântico com 3 q-bits |ξi 3 . Com este propósito, representamos as parcelas de |ξi3 no cubo. Suponha que todos os vértices associados a este estado estejam na mesma face. Devido a isso, segundo as discussões anteriores,
temos que todos os vértices satisfazem a um padrão. Se isso acontece, sem perda de generalidade, consideramos que, na combinação que compõe |ξi 3 , os primeiros q-bits de cada
uma das parcelas estão no mesmo estado, representado por 0 (ou 1), independentemente
dos dois outros q-bits no ket. Isso mostra que |ξi3 apresenta emaranhamento, no máximo,
em dois q-bits e, por isso, não é candidato a estado com máximo emaranhamento em três
q-bits. Para o caso de |ξi3 ser representado de forma que os vértices satisfaçam a dois
padrões distintos, pelo mesmo argumento podemos afirmar que não há emaranhamento
neste estado, o que também o exclui das possibilidades de estado com máximo emaranhamento em três q-bits. Assim, as primeiras combinações a serem excluídas são aquelas
cujos vértices que representam o estado estão todos na mesma face.
O próximo passo é decidir, entre todas as outras possibilidades de distribuições de
vértices no cubo, quais são aquelas que resultam em estados com características, a priori, de emaranhamento máximo, que denominamos estados candidatos a maximamente
emaranhados. Observe que tal estudo é baseado apenas na interpretação geométrica, sem
alusão alguma às medidas de emaranhamento.
Devido à interpretação geométrica para os estados com 3 q-bits proposta, um estado pode ser descrito pela correspondente combinação de os vértices no cubo e as respectivas amplitudes. Tais vértices nada mais são do que vetores distribuídos em R 3 . Neste
contexto, o conceito da entropia clássica (entropia de Boltzmann-Gibbs-Shannon), como
definido em [Cover and Thomas 1991], pode ser utilizado e nos será de grande valia no
processo da procura pelos estados com máximo emaranhamento, conforme explicitamos
a seguir.
Admitindo que a definição da entropia clássica seja tomada como a medida da
padronização de um sistema, temos que, quanto mais padronizadas estão as partes, menor a entropia associada a este sistema. Em nosso caso, o cubo é considerado o sistema
e, as partes, são os vértices que representam um determinado estado. Pelo que foi discutido anteriormente, as faces do cubo podem ser descritas em termos dos respectivos
padrões e que, quanto maior o número de padrões satisfeitos pelos vértices associados a
um estado, menor o emaranhamento deste. Devido a tais considerações, o que faremos é
entender a procura de candidatos a estados com máximo emaranhamento como a procura
de distribuições de vértices no cubo que resultem na maior entropia neste sistema. Ou
seja, procuraremos distribuições de vértices que satisfaçam, simultaneamente, o menor
número de padrões.
Seguimos com um pequena discussão acerca das amplitudes associadas ao kets
de um estado com 3 q-bits |ξi3 . Cada amplitude, mais precisamente, o módulo ao quadrado desta, pode ser entendida como a probabilidade de |ξi 3 estar no estado definido
pelo ket ao qual tal amplitude está associada (após uma medida). Como os kets são identificados aos vértices e o cubo é o sistema, maximizar a entropia sob o ponto de vista
da distribuição de probabilidades das partes do sistema, no contexto da entropia dado em
[Cover and Thomas 1991], significa distribuir identicamente as probabilidades entre os
