Erros de Estado Estacionário
Carlos Alexandre Mello
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1
Introdução
Projeto e análise de sistemas de controle:
Resposta de Transiente
Estabilidade
Erros de Estado Estacionário (ou Permanente)
Diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste
pré-determinada quando t →∞
Entradas de teste comuns: degrau, rampa ou parábola
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2
Introdução
Como estamos preocupados com a diferença entre
a entrada e saída de um sistema de controle com
re-alimentação depois de alcançar o estado
estacionário, vamos nos limitar a estudar sistemas
estáveis, onde a resposta natural tende a zero
quando t →∞
Considere os exemplos a seguir....
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3
Introdução
Exemplo 1:
Uma entrada degrau gera duas possíveis saídas:
output1 tem erro de estado estacionário zero e output2
tem erro finito, e2 (no infinito)
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4
Introdução
Exemplo 2:
Aqui, para uma rampa de entrada, temos erro zero para
a output1, erro finito para output2 e infinito para a
output3
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5
Introdução
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Sistema de controle re-alimentado onde o ganho do laço
de re-alimentação é 1
Malha Fechada (Representação Geral) – T(s) é a função
de transferência equivalente
Erro
C(s) = R(s)T(s)
E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – R(s)T(s)
E(s) = R(s)[1 - T(s)]
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6
Introdução
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Malha Fechada (Re-Alimentação Unitária)
Erro
C(s) = E(s)G(s)
E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – E(s)G(s)
E(s)[1 + G(s)] = R(s)
E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
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7
Introdução
Erro de estado estacionário finito para uma
entrada degrau
E(s) = R(s)/(1 + K)
E(s) = 1/[s(1 + K)]
e(t) = [1/(1+K)]u(t) = 1/(1 + K)
K → ∞ ⇒ e(t) → 0
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8
Introdução
Erro de estado estacionário zero para uma entrada
degrau
E(s) = R(s)/(1 + K/s)
E(s) = 1/[s(1 + K/s)]
e(t) = 1/(s + K) = e-Ktu(t) = e-Kt
Ou seja, o erro decai até zero.
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
O erro de estado estacionário pode ser calculado a
partir da função de transferência de um sistema de
malha fechada (T(s)) ou aberta (G(s)) para
sistemas com re-alimentação unitária
Vamos começar analisando o erro em relação à
função de transferência de malha fechada T(s)
Depois, analisaremos o sistema em malha aberta
G(s), introduzindo a re-alimentação unitária
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Considere o erro E(s), a entrada R(s) e a saída
C(s) para o sistema de malha fechada abaixo
Lembrando que T(s) é a função de transferência
equivalente
Como calculamos antes, E(s) = R(s)[1 – T(s)]
Estamos interessados em e(t), quando t → ∞
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
e(∞) = limt→∞e(t)
A transformada de Laplace da derivada de uma
função é, por definição (Teorema do valor final):
Quando s → 0:
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12
Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Assim:
e(∞) = limt→∞e(t) = lims→0sE(s)
Com isso:
e(∞) = lims→0s{R(s)[1 – T(s)]}
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Exemplo: Dado o sistema abaixo
Seja:
Assim:
Para R(s) = 1/s
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Exemplo (cont.):
T(s) é estável, pois só tem polos no semi-plano
esquerdo (-2 e -5)
Assim, E(s) também não tem polos no semi-plano direito
ou complexos (seu único novo polo é a origem)
Com isso, podemos aplicar o Teorema do Valor Final
e(∞) = limt→∞e(t) = lims→0sE(s)
e(∞) = 1/2
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15
Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Sistema com malha fechada com re-alimentação
unitária
Solução 1: Achar a função equivalente T(s) e
analisar como antes
Solução 2: Definir o erro de estado estacionário
em função de G(s)
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Sistema com malha fechada com re-alimentação
unitária
Com a re-alimentação unitária, E(s) é realmente o
erro entre a entrada e a saída
E(s) = R(s) – C(s)
C(s) = E(s)G(s)
⇒ E(s) = R(s) – E(s)G(s) ⇒ E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Aplicando o Teorema do Valor Final
E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
e(∞) = lims→0 sR(s)/[1 + G(s)]
Essa expressão calcula o erro de estado estacionário,
e(∞), dada a entrada R(s) e o sistema G(s)
Vamos analisar o erro para três tipos diferentes de
entrada....
