ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Princípio
multiplicativo
Generalizando
Para descrição das “dn” sucessivas decisões a serem
tomadas, temos que:
Se d1 : a primeira decisão a ser tomada, tenha m1
opções distintas.
Se d2 : a segunda decisão a ser tomada, tenha m2
opções distintas.
Se d3 : a terceira decisão a ser tomada, tenha m3
opções distintas.
..:..........................
Se dn : a n – ésima decisão a ser tomada, tenha mn
opções distintas.
Pelo princípio multiplicativo o produto
m1 × m2 × m3 × . . . × mn é o número total
agrupamentos que podemos formar. Pela
comutatividade da multiplicação (a ordem dos
fatores não altera o produto) o valor do
produto m1 × m2 × m3 × . . . × mn não se
altera, logo, as decisões podem ser tomadas
em qualquer que seja a ordem. Se alguma
decisão é mais complicada que as demais,
ela deve ser tomada em primeiro lugar.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Formar anagramas com três letras,
utilizando as 26 letras do alfabeto
A, B, C, ...,
J, K, L, ...,
W, ..., Z
m1
A, B, C, ...,
J, K, L, ...,
W, ..., Z
x
m2
A, B, C, ...,
J, K, L, ...,
W, ..., Z
x
Evitando excesso de fórmulas
Pela aplicação do PRINCÍPIO
MULTIPLICATIVO, podemos evitar 4
fórmulas .
m3
=
RESULTADO
FÓRMULAS QUE PODERÃO SER SUBSTITUIDAS PELO
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Permutação s/repetição
Permutação circular
s/repetição
Arranjo s/repetição
Arranjo c/repetição
Pn n !
Pn ( n -1) !
A n, p
n!
( n p )!
FÓRMULAS QUE NÃO PODERÃO SER SUBSTITUIDAS
PELO PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Permutação com
alguns elementos
repetidos
Combinação
s/repetição
Pn
a, b, c,...
C n,p
n!
a!b! c!...
n!
( n p ) !p !
A n,p n p
TESTES
1. Quantos números pares de três algarismos,
com repetição de pelo menos dois algarismos
ou sem repetição de algarismos, podem ser
formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4?
2. Quantos números pares de três algarismos
com algarismos sem repetição de algarismos
podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e
4?
3. (UFRJ-NCE) Cada região da figura abaixo vai ser
pintada de uma cor distinta. Usando quatro cores, o
total de diferentes pinturas da figura é igual a:
Pedrinho decidiu pintar sua bandeira utilizando as
quatro cores da bandeira do Brasil. De quantos
modos essa bandeira poderá ser pintada, se duas
listras seguidas devem, obrigatoriamente, ser de
cores diferentes?
3.
4.
4. (CESGRANRIO-TJ-RO) Pedrinho
precisava inventar uma bandeira para
representar seu grupo em um trabalho escolar.
Ele criou uma bandeira simples, de quatro
listras verticais, representada abaixo.
5. (UCS) Uma prova compõe-se de vinte
questões do tipo múltipla escolha, tendo cada
uma quatro alternativas distintas. Se todas as
vinte questões foram respondidas ao acaso, o
número máximo de maneiras de preencher a
folha de respostas será.
1
2
3
4
20
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
salada carne bebida Sobremesa
P. Calçados Paletós Calças
6. ( FGV - SP) Um restaurante oferece no
cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos
de carne, 5 variedades de bebidas e 3
sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja
uma salada, um prato de carne, uma bebida e
uma sobremesa. De quantas maneiras a
pessoa poderá fazer seu pedido ?
7. Do quantos modos pode vestir-se um
homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós
e 6 calças diferentes, usando sempre uma
calca, uma paletó e um par de sapatos?
