MATEMÁTICA
ENEM 2010
2 de Outubro
FUNÇÕES: “Para que servem mesmo?”
PROF. MARCELO CÓSER
Essa apresentação pode ser “baixada” em http://www.marcelocoser.com.br.
Funções Lineares: problemas com variação constante.
f(x) = ax + b
VALOR
INICIAL
VARIAÇÃO
CONSTANTE
a>0
a<0
∆y
a=
∆x
01) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa
fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal
de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é:
a) 300
b) 350
c) 400
d)
X 450
e) 500
C(x) = 25x + 5000 e R(x) = 45x.
Um lucro de R$ 4.000 implica R(x) - C(x) = 4000.
45x - (25x + 5000) = 4000
20x - 5000 = 4000
Lucro
20x = 9000
desejado
+
9.000
Custo
x=
= 450
20
fixo
Lucro por bolsa
CUIDADO! Raciocínios que envolvam “Regra de 3” só funcionam para
problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!
02) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A,
paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano
B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50
minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos
minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.
A(x) = 0,25x + 50
B(x) = 40 para x ≤ 50. E para x > 50?
Para x > 50, a função B(x) tem
sua lei na forma B(x) = ax + b.
(50; 40)
Do enunciado, aB = 1,5.
Assim, B(x) = 1,5x + b.
(50, 40) ∈ B(x). Logo, 40 = 1,5 · 50 +b.
Assim, b = 40 - 75 = -35.
1,5x - 35 = 0,25x + 50
1,25x = 85
x = 68 minutos.
Outra abordagem: B(x) = 40 + 1,5(x – 50), se x > 50
Funções Quadráticas: geralmente associadas a problemas de Área.
f(x) = ax² + bx + c
a>0
a<0
xV =
− b
R + R2
ou x V = 1
2a
2
y V = f ( xv )
Toda parábola possui um foco e uma diretriz:
Uma propriedade particular das párabolas diz que
raios perpendiculares à diretriz são refletidos e
sempre passam pelo foco.
03) (UFRN) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular,
aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de
uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele. Para cercar a maior área
possível, com a tela disponível, os valores de x e y são, em metros, respectivamente:
a) 45 e 45
b) 30 e 90
X
c) 36 e 72
d) 40 e 60
e) 20 e 120
A(x, y) = x · y
3x + y = 180 → y = 180 - 3x
A(x) = x · (180 - 3x)
xV =
0 + 60
− 180
= 30 ou xV =
= 30
2
2.( − 3 )
AMÁX = A( 30 ) = 30 . ( 180 − 3 . 30 ) = 30 . 90 = 2700 m 2
1ª) A(x) = 180x - 3x²
2ª) A(x) = x · (180 - 3x)
a < 0: voltada para baixo
a < 0: voltada para baixo
Raízes: 180x - 3x² = 0
0 e 60 são as raízes.
Raízes: x = 0 ou 180 - 3x = 0
0 e 60 são as raízes
04) (CESGRANRIO) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 9 em
média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1 no preço dos
ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita
seja máxima?
RECEITA = Número de Espectadores · Preço do Ingresso
Cada variação unitária no preço do ingresso implica uma variação de 100 no número de
espectadores. Por exemplo, se reduzir o preço em R$ 5, o número de espectadores
aumentará em 5 · 100 = 500. De modo geral, uma variação de x no preço do ingresso
implica uma variação de 100x na platéia.
Como um preço de R$ 9 traz 300 espectadores, um preço de 9 - x trará 300 + 100x
espectadores. Desse modo,
R(x) = (9 - x)·(300 + 100x)
O gráfico de R(x) é uma
parábola voltada para baixo
com raízes 9 - x = 0 → x = 9 e
300 + 100x = 0 → x = -3.
xV =
3600
− 3+ 9 6
= = 3
2
2
Logo, o preço que
maximiza a receita
é 9 - 3 = R$ 6.
-3
3
9
Funções Exponenciais & Logarítmicas: problemas com taxa de variação
constante.
f (x) = b
x
f ( x ) = logb x
05) A água de uma piscina cheia, com capacidade para 100.000 litros, foi tratada com 1000g
de cloro. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante,
sendo o excesso eliminado através de um ladrão. Depois de uma hora, um teste revela que
ainda restam 900g de cloro na piscina. Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas
após sua colocação?
