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1
Unidade I - Erros nas aproximações numéricas.
I.1 - Considerações gerais.
Há várias situações em diversos campos da ciência em que operações numéricas são
utilizadas com valores aproximados e conseqüentemente obtemos resultados aproximados.
Os principais motivos que concorrem para a inexatidão das operações são:
I. Uso de dados provenientes de medições . Nas medições temos dois tipos de erros:
A. Erros sistemáticos → são devidos à falta de perfeição na construção,
regulagem,
etc., do instrumento de medida utilizado no processo.
B. Erro fortuitos → são devidos às variações acidentais (ao acaso) de
temperatura,
II.
Uso de dados matemáticos inexatos → são erros provenientes da própria natureza dos
números como 2 , π, e .
III.
Uso de dados provenientes de tabelas → as tabelas contém um número fixo de casas
decimais.
IV. Uso de dados inexatos provenientes da supressão de algarismos :
Exemplo: Seja calcular o valor de K = (C . D) + E , onde C = 3,1234 ; D = 18,134 ;
E = 5,52014 ; neste caso K = 62,159875.
Se utilizar-mos para C = 3,12 ; D = 18,1 ; E = 5,52 ; teremos K = 61,992.
IV.
Aproximações devido à fórmulas de resolução aproximadas.
Seja, por exemplo, calcular
1,05 . Se desenvolver-mos f(x) =
em
torno de x0=1 e aplicar para x=1,05, temos:
1
1 0,052 3 0,053
x = 1 + × 0,05 − . × .
. + .× .
. − ... ≅ 1,024695313
2
4
2
8
6
VI. Ordem de cálculo nas operações:
Exemplo: Calcular o valor de V =
A+B
, onde A=1, B=2, C=3;
C
1º o modo : V =
1+ 2
= 1;
3
2ºº modo: V =
A B 1 2
+ = + = 0,333...+0,666... = 0,999...
C C 3 3
x em Série de Taylor
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2
VII. Uso de rotinas inadequadas de cálculo.
Exemplo: Seja calcular o valor médio de p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e .
Neste caso temos total de 4 adições e 10 multiplicações, a saber:
ax4 = a·x·x·x·x
→ 4 multiplicações
bx3 = b·x·x·x
→ 3 multiplicações
cx2 = c·x·x
→ 2 multiplicações
dx = d·x
→ 1 multiplicação
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini-Hormer:
p(x) = {[(a ⋅ x + b) ⋅ x + c] ⋅ x + d} ⋅ x + e , temos pois
multiplicações.
4 adições e 4
Conclusão: o segundo método é mais preciso que o primeiro.
VIII. Enganos: são erros devido à falta de cuidado do calculista que poderá escrever números
e sinais trocados devido à sua habilidade e rapidez.
I.2 - Números aproximados
Definição : Número aproximado é a aproximação de um valor exato, sendo a
diferença entre os dois bem pequena. Consideramos um valor exato quando não existe
aproximação ou incerteza associado a ele.
I.3 - Algarismos significativos de um número
Definição : Os dígitos 1, 2, 3, …, 9 constituem algarismos significativos de um
número. O dígito 0 (zero) também constitui um significativo, exceto nas casos em que é usado
para fixar a posição da parte decimal ou preencher casas decimais de dígitos desprezados ou
desconhecidos.
Exemplo: 3,124 = 0,3124 × 101 → 4 significativos
405 = 0,405 × 103→ 3 significativos
0,0095 = 0,95 × 10-2 → 2 significativos
45,1300 = 0,451300 × 102 → 4 significativos se os zeros estiverem preenchendo casas
decimais vazias
→ 6 significativos se os zeros vieram do arredondamento:
45,12999 ≅ 45,1300
I.4 - Arredondamento de um número
Definição : Arredondar um número é guardar uma certa quantidade de dígitos,
contados a partir da esquerda para a direita, e ignorando conseqüentemente os demais dígitos
do número.