vértices. Por isso, no processo de procura por estados candidatos a maximamente emaranhados, consideramos, dentre o contínuo de estados com 3 q-bits possíveis, somente
aqueles em que as amplitudes são todas iguais entre si. Em outras palavras, se procuramos por um estado com k parcelas (vértices), k ≤ 8, tal que este tenha características de
máximo emaranhamento, podemos nos restringir
ao conjunto dos estados com k parcelas,
√
onde as amplitudes são todas iguais a 1/ k.
Introduzimos agora o conceito da distância de Hamming. Sejam s e t dois vetores
com coordenadas em {0, 1}. A distância de Hamming entre s e t, denotada por dist(s, t),
é definida como sendo o número de posições em que as componentes de s e t diferem.
Neste contexto, as considerações a serem feitas são:
• Se não há padrões comuns entre duas parcelas do estado, associadas aos vértices
v1 e v2 , então v1 e v2 definem diagonais principais no cubo e, por isso, são tais que
dist(v1 , v2 ) = 3.
• Se há dois padrões comuns entre duas parcelas do estado, associadas aos vértices
v1 e v2 , então v1 e v2 são consecutivos, donde dist(v1 , v2 ) = 1.
• Se há um único padrão entre duas parcelas do estado, associadas aos vértices v 1
e v2 , então v1 e v2 estão na mesma face, mas não são consecutivos, o que implica
que dist(v1 , v2 ) = 2.
Devido a tais considerações, apresentamos a Tabela 1, que será de grande utilidade
para nosso trabalho.
000
001
010
011
100
101
110
111
000
0
-
001
1
0
-
010
1
2
0
-
011
2
1
1
0
-
100
1
2
2
3
0
-
101
2
1
3
2
1
0
-
110
2
3
1
2
1
2
0
-
111
3
2
2
1
2
1
1
0
Tabela 1. Distribuição da distância de Hamming entre os vértices do cubo.
Passamos a estudar as possíveis distribuições de vértices no cubo, agora descritas
em função da distância de Hamming, com o objetivo de encontrar as que maximizam a
entropia no cubo.
1. O caso que gera a maior entropia no sistema é aquele em que os vértices não satisfazem a padrão algum conjuntamente. Neste caso, temos vértices com distância
três entre si. De acordo com a Tabela 1, tal combinação é constituída por apenas
dois vértices.
2. Para aumentarmos o número de vértices na combinação para três, é necessário
considerar a distância igual a dois entre os vértices. Nada nos impediria de alocar
um par de vértices com distância igual a três e um outro com distância igual a
dois. Considerando esta possibilidade, pela Tabela 1, concluímos que nesta configuração o terceiro par de vértices teria distância igual a um. Ou seja, este terceiro
par possui dois padrões entre si. Um exemplo seria a escolha dos pares 011,100
e 001,100: os vértices que constituem o terceiro par, 001 e 011, têm distância 1
entre si e, como já foi discutido, trata-se de um par sem emaranhamento. Isso atribui ao estado total uma quantidade de emaranhamento diferente da máxima. Por
isso, a única distribuição com três vértices que pode gerar candidatos a estados
maximamente emaranhados é aquela em que os vértices distam dois entre si.
3. Distribuições com quatro vértices distando dois entre si podem ser obtidas. Uma
idéia intuitiva desta possibilidade é: se fixarmos um vértice, é possível alocar outros três distando dois do primeiro, de forma a obtermos as quatro parcelas sob a
condição desejada. Embora o número de possibilidades de distribuições aumente
