O ponto de equilíbrio: uma pequena discussão sobre o abstrato, o número e os
fundamentos da ciência matemática
Heródoto Andrade de Oliveira Sousa1
José Roberto Silva2
Resumo. O texto a seguir apresenta uma singela reflexão acerca de um assunto
temerosamente abordado. O abstrato; Fixando-se como ponto de partida a definição de
número, procura-se reduzi-la logicamente, refinando cada uma de suas ideias. Tal
abordagem é feita a luz dos Elementos de Euclides e dos termos que este aborda de forma
específica. Cada termo é analisado de forma a encontrar uma característica em comum
que lhes sobrevenha um equilíbrio final, que interligue cada uma das ideias euclidianas
em um momento principal: A essência do objeto matemático. Sob o crivo da análise
teórica procurou-se interpretar a luz de ferramentas argumentativas e científicas cada uma
das definições apresentadas.
Palavras-chave: Elementos de Euclides, Número, Ponto, Ciência matemática.
Abstract. The following text presents a simple reflection on a subject approached
fearfully. The abstract; Fixing as starting point the definition of number, we try to reduce
it logically, refining each of his ideas. Such an approach is made light of Euclid's
Elements and terms that specifically addresses this. Each term is analyzed in order to find
a common thread to them befall a final balance, which links each of the Euclidean
ideas page at a time: The essence of mathematical objects. Under the scrutiny of the
theoretical analysis sought to interpret the light of scientific and argumentative tools each
of the definitions presented.
Keywords: Euclid’s Elements, Number, Point, Mathematical science.
1
Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Humanas e Sociais de Igarassu – FACIG – PE.
2
Professor da Faculdade de Ciências Humanas e Sociais de Igarassu – FACIG – PE.
1
1. INTRODUÇÃO
Um dos campos mais perigosos da matemática ainda é tido como o da abstração. Dizse perigoso não em virtude de suas consequências, muito pelo contrário, suas causas é que são
preocupantes e de certa forma capciosas demais para serem tratadas grosso modo. Quando se
fala em não se preocupar com as consequências dadas por este campo abstrato, também não é
válido ser desdenhoso. Tais consequências a matemática formal trata com grande cuidado há
muito tempo. Sejam pela mera manipulação de entidades abstratas, ou ainda suas devidas
aplicações em meios tecnológicos atuais. É certo que quando se toma o caminho contrário
desta via de conhecimento, se parece que os problemas se tornam mais densos e a necessidade
por respostas definitivas ficam um tanto difíceis de serem alcançadas. Com isto se apresenta o
grande problema da causa.
A Ciência matemática é movida por resultados. Cada um de seus grandes resultados
produz certas “revoluções silenciosas” ao redor do mundo acadêmico. E cada resultado
produz um próximo que encaminha para outro tão complexo quanto o primeiro. A busca
filosófica não se restringe apenas a busca desvairada de soluções para problemas
progressivos, mas, também essa busca pode ser tratada de forma contrária com relação à
análise de resultados. Não tem sido essa a sina da ciência atual? Uma busca sistemática pelas
origens e pelas causas analisando suas consequências, isto é, seus efeitos e resultados. Ora,
pode-se privar ao pensamento humano o realizar determinado raciocínio? Tentar justificar e
formalizar cada vez mais o pensamento por meio de uma ferramenta introspectiva que é o
raciocínio propriamente dito. Tal tentativa não é privilégio deste texto. Mas já foi
ambicionada por outros tantos.
É interessante observar como a própria ideia de formalismo matemático cresceu por
meio do pensamento filosófico, porém, como galhos distintos de uma “árvore do
conhecimento” foi tomando cada uma o seu caminho distinto e por um momento se
esqueceram que nasceram juntas. O maior e mais distinto resultado do conhecimento
matemático, foi a criação – ou quem sabe, a descoberta – do número. E é neste momento em
comum que encontramos a progressão do conhecimento matemático, isto é, para as operações
básicas até as mais complexas e a regressão para a lógica, que servirá como ferramenta de
auxílio para lapidar a razão em busca de uma verdade matemática. Para que tal esforço não
seja inviável saiba-se que tal busca é contínua, isto é, qual seria o formalismo perfeito? E tal
formalismo realmente existe?