8. (OBM) Na figura abaixo, temos 4
circunferências e alguns pontos destacados no
interior dessas circunferências. Escolhendo
exatamente um desses pontos dentro de cada
uma das circunferências, e unindo-os por
segmentos de reta que não se cruzam,
formamos um quadrilátero. Quantos
quadriláteros diferentes seremos capazes de
desenhar nessas condições?
Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas
condições?
X
x
X
x
X
x
X
x
11. (CESGRANRIO-PETROBRAS) Em uma fábrica
de bijuterias são produzidos colares enfeitados com
cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a
lado, como mostra a figura.
As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De
quantos modos distintos é possível escolher as cinco
contas para compor um colar, se a primeira e a última
contas devem ser da mesma cor, a segunda e a
penúltima contas devem ser da mesma cor e duas
contas consecutivas devem ser de cores diferentes?
9. (OBM) O alfabeto usado no planeta X tem
somente duas letras: X e x. O sobrenome
(nome de família) de cada um de seus
habitantes é uma seqüência formada por 4
letras. Por exemplo, xXxx é um possível
sobrenome utilizado nesse planeta. O maior
número de sobrenomes diferentes que podem
ser dados no planeta X é:
10. As finalistas do concurso Miss
Universo, são Miss Brasil, Miss Japão,
Miss Venezuela, Miss Itália e Miss
França. De quantas formas os juízes
poderão escolher o primeiro, o segundo e
terceiro lugar neste concurso?
As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De
quantos modos distintos é possível escolher as cinco
contas para compor um colar, se a primeira e a última
contas devem ser da mesma cor, a segunda e a
penúltima contas devem ser da mesma cor e duas
contas consecutivas devem ser de cores diferentes?
12. (PUC-SP) Um dia pode ter uma das 7
classificações: MB (muito bom), B (bom), R
(regular), O (ótimo), P (péssimo), S (sofrível) e
T(terrível). Os dias de uma semana são:
domingo, segunda-feira, terça-feira, quartafeira, quinta-feira, sexta-feira, sábado.
Quantas semanas com classificação distinta,
segundo o critério dado, existem?
13. Existem quatro estradas ligando duas
cidades A e B, e três estradas ligando as
cidades B e C. De quantos modos diferentes
uma pessoa pode se deslocar da cidade A até
a cidade C?
14. Uma sala possui 3 portas. Quantas
possibilidades existem para que uma pessoa
possa entrar e sair desta sala?
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sáb
Dom
MB
B
MB
B
MB
B
MB
B
MB
B
MB
B
MB
B
R
O
R
O
R
O
R
O
R
O
R
O
R
O
P
S
P
S
P
S
P
S
P
S
P
S
P
S
T
T
T
T
T
T
T
AA
B
B
C
15. (UFBA) Num determinado país, todo
rádio-amador possui um prefixo formado por
cinco símbolos, assim disposto: um par de
letras, um algarismo diferente de zero, outro
par de letras; por exemplo: PY-6-CF. O
primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV;
o segundo par só pode ser constituído das dez
primeiras letras do alfabeto, não havendo letras
repetidas. Nesse país, o número de prefixos
disponíveis é:
16. Sejam A, B, C, D, quatro cidades.
De quantos modos uma pessoa pode ir de A à
D passando pelas cidades B e C.
A
B
C
PY
PV
PT
1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9
A,B,C,D,
E,F,G,H,I
,J
A,B,C,D,
E,F,G,H,I
,J
17. (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas,
então o número de maneiras distintas de se
entrar nela e sair da mesma por uma porta
diferente é:
D
18. (TRF) Para entrar na sala da diretoria de
uma empresa é preciso abrir dois cadeados.
Cada cadeado é aberto por meio de uma
senha. Cada senha é constituída por 3
algarismos distintos. Nessas condições, o
número máximo de tentativas para abrir os
cadeados é
SALA
DIRETORIA
19. Considere os eixos coordenados x e y e o
conjunto M = { M1, M2, ... , M12 } cujos elementos
estão assinalados na figura abaixo.