Para que o arredondamento ocasione o menor erro possível, empregamos a seguinte
regra:
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3
Se desejarmos um número com n algarismos e o último algarismo é X, o algarismo X
deve ser arredondado da seguinte forma:
a) de X5000...1 a X9999... , adiciona-se 1 unidade ao algarismo X;
b) de X00000... a X49999.... os algarismos excedentes são eliminados, e o algarismo
X permanece inalterado;
c) No caso X50000..., então:
c. 1 - deixa-se o al algarismo X inalterado se X for par;
c. 2 - acrescenta-se 1 unidade ao algarismo X se ele for ímpar:
Exemplo: 2,45879 → 2,459
2,45376 → 2,45
4,67857 → 4,679
4,67757 → 4,678
4,67500 → 4,68
4,66500 → 4,66
I.5 - Tipos de Erro
Seja Q o valor exato e Q * o valor aproximado de um número.
I.5.1 - Erro Absoluto
Definição :. Definimos erro absoluto como sendo a diferença em módulo entre o
valor exato e o valor aproximado. Denotaremos por ∆ .
∆Q = Q - Q *
I.5.2 - Erro Relativo
Definição : É a razão entre o erro absoluto e o valor exato do número.
Denotaremos por δ .
δQ=
∆Q
= |Q - Q*| / Q
Q
∆Q
se
Q*
α = ( x − x*) / x , então ( x − x*) / x* = α /(1 − α ) .
OBS: Note que δ Q é próximo a
Q* for próximo a Q. Precisamente, se
Em geral, quando dispormos do valor verdadeiro, vamos utiliza-lo no calculo do erro relativo,
mas senão podemos utilizar o valor aproximado.
I.5.3 - Erro Percentual Relativo
Definição : É o erro relativo expresso em percentagem. Denotaremos por .
δ Q% =
Exemplos:
1)
Q = 3,251408
Q* = 3,2524634
∆Q
× 100 = |Q – Q*| / Q × 100
Q
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4
∆Q = ⎜Q – Q* ⎜= 1,0554 . × 10-3
δ Q = 3,245978 ⋅10 −4
δ Q % = 100 × 3, 245978 ⋅ 10 −4 = 0,03245978 %
2) Comprimento real → L= 5 Km
Comprimento aproximado → L * =5,1 Km
δL=
5,0 − 5,1
5,0
= 0,02 → relativo
δ L%= 2 % → percentual relativo
3) Pressão real: 10 Kg/cm2
Pressão aproximada: 10,5 Kg/cm2
∆ p = 0,5 Kg/cm 2
δ p = 0,05 e δ p % = 5 %
Observação:
1) Os erros relativo e percentual relativo são quantidades adimensionais, permitindo comparar
erros de quantidades homogêneas ou não-homogêneas.
2) Se um número é arredondado com t algarismos significativos, é claro que o erro absoluto
cometido em seu arredondamento é menor ou igual a:
∆ Q = Q - Q * ≤ 0 , 5 ⋅ 10 e − t , onde e é o expoente de Q na forma 0 , d 1 d 2 K d k × 10 e e t é o
número de algarismos significativos.
EX1:
Q = 3,45789
Q* = 3,458
∆ Q = 3,45789 - 3,458 = 0 , 00011 = 0 ,11 ⋅ 10 − 3 < 0 , 5 ⋅ 10 1 − 4
t = 4, e = 1
EX2:
Q = 345,789
Q* = 345,8
∆ Q = 345,789
- 345,8
= 0 , 011 = 0 ,11 ⋅ 10
−1
< 0 , 5 ⋅ 10 3 − 4
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5
t = 4, e = 3
EX3:
Q = 0,00345789
Q* = 0,003458
∆ Q = 0,00345789 - 0,003458 = 0 , 0000011 = 0 ,11 ⋅ 10 − 6 < 0 ,5 ⋅ 10 − 2 − 4
t = 4, e = -2
1.1 I.5.4 - Cota Superior de Erro Absoluto
Definição : Cota superior de erro absoluto é o limite máximo permitido para o erro
absoluto e denotaremos como α.