Voltem-se os olhos para o passado, quando a matemática não era só aplicável
fisicamente, mas, era desenvolvida. Estava de mãos dadas com as próprias considerações
lógicas, que firmavam os teoremas e as demonstrações. Este momento de convergência entre
o pensamento e o primeiro formalismo dá-se em Euclides3 com seus Elementos. Se for
necessário retornar o caminho, dos resultados para as causas, é de fundamental importância
tratar do maior compêndio de matemática pura dos tempos antigos reunido pelo grande
geômetra grego.
É certo que não se pretende aqui fazer um tratado minucioso comentando o aspecto
filosófico do grande grego em seus Elementos. Sabe-se que a Ciência tem destas facetas, não
3
Euclides de Alexandria (360 a.C.-295 a.C) reuniu em 13 livros toda a matemática conhecida em seu tempo –
Os Elementos.
2
importam quantos comentários, sempre se haverá cada vez mais a se comentar e a se
interpretar a luz do escopo científico. Este texto deseja apenas somar com os infindos
comentários que ainda serão feitos.
2. A DEFINIÇÃO DE NÚMERO
No decorrer da história da matemática certamente são observáveis muitas definições
viáveis para número. O interesse aqui é retornar o mais distante possível, para uma época em
que o formalismo argumentativo fazia sua fama. Quando se é referido ao formalismo
argumentativo, deseja-se apresentar algum resquício de um silogismo já apresentado para
concluir, de certa forma, algumas das principais considerações matemáticas que deem uma
definição satisfatória para número. Com isto, faz-se valer o interesse por Euclides, que trouxe
uma boa definição – não devidamente definitiva – mas suficiente para levar a cabo a
discussão referente a abstração. Assim como é de desejo, é necessário firmar um momento
para a progressão e regressão de ideias apoiadas pela lógica. O número está para a
Matemática, assim como o átomo está para a Física, isto é, em ambos os estudos minuciosos
pode-se analisar um macrocosmo e um microcosmo, o estudo progressivo e regressivo
respectivamente. Assim como a combinação do átomo sob diversas leis, formam moléculas e
daí as substâncias; também é possível concatenar tal argumento com o ente numérico, isto é, o
número dá origem às operações básicas, e destas as suas aplicações em diversas ciências.
Faça-se também o contrário. Assim como o átomo é formado por seus prótons e elétrons e
suas subdivisões, pode-se ainda harmonizar esta ideia com o número sendo formado por suas
características devidamente abstratas e suas propriedades.
Certamente um crítico minucioso, questionará a analogia feita anteriormente,
impondo a questão da prova física experimental. É possível analisar resultados dos átomos, as
substancias formadas por eles e suas micro partículas. Mas, e o número? Se não há o crivo do
experimento físico, pode-se acusar o número de uma invenção meramente racional? Os
resultados na Física comprovam sua partícula fundamental. E não é diferente da Ciência
Matemática, que por seus resultados faz valer a sua causa. Mas como analisar este caminho
reverso da consequência à causa? Em primeiro lugar leia-se a definição:
De acordo com Euclides (2009, p.269)
Número é a quantidade composta de unidades
A simplicidade desta definição dada pelo grande geômetra é o “primeiro momento”.
Permita-se um exemplo: para se construir uma casa, os tijolos são seus componentes
principais. Ora, o próprio tijolo é formado por outras substâncias que o construtor não se
preocupa em conhecer para que se erga uma parede. Cada ser humano foi introduzido ao
conhecimento matemático pelo número, seja pela simples contagem, fundamento este dos
primórdios. O que se deseja é tomar este tijolo e refiná-lo até onde os argumentos exaurirem.
Entender o número está fortemente arraigado com seus subconceitos. Sendo assim, a
questão da unidade.