consideravelmente em relação ao caso com três vértices, o mesmo argumento utilizado no item 2 justifica ser esta a única distribuição de quatro vértices que possa
resultar em estados de emaranhamento máximo.
4. De acordo com o que foi discutido no item 3, não é possível encontrar distribuições
com cinco ou mais vértices, todos distando entre si duas unidades, pois sempre
haverá pelo menos um par de vértices com distância um entre si, o que atribui ao
estado total uma quantidade de emaranhamento diferente da máxima.
Concluímos, pelo procedimento apresentado, que os candidatos a estados com
máximo emaranhamento têm duas, três ou quatro parcelas, e que as distribuições de vértices do cubo que geram tais candidatos são: pares de vértices que distam três entre si,
triplas e quadrúplas de vértices com distância dois entre si. O objetivo agora é verificar
se esses candidatos são de fato estados maximamente emaranhados, segundo medidas
encontradas na literatura. Em caso afirmativo, concluímos que nosso procedimento determina todos os estados maximamente emaranhados com 3 q-bits. A seguir, apresentamos
a medida de emaranhamento que iremos utilizar.
3. Tangles como medida de emaranhamento em sistema com 3 q-bits
Como já discutimos na Seção 1, as análises acerca da quantificação do emaranhamento
serão baseadas nas medidas definidas pelos tangles. Sem considerarmos detalhes teóricos
da construção destes (que podem ser vistos em [Coffman et al. 1999]), discutiremos as
características dos tangles em um sistema com 3 q-bits, denotados por A, B e C, nesta
ordem. Uma informação importante no contexto é que os tangles geram uma quantificação do emaranhamento em um dado estado de uma forma bastante simplificada: os
valores que tal medida pode assumir variam entre 0 e 1, inclusive. No caso de 0, temos
que não há emaranhamento algum entre os q-bits analisados pelo tangle, e no caso de 1,
há emaranhamento máximo entre tais q-bits.
Para estados com 3 q-bits, pode haver emaranhamento entre os pares de q-bits AB,
AC e BC, entre os pares A(BC), B(CA) e C(AB), que consideram os pares entre parênteses como “um só q-bit”, e também o emaranhamento residual [Coffman et al. 1999]. Os
tangles associados a cada uma dessas possibilidades são τAB , τAC , τBC , τA(BC) , τB(CA) ,
τC(AB) e τABC , respectivamente. Seguem as definições necessárias neste contexto.
3.1. Definição do conjunto de medidas tangles
Antes de descrevermos formalmente as medidas do tipo tangle, é preciso apresentar os
conceitos de traço parcial e matriz densidade de traço reduzido (parcial).
Seja |ψi3 um estado puro genérico com 3 q-bits representado na forma
|ψi3 = α0 |000i + α1 |001i + α2 |010i + α3 |011i + α4 |100i + α5 |101i + α6 |110i + α7 |111i, (1)
P
onde αi ∈ C, i ∈ {0, · · · , 7}, tais que 7i=0 |αi |2 = 1. A matriz densidade ρ associada a
este estado é dada por ρ = |ψi3 ⊗ hψ|3 . Desprezando as amplitudes associadas, considere
que cada parcela de ρ seja da forma |a1 b1 c1 iha2 b2 c2 |.
O traço parcial com relação a C 1 de cada parcela de ρ é definido da seguinte
forma:
T rC (|a1 b1 c1 iha2 b2 c2 |) := (|a1 b1 iha2 b2 |)(hc2 |c1 i),
onde a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 ∈ {0, 1} e hc2 |c1 i é 0, se c2 6= c1 e 1, se c2 = c1 . Repetindo esse
procedimento para todas as parcelas de ρ, obtemos o traço parcial de ρ com relação a C,
a saber, T rC (ρ) = ρAB . Analogamente, segue que:
ρAB = T rC (ρ),
ρAC = T rB (ρ)
e
