M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
CAPÍTULO 3
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA
MECÂNICA DOS FLUIDOS
PARTE I
Este capítulo é dedicado à introdução dos conceitos mais fundamentais da Mecânica dos
Fluidos.
A disciplina Mecânica dos Fluidos é muito ampla e está entre as primeiras disciplinas
estudadas sistematicamente pelo homem. Ela pode ser considerada como uma disciplina pioneira
no sentido de se utilizar um enfoque científico na análise de seus problemas; é muito provável que
grande parte da motivação para o desenvolvimento do ramo da Matemática conhecido como
Matemática Aplicada e, também, dos Métodos Numéricos tenha sido a procura de soluções das
equações da Mecânica dos Fluidos.
Os dois conceitos mais importantes apresentados neste capítulo referem-se à Hipótese do
Contínuo e a definição de fluido, que são apresentados nas partes iniciais do capítulo.
A apresentação e a quantificação das propriedades dos fluidos compõem a parte central do
capítulo.
Seguindo à apresentação destes conceitos, encontra-se uma primeira introdução aos
princípios de conservação. Uma análise mais completa destes princípios é feita na apresentação
dos Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Fluidos - Parte II.
1. O QUE É UM FLUIDO?
De uma maneira geral sabemos identificar a matéria como um sólido, como um líquido ou
como um gás.
Sabe-se, também, que a matéria, quer seja sólida, líquida ou gasosa, é composta por
partículas (moléculas, átomos, etc.) e que estas se encontram largamente espaçadas entre si.
Nos sólidos, este espaçamento é pequeno e a coesão destas partículas é mantida por intensas
forças intermoleculares. Estas forças permitem que a matéria mantenha a sua forma; os sólidos
apresentam ainda uma razoável resistência à deformação e à compressão.
O espaçamento entre as partículas de um líquido pode ser considerado como tendo uma
grandeza comparável a aquele dos sólidos, embora seja maior (do que nos sólidos). Como resultado
deste maior espaçamento as forças intermoleculares são menores o que leva a algumas
conseqüências importantes:
- os líquidos não apresentam resistência à deformação; ao serem “empurrados” eles se deformam e
começam a se movimentar (escoar)
- os líquidos ao serem “derramados” num recipiente moldam-se de acordo com a forma deste
recipiente.
Observa-se, no entanto, que os líquidos apresentam uma resistência considerável quando
comprimidos.
Nos gases os espaçamentos observados entre partículas - da ordem de 10-6 mm – são bem
maiores do que nos líquidos e nos sólidos; as forças intermoleculares são muito pequenas. Os gases
não apresentam resistência à deformação e, ao contrário dos líquidos, são facilmente comprimidos.
Mais ainda, os gases ocupam todo o volume dos recipientes que os contem, um comportamento
bem diferente daquele observado nos líquidos.
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Do que foi acima exposto, não é difícil concluir que uma complexidade muito grande (e,
talvez, até desnecessária) seria adicionada à análise dos problemas do cotidiano se todos estes
detalhes de origem microscópica fossem considerados. Conjectura-se, então, se não seria possível
realizar a análise dos fenômenos que ocorrem numa escala macroscópica sem considerar estes
detalhes microscópicos.
A primeira conclusão que se pode tirar é: se por um lado este procedimento simplifica
consideravelmente as análises, por outro, ele cria a necessidade de considerar indiretamente os
efeitos dos fenômenos que ocorrem nas micro-escalas; uma alternativa viável consiste em
considerar estes efeitos através de coeficientes que caracterizam a matéria, cujos valores e
comportamentos são, em geral, obtidos experimentalmente.
Neste contexto, a análise dos problemas da Mecânica dos Fluidos (assim como de outras
disciplinas que se enquadram no contexto geral da Mecânica dos Meios Contínuos) exige como
primeira providência a formulação da Hipótese do Contínuo; esta hipótese permite que se abstraia
das análises os detalhes relacionados com a estrutura molecular da matéria (veja mais detalhes no
item seguinte) e viabiliza a utilização de todo o conhecimento matemático que tem como ponto de
partida a continuidade das funções; veja mais detalhes na parte 2 deste capítulo.
Uma segunda providência refere-se à procura de uma classificação da matéria de acordo
com a sua resposta à ação de uma ação externa. Esta segunda providência (agora com características
nitidamente macroscópicas) é utilizada para a definição do que se considera como um fluido:
“Se a matéria se deforma continuamente sob a ação de uma força cisalhante (por menor
que seja) ela é classificada como um fluido”.