Todos os povos antigos conheciam o número um, e os povos mais afortunados,
entendiam o dois e talvez o três e daí por diante o “muitos” este senso de contagem dava-se
3
naturalmente pela percepção psíquica. Ora, quando se come um biscoito de um prato que
contém três biscoitos, rapidamente se percebe a ausência. Porém, se um outro biscoito é
retirado de um prato com sessenta outros, a ausência daquele só será percebida por uma
detalhada contagem e não visualmente. Com o passar dos tempos esta capacidade cognitiva
foi sendo aperfeiçoada a ponto de se associarem as representações gráficas a cada quantidade
específica – vale lembrar que este é o conceito mais arcaico de função. As comparações eram
inevitáveis, mas a tão buscada unidade precisava de uma característica que fosse comum a
todas as outras sem inconsistência. Cada quantidade, por mais extensa que seja, pode ser
reduzida a alguma unidade. Outro problema ocorre. Qual o findar desta redução? Se
porventura cairmos no campo dos racionais e irracionais, o conceito de unidade perderá seu
valor? Não, por que esta análise será feita em uma ocasião devida, mas, adiante-se que estes
campos já são as subdivisões de nosso átomo matemático, logo, até então os problemas estão
extintos.
De certa forma, Euclides entendia – e isto pode ser dito analisando o resultado em
citação – que o número assumia várias facetas que deveriam ser esmiuçadas, para uma
definição lógica mais precisa. Esta simples definição, não é o maior problema, pois a unidade
é a característica fundamental para todos os números como se desejava encontrar. Algo que
diferencie um e dois, entre si e dos outros números. Poderia se fazer valer de Peano4, mas
ainda é muito cedo. Tal busca se instaura pelos registros dos Elementos, e Peano seria uma
saída breve demais para um problema tão antigo. O conceito de quantidade é habitualmente
comum. A cognição humana é capaz de distinguir isto e os sentidos tratam deste problema
pelo menos parcialmente. Os sentidos lidam com a noção de quantidade parcialmente?
Explique-se então: A visão pouco nítida pode enganar aquele que conta, talvez duplicando a
unidade real e tornando-a imaginária – Fala-se real e imaginário em linguagem não
matemática – Esta análise pode parecer metódica demais, mas é viável quando é preciso se
“apropriar da contagem” transferindo-a do meio exterior para o interior, este ultimo o campo
desta análise. É preciso tratar da unidade, para isto faça-se valer a seguinte citação:
De acordo com Euclides (2009, p.269)
Unidade é aquilo segundo o qual cada uma das coisas existentes
é dita uma
A ideia de unidade não está ainda bem definida enquanto não se entender das coisas existentes
em contrapartida das inexistentes, contrariedade esta natural, mesmo não sendo citada. E logo
após é preciso apropriar-se da ideia de a própria unidade se definir em um conceito
meramente primitivo. Os conceitos de existência e inexistência eram, por assim dizer, alvo da
mesma filosofia grega que permeava os tempos antigos. Platão5 foi um dos primeiros a tentar
conceituar o real (existência) e o não real (inexistência). Neste conflito passa-se a entender o
campo matemático platônico.
É válido dizer que mesmo Platão não tendo sido um matemático puro desenvolvedor
de teoremas, este foi um grande entusiasta.
4
Giuseppe Peano (1858-1932). Matemático Italiano que fez grande contribuição a esta ciência com os Axiomas
de definição dos números naturais que levam o seu nome.
5
Platão (428/427 a.C – 348/347) Filósofo Grego
4
N. Bourbaki (Éléments d’histoire dês mathématiques, p.12): “Pode-se dizer que Platão era
quase obcecado pela matemática; sem ser ele mesmo um inventor nesse domínio (...)”
Mas, o que era o campo matemático de Platão? Imagine-se que existe um local em
que todas as coisas alcançam um alto nível de perfeição. Quando se é solicitado a pensar em
uma esfera, pensa-se nela de forma perfeita. Quando se é solicitado a pensar em um plano,
pensa-se no plano de forma perfeita. Sem rugas. A realidade platônica se resumia prontamente
em algo imaginativo. Um campo do pensamento em que todas as coisas são perfeitas. Mas
surgia um problema: se a realidade de perfeição platônica era imaginativa, então, ao tocar em
uma cadeira próxima, afirmarei que ela não é real em virtude de não ser perfeita? Aristóteles6
concertará este problema de seu mestre afirmando que o que torna as coisas existentes em si é
a sua essência, e esta essência não estaria contida em um campo imaginativo, mas nas
próprias coisas. Todo argumento aristotélico baseia-se em fazer concordar o corpo e a
substância em uma única coisa.