ρBC = T rA (ρ),
onde ρ é a matriz densidade associada ao estado |ψi3 .
Apresentados esses conceitos preliminares, seguem as definições dos tangles.
O primeiro tangle a ser definido refere-se à medida do emaranhamento entre dois
q-bits do sistema, como se o terceiro fosse ignorado. Tal medida é dada pela seguinte
expressão
τAB = T r(ρAB ρ̄AB ) − 2λ1 λ2 ,
(2)
onde ρAB é a matriz de traço parcial de ρ com relação a C,
0 −i
∗
ρ̄AB = (σy ⊗ σy )ρAB (σy ⊗ σy ), σy =
,
i 0
o asterisco denota o complexo conjugado na base {|00i, |01i, |10i, |11i} e λ 1 e λ2 são as
raízes quadradas dos autovalores da matriz ρAB ρ̄AB . Analogamente, definimos:
τAC = T r(ρAC ρ̄AC ) − 2λ1 λ2 ,
onde λ1 e λ2 são relativos à matriz ρAC ρ̄AC .
1
Os traços parciais com relação a A e B podem ser deduzidos similarmente.
Em seguida, definimos o tangle que mede o emaranhamento entre um dos q-bits e
o outro subsistema com dois q-bits. Esta medida é definida pela seguinte equação
τA(BC) = 4det|ρA |,
(3)
onde ρA denota a matriz densidade associada ao q-bit A. De forma análoga, definimos
τB(CA) = 4det|ρB | e τC(AB) = 4det|ρC |, onde ρB e ρC são as matrizes densidades associadas aos q-bits B e C, respectivamente.
É importante salientar que existe uma regra quanto à distribuição do emaranhamento, apresentada por [Coffman et al. 1999], que é τAB + τAC ≤ τA(BC) . Ou seja, o
emaranhamento entre o q-bit A e o par BC representa o máximo valor para a soma entre
τAB + τAC . Para o caso de ocorrer a igualdade, define-se a classe dos estados maximamente emaranhados aos pares. Para o caso em que τAB + τAC < τA(BC) , define-se o
emaranhamento residual. Tal emaranhamento é medido pelo tangle τ ABC e dado pela
seguinte forma
τABC = 4|d1 − 2d2 + 4d3 |,
(4)
onde | . | denota o valor absoluto e
d1 = α02 α72 + α12 α62 + α22 α52 + α32 α42 ,
d 2 = α 0 α7 α3 α4 + α 0 α7 α5 α2 + α 0 α7 α6 α1 + α 3 α4 α5 α2 + α 3 α4 α6 α1 + α 5 α2 α6 α1 ,
d 3 = α 0 α6 α5 α3 + α 7 α1 α2 α4 .
Nas definições de d1 , d2 e d3 , consideramos que α0 , · · · , α7 são números complexos que representam as amplitudes associadas a cada ket do estado genérico com 3
q-bits dado em (1). Os estados para os quais τABC assume o valor máximo 1 formam
uma outra classe de estados de emaranhamento máximo. Esta é a justificativa para o fato
de haver duas classes de máximo emaranhamento genuíno tripartite para estados com 3
q-bits [Wootters 1998].
Definidas as medidas a serem utilizadas, o próximo passo do trabalho é mostrar que, segundo os valores assumidos pelos tangles analisados sob o ponto de vista de
[Coffman et al. 1999], todos os estados definidos como candidatos ao máximo emaranhamento obtidos a partir do procedimento apresentado com base na interpretação geométrica
são, de fato, estados maximamente emaranhados.
4. Análise dos estados candidatos ao máximo emaranhamento
Apresentaremos, a seguir, somente os cálculos referentes ao q-bit A, ou seja: ρ AB , ρAC e
ρA(BC) . Para a análise completa, deve-se também levar em consideração os cálculos com
respeito aos q-bits B e C, sendo esses análogos aos realizados para o q-bit A.
4.1. Estados gerados pela distribuição de vértices com distância máxima entre si
De acordo com a Tabela 1, os estados candidatos caracterizados por tal distribuição são
1
|ϕ0 i = √ (|000i + |111i),
2
1
|ϕ1 i = √ (|001i + |110i),
2
1
|ϕ2 i = √ (|010i + |101i),
2
Considerando o estado |ϕ0 i =
ρAB = ρAC

