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Massa submetida a uma força central
Considere-se um referencial cartesiano centrado numa massa M e uma massa pontual m que é
r
Mm OP
submetidaà une
a uma
força
central F = −G
soumise
force
centrale
. A trajetória é assim plana e o seu plano
3
OP
r
velocidade
inicial V de componentes Vx0 e Vy0 . No instante t0 inicial, as
contém olevetor
vecteur
vitesse initial
coordenadas de P s ão x0 = a = 10 (unidade arbitrária) e y0 = 0. A energia mecânica total do
sistema constituido pelas massas M e m é:
E = ½mV² – GMm/r
Se a energia cinética de m é inferior à energia potencial, a trajetória é uma elipse em que
um dos focos é a massa M. A solução analítica é conhecida mas, aqui, é determina-se a trajetória
recorrendo a um método numérico.
y
As equações vetoriais do movimento são:
r
r
r
d ² r r dr
F= m
V=
dt ²
dt
V
r
P
O
x
Pela projeção sobre os eixos Ox e Oy, tendo k = GM :
k.x/r3 = m.dVx/dt ; k.y/OP3 = m.dVy/dt.
Vx = dx/dt et Vy = dy/dt.
A resolução numérica destas quatro equações permite determinar a trajetória.
O applet permite:
– a seleção dos valores das componentes da velocidade inicial com um controlo do valor
da sua norma de forma a obter uma trajetória fechada (Vx0 ² + Vy0 ² +2k/a < 0),
– desenhar a trajetória do corpo durante uma revolução,
– mostrar a duração de uma revolução,
– desenhar o hodógrafo do momento. É a curva descrita pela extremidade de um vetor
equipolente no vetor velocidade mas, em que a origem se mantém num ponto fixo.
– todos os 20 passos, o desenho do raio vetor (OP) e do vetor velocidade correspondente. Isso
permite apreciar visualmente a evolução da velocidade e a lei das áreas.
Podemos, a partir das curvas obtidas, verificar grosseiramente a terceira lei de Kepler.
A3
G
=
(M + m) = Constante (A é o semi-eixo maior da trajetória e T o período)
T² 4 π
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