Desta forma as coisas se dizem uma, quando guardam em si o invólucro e a essência.
Caso se deseje buscar as respostas nas coisas, busque-se a sua essência nela mesma. Pois esta
guardará informações pertinentes para se ter uma primeira ideia do todo. Ora, se número é
formado por unidade e unidade é parte de coisas existentes, é possível afirmar que cada
operação e, por conseguinte cada entidade numérica é resultante de algo existente? Ou resulta
para algo existente?
O começo desta argumentação foi feita pelos resultados. Permitam-se um exemplo: é
profundamente incômoda a existência do número PI (π) como uma constante. Diz-se que sua
determinação primária está no quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma dada
circunferência. Ora a circunferência é uma das formas mais intrigantes existentes no universo,
seja pelos fenômenos físicos, ou pelo simples observar geométrico da silhueta de um planeta.
Mas a constante ainda está ali. Fica difícil tratar de uma entidade meramente abstrata como
um número, quando este se comporta como quer, sem esforços alheios. A ideia de existência
confunde-se quando se analisa os resultados. O PI é uma causa ou uma consequência? Vários
dispositivos foram desenvolvidos para encontrar-lhe uma aproximação satisfatória.
Imaginando assim uma circunferência perfeita. Observe-se que esta é apenas uma dentre
tantas belezas matemáticas incompreensíveis no âmbito físico. Um Padrão perturbador à
nossa mente finita. O número é uma composição de unidades, estas unidades se dizem
existentes, e ainda se dizem uma. Quando estas unidades começam a se ordenar de forma
sequenciada e assustadoramente constante. Uma ponte entre o mundo físico e o matemático.
O físico, isto é, a matéria que idealiza os corpos geométricos, como resultado de um padrão
matemático. Os números são causa e consequencia.
3. O PONTO DE EUCLIDES
Quando se pensa desta forma, a definição de número se completa. Primeiro o número,
depois a unidade, e por fim a condição de existência. O que as coisas precisam para serem
6
Aristóteles (384 a.C – 322 a.C) Filósofo grego que levou ao auge a filosofia. Discípulo de Platão e grande crítico
das ideias de seu mestre.
5
tidas por existentes? Serem adquiridas aos sentidos. Mas e se nem os sentidos as
acompanham, isto é, é possível pensar em algo e personificá-lo em memória mesmo se
estando distante? Com algumas características que se permitam construir um vislumbre
daquilo que é existente. Mesmo que já se tenha tido algum contato, a mente se encarregará de
reconstruí-lo. E caso nunca se tenha tido o devido contato, as características se encarregarão
de apresentar vislumbre. Pode-se a esta ultima declaração utilizar-se da analogia para fazer a
cognição aproximar-se da personificação da entidade em questão.
A existência esta bem definida. Parta-se agora para a não existência, mas agora com
uma motivação interessante:
De acordo com Euclides (2009, p.97)
Ponto é aquilo de que nada é parte
Euclides procura definir bem todos os moldes de sua geometria. Afinal ele construiu
fundamentos que perduram ate os dias atuais que firmam a geometria tida por euclidiana.
Tomando a conclusão que a matéria construída em si, resulta de moldes geométricos, isto é,
em tons de engenharia e arquitetura. Não é difícil afirmar que o ideal físico foi projetado pelo
ente geométrico. Mas tomem-se os resultados de Euclides com relação à origem de suas
figuras. O ponto é a menor redução de todas. É a essência que se buscava. Ora, os volumes se
reduzem aos seus planos, e seus planos se reduzem as retas e suas retas aos pontos. Não se
tome esta sequência grosso modo, mas com a intenção de aparente completude apresentada
também pelo geômetra, que evidenciou bem cada definição elementar não com relação ao
conteúdo de cada elemento, mas sim suas extremidades. Extremidades estas que eram o alvo
das operações conseguintes que se interligavam.