Líquidos e gases são, portanto, fluidos; eles “escoam” sob a ação de uma força cisalhante.
Os sólidos, ao contrário, sob a ação de uma força cisalhante apresentam uma deformação (em geral,
pequena) finita, isto é, “não escoam”. Cessando a ação da força o sólido retorna a sua forma
original.
OBS 1: Observe que as grandezas e os conceitos utilizados na definição de um fluido são elementos
com os quais se lidam em escala macroscópicas; do que foi acima exposto verifica-se, porém, que
estes elementos resultam de atividades que ocorrem em escala microscópicas.
OBS 2: De acordo com a definição de um fluido não seria apropriado utilizar a sentença: “a bomba
puxa água de uma cisterna...”. A água sendo um líquido (e, portanto, um fluido) não resiste a uma
ação cisalhante e, como conseqüência, não pode ser “puxada”. Como ela escoa no interior de um
tubo é, portanto, uma questão a ser respondida. A água, assim como todos os fluidos, entra em
movimento (isto é, escoa) sempre que se observa uma diferença de pressão; ela escoa (é
“empurrada”) das regiões de alta pressão para as regiões de baixa pressão.
Para complementar esta introdução ao conceito de fluido, é oportuno enfatizar os principais
aspectos (alguns já mencionados) que decorrem da conceituação ou da observação dos fenômenos
associados:
- o conceito de fluido é introduzido (como convém no contexto da hipótese do contínuo) utilizando
a resposta da matéria à uma excitação externa. Utilizam-se grandezas observadas em escala
macroscópica e não se leva em consideração (pelo menos explicitamente) a estrutura molecular
da matéria. Como já mencionado e como será visto, a estrutura molecular da matéria possui uma
influência marcante no comportamento dos fluidos através de suas propriedades.
- certos materiais são de difícil classificação; por exemplo, a pasta de dentes, o asfalto, etc.
comportam-se como se sólido fossem se a força aplicada for pequena e, no entanto, escoam
continuamente se a força aplicada ultrapassar um determinado valor. Este fato não invalida toda
os conhecimentos e resultados que são obtidos na Mecânica dos Fluidos.
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- uma premissa básica na análise dos problemas da Mecânica dos Fluidos decorre de observações
realizadas em escalas macroscópicas e que são resultantes de experimentos cuidadosos realizados
em laboratórios; ela é conhecida como a condição de aderência. Segundo esta condição o fluido
em contacto com uma superfície sólida a ela se adere, adquirindo a sua velocidade. Em termos
matemáticos esta condição é expressa pela como
u=V
na interface sólido-fluido
(1)
u representa a velocidade do fluido e V a velocidade da superfície sólida. Esta condição será
analisada com detalhes e utilizada muitas vezes ao longo do texto.
OBS 3. A condição de aderência foi introduzida como um fato observado em experiências de
laboratório; esta maneira é condizente com a prática da Mecânica dos Fluidos que trata os
fenômenos a nível macroscópico. Na parte 2 deste capítulo, ao analisarmos os mecanismos
responsáveis pela propriedade viscosidade, veremos que a condição de aderência decorre da
interação entre as moléculas do fluido e do sólido.
OBS 4. Como é comum na análise de fenômenos que ocorrem numa interface, a condição de
aderência é mais bem analisada decompondo-a em duas partes
- a condição de impenetrabilidade que preconiza a igualdade das componentes normais de u e V
(uma partícula de fluido não pode penetrar na superfície sólida ou dela se separar); em termos
matemáticos:
un = Vn
na interface sólido-fluido
(2)
- a condição de escorregamento nulo que preconiza a igualdade das componentes tangenciais de
u e V (uma partícula de fluido adere à superfície sólida e não pode deslizar sobre ela); em
termos matemáticos:
ut = Vt
na interface sólido-fluido
(3)
OBS 5. Letras em negrito são utilizadas para indicar que a grandeza é vetorial; uma grandeza
vetorial, por exemplo, v, possui três componentes v1, v2, v3, o que é indicado como:
v ≡ (v1, v2, v3)
OBS 6. Neste texto a letra u será sempre utilizada para indicar a velocidade do fluido com as
componentes u, v e w (u1, u2, u3) na direção de x, y e z (x1, x2, x3 ), isto é:
u ≡ (u1, u2, u3) = (u, v, w)
Uma velocidade qualquer, V, por exemplo, é representada como:
V ≡ (V1, V2, V3) = (Vx, Vy, Vz)
EXEMPLO 1. Considere dois vetores A e B, tal que:
A ≡ (A1, A2, A3)
e
B ≡ (B1, B2, B3)
a) O produto escalar de A e B é indicado por (A . B) e é uma grandeza escalar, definida como:
(A. B) = A1B1 + A2B2 + A3B3
b) O produto escalar de A e B é representado graficamente pela projeção do vetor A sobre B
A
B
(A.B)
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c) Seja u o vetor velocidade do fluido, t o vetor unitário tangente a superfície e n o vetor
unitário normal a superfície. Nestas condições temos:
ut = ( u . t )
componente tangencial de u com relação a superfície.