∆Q < α
I.5.5 - Cota Superior de Erro Relativo
Definição: De modo análogo definimos cota superior de erro relativo, e
denotamos por β.
δQ < β
Observação: Normalmente escolhemos a potência de 10 mais próxima do valor da
cota superior de erro sempre por majoração. Com isto estaremos nos referindo ao erro como
sendo da ordem de 10N, N ∈ Z .
∞
Aplicação: Considere
e=∑
i=0
1
i!
7
e
e* = ∑
1 1
1 1 1
e = 1 + 1 + + +...+ + + +...
2 ! 3!
7! 8! 9!
1 1
1
e* = 1 + 1 + + +...+
2 ! 3!
7!
1 1
1
absoluto: ∆e = e − e * = + +
+...
8 ! 9 ! 10 !
1
1
=
8! 8!
1
1
=
9 ! 8 !⋅ 9
i=0
1
, determine a cota superior de erro
i!
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6
1
1
1
=
<
10 ! 8 !⋅ 9 ⋅ 10 8 !⋅ 9 2
1
1
1
=
<
11! 8 !⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11 8 !⋅ 93
1⎛ 1 1
1
1
⎞
→ P.G. ilimitada decrescente com q =
∆e < ⎜1 + + 2 + 3 +...⎟
⎠
8! ⎝ 9 9
9
9
1
1
⇒ ∆e < 0,279017 ⋅ 10 −4 ⇒ ∆e < 0,3 ⋅ 10 −4
∆e < ⋅
8! 1 − 1
9
Logo a cota superior de erro absoluto é 10-4.
Exemplo2:
Q = 0,314159265... x 101 , arredondando para 5 algarismos, temos:
Q* = 0,31416 x 101,
∆e = 0,735... ⋅ 10−5 < 10−5
Exemplo 3:
Q= 0,3456789 x 101, arredondado para 5 algarismos, temos:
Q*=0,34568 x 101,
∆e = 0,11⋅10 −4 < 10 −4
Logo, a cota superior para o erro absoluto é 10-4.
I.5.6 - Propagação de Erro em Operações Elementares
Aqui
vamos
utilizar
fórmula: δ Q = | Q − Q * | .
| Q* |
a
definição
de
erro
relativo
dada
pela
seguinte
A. Adição
A.1 - Erro Absoluto:
Considere x e y valores exatos, x* e y* valores aproximados de x e y
respectivamente, ∆x e ∆y os erros associados a x e y respectivamente.
x + y = ( x * + ∆x ) + ( y * + ∆y ) = ( x * + y*) + ( ∆x + ∆y )
∆ x + y = ∆x + ∆y
A.2 - Erro Relativo: (observe que aqui é usado o valor aproximado x* no cálculo
do erro relativo)
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x*
y*
∆y
∆( x + y ) ∆x + ∆y ∆x
⋅
=
=
=
⋅
+
x*+y* x*+y* x* x*+y* y* x*+y*
x*
y*
= δx
+ δy
x*+y*
x*+y*
x*
y*
=
⋅ δx +
⋅ δy
x*+y*
x*+y*
δ x+ y =
δ x+ y
Exemplo:
X* = 55, ∆ X = 3, Y* = 23, ∆ Y = 2,
X* + ∆ X + Y* + ∆ Y = 55 ± 3 + 23 ± 2 ,
Casos extremos:
55+3+23+2=78+5,
55-3+23-2=78-5, então:
78 – 5 < X* + Y* = 78 < 78 + 5 (piores casos)