Repare que, em uma hora, a quantidade de
cloro retirada foi de 100g. No entanto, é
incorreto afirmar que a cada hora o
comportamento será o mesmo, já que a
quantidade de cloro que sai é proporcional à
quantidade de cloro existente. Ou seja, a perda
de cloro será menor durante a segunda hora; no
entanto, seguirá a mesma proporção anterior.
Água pura
Água com cloro
Uma abordagem mais adequada para o
problema diz que, a cada hora, a quantidade de
cloro existente na piscina reduz em 10%, já que
foram perdidas 100g das 1000g iniciais.
10 reduções de 10% ⇒ Q = 1000 · 0,9 · 0,9 · 0,9 · … · 0,9 = 1000 · 0,910 = 348,68 g.
Q(x) = 1000 · 0,9x
06) A lei do resfriamento de Newton estabelece que, quando um corpo é colocado em um
ambiente mantido à temperatura constante, sua temperatura varia de modo a ser a mesma do
ambiente, a uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente.
Desse modo, T(x) = TAMBIENTE + a · bx.
O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia
chegou às 23h30 e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8º C.
Uma hora mais tarde, ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1º C. A temperatura
do quarto era mantida constante a 20ºC. Se a temperatura normal de uma pessoa viva é de
36,5º C , estime a hora que se deu a morte.
Parâmetros desconhecidos ⇔ Pontos conhecidos
(0; 34,8), (1; 34,1) pertencem à função. Desse modo,
( 0;
34,8 ) ∈ T ( x ) ⇒ 34,8 = 20 + a.b 0 ⇒ a = 34,8 − 20 = 14,8
(1;
34,1) ∈ T ( x ) ⇒ 34,1 = 20 + 14,8.b1 ⇒ 14,8b = 34,1 − 20 = 14,1 ⇒ b =
T ( x ) = 20 + 14,8 . 0,9527 x
36,5 = 20 + 14,8 . 0,9527
16,5 = 14,8 . 0,9527 x
0,9527 x = 1,114865
x
14,1
= 0,9527
14,8
logb a = c ⇔ bc
x = log0,9527 1,114865 =
a =
log1,114865
≅ − 2,25h = − 2h15 min
log 0,9527
A morte ocorreu às 23h30 - 2h15 = 21h15min.
07) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento
populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da
população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se
que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o
número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente N =
20
.
1 + 19.10− 0,5 t
De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que:
( F ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.
( F ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.
( V ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.
( F ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.
t=2
t=0
20
1 + 19.10− 0,5.0
20
N=
1 + 19.1
20
N=
1=
20
N=
N=
20
1 + 19.10 − 0,5.2
N=
20
1 + 19.10 − 1
N=
20
1 + 1,9
20
= 6,89
2,9
t=4
20
N=
1 + 19.10− 0,5.4
20
1 + 19.10− 2
20
20
N
≅ = 1 + 0,19 1,19 = 16,8
N=
20 =
1=
N = 20
20
1 + 19.10 − 0,5 t
1
1 + 19.10 − 0,5 t
1 + ≅19.10 − 0,5 t 1
=
19.10 − 0,5 t = 0
10 − 0,5 t = 0
⇒
∅
Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.
20
N=
1 + 19.10 − 0,5t
Escala
em PG
Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes.
x
1
2
4
8
16
32
64
log2 x
0
1
2
3
4
5
6
Escala
em PA
08) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel,
que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala
de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão
geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em
watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma
determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal
corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em
watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma
conversação normal?
a) 3 vezes
b) 10 vezes
c) 30 vezes
d) 1.000 vezes
X
e) mais de 1.000 vezes
A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30
decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a
intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som
da banda corresponde a 10 · 10 · 10 = 1.000 vezes a
intensidade do som da conversação.
Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50%
maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em
questão não é linear, mas sim logarítmica.
09) (UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala
de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a
energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento
é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação
que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica:
log E = 1,44 + 1,5 · M
Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.5 na
escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu
7.8, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente
______ vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
a) 10
b) 15
c) 21
d) 31
X
Substituindo os valores 9,5 e 7,8 em M, obtemos:
log E = 1,44 + 1,5 . 9,5 = 1,44 + 14,25 = 15,69 ⇒ ECHILE = 1015,69
log E = 1,44 + 1,5 . 7,8 = 1,44 + 11,7 = 13,14 ⇒ ESF = 1013,14
ECHILE = 1015,69 ≅ 1013,14+ 1+ 0,5 = 1013,14 .10 . 10
ECHILE ≅ 31 . ESF