un = ( u . n) componente normal de u com relação a superfície.
d) O produto vetorial de A e B é indicado por (A x B) e é uma grandeza vetorial, definida
como:
i
j
k
(A x B ) = A1 A 2 A 3
B1 B2 B3
e) O produto vetorial de A e B é representado graficamente por um vetor perpendicular ao
plano formado por A e B
(AxB)
B
A
fim do exemplo 1
EXERCÍCIO 1. Como você exprime matematicamente que os veres A e B são paralelos?
EXERCÍCIO 2: Escolha a opção correta
- somente os gases são considerados como fluidos.
- somente os líquidos são considerados como fluidos.
- líquidos e gases são fluidos
- sólidos, líquidos, gases são fluidos
- nenhuma das anteriores
EXERCÍCIO 3: Faça um esquema que permita ilustrar o que é uma força cisalhante e o que é uma
força normal.
EXERCÍCIO 4: Imagine uma superfície plana horizontal e sobre ela uma partícula de fluido. Se a
superfície oscila na direção normal a ela, o que acontece com a partícula de fluido? O que você
entende por partícula de fluido (veja a parte 2 deste capítulo).
EXERCÍCIO 5: Imagine uma superfície plana horizontal e sobre ela uma partícula de fluido. Se a
superfície oscila na direção paralela a ela, o que acontece com a partícula de fluido?
EXERCÍCIO 6: Imagine uma placa plana horizontal e sobre ela uma esfera
- Imagine superfícies da placa e da esfera imaginárias que sejam perfeitamente lisas. O que acontece
com a esfera se a superfície começar a se movimentar horizontalmente?
Por quê?
- Imagine, a seguir, que as superfícies da placa e da esfera sejam reais, isto é, não sejam
perfeitamente lisas. O que muda com respeito a situação anterior? Por quê?
- Imagine que, além de certa rugosidade, as superfícies sejam impregnadas de mel, por exemplo.
Como você descreve o que acontece nestas condições?
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2. HIPÓTESE DO CONTÍNUO.
Como uma introdução à hipótese do contínuo, as seguintes observações são apresentadas:
- ao se introduzir o conceito de fluido fez-se uso de um critério que utiliza grandezas observadas
macroscopicamente (deformação do corpo sob a ação de uma força); não se utilizou um critério
que leva em consideração os aspectos microscópicos da matéria.
- um líquido e um gás, embora apresentem diferenças se observados numa escala microscópica, são
vistos como fluidos quando observados numa escala macroscópica (escala esta onde os problemas
da Mecânica dos Fluidos acontecem)
- ainda sob este mesmo prisma, ao se observar um fluido – a água, a gasolina, a fumaça, etc.verifica-se que ele se apresenta como uma massa contínua, sem espaços vazios.
Estas observações constituem-se nas motivações básicas para a formulação da seguinte
hipótese de trabalho:
“os fluidos apresentam-se de maneira contínua”
Os fenômenos analisados no âmbito da Mecânica dos Fluidos ocorrem em escalas
macroscópicas e este fato indica na direção da hipótese formulada acima. Aliás, fenômenos
analisados em outras disciplinas como a Transferência de Calor, a Mecânica dos Sólidos, etc.
apresentam esta mesma característica. Por esta razão todos estes fenômenos são analisados sob o
mesmo arcabouço teórico, a Mecânica dos Meios Contínuos.