(X* + Y*) = 78 , ∆ X +Y = 5 =3 + 2,
∆ X +Y
5
=
= 0,064102564
X * +Y * 78
55 3 23 2
3
2
5
X*
Y*
=
δX +
δY = ⋅ + ⋅ = + =
78 55 78 23 78 78 78
X * +Y *
X * +Y *
δ X +Y =
δ X +Y
B. Subtração
B.1 - Erro Absoluto:
∆ x − y = ∆x + ∆y
B.2 - Erro Relativo:
δ x− y =
y*
x*
⋅ δx +
⋅ δy
x*−y*
x*−y*
Exemplo:
X* = 55, ∆ X = 3, Y* = 23, ∆ Y = 2,
(X* + ∆ X )- (Y* + ∆ Y) = (55 ± 3) – (23 ± 2) ,
Casos extremos:
55+3-(23-2)=32+5,
55-3-(23+2)=32-5, então:
32 – 5 < X* - Y* = 32 < 32 + 5 (piores casos)
(X* - Y*) = 32 , ∆ X −Y = 5 = 3 + 2,
7
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δ X −Y =
∆ X −Y
5
=
= 0,15625
X * −Y * 32
δ X −Y =
55 3 23 2
3
2
5
X*
Y*
δX +
δY = ⋅ + ⋅ = + =
32 55 32 23 32 32 32
X * −Y *
X * −Y *
C. Multiplicação
C.1 - Erro Absoluto:
x ⋅ y = ( x * + ∆y ) ⋅ ( y * + ∆y ) = x * y * + x * ∆y + y * ∆x + ∆x∆y
∆ xy = x * ∆y + y * ∆x
∆x∆y é descartado pois é desprezível comparado aos outros termos.
C.2 - Erro Relativo:
δ xy =
δ xy
∆ xy
x* y*
= δx + δ y
=
x * ∆y + y * ∆x ∆y ∆x
=
+
= δ y + δx
x* y*
y* x*
Exemplo:
X* = 55, ∆ X = 3, Y* = 23, ∆ Y = 2,
(X* + ∆ X ) · (Y* + ∆ Y) = (55 ± 3) · (23 ± 2) , então
(55+3)*(23+2)= 1265 + 69 + 110 + 6 = 1450,
(55-3)*(23-2)=1265 -69 -110 + 6 = 1092,
1265 – 173 < X* · Y*=1265 < 1265 + 185 (piores casos)
∆ X ⋅Y <185, porém usaremos ∆ X ⋅Y = 179 = 55*2+23*3 (excluindo 2*3=6)
(X* · Y*) = 1265, ∆ X ⋅Y = 179 = 110 + 69,
δ X ⋅Y =
∆ X ⋅Y
179
=
= 0,141501976
X * ⋅Y * 1265
δ X ⋅Y = δX + δY =
3
2
+
= 0,05454... + 0,086956521 = 0,141501976
55 23
D. Divisão
D.1 - Erro Absoluto:
x * + ∆x 1
1
x * + ∆x
1
x x * + ∆x x * + ∆x
y*
x * + ∆x
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
y * + ∆y
y * + ∆y
y * 1 + δy
y*
y y * + ∆y
y*
y * + ∆y
y*
y*
y*
8
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9
Desenvolvendo em série MacLaurin, temos: 1 − δy + 2δ 2 y +...
Desprezando as potências de ordem igual ou superior a 2, temos:
1
≈ 1 − δy
1 + δy
x x * + ∆x
x * ∆x x * ∆y ∆x∆y
∆y
(1 − ) =
≈
+
−
−
y
y*
y*
y * y * y *2
y *2
y * ∆x + x * ∆y
∆ xy ≈
y *2
Como os erros são dados em valor absoluto, eles são somados (veja também que ao igual que
na multiplicação o último termo é descartado).