O que é o nada que define a substancia do ponto? O nada que se torna parte do ponto
propriamente dito como sua substancia fundamental. Seria apenas uma saída desesperada de
Euclides para encerrar suas definições sem pecar em seus posteriores argumentos? Ora, se tal
absurdo fosse verdade, isto é, o desespero por encerrar as definições, certamente que Euclides
não teria se especificado tanto em cada termo e em cada passagem. Porém, cada qual se
interliga. De forma a confirmar que vale a interpretação sem algum posterior remorso. Este
nada euclidiano pode facilmente ser interligada como condição contrária a de existência
apresentada na definição de unidade. Ora, anteriormente valorizou-se a ideia de existência
como fator preponderante para a percepção de nossos sentidos. Porém, esta condição não é
inviolável, sabendo-se que muitas intenções, conhecidas ou não são criadas por meio da
cognição. E a melhor maneira de concatenar a cognição humana com o nada exterior é refazer
o caminho de anteriormente. A cognição humana define o número, mas o número se rebela
contra a mente humana desenvolvendo seus padrões, que são aprovados pelo mundo físico e
sua geometria natural.
O Ponto é, tão somente, um equilíbrio entre a realidade e o imaginário. É o acordo
formado entre a matéria e o espírito de cognição. É o “DNA” da própria ciência matemática.
O que intera os sólidos e o abstrato, a geometria e a Física, as causas e as consequências.
Se os sólidos ao nosso redor, naturais ou artificiais, neste planeta ou fora dele, são
meras projeções então nada mais é preciso provar. Mas é válido discutir um pouco a frase
anterior, para que se extingam as dúvidas. Por um lado, a natureza apresenta a geometria, esta
é reduzida ao projeto que posteriormente projeta outros sólidos mais consistentes – como
prédios, por exemplo. Por outro lado, as projeções humanas determinam as constantes, que se
6
comportam indomáveis e se observam também na natureza. Aqui se entende melhor ainda,
que número é causa e consequência daquilo que se vê na matemática aplicada, na mera
manipulação ou ainda na abstração.
Os resultados são as melhores testemunhas deste argumento, e se deseja interrogálas, faça-se sem medo de encontrá-los, pois estão ao nosso redor. Nisto os números são
culpados. Culpados por deixarem suas digitais neste grande cenário que é o universo. Tendo
por cúmplice a natureza que não consegue mentir. Mas ao mesmo tempo em que se culpa se
absolve, pois as constantes lhe servem por defesa. E o Padrão é o juiz que lhe confere a
liberdade.
4. CONCLUSÃO
Por interpretação de definições específicas dos Elementos de Euclides é possível se
formar linhas de argumentação que servem de apoio a compreensão de certas entidades
matemáticas ditas abstratas. Tendo como ponto de partida a definição de número
apresentaram-se algumas impressões acerca do objeto matemático herdado da entidade
abstrata. A composição do número em unidades de características constantes que se
evidenciam em existência pelos sentidos e na aparente inexistência pelos resultados físicos
apresentados na natureza. A “apropriação” da inexistência para fundamentar a construção
base do elemento essencial a outras construções materiais ou não. Tendo o ponto euclidiano
como o equilíbrio entre o ideal abstrato, o projeto geométrico e as construções sólidas. Enfim,
tornando as constantes e seu Padrão a essência que formula o pensamento matemático. Que o
inspira e o faz inspirar.
5. REFERÊNCIAS
BOURBAKI, N. Éléments d’histoire des mathématiques. Paris: Masson, 1984.
Enciclopédia conhecer. São Paulo: Abril S.A. Cultural e Industrial, 1973.
EUCLIDES. Os Elementos; tradução e introdução de Irineu Bicudo. – São Paulo: Editora
UNESP, 2009.
MARITAIN, Jacques. Elementos de filosofia I: introdução geral à filosofia; tradução de Ilza
das Neves e Heloísa de Oliveira Penteado; revista por Irineu da Cruz Guimarães. – 17. ed. –
Rio de Janeiro: Agir, 1994.
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