C2
C1
O número de quadriláteros convexos que possuem
vértices pertencentes a M e diagonais sobre os eixos
é:
19.
21. (UFRJ-NCE) Há seis caminhos que ligam o
acampamento A ao acampamento B e há três
caminhos ligando o acampamento B ao
acampamento C. Não há caminhos diretos de
A para C. Um grupo de pessoas quer ir de A
para C, passando por B. O número de trajetos
diferentes que podem ser escolhidos é:
20. (UFPR) Numa certa rede bancária, cada
um dos clientes possui um cartão magnético e
uma senha formada por seis dígitos. Para
aumentar a segurança e evitar que os clientes
utilizem datas de aniversário como senha, o
banco não permite o cadastro de senhas nas
quais os dois dígitos centrais correspondem
aos doze meses do ano, ou seja, senhas em
que os dois dígitos centrais sejam 01,02,...,12
não podem ser cadastradas. Quantas senhas
diferentes podem ser compostas dessa forma?
(CESPE-UnB) Com base no texto que segue,
responda as próximas quatro perguntas. Use E
para a afirmativa errada e C para a correta.
Conta-se na mitologia grega que Hércules, em
um acesso de loucura, matou sua família. Para
expiar seu crime, foi enviado à presença do rei
Euristeu, que lhe apresentou uma série de
provas a serem cumpridas por ele, conhecidas
como Os doze trabalhos de Hércules. Entre
esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de
Neméia, capturar a corça de Cerinéia e
capturar o javali de Erimanto.
Considere que a Hércules seja dada a escolha
de preparar uma lista colocando em ordem os
doze trabalhos a serem executados, e que a
escolha dessa ordem seja totalmente aleatória.
Além disso, considere que somente um
trabalho seja executado de cada vez. Com
relação ao número de possíveis listas que
Hércules poderia preparar, julgue os
itens subseqüentes.
22. (CESPE) O número máximo de possíveis
listas que Hércules poderia preparar é superior
a 12 × 10!.
23. (CESPE) O número máximo de possíveis
listas contendo o trabalho “matar o leão de
Neméia” na primeira posição é inferior a
240 × 990 × 56 × 30.
24. (CESPE) O número máximo de possíveis
listas contendo os trabalhos “capturar a corça
de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o
javali de Erimanto” na terceira posição é inferior
a 72 × 42 × 20 × 6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
25. (CESPE) O número máximo de possíveis
listas contendo os trabalhos “capturar a corça
de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto”
nas últimas duas posições, em qualquer
ordem, é inferior a 6! × 8!.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
1
1
2
12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
26. (EU-CE) A quantidade de números inteiros
compreendidos entre os números 1000 e 4500
que podemos formar utilizando somente os
algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não
figurem algarismos repetidos, é:
compreendidos entre 1000 e 4500
somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7.
27. (CESGRANRIO) Para ter acesso a um
arquivo, um operador de computador precisa
digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos,
formada de duas letras e três algarismos. Ele
se lembra dos símbolos, mas não da seqüência
em que aparecem. O maior número de
tentativas diferentes que o operador pode fazer
para acessar o arquivo é:
28. (CESGRANRIO-EPE) Quantas são as
possíveis ordenações das letras da palavra
BRASIL, tais que a letra B figure na 1ª posição
ou a letra R figure na 2ª posição?
29. (CESPE- PC/TO) Um policial civil possui uma
vestimenta na cor preta destinada às solenidades
festivas, uma vestimenta com estampa de
camuflagem, para operações nas florestas. Para o
dia-a-dia, ele possui uma calça na cor preta, uma
calça na cor cinza, uma camisa amarela, uma camisa
branca e uma camisa preta. Nessa situação, se as
vestimentas de ocasiões festivas, de camuflagem e
do dia-a-dia não podem ser misturadas de forma
alguma, então esse policial possui exatamente 7
maneiras diferentes de combinar suas roupas.
Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e
Roberto sejam, não necessariamente nesta
ordem, os cinco primeiros classificados em um
concurso, julgue os itens seguintes.
30. (CESPE–BB) Existem 120 possibilidades
distintas para essa classificação.
31. (CESPE–BB) Com André em primeiro
lugar, existem 20 possibilidades distintas para
a classificação.
32. (CESPE–BB) Com Bruna, Leila e Roberto
classificados em posições consecutivas,
existem 36 possibilidades distintas para
classificação.
33. (CESPE–BB) O número de possibilidades
distintas para a classificação com um homem
em último lugar é 144.
Considerando que uma empresa tenha 5
setores, cada setor seja dividido em 4
subsetores, cada subsetor tenha 6 empregados
e que um mesmo empregado não pertença a
subsetores distintos, julgue os itens
subsequentes.
34. (CESPE- BB) O número de subsetores
dessa empresa é superior a 24.
Considerando que uma empresa tenha 5
setores, cada setor seja dividido em 4
subsetores, cada subsetor tenha 6 empregados
e que um mesmo empregado não pertença a
subsetores distintos, julgue os itens
subsequentes.
35. (CESPE- BB) O número de empregados
dessa empresa é inferior a 125.
36. (CESPE-BB)) As 4 palavras da frase
“Dançam conforme a música” podem ser
rearranjadas de modo a formar novas frases de
4 palavras, com ou sem significado. Nesse
caso, o número máximo dessas frases que
podem ser formadas, incluindo a frase original,
é igual a 16.
Julgue os itens seguintes quanto aos
princípios de contagem.
37. (CESPE–BB) Uma mesa circular tem seus
6 lugares que serão ocupados pelos 6
participantes de uma reunião. Nessa situação,
o número de formas diferentes para se ocupar
esses lugares com os participantes da reunião
é superior a 10².
É apresentada ao cliente uma tela em que as 24
primeiras letras do alfabeto estão agrupadas em 6
conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com
a primeira letra do seu código de acesso, o cliente
deve selecionar na tela apresentada o único conjunto
de letras que a contém. Após essa escolha, um novo
agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6
novos conjuntos é mostrado ao cliente, que deve
então selecionar o único conjunto que inclui a
segunda letra do seu código. Esse processo é
repetido para a entrada da terceira letra do código de
acesso do cliente.
Dica de segurança: saiba mais sobre o código de
acesso
O código de acesso consiste em uma seqüência de
três letras distintas do alfabeto, gerada
automaticamente pelo sistema e informada ao cliente.
Para efetuar transações a partir de um terminal de
auto-atendimento, esse código de acesso é exigido
do cliente pessoa física, conforme explicado a seguir.
A figura abaixo ilustra um exemplo de uma tela com
um possível agrupamento das 24 primeiras letras do
alfabeto em 6 conjuntos.
Com base nessas informações,
julgue os itens a seguir.
38. (CESPE–BB) Considerando que o BB
tenha 15,6 milhões de clientes pessoa física e
que todos possuam um código de acesso como
descrito acima, conclui-se que mais de 1.000
clientes do BB possuem o mesmo código de
acesso.
39. (CESPE–BB) Utilizando-se as 24 primeiras
letras do alfabeto, é possível formar um
conjunto de 4 letras distintas de mais de 10.000
maneiras diferentes.
40. (CESPE-MPE-AM) Considere que, em um
edifício residencial, haja uma caixa de
correspondência para cada um de seus 79
apartamentos e em cada uma delas tenha sido
instalada uma fechadura eletrônica com código
de 2 dígitos distintos, formados com os
algarismos de 0 a 9. Então, de todos os
códigos assim formados, 11 deles não
precisaram ser utilizados.