D.2 - Erro Relativo:
δ =
x
y
∆ xy
x*
y*
=
y * ∆x + x * ∆y y * y * ∆x x * ∆y
⋅
=
+
= δx + δy
y *2
x* y* x* y* x*
δ xy = δx + δy
Exemplo:
X* = 55, ∆ X = 3, Y* = 23, ∆ Y = 2,
(X* + ∆ X ) / (Y* + ∆ Y) = (55 ± 3) / (23 ± 2) , então os casos extremos são:
(55+3)/(23-2)=58/21=2,761904762,
(55-3)/(23+2)=52/25=2,08,
2,08 < X* / Y* = 2,391304348 < 2,761904762 (pior caso)
2,391304348 – 0,311304347 < 2,391304348 < 2,391304348 + 0,370600414 (pior caso)
(X* / Y*) = 2,391304348, ∆ X / Y = 0,370600414,
23 ⋅ 3 + 55 ⋅ 2 179
=
= 0,338374291 , que é o resultado sem a
232
529
6
∆x∆y 3 ⋅ 2
contribuição do termo
= 2 =
= 0,011342155
2
529
23
y
mas podemos tomar: ∆ X / Y =
δ X /Y =
∆ X /Y
0,370600414
=
= 0,154978354 valor obtido utilizando o pior caso
X * / Y * 2,391304348
δ X / Y = δX + δY =
δ X / Y = δX + δY +
3
2
+
= 0,05454... + 0,086956521 = 0,141501976 valor aproximado.
55 23
2
3⋅ 2
∆x∆y 3
=
+ +
= 0,05454... + 0,086956521 + 0,0047430830 = 0,146245059
x
55 23 55 ⋅ 23
y2
y
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OBS: Vamos utilizar o valor δ X / Y = δX + δY = 0,141501976
I.6 - Algarismos significativos exatos contidos em um número
aproximado.
Definição: Consideramos que os “n” primeiros algarismos de um número são exatos
quando o erro absoluto não exceder a uma unidade na enésima casa, contando-se da esquerda
para a direita.
p = 3,1415926
p* = 3,1416
∆p = 0,0000074 < 0,00001
A precisão de um resultado é função do número de algarismos significativos exatos
contidos no número. Há uma relação entre o erro relativo e o número de algarismos
significativos exatos.
Teorema I :
Se o 1o. algarismo significativo de um número aproximado A* é k, contendo o
referido número N algarismos significativos, então o erro relativo associado à aproximação
será:
1
k
δA ≤ ×101− N
Considere A* = k _ _ ..., L _ _ ... ; N algarismos significativos exatos.
123 123
M
N−M
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A* = k • 10 M −1 + ... + L • 10 −1
A* ≥ k • 10 M −1
Por outro lado :
1
• 10 • 10− ( N − M +1)
2
1
A − A * ≤ • 10 M − N
2
1
1
− • 10 M − N ≤ A − A* ≤ • 10 M − N
2
2
1
A ≥ A * − • 10 M − N
2
1
A ≥ k • 10 M −1 − • 10 M − N
2
1
A ≥ • 10 M −1 (2k − 101− N )
2
1
1
A ≥ • 10 M −1[k + (k − 1− N )]
2
10
1
1
A ≥ • k • 10 M −1 + • 10 M −1 (k − 1)
2
2
1
A ≥ • k • 10 M −1
2
1 ⋅ 10 M − N
∆A
δA =
< 2
1 ⋅ k • 10 M −1
A
2
1
δA < • 101− N
k
∆A ≤
Aplicação:
Seja A*=3,1415 com 5 algarismos significativos exatos. Determine uma cota superior
de erro relativo.
A* = 3,1415
k = 3, N = 5
1 1−5
⋅ 10 = 0,333...•10 −4
3
δA < 0,333...•10 −4
δA <
β = 10 −4
Resposta: A cota superior de erro relativo é 10-4.
Teorema II:
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1
• 101− N (k :
k +1
1o. algarismo significativo de A*) então contém, N algarismos significativos exatos.
Se o erro relativo δA cometido na aproximação de A for menor que
Aplicação:
Determine o número de algarismos significativos exatos contidos em A* = 3,241
sendo ∆A<0,001.