1/2
 0
=
 0
0
0
0
0
0
1
|ϕ3 i = √ (|100i + |011i).
2
√1 (|000i
2
+ |111i), temos que

0 0
0 0 

0 0 
0 1/2
ρA =
e
1/2 0
0 1/2
.
Efetuando os demais cálculos necessários, temos que
ρ̄AB = ρ̄AC

1/2
 0
=
 0
0
0
0
0
0


0 0
1/4


0 0 
0
e ρAB ρ̄AB = ρAC ρ̄AC = 
 0
0 0 
0 1/2
0
0
0
0
0

0 0
0 0 
.
0 0 
0 1/4
Segue que T r(ρAB ρ̄AB ) = T r(ρAC ρ̄AC ) = 1/2, λ1 = λ2 = 1/2 e detρA = 1/4,
donde concluímos por (2) que τAB = 0 e τAC = 0. Por (3), temos que τA(BC) = 1.
Analisando as amplitudes de |ϕ0 i, temos que d1 = 1/4, d2 = d3 = 0 e assim, por (4),
decorre que τABC = 1.
Desenvolvendo os mesmos cálculos para |ϕ1 i, |ϕ2 i, |ϕ3 i, obtemos exatamente
os mesmos valores associados aos tangles, donde concluímos que todos os estados com
duas parcelas denominados candidatos ao máximo emaranhamento, obtidos via interpretação geométrica são, de fato, estados maximamente emaranhados. Observando que
τAB + τAC = 0, τA(BC) = 1 e τABC = 1, concluímos que esta é a classe dos estados maximamente emaranhados caracterizados pelo valor máximo do emaranhamento residual.
O representante desta classe é o estado GHZ, dado por |ϕ0 i.
4.2. Estados gerados por distribuições de três vértices com distância dois entre si
De acordo com a Tabela 1, os estados candidatos obtidos por tal distribuição são:
1
|µ0 i = √ (|000i + |011i + |101i),
3
1
|µ1 i = √ (|000i + |011i + |110i),
3
1
|µ2 i = √ (|000i + |101i + |110i),
3
1
|µ4 i = √ (|001i + |010i + |111i),
3
1
|µ6 i = √ (|010i + |100i + |111i),
3
1
|µ3 i = √ (|001i + |010i + |100i),
3
1
|µ5 i = √ (|001i + |100i + |111i),
3
1
|µ7 i = √ (|011i + |101i + |110i).
3
Considerando o estado |µ0 i =
ρA , ρAB e ρAC são, respectivamente:
2/3 0
0 1/3
,
√1 (|000i
3
+ |011i + |101i), temos que as matrizes

1/3 0
0 0
 0 1/3 1/3 0 


 0 1/3 1/3 0 
0
0
0 0

e

1/3 0 0 1/3
 0 1/3 0 0 
.

 0
0 0 0 
1/3 0 0 1/3

Com relação às matrizes ρAB ρ̄AB e ρAC ρ̄AC , temos, respectivamente,


0 0
0 0
 0 2/9 2/9 0 


 0 2/9 2/9 0 
0 0
0 0
e

2/9
 0

 0
2/9
0
0
0
0

0 2/9
0 0 
.
0 0 
0 2/9
Decorre que T r(ρAB ρ̄AB ) = T r(ρAC ρ̄AC ) = 4/9, λ1 = 0, λ2 = 2/3 e detρA =
2/9. De (2), temos que τAB = τAC = 4/9 e, de (3), que τA(BC) = 8/9. Por fim,
d1 = d2 = d3 = 0, o que implica, por (4), que τABC = 0. Efetuando os cálculos
para todos os estados candidatos |µ1 i, |µ2 i, |µ3 i, |µ4 i, |µ5 i, |µ6 i e |µ7 i, reproduzimos os
resultados obtidos para |µ0 i.
Analisando os valores dos tangles obtidos, observamos que há igualdade entre a
soma τAB + τAC e τA(BC) . Como já foi dito, trata-se de uma classe de estados maximamente emaranhados aos pares. Os representantes desta classe são os estados W, dados
por |µ3 i e |µ7 i. Observamos que, com exceção desses, nenhum dos outros contidos nesta
classe são simétricos e, provavelmente por isso não são citados na literatura.
4.3. Estados gerados por distribuição de quatro vértices com distância dois entre si
De acordo com a Tabela 1, os estados candidatos que obedecem tal distribuição são:
1
|η0 i = √ (|000i + |011i + |101i + |110i),
4
1
|η1 i = √ (|001i + |010i + |100i + |111i).
4
Analisando o estados |η0 i = √14 (|000i + |011i + |101i + |110i), temos que as
matrizes ρA , ρAB e ρAC são, respectivamente:
1/2 0
0 1/2
,


