Mecânica Técnica
Aula 11 – Momento de uma Força,
Formulação Vetorial
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Aula 11
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Tópicos Abordados Nesta Aula
Regras do Produto Vetorial.
Princípio dos Momentos.
Momento em Sistemas Tridimensionais.
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Momento de uma Força – Análise Vetorial
O momento de uma força em relação a um ponto pode ser
determinado através da aplicação das regras de produto vetorial.
A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos geralmente é
aplicada para sistemas em três dimensões.
r
r
r
M O = rOA × F
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Princípio dos Momentos
Conhecido como teorema de Varignon.
O teorema estabelece que o momento de uma força em relação a um
ponto é igual a soma dos momentos dos componentes das forças em
relação ao mesmo ponto.
r
r r
r r
M O = (r × F1 ) + (r × F2 )
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Regras do Produto Vetorial
O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C
e matematicamente a operação é escrita do seguinte
modo:
r r r
C = A× B
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Formulação Vetorial Cartesiana
r r r
i× j =k
r r r
j ×k = i
r r r
k ×i = j
r r
r
i ×k = −j
r
r r
j × i = −k
r r
r
k × j = −i
r r
i ×i = 0
r r
j× j =0
r r
k ×k = 0
r r
A × B = Ax
r
j
r
k
Ay
Az
Bx
By
Bz
r
i
r r
r × F = rx
r
j
r
k
ry
rz
Fx
Fy
Fz
r
i
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Exercício 1
1) Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse
o resultado como um vetor cartesiano.
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Solução do Exercício 1
Cálculo do Momento no Ponto A:
r
r
r
M O = rOA × F
r
r
r
r
r
r
r
M O = 90k − 60 j + 420k + 140i + 240 j + 120i
r
r
r
r
r
r
r
M O = (−3i − 7 j + 4k ) × (60i − 30 j − 20k )
r
r
r
r
M O = 260i + 180 j + 510k Nm
Vetor Posição:
r
r
r
r
rOA = −3i − 7 j + 4k m
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Exercício 2
2) O poste mostrado está sujeito a uma força de 60N na direção de C
para B. Determine a intensidade do momento criado por essa força
em relação ao suporte no ponto A.
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Solução do Exercício 2
Vetor Unitário:
r
r r
r
− 2i − 1 j + 2k
u CB =
3r
r
r
r
u CB = −0,666i − 0,333 j + 0,666k
Vetores
r
r Posição:
r
r
rAB = 1i + 3 j + 2k m
r
r
r
rAC = 3i + 4 j m
r
r
r
r
rCB = (1 − 3)i + (3 − 4) j + (2 − 0)k
r
r r
r
rCB = −2i − 1 j + 2k m
Módulo do Vetor Posição:
rCB = 2 2 + 12 + 2 2
rCB = 3m
Vetor
Força:
v
r
F = F ⋅ u CB
r
v
r
r
F = 60 ⋅ (−0,666i − 0,333 j + 0,666k )
r
v
r
r
F = ( −40i − 20 j + 40k ) N
Cálculo do Momento no Ponto A:
r
r
r
M A = rAB × F
r
r
r
r
r
r
r
M A = (1i + 3 j + 2k ) × ( −40i − 20 j + 40k )
r
r
r
r
r
r
r
M A = −20k − 40 j + 120k + 120i − 80 j + 40i
r
r
r
r
M A = 160i − 120 j + 100 k Nm
M A = 160 2 + 120 2 + 100 2
M A = 224 Nm
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Exercícios Propostos
1) Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse
o resultado como um vetor cartesiano.
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Exercícios Propostos
2) O bastão curvado se estende no plano x-y e tem uma curvatura de
3m. sabendo que a força F é igual a 80N, determine o momento
dessa força em relação ao ponto o.
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Exercícios Propostos
r
r
r
r
3) A força F = (600i + 300 j − 600 k ) N, atua na extremidade da viga.
Determine o momento dessa força em relação ao ponto A.
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Exercícios Propostos
4) A estrutura mostrada na figura está sujeita a uma força de 80N.
Determine o momento dessa força em relação ao ponto A.
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Exercícios Propostos
5) A escora AB de uma comporta de 1m de diâmetro exerce uma
força de 450N no ponto B. Determine o momento dessa força em
relação ao ponto O.
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Próxima Aula
Momento em Relação a um Eixo Específico.
Momento de um Binário.
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