Pelo Teorema II temos:
1
• 101− N
k +1
1
k = 3 ⇒ δA < • 101− N ⇒ δA < 0,25 • 101− N (1)
4
δA <
Por definição temos:
3,240 < A < 3,242
δA =
∆A 0,001
<
< 0,3086•10−3 (2)
A 3,240
De (1) e (2) vem : 0,3086•10−3 < 0,25 •101− N
1 − N = −2 ⇒ N = 3
3 Algarismossignificativos exatos:
A* = 3,24 ± 0,01
A *∈ (3,23; 3,25)
I.7 - Propagação de Erros
I.7.1 - Introdução: Algumas grandezas não podem ser medidas diretamente. Nesse
caso a medida é feita de modo indireto.
Exemplo: A medida do volume de um cilindro é dado pela relação V = πR2·H.
Precisamos saber os erros cometidos nas medidas das grandezas raio e altura para saber o erro
no cálculo do volume.
A este estudo denominamos análise de propagação de erros.
I.7.2 - Funções de uma variável real:
Seja y = f (x) uma função contínua diferenciável em [a,b]. Sejam X, X* ∈ [a,b].
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y
y = f (x)
N
y* = f (x*)
f (x)
θ
M
P
a
x*
x
x - valor real
x* - valor aproximado de x
∆x - erro cometido em x*
∆y - erro cometido em y* = f (x*)
Do triângulo MNP
Tg θ =
NP
f (x) - f (x*)
⇒ Tg θ =
MP
x − x*
Pelo teorema do valor médio:
∃ξ ∈ ( x*, x) Tal que : f ' (ξ ) =
f ' (ξ ) =
f ( x) − f ( x*)
x − x*
f ( x) − f ( x*) ∆y
=
∆x
x − x*
∆y = f ' (ξ ) ⋅ ∆x
f ' (ξ ) ≤ f 'max ( x)
Como x e x* são próximos, então
Logo: ∆y ≤ f ' ( x*) ⋅ ∆x
f 'max ( x) ≈ f ' ( x*)
b
x
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Exercícios:
1. Determine o erro absoluto cometido no cálculo do volume de um cubo de
0,45 metros de aresta, sabendo que o erro cometido na medida da aresta é
inferior a 0,005 metros.
V (a ) = a 3
∆V ≤ V , (a*) ⋅ ∆a
V , (a ) = 3a 2
Como..∆a = 0,005..e..a.* = 0,45.m
∆V ≤ 3 × (0,45) 2 × 0,005 = 0,30375 × 10 − 2 m3
Resp: O erro cometido no cálculo do volume é inferior a 0,30375 · 10-2 m3
Resp: < 0,30375 · 10-2 m3
2. Entre que valores está o valor real do volume do cubo do exercício 1 ?
a. Cálculo do volume: V = (0,45)3 = 0,91125 · 10-1 m3
b. Pelo Teorema II temos uma cota:
δV <
1
× 101− N ⇒ δV < 0,1×101− N (*)
1+ 9
c. Cálculo do erro relativo:
δV =
∆V 0,30375 ⋅ 10 −2
= 0,3333 ⋅ 10 −1
<
−1
V
0,91125 ⋅ 10
δV < 0,3333 ⋅ 10 −1 (**)
d. Comparando os resultados obtidos em (*) e (**), temos:
0,3333·10-1 < 0,1·101-N
0,03333 < 0,1·101-N
1-N=0⇒N=1
1 algarismo significativo ⇒ V = 0,09 ± 0,0 1
Resp: V ∈ ( 0,08 ; 0,10 )
Resp: (0,08 ; 0,10)
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I.7.3 - Funções de variáveis reais várias:
Seja w = f (x1, x2, ..., xn) em que as diversas quantidades x1, x2, ..., xn estão sujeitas a
erros ∆x1, ∆x2, ..., ∆xn , respectivamente.