42. (CESPE-ANAC) Os prefixos de aeronaves
podem ser iniciados por duas letras, seguidas
de três letras. Por exemplo, PT-GYK é o prefixo
de uma aeronave monomotor do aeroclube de
Brasília. Portanto, considerando-se um alfabeto
com 26 letras, a quantidade de prefixos de
aeronaves que podem ser iniciados por PT é
inferior a 13.000.
FATORIAL “ ! ”
41. (CESPE-ANAC) Há 24 modos de essas 5
pessoas se posicionarem em torno de uma
mesa redonda.
FATORIAL “ ! ”
• 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120
• 4 ! = 4.3.2.1 = 24
• 3 ! = 3.2.1 = 6
• 2 ! = 2.1 = 2
•1!=1
•0!=1
( por definição)
OPERAÇÕES EM FATORIAL “ ! ”
Por exemplo:
• 6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720
• 6 ! = 6.5.4.3.2 !
• 6 ! = 6.5.4.3 !
• 6 ! = 6.5.4 !
• 6 ! = 6.5 !
10 !
=
6!
10 !
=
6!
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS
NEM TODOS DISTINTOS
Definição
Se um agrupamento é formado por n
elementos nem todos distintos, em que:
n é igual ao total de elementos que forma
o agrupamento.
Estejam dispostos numa linha poligonal
aberta.
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS NEM TODOS
DISTINTOS
Definição (continuação)
Um agrupamento seja diferente do outro apenas
pela posição relativa de pelo menos um elemento.
Haja ocorrência de repetição de pelo menos
um elemento de mesma natureza no
agrupamento.
a, ß, , . . ., indiquem as quantidades de
elementos de cada natureza. Neste caso vale a
relação a + ß + + ...+ = n.
TESTES
Pna,ß, ,...
n!
a ! ß ! ! ...
01. O número de anagramas distintos que
podem ser formados com as letras da
palavra ALUNO é:
02. Quantos anagramas com as
letras da palavra PALCO,
PALCO
podemos formar de maneira que
as letras A e L apareçam sempre
juntas ?
P
AL
C
03.
“L” 26 letras
L
L
O
P
LA
C
O
04. Qual é o número possível de anagramas
que se pode montar com as letras da palavra
AMA?
e “N” 0 a 9.
N
N
03. (ESAF) A senha para um programa de
computador consiste em uma seqüência LLNNN,
onde “L” representa uma letra qualquer do
alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo
de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou
não ser repetidos, mas é essencial que as letras
sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos
algarismos. Sabendo que o programa não faz
distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o
número total de diferentes senhas possíveis é
dado por:
N
05. Quantos números de cinco algarismos
podemos escrever apenas com os dígitos
1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições
apresentadas ?
06. Quantos anagramas da palavra
SUCESSO começam por S e terminam com
O?
07.(UFSM-RS) De quantas maneiras distintas
podem-se alinhar cinco estacas azuis
idênticas, uma vermelha e uma branca?
7 faixas coloridas de dimensões iguais,
3 faixas são verdes e indistinguíveis,
3 faixas são amarelas e indistinguíveis e
1 faixa é branca
10. O número de anagramas da palavra
“CANETA” em que as vogais aparecem
juntas é 72.
08. (UnB-CESPE) Considere que um
decorador deva usar 7 faixas coloridas de
dimensões iguais, pendurando-as
verticalmente na vitrine de uma loja para
produzir diversas formas. Nessa situação, se
3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas
são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é
branca, esse decorador conseguirá produzir,
no máximo, 140 formas diferentes com essas
faixas.
09(PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo,
Renato e Ernesto querem formar uma sigla
com cinco símbolos, onde cada símbolo é a
primeira letra de cada nome. O número total
de siglas possíveis é:
11. (CESPE- BB) Considerando todas as 26
letras do alfabeto, a quantidade de palavras
de 3 letras que podem ser formadas, todas
começando por U ou V, é superior a 2 × 103.