1/4 0
0 1/4
 0 1/4 1/4 0 


 0 1/4 1/4 0 
1/4 0
0 1/4
e


1/4 0
0 1/4
 0 1/4 1/4 0 


 0 1/4 1/4 0  .
1/4 0
0 1/4
Com relação às matrizes ρAB ρ̄AB e ρAC ρ̄AC , temos que
ρAB ρ̄AB = ρAC ρ̄AC


1/8 0
0 1/8
 0 1/8 1/8 0 

=
 0 1/8 1/8 0  .
1/8 0
0 1/8
Desta forma, temos T r(ρAB ρ̄AB ) = T r(ρAC ρ̄AC ) = 1/2, λ1 = λ2 = 1/2 e
detρA = 4. Decorre de (2) que τAB = τAC = 0, e de (3) que τA(BC) = 1. Por fim,
d3 = 1/16, d1 = d2 = 0, o que por (4) implica que τABC = 1. Os mesmos resultados são
obtidos para |η1 i.
Pelas considerações apresentadas, |η0 i e |η1 i também são estados com máximo
emaranhamento, caracterizados pelo máximo valor do emaranhamento residual. Observe
que a existência (matemática) de estados com quatro parcelas satisfazendo o máximo
valor do emaranhamento residual e, portanto, com características de estados com máximo
emaranhamento, era prevista pela própria definição de τABC , dada em (4). De fato, para
que esta equação assuma valor 1, é possível, por exemplo, supor que d 1 = d2 = 0 e
d3 = 1/16. Para que isso ocorra, há duas possibilidades, considerando que todas as
amplitudes sejam iguais: α0 = α3 = α5 = α6 = 1/2 ou α1 = α2 = α4 = α7 = 1/2,
exatamente a distribuição que define os estados |η0 i e |η1 i. Tais estados são obtidos a
partir da aplicação de portas de Hadamard nos estados GHZ dados por √12 (|000i + |111i)
e √12 (|000i − |111i), conforme sugerido pelo terceiro revisor.
5. Considerações finais
Apresentamos neste trabalho um procedimento que gera todos os estados maximamente
emaranhados com 3 q-bits. Tal procedimento foi gerado a partir do resultado que garante
que os estados maximamente emaranhados são estados puros, o que nos levou a restringir a procura a este segundo conjunto de estados. Além deste fato, foram fundamentais
para o desenvolvimento da proposta uma interpretação geométrica de um estado genérico
com 3 q-bits, o entendimento da entropia clássica como uma medida para a padronização
de um sistema e o conceito de distância de Hamming. A verificação de que os estados
apresentados pela proposta são de fato estados maximamente emaranhados foi feita via
um conjunto de operadores de medida de emaranhamento para estados com 3 q-bits denominados tangles. Salientamos a simplicidade dos conceitos envolvidos na obtenção do
procedimento apresentado.
Referências
Coffman, V., Kundu, J., and Wooters, W. K. (1999).
www.arXiv.org/quant-ph/9907047.
Distributed entanglement.
Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., and Laloë, F. (1977). Quantum Mechanics I and II. Hermann and John Wiley & Sons.
Cover, T. M. and Thomas, J. A. (1991). Elements of Informantion Theory. WileyInterscience.
Cunha, M. O. T. (2005). Emaranhamento: caracterização, manipulação e conseqüências.
Tese de Doutorado, UFMG.
Gazzoni, W. C., Lavor, C., e Palazzo Jr., R. (2006). Uma proposta de critério de separabilidade para estados quânticos com 3 q-bits Anais do Workshop-Escola de Computação e Informação Quântica (WECIQ 2006).
Nilsen, M. A. and Chuang, I. L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.
Santos, D. C. (2006). Em busca de um entendimento completo acerca do emaranhamento.
Dissertação de Mestrado, UFMG.
Wootters, W. K. (1998) Quantum entanglement as a quantifiable resource Phil. Trans. R.
Soc. London A 356, pp. 1717–1731.
Yu, C. S. and Song, H. S. (2005). Separability criterion of tripartite qubit systems. Phys.
Rev. A 72, 022333.