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Entrada Degrau: R(s) = 1/s
edegrau(∞) = lims→0 s(1/s)/[1 + G(s)]
edegrau(∞) = 1/[1 + lims→0 G(s)]
O termo lims→0G(s) é o termo dc da função de
transferência já que s, a variável de frequência, se
aproxima de zero
Para ter erro estacionário zero devemos ter
lims→0G(s) → ∞
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Entrada Degrau:
Para uma entrada degrau para um sistema de realimentação unitária, o erro de estado estacionário
será zero se existir pelo menos um integrador puro
no caminho à frente
Isso implica que G(s) terá, pelo menos, um ‘1/s’ (polo na
origem) o que leva G(s)→∞, quando s→0
n≥1
Se não existir integração, então o erro será finito e
diferente de zero
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Entrada Rampa: R(s) = 1/s2
erampa(∞) = lims→0 s(1/s2)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s + sG(s)]
erampa(∞) = 1/lims→0 sG(s)
Para ter erro estacionário zero devemos ter
lims→0sG(s) → ∞
Fazendo a mesma análise anterior, é preciso
existir pelo menos dois integradores no caminho à
frente
n≥2
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Entrada Rampa: R(s) = 1/s2
Se houver apenas um integrador, o erro será finito
Se não houver integrador, o erro será infinito
Já que
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Entrada Parabólica: R(s) = 1/s3
eparábola(∞) = lims→0 s(1/s3)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s2 +
s2G(s)]
eparábola(∞) = 1/lims→0 s2G(s)
Para ter erro estacionário zero devemos ter
lims→0s2G(s) → ∞
Fazendo a mesma análise anterior, é preciso
existir pelo menos três integradores no caminho à
frente
n≥3
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23
Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Entrada Parabólica: R(s) = 1/s3
Se houver apenas dois integradores, o erro será
finito
Se não houver integrador, o erro será infinito
Já que
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Exemplo 1: Erros de estado estacionário para
sistemas sem Integradores
Entradas:
5u(t)
5tu(t)
5t2u(t)
Sistema estável: duas raízes
reais no semi-plano esquerdo
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25
Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Exemplo 1 (cont.):
Entrada 5u(t):
Entrada 5tu(t):
Entrada 5t2u(t):
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Exemplo 2: Erros de estado estacionário para
sistemas com um Integrador
Entradas:
5u(t)
5tu(t)
5t2u(t)
Sistema estável: três raízes
reais no semi-plano esquerdo
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Exemplo 2 (cont.):
Entrada 5u(t):
Entrada 5tu(t):
Entrada 5t2u(t):
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Erro de Estado Estacionário para
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
Exemplo 3: Ache o erro de estado estacionário
para as entradas 15ut, 15tu(t), 15t2u(t) para a
seguinte função de transferência:
Solução: O sistema é instável (há raiz com
multiplicidade dupla), logo nenhum cálculo precisa
ser feito
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Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Constantes de Erro Estático: especificações de
desempenho de erro de estado estacionário
Como definimos antes taxa de amortecimento,
frequência natural, tempo de acomodação, etc.