ARRANJO SEM REPETIÇÃO
ARRANJO SEM REPETIÇÃO
Definição
Definição
Seja A um conjunto com n elementos
distintos, toda a formação de agrupamentos
com p elementos diferentes, em que:
n p
p é a quantidade de elementos diferentes
no agrupamento.
Estejam dispostos numa linha poligonal
aberta.
Os agrupamentos tenham todos p
elementos distintos.
Os agrupamentos sejam diferentes entre si
pela natureza de pelo menos um elemento ou
por sua posição relativa.
ARRANJO COM REPETIÇÃO
Definição
A n ,p
n!
( n p)!
Seja A um conjunto com n elementos
distintos, toda a formação de agrupamentos
com p elementos iguais ou diferentes, em que:
Ou n > p, ou n = p ou n < p.
p é a quantidade de elementos iguais ou
diferentes no agrupamento.
Estejam dispostos numa linha poligonal
aberta.
Definição (continuação)
Os agrupamentos tenham todos p
elementos iguais ou diferentes.
Podendo, qualquer elemento figurar no
mesmo agrupamento até p vezes.
Os agrupamentos sejam diferentes entre si
pela natureza de pelo menos um elemento ou
por sua posição relativa.
A n, p n p
COMBINAÇÃO SEM REPETIÇÃO
Definição
Definição (continuação)
Seja A um conjunto com n elementos
distintos, toda a formação de subconjuntos de
A com p elementos diferentes, em que:
n
p
p é a quantidade de elementos diferentes
no subconjunto.
Os subconjuntos tenham todos p elementos
diferentes.
Os subconjuntos sejam diferentes entre si
somente pela natureza de pelo menos um
elemento.
TESTES
C n ,p
n!
( n p)! p!
01. (OSEC) De um grupo de estudos de vinte
pessoas, onde seis são médicos, deseja-se
formar comissões de dez pessoas, sendo que
todos os médicos devem ser incluídos em
cada comissão. O número de formas para
elaborar as comissões pode ser dado por:
02. (UF-SM) Considerando o número de 5
4
algarismo distintos 2
,o número
de formas possível para preencher as
lacunas, de modo a obter um múltiplo de 5 é:
2
4
2
4
15 questões para escolher resolver 10
6 professores e 4 alunos
3 professores e 2 alunos
03. Uma prova consta de 15 questões
das quais o aluno deve resolver 10. De
quantas formas diferentes ele poderá
escolher as 10 questões?
04. Para resolver um assunto entre 6
professores e 4 alunos, desejamos formar
comissões contendo 3 professores e 2
alunos. Quantas são as possibilidades?
(CESPE) Em uma reunião social, cada
convidado cumprimentou uma única vez todos
os outros com um aperto de mão, o que
resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse
contexto, é correto afirmar que
05. Apenas 12 pessoas participaram da
reunião.
...resultou em 45 desses cumprimentos.
12 pessoas participaram da reunião.
Grupo de 10 pessoa
Formar equipes de 5
18. O numero de triângulos distintos
determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre
uma reta e 3 sobre uma paralela á primeira,
é:
06.(UFRJ-NCE) A partir de um grupo de 10
pessoas, deseja-se formar duas equipes de 5
para disputar uma partida de vôlei de praia.
De quantas formas distintas pode-se formar
as equipes?
07. Em uma empresa de 10 sócios, deseja-se
formar diretorias com 4 membros. Quantas
diretorias distintas podem ser formadas.
08.
P
P
P
A
09.(UFF-RJ) A partir de um grupo de 6
alunos e 5 professores será formada uma
comissão constituída por 4 pessoas das
quais, pelo menos duas devem ser
professores.
Determine de quantas formas distintas tal
comissão pode ser formada.
P
10. (ESAF) Em um campeonato de tênis
participam 30 duplas, com a mesma
probabilidade de vencer. O número de
diferentes maneiras para a classificação dos
3 primeiros lugares é igual a:
• O número de países representados nos
Jogos Pan-Americanos realizados no Rio
de Janeiro foi 42, sendo 8 países da
América Central, 3 da América do Norte,
12 da América do Sul e 19 do Caribe.