A simplificação dos fenômenos, quando analisados sob a hipótese do contínuo (“a matéria
se apresenta como um meio contínuo”) não implica, no entanto, em se ignorar o que acontece em
escala molecular. Os efeitos da interação entre as partículas que constituem a matéria possuem uma
importância fundamental na mecânica dos fenômenos; estes efeitos são considerados através de
coeficientes que caracterizam a matéria e, em geral, são obtidos experimentalmente.
Como toda hipótese, a hipótese do contínuo é válida em certas condições no âmbito das
quais sua utilização leva a resultados satisfatórios. Se estas condições não são respeitadas pouco se
pode dizer sobre a qualidade dos resultados; eles podem ainda ser aceitáveis, porém menos precisos
ou eles podem ser totalmente errados! Por esta razão, uma primeira providência a ser tomada reside
no estabelecimento de critérios que determinam a faixa de validade da hipótese do contínuo. Com
esta finalidade vamos utilizar o conceito de comprimento característico - ℓ - e recordar alguns
valores sobre a estrutura molecular da matéria.
No capítulo 2, o conceito de comprimento característico (ou comprimento representativo) foi
introduzido como sendo aquele que representa o padrão natural de comprimento de um dado
fenômeno físico; ele serve como referência quando outros comprimentos identificados no fenômeno
são com ele comparados.
Vimos acima que as distâncias entre moléculas de um sólido e de um líquido são mais ou
menos da mesma ordem de grandeza, embora sejam maiores nos líquidos. As distâncias entre
moléculas de um gás, no entanto, são muito maiores, da ordem de 10 vezes o tamanho das
moléculas. No ar em condições normais, por exemplo, esta distância é aproximadamente igual a
3*10-9 m (um centímetro cúbico de ar contem 3*1019 moléculas). As forças intermoleculares são
muito fortes nos sólidos, diminuindo nos líquidos e assumindo valores muito pequenos para os
gases. As moléculas dos gases passam grande parte do tempo deslocando-se livremente pelo espaço
e de tempos em tempos sofrem colisões que tem como conseqüência a variação da velocidade e da
direção do movimento. O caminho médio (distância) percorrido pelas moléculas dos gases entre
duas colisões sucessivas -λ- é bem característico dos fenômenos que ocorrem nas micro-escalas; no
ar, estima-se que λ ≈ 8*10-8 m, ou seja, aproximadamente 25 vezes a distância entre moléculas. Um
cubo de lado igual a λ contem aproximadamente 15000 moléculas e, utilizando elementos da Teoria
Cinética dos Gases para estimar a massa específica, verifica-se uma flutuação de 0.8% no tempo. Se
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o lado deste cubo é reduzido para (0.1λ), tem-se aproximadamente 15 moléculas e o cálculo da
massa específica mostra uma flutuação da ordem de 25%. Este fato serve para ilustrar porque λ
apresenta-se como um comprimento bem característico dos fenômenos que ocorrem nas microescalas.
Tendo identificado dois comprimentos característicos, ℓ representando o comprimento
característico do fenômeno estudado no âmbito da Mecânica dos Fluidos (âmbito das macroescalas) e λ o comprimento característico dos fenômenos que ocorrem nas micro-escalas, podemos
definir o parâmetro adimensional -K- relacionando estes dois comprimentos como:
K=
λ
l
(4)
Este grupo adimensional é conhecido como Número de Knudsen e se apresenta como um
apropriado meio de identificar o tamanho relativo das escalas; conclui-se que: “se K <<1 os
fenômenos que ocorrem nas micro escalas possuem influência apenas indireta sobre os fenômenos
que ocorrem nas macro escalas caracterizados pelo comprimento ℓ”.
Para efeitos práticos é comum assumir que: se K < 0.001 então os fenômenos que ocorrem
nas micro escalas possuem apenas uma influência indireta nos fenômenos que ocorrem nas macro
escalas.
Um critério para validação da hipótese do contínuo pode, então ser formulado (para os gases)
como:
se K <<1 o gás pode ser visto como um meio contínuo
Se a matéria se apresentar na forma de um líquido ou de um sólido as restrições são grandemente
relaxadas tendo em vista que a distância entre moléculas é muito menor do que nos gases; em
qualquer situação, no entanto, exige-se que o comprimento característico do fenômeno estudado
deva ser grande quando comparado com o comprimento característico dos fenômenos que ocorrem
nas micro escalas.