Constante de Posição: Kp
Constante de Velocidade: Kv
Constante de Aceleração: Ka
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Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo:
Entrada degrau:
Entrada rampa:
Entrada parabólica:
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Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Tipo de Sistema
Continuando com sistemas com re-alimentação unitária
negativa
As constantes de erro estático dependem da forma de
G(s), principalmente, do número de integrações puras
no caminho à frente
O tipo do sistema depende do número n de integrações
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Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Tipo de Sistema
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33
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 1: Um sistema com re-alimentação
unitária tem a seguinte função de transferência à
frente
Defina o tipo do sistema, Kp, Kv e Ka
Ache as respostas para entrada degrau, rampa e
parabólica
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Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 1 (cont.):
Kp = lims→0G(s) = 8000/63 = 127
Kv = lims→0sG(s) = 0
Ka = lims→0s2G(s) = 0
Assim:
edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/(1 + 127) = 0,0078
erampa(∞) = 1/Kv = ∞
eparábola(∞) = 1/Ka = ∞
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35
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 1 (cont.):
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36
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 2: Que informações as constantes de
erro estático podem trazer:
Suponha um sistema com Kv = 1000:
O sistema é estável
O sistema é do Tipo 1, já que Kv é constante
Kv = 0 para Tipo 0 e Kv = ∞ para Tipo 2
A entrada de teste foi uma rampa
O erro de estado estacionário é 1/Kv
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37
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 3: Que informações temos de um sistema
com especificação Kp = 1000?
O sistema é estável
O sistema é do Tipo 0
Kp = ∞ para sistemas Tipo 1 e 2
A entrada de teste é um degrau
edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/1001 ≈ 0,001
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38
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 4: Dado o sistema de controle a seguir,
encontre o valor de K tal que o erro de estado
estacionário seja de 10%
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39
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 4 (cont.):
Primeiro: Definir tipo do sistema
Usando a especificação dada no problema:
Kp = lims→0 G(s) = ∞
Kv = lims→0 sG(s) = 5K/336
Ka = lims→0 s2G(s) = 0
Logo, o sistema é do Tipo 1
e(∞) = 1/Kv = 0,1 ⇒ Kv = 10
Assim, K = 672
Podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para
confirmar a estabilidade para esse valor de K
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40
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 5: Dado o sistema de controle a seguir,
encontre o valor de K tal que o erro de estado
estacionário seja de 10%
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41
Constantes de Erro Estático e Tipo do
Sistema
Exemplo 5 (cont.):
Primeiro: Definir tipo do sistema
Usando a especificação dada no problema:
Kp = lims→0 G(s) = 12K/252
Kv = lims→0 sG(s) = 0
Ka = lims→0 s2G(s) = 0
Logo, o sistema é do Tipo 0
e(∞) = 1/(1 + Kp) = 0,1 ⇒ 1 + Kp = 10 ⇒ Kp = 9
Assim, K = 189
Novamente, podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz
para confirmar a estabilidade para esse valor de K
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42
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Sistema genérico com re-alimentação
Transdutor
de Entrada
Controlador e Planta
Feedback
Fazendo uma redução no diagrama, temos....
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43
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Sistema genérico com re-alimentação
Onde, G(s) = G1(s)G2(s) e H(s) = H1(s)/G1(s)
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44
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Primeiro, vamos transformar o sistema de controle
com re-alimentação não-unitária em um sistema
com re-alimentação unitária adicionando e
subtraindo caminhos de re-alimentação unitária
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45
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Em seguida, combinamos H(s) com a realimentação unitária negativa...
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46
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Finalmente, combinamos G(s) com H(s) -1
Passamos a ter uma re-alimentação unitária e E(s)
em função de R(s) e C(s)
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47
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Exemplo: Para o sistema abaixo, ache o tipo de
sistema, a constante de erro apropriada ao
sistema e o erro de estado estacionário para uma
entrada degrau unitário
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48
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Exemplo (cont.):
O primeiro passo é transformar o sistema em um
sistema de re-alimentação unitária
De acordo com o processo anterior, temos:
Com:
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49
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de
Re-Alimentação Não-Unitária
Exemplo (cont.):
O sistema é do Tipo 0 já que não tem nenhuma
integração pura
Assim, Kp = lims→0Ge(s) = 500/(-400) = -1,25
e(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/(1 – 1,25) = -4
O valor negativo do erro de estado estacionário
implica que o degrau de saída é maior que o
degrau de entrada
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Exercícios Sugeridos (Nise)
Cap. 7, Problemas:
1, 3, 4, 5, 9, 11, 13,18, 21, 23, 38, 42
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51
A Seguir....
Lugar das Raízes
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52