Com base nessas informações, julgue os
itens que se seguem.
AS = América do Sul
12
AC = América central
8
CA = Caribe
AN = América do Norte
19
3
P
A
A
P
P
P
P
11. (CESPE-BB) Se determinada
modalidade esportiva foi disputada por
apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da
América do Norte participante dos Jogos
Pan-Americanos, então o número de
possibilidades diferentes de classificação
no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.
AN
12. (CESPE-BB) Há, no máximo, 419
maneiras distintas de se constituir um
comitê com representantes de 7 países
diferentes participantes dos Jogos PanAmericanos, sendo 3 da América do Sul, 2
da América Central e 2 do Caribe.
3
AN AN AN
AS AS AS
AC AC AC
AC AC
AN AN
AC AC AC AC
AN
AC AC AC AC AC
CA
CA
13. (CESPE-BB) Considerando-se apenas
os países da América do Norte e da
América Central, participantes dos Jogos
Pan-Americanos, a quantidade de comitês
de 5 países que poderiam ser constituídos
contendo pelo menos 3 países da América
Central é inferior a 180.
AC AC AC
AN AN
AC AC AC AC
AN
14. (CESPE-BB) Considerando-se que, em
determinada modalidade esportiva, havia
exatamente 1 atleta de cada país da
América do Sul participante dos Jogos
Pan-Americanos, então o número de
possibilidades distintas de dois atletas
desse continente competirem entre si é
igual a 66.
Nessa situação, sabendo que cada
funcionário fará exatamente um curso de
cada língua estrangeira, um determinado
empregado disporá de exatamente 7
duplas distintas de professores para
escolher aqueles com os quais fará os
seus cursos.
AC AC AC AC AC
15. (CESPE-B Brasília) Considere a
seguinte situação hipotética.
Para oferecer a seus empregados cursos
de inglês e de espanhol, uma empresa
contratou 4 professores americanos e 3
espanhóis.
Assinale o que for correto:
16. Com um grupo de 6 pessoas podem ser
formadas 15 comissões diferentes de 4
pessoas cada.
17. (OSEC) De um grupo de estudos de
vinte pessoas, onde seis são médicos,
deseja-se formar comissões de dez pessoas,
sendo que todos os médicos devem ser
incluídos em cada comissão. O número de
formas para elaborar as comissões pode ser
dado por:
18. (CESGRANRIO) Uma empresa tem um
quadro de funcionários formado por 3
supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é
escalada para o trabalho uma equipe com 1
supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes
diferentes podem ser escaladas?
19. (CESGRANRIO-EPE) Um grupo é
formado por 7 pessoas, dentre as quais
estão Lúcio e Pedro. De quantas maneiras
diferentes é possível escolher 4 pessoas
desse grupo de forma que Lúcio e Pedro não
façam parte, simultaneamente, dos quatro
selecionados?
20. (CESPE- BB) Em um torneio em que 5
equipes joguem uma vez entre si em turno
único, o número de jogos será superior a 12.
Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os
clientes do Banco do Brasil Estilo podem
verificar que, atualmente, há 12 tipos
diferentes de fundos de investimento Estilo à
sua disposição, listados em uma tabela. Com
respeito à quantidade e diversidade de fundos
disponíveis, julgue os itens subseqüentes.
21. (CESPE–BB) Um cliente do Banco do
Brasil Estilo que decidir escolher 3 fundos
diferentes para realizar seus investimentos
terá, no máximo, 13.200 escolhas distintas.
22. (CESPE–BB) Se o Banco do Brasil decidir
oferecer os fundos de investimento Estilo em 4
pacotes, de modo que cada pacote contemple
3 fundos diferentes, então a quantidade de
maneiras distintas para se montar esses
pacotes será superior a 350 mil.
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