Na utilização desta hipótese é importante observar que:
- a influência da estrutura da matéria é levada em consideração indiretamente através de
coeficientes empíricos como a massa específica, ρ, o coeficiente de viscosidade, µ, etc.
- assume-se que os coeficientes mencionados variam continuamente através da matéria.
- como a matéria é contínua e os coeficientes variam continuamente tem-se as condições de
continuidade que justificam a utilização de um vasto ferramental matemático assim como insere o
fenômeno analisado no contexto da Mecânica Clássica ou Mecânica Newtoniana.
A utilização da Hipótese do Contínuo, que está implícita na análise dos problemas da
Mecânica dos Fluidos, impõe a necessidade de se contextualizar novos conceitos como, por
exemplo, o de partícula de fluido.
Afinal, se um fluido é contínuo como se pode ter uma partícula de fluido?
Para contornar esta dificuldade as escalas são, novamente, utilizadas. Consideremos, para
exemplificar, um sensor de temperatura formado por um finíssimo filamento com um diâmetro de
um décimo de mm (d = 0.1mm). Ao ser inserido num meio fluido ele irá fornecer um valor da
temperatura que corresponde a um valor médio da temperatura um grande número de moléculas que
se encontram nas suas vizinhanças. Pode-se assumir que esta temperatura será influenciada pelas
moléculas contidas no interior de um volume de controle aproximadamente igual a 10 vezes o
volume do sensor; este volume é denominado de volume sensitivo. Se este volume for da ordem de
0.01mm3 ele conteria, por exemplo, 3 x 1014 moléculas de oxigênio se a temperatura fosse de 20oC
a a pressão de 1 atm. Estima-se que um mm3 contem 3 x 1016 moléculas nestas condições.
O volume sensitivo pode então ser associado ao conceito de partícula de fluido:
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“a partícula de fluido localizada num ponto P, num instante t, é representada por uma vizinhança
deste ponto que contem as moléculas que influenciam na definição das suas propriedades”
Algumas observações se fazem necessário:
OBS 1: o conceito de partícula de fluido é complexo e não se pode associar a partícula de fluido
com uma pequena esfera de matéria.
OBS 2: o conceito de partícula de fluido está, de alguma maneira, associado ao melhor (menor)
equipamento disponível para a medida das grandezas.
OBS 3: para efeitos de cálculo e análises, a partícula de fluido é considerada como pontual, assim
como as grandezas e ela associadas (massa específica, temperatura, etc.). Do ponto de vista do
contínuo tudo se passa como se o volume sensitivo tendesse a zero.
OBS 4: Como informação adicional, menciona-se que K é da ordem de grandeza da relação entre o
número de Mach -Ma- e o número de Reynolds -Re-, isto é:
K = O (Ma / Re)
Símbolo de ordem O (---): A notação M = O (ε) é utilizada para indicar que a grandeza M é da
ordem de grandeza de ε.
Este primeiro contacto com a Mecânica dos Meios Contínuos pode ser encerrado
mencionando-se que as disciplinas que tem como ponto de partida a hipótese do contínuo são
aquelas que lidam com fenômenos em escala macroscópicas e as propriedades da matéria nelas
utilizadas podem ser vistas como uma média de eventos envolvendo um grande número de
partículas microscópicas.
Para exemplificar considere a velocidade do fluido u. Esta velocidade pode é vista através de
um processo limite:
u = lim
l →0
∑m v
∑m
i
i
(5)
i
ℓ representa um comprimento característico do volume de controle considerado, mi e vi a massa e a
velocidade das moléculas contidas neste volume de controle e finalmente (mivi) a quantidade de
movimento da molécula (i).
Neste contexto, o conjunto de pontos ocupados por uma partícula de fluido é uma linha
denominada de trajetória desta partícula.
7
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3. ALGUMAS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
Nesta parte são definidas duas propriedades do fluido: a massa específica e o volume
específico. Outras propriedades do fluido são introduzidas no momento oportuno de acordo com as
necessidades.
Como feito na definição da velocidade do fluido, a maneira como estas duas propriedades do
fluido são apresentadas fornecem indicações de como as informações e as propriedades que
dependem da estrutura da matéria são considerados no âmbito do contínuo.
3.1. MASSA ESPECÍFICA [ρ]
Com a hipótese da continuidade a massa específica varia no espaço e no tempo:
ρ = ρ(x,y,z;t)
(6)
isto é, a massa específica depende da posição (x,y,z) e do instante de tempo t.