(1) f (x1* +∆x1, x2* +∆x2, ..., xn * +∆xn) = w *+ ∆w
Usando a expansão em série de Taylor para funções de variáveis reais várias, temos:
f ( x1* + ∆x1 , x2* + ∆x2 ,..., xn* + ∆xn ) =
1 n ∂2f
∂f
∆xi + ∑
∆xi ∆x j + ...
2! i , j =1 ∂xi∂x j
i =1 ∂xi
n
f ( x1* , x2* ,..., xn* ) + ∑
Como os erros são bem pequenos, então:
f ( x*1 + ∆x1 , x*2 + ∆x2 ,..., x*n + ∆xn ) ≈ f ( x*1 , x*2 ,..., x*n ) +
∂f
∂f
∆x1 + ... +
∆xn
∂x1
∂xn
De (1) vem:
∂f
∂f
∆x1 +...+
∆x n
∂x1
∂x n
w *+ ∆w ≈ w* +
Logo:
∂f
∂f
∆w ≤
∆ x 1 + ... +
∆xn =
∂ x1
∂xn
n
∑
i =1
∂f
∆xi
∂xi
Erro relativo:
n
∆w
δw =
=
w
∂f
∑ ∂x
i =1
∆xi
i
w
∂f
n
∆w
(2) δw ≤
=
w
∑ ∂x
i =1
∆x1
1
w
O segundo membro de (2) é a diferencial logarítmica de w.
Logo:
n
δw ≤ ∑
i =1
∂
[ln f ( x1 , x2 ,..., xn )] ⋅ ∆xi
∂xi
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Exercícios:
1. Entre que valores está o valor real de z (x,y) = x2y + 2y + 0,3 para x =
3,14 e y = 2,71; com ∆x e ∆y inferiores a 0,01.
a. Cálculo de z: z = (3,14)2 × 2,71 + 2 × 2,71 + 0,3 = 32,43952
b. Cálculo do erro relativo (pela definição):
∆z <
∂z
∂z
⋅ ∆x +
⋅ ∆y
∂x
∂y
∆z < 2 xy∆x + ( x 2 + 2)∆y
∆z < 2 ⋅ 314
, ⋅ 2,17 ⋅ 0,01 + [(314
, ) 2 + 2] ⋅ 0,01
∆z < 0,25487
∆z
0,25487
<
= 0,78568 ⋅ 10 −2 (*)
δz =
32,43952
z
c. Pelo Teorema II temos:
1
1
× 101− N = × 101-N
3+1
4
1− N
δz < 0,25 × 10
(**)
δz <
d. Comparando os resultados em (*) e (**), temos:
0,8902228×10-2 < 0,25×101-N
1-N = -1 → N = 2
2 algarismos significativos exatos
z = 32 ± 1
Resposta: z ∈ (31;33)
Resp: (31 , 33)
2. Sabendo-se que o volume de uma esfera é dado pela expressão V = 1/6
πd , determine entre que valores está o valor real de V, considerando π ≈ 3,141 (
3
com ∆π<0,001 ) e d = 3,71 cm (com ∆d < 0,005 cm ).
1 3
πd
6
1
A = ≈ 0,1666
6
V = A ⋅ π ⋅ d3
V=
∆A < 0,0001
a. Cálculo de V:
V = 0,1666 × 3,41 × (3,71)3 = 26,7217 cm3
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b. Cálculo do erro relativo:
ln V = ln A + ln π + 3 ln d
∆V ∆A ∆π
∆d
=
+
+3
π
V
A
d
0,0001 0,001
0,005
δV <
+
+ 3⋅
0,1666 3141
3,71
,
δV < 0,49617 ⋅ 10 −2 (*)
c. Pelo Teorema II, temos:
1
× 101− N
3
δV < 0,333...×101− N (*)
δV <
d. Comparando os resultados obtidos em (*) e (**), temos:
0,49617 × 10-2 < 0,333... × 101-N
1 - N = -1
N = 2 → 2 algarismos significativos exatos.
Resp: 26 ± 1 cm3
V ∈ (25 cm3 ; 27 cm3)
Resp: V = 26 ± 1 cm3
( 25cm3 , 27cm3 )
I.7.4 - Problema Inverso:
Este tipo de problema é matematicamente indeterminado, uma vez que o erro relativo
pode ser determinado mediante combinações diferentes dos erros relativos das diversas
variáveis.
A solução mais simples é baseada na hipótese da igualdade de efeitos. De acordo com
esta hipótese tem-se : δx1 = δx2 = ... = δxn ; e a solução procurada é dada por :
∂x i =
∂w
n
1≤ i ≤ n
Exercício: Qual deve ser a precisão da medida do raio R = 30,5 cm de um
círculo e quantas decimais devem ser consideradas em π para que o erro cometido
no cálculo da área não ultrapasse a 0,1%.
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Solução:
S = πR 2
∆π
∆R
∂S =
+2
< 0,001
R
π
Pelo princípio da igualdade de efeitos :
∆π
< 0,0005
π
∆R
2
< 0,0005
R
Fazendo π ≈ 3,14 , temos:
∆π < 0,0005 × 314
,
∆R <
⇒
∆π < 0,157 ⋅ 10 −2
( 0,001 − 0,0005) × 30,5
2
⇒
∆R < 0,7625 ⋅ 10 −2
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Lista de exercícios sobre a Unidade I
1) Arredonde cada número abaixo para 3, 4, 5, 6, 7, algarismos significativos,
respectivamente:
a) 85,432431
b) 0,003134499 c) 998,075414
e) 3,318051
d) 45,3083102
2) Com os números arredondados para 4 algarismos significativos e para 7 algarismos
significativos, do exercício 1, determine o erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual
relativo para cada item.
3) Calcule a área de um círculo de raio 100 m, utilizando os seguintes valores
aproximados para π :
a) 3,14
b) 3,1416
c)3,14159
d) 3,1415926
4) Calcule o erro absoluto entre os resultados obtidos em a, b, c com o resultado
obtido em d) do exercício anterior. Compare e faca sua conclusão.
5) Determine o número de algarismos significativos exatos contidos na aproximação
dos números abaixo, sendo dados os respectivos erros:
a) Z* = 32,4395
∆Z < 0,263629
b) I* = 0,984375 * 10-4
δI < 0,22858
c) A* = 45,8214
∆A < 0,0001
d) X* = 8,57943
∆X < 0,001
Utilizar a definição de erro relativo ER= (valor exato – valor aprox.)/valor aprox.
Respostas: a) 2 b) 0 c) 5 d) 3
6) Determine o erro relativo cometido no cálculo do valor numérico de
y(x) = 3x2 + 3x + 5 , sendo x = 3,16 e o erro absoluto cometido nessa medida inferior
a 0,001.
Resposta: 6,94x10-3
7) Determine o número de algarismos significativos exatos contidos no cálculo de y(x)
do exercício 6.
Resposta: 2
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8) A expressão V =
4 ⋅π ⋅ a ⋅ b ⋅ c
nos dá o volume de um elipsóide de eixos principais a,
3
b, c. Sabendo-se que a = 5 cm, b= 100 mm, c= 0,15 dm, e que o instrumento de medição
apresenta um erro inferior a 0,05 mm, pede-se:
a) o volume;
R: 314,1592654cm3
b) o erro relativo; R: 4,83333x10-3
c) o erro absoluto;
R: 1,518436449cm3
d) entre que valores esta o valor de V. R: 2 algarismos exatos, V ∈(313 ,315 )
9) Dada a expressão y =
12,20 × sen 22 O
, determine entre que valores esta o valor real
e1,8 × π
de y, sabendo que o instrumento de cálculo utilizado só registra 3 algarismos significativos
exatos.
R: y ∈(0,23 , 0,25 )