Em grande parte dos fenômenos analisados a função ρ(x,y,z;t) = Const. e se diz que a massa
específica possui uma distribuição uniforme no espaço e no tempo; de uma maneira geral, no
entanto, assume-se que esta função seja contínua exceto em pontos onde se observa uma
estratificação extrema com um salto discreto na distribuição da massa específica.
Para a determinação da função ρ(x,y,z;t) não se utiliza contar o número de moléculas
contidas no volume de controle (uma tarefa inviável! Quanto tempo um equipamento capaz de
identificar um milhão de moléculas por segundo levaria para contar as moléculas de ar contidas
num centímetro cúbico?); seleciona-se uma dado volume de controle e se mede a sua massa.
Uma análise do volume selecionado é ilustrativa. Para isto considere um volume de controle
de comprimento característico ℓ e que é utilizado para a determinação da massa específica.
- se ℓ representa um valor muito grande, 100m por exemplo, o valor da massa específica obtido
representa um valor médio que provavelmente pouca relação terá com o valor local!
- a medida que ℓ diminui, o valor calculado da massa específica começa a apresentar valores
consistentes, mesmo que ℓ seja reduzido de algumas ordens de grandeza. Num gráfico [(ρ) x (ℓ)]
tem-se uma reta horizontal mostrando que a massa específica se mantem constante. O valor
calculado representa a massa específica num ponto.
- imagine que o valor de ℓ continue diminuindo. O que acontece quando ℓ atinge um valor que seja
da ordem de grandeza da distância que existe entre moléculas? Verifica-se que poucas moléculas se
fazem presente no volume de controle e, como resultado, observam-se oscilações violentas no
gráfico [(ρ) x (ℓ)] a medida que ℓ varia .
Este tipo de raciocínio permite que se defina a massa específica num ponto através de um
processo limite
Σm i
(7)
ρ = lim
l →0 ∀
Nesta expressão, deve-se entender que o processo limite ℓ→0 representa ℓ muito pequeno mas
nunca atingindo a escala molecular (micro escala).
Informações específicas como a dimensão, unidade, etc. desta grandeza são apresentadas na
Tabela 1.
A Tabela 2 apresenta valores da massa específica de alguns fluidos mais comuns (a Tabela
B3 e a Tabela B4 são mais completas).
Observe que o valor da massa específica varia com a temperatura, o que pode ser explicado
pelo fato de que o número de moléculas presentes num dado volume depende da temperatura.
8
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Conceitos Fundamentais I
Para pensar e responder: De uma maneirar geral, a massa específica aumenta ou diminui com a
temperatura? Por quê?
TABELA 1
MASSA ESPECÍFICA: Propriedades Características
PROPRIEDADE
Massa Específica
SÍMBOLO
ρ
DIMENSÃO
[ML-3]
UNIDADE (SI)
kg/m3
A massa, m, contida num volume ∀, pode ser recuperada através da expressão:
m = ∫ ρd∀
(8)
∀
Como informações adicionais, cabe mencionar:
- a massa específica de um fluido pode apresentar uma variação sensível com a altitude (ou com a
profundidade); nestes casos diz-se que o fluido encontra-se estratificado. Na água do mar, a
salinidade e a temperatura podem ser responsáveis pela estratificação. A estratificação pode ser
observada, também, na atmosfera.
- em muitas situações a estratificação não é contínua; a distribuição da densidade pode apresentar
um salto discreto. Esta situação é encontrada quando dois fluidos que não se misturam (água e
óleo, por exemplo) são colocados num recipiente. Neste caso forma-se uma superfície que se
desloca livremente (a interface entre os dois fluidos) e que é denominada de superfície livre. Os
movimentos destas superfícies são denominados de ondas internas e exercem um papel
importante em várias situações. Outro exemplo de superfície livre é encontrado na interface da
água com o ar nos lagos, nos oceanos, etc. formando as ondas de superfície.
TABELA 2
MASSA ESPECÍFICA DE ALGUNS FLUIDOS
Ar
Ar
Água
Água
Álcool etílico
Gasolina
Óleo (SAE 30)
Mercúrio
ρ
(kg/m3)
1,292
1,204
1000
998
789
680
912
13 600
T
(oC)
0
20
0
20
20
20
20
20
3.2. VOLUME ESPECÍFICO [ υ ]
O volume específico -υ- é definido como o inverso da massa específica, isto é:
υ=
1
ρ
(9)
Esta propriedade fornece o volume ocupado por uma massa unitária da substância. Como a massa
específica, o volume específico pode, no caso mais geral, variar de ponto para ponto e de instante
para instante, o que é indicado como:
9
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υ = υ (x,y,z,t)
Informações específicas sobre esta grandeza são apresentadas na Tabela 3.
TABELA 3
VOLUME ESPECÍFICO: Propriedades Características
PROPRIEDADE
Volume Específico
SÍMBOLO
υ
DIMENSÃO
[L3M-1]
UNIDADE (SI)
m3/kg
Em determinadas ocasiões é interessante exprimir o volume específico na base molar. Como
o número de quilomoles - n - de uma substância é fornecido pela relação.
n=
m
M
m é a massa (kg) e M é o peso molecular, expresso em (kg/kmol) tem-se o volume específico, na
base molar, expresso como
υ = Mυ
m3/kmol
(10)
EXERCÍCIO 7: Pesquise nas tabelas o valor da massa específica da água (um líquido) e do ar (um
gás) quando submetidos a uma temperatura de 20ºC e a pressão de 1 atm. Em seguida calcule
quantas vezes a massa da água é maior do que aquela do ar. Como explicar este valor tão alto?
EXERCÍCIO 8: Por quê o valor da massa específica diminui com o aumento da temperatura?
EXERCÍCIO 9: Existe um material que não obedece o que foi afirmado no exercício 8. Qual é este
material? Em que faixa de temperaturas este fenômeno ocorre?
10
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4. FORÇA E TENSÕES
É conveniente analisar as forças que atuam sobre um corpo, classificando-as de acordo com
a maneira com que atuam. Nos cursos básicos de Física, costuma-se classificar as forças como
aquelas que atuam a distância e que aqui serão indicadas por Fc e as forças que atuam através do
contacto superficial, aqui indicada por Fs.
Como exemplo de força que atua a distância menciona-se a força peso, indicada pela letra W,
a mais comumente encontrada.
Por outro lado, forças que atuam através da superfície são fartamente encontradas. Para
exemplificar, considere um bloco que desliza sobre uma superfície plana horizontal. A superfície
exerce uma força sobre a face (do bloco) em contacto com ela; esta força atua no sentido oposto ao
movimento do bloco: é a força de atrito. A força de atrito atua na direção tangencial às superfícies,
nos pontos de contacto; por esta razão ela é denominada de força tangencial e é indicada pela letra
Fst.
Continuando com a análise do fenômeno, verifica-se que a força de atrito não é a única força
que atua entre as superfícies. O peso do bloco é transmitido integralmente para a placa. Esta, pelo
princípio da ação e reação, atua sobre a superfície do bloco no sentido oposto; desta maneira,
verifica-se que além da força tangencial, existe uma força que atua através da superfície, na direção
vertical, denominada de força normal que é indicada pela letra Fsn. Estas definições podem ser
resumidas como:
Fs = Fst t + Fsn n
(11)
As letras t e n representam os vetores tangencial e normal (unitários) à superfície.
OBSERVAÇÃO: No que se segue, convenciona-se definir o vetor normal apontando para o interior
do fluido, como ilustra a figura 1. Uma convenção mais abrangente que utiliza o conceito de
superfície de controle será apresentada mais tarde.
F
O vetor normal atua no sentido
que aponta para o interior do fluido
LUIDO
FIGURA 1
VETOR UNITÁRIO NORMAL
E TANGENCIAL
C
ORPO
Na análise dos problemas da Mecânica dos Fluidos serão encontradas superfícies de vários
tipos:
- superfícies sólidas como, por exemplo, as paredes de um recipiente que contem o fluido.
- superfícies livres representadas pelas interfaces que separam dois fluidos que não se misturam.
Como exemplos, mencionam-se: a superfície de uma bolha (separa o fluido externo à bolha dos
gases encontrados no seu interior), a superfície de um lago ou mar (separa a água do fluido
imediatamente acima; no caso o ar), etc. Veja fluidos estratificados no item 3.1. deste capítulo.
- superfícies virtuais (ou imaginárias) que são definidas no interior do fluido para propósitos de
análise; por exemplo, uma parte da superfície de controle.
Para analisar as forças que atuam nestas superfícies, independentemente de suas formas e
dimensões é conveniente definir a força específica ou força por unidade de área; a esta força dá-se o
nome de tensão:
11
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Conceitos Fundamentais I
 força
 força

 =
= Tensão
específica
área


Como feito anteriormente com a massa específica, por exemplo, será conveniente conhecer
como a tensão varia de ponto para ponto, isto é, será conveniente conhecer a distribuição da tensão.
Ora, como um ponto não possui dimensão, a especificação da tensão num ponto não é elementar.
Por esta razão, para a especificação da tensão num ponto P é necessário:
- identificar uma superfície que contenha P no seu interior
- analisar o comportamento da tensão nesta superfície
- definir a tensão no ponto pelo comportamento da tensão na condição limite quando esta superfície
tende a zero.
Por conveniência utiliza-se neste caso a superfície de um cubo de pequenas dimensões que
contenha o ponto P no seu centro e se especifica as tensões nos centros das faces deste cubo; no
limite, quando os lados do cubo são reduzidos tendendo a zero, tem-se a tensão no ponto P, como
ilustra a figura 2. Observe que o cubo foi escolhido por possuir uma forma conveniente quando se
trabalha com o sistema cartesiano; outro corpo com forma diferente poderia ser utilizado
(evidentemente sem as vantagens do cubo).
A seguir, apresenta-se a notação que será utilizada para definir as tensões nas faces do cubo:
- as tensões normais à superfície são indicadas pelo símbolo σ. As tensões normais são associadas
às componentes normais da força Fs.
- as tensões tangentes à superfície são indicadas pelo símbolo τ. As tensões tangentes ou tangenciais
são associadas às componentes tangenciais da força Fs.
- o primeiro índice adicionado aos símbolos refere-se ao eixo perpendicular à superfície
considerada; assim sendo, um símbolo com índice “1” refere-se à tensão que atua numa superfície
perpendicular ao eixo x (ou x1); veja, por exemplo, a face (xz) – perpendicular ao eixo y (ou x2) mostrada no LD da figura; nela as tensões atuantes são: τ21, τ23 e σ22 (esta última não aparece na
figura).
- o segundo índice adicionado aos símbolos refere-se à direção segundo a qual atua a tensão; por
exemplo, τ21 atua na direção x (ou x1), τ23 atua na direção z (ou x3) e σ22 atua na direção y (ou x2).
z
z
τ23
τ12
σ11
τ23
P
τ12
τ21
σ22
y
x
τ21
x
FIGURA 2
CAMPO DE TENSÕES
Nos fluidos, a tensão normal é definida como sendo a pressão e é indicada pela letra p. Esta
tensão atua sempre no sentido de comprimir a superfície, portanto, no sentido oposto ao vetor
normal unitário. Indica-se este fato escrevendo:
12
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
σii = -pni
(12)
As tensões tangenciais estão relacionadas a uma propriedade do fluido conhecida como
viscosidade. Elas serão analisadas oportunamente no item que trata desta propriedade; a tensão
tangencial se anula se o fluido estiver em repouso (veja a análise apresentada sobre a viscosidade)
Como mencionado, a pressão num ponto (ou força normal específica) é matematicamente
definida pelo limite.
F

p = lim normal 
A →0
 A 
Propriedades características desta grandeza são apresentadas na Tabela 5.
TABELA 5
PRESSÃO: Propriedades Características
GRANDEZA
Pressão
SÍMBOLO
p
DIMENSÃO
[ML-1T-2]
UNIDADE (SI)
Pa = N/m2
A pressão igual a p = 1Pa, isto é,
(1) Pa = (1) N/m2
representa um valor muito pequeno. Por esta razão, múltiplos são comumente empregados
1 Pa
1 kPa
1 MPa
= 1 N/m2 Pa significa pascal, que é o nome da unidade de pressão no sistema SI
= 103 N/m2
= 106 N/m2
Outras unidades são, também, muito utilizadas:
1 bar
1 psi
1 atm
= 105 N/m2
= 6 894.8 N/m2
= 101 325 N/m2
Para melhor entender o conceito de pressão, a análise da situação descrita a seguir é
oportuna. Um recipiente contém um líquido em repouso, no seu interior. Considere, a seguir, uma
superfície imaginária formada por um cilindro de seção normal circular com área A. Este cilindro
imaginário estende-se desde a superfície do líquido até o fundo do recipiente, como ilustrado na
figura 3.
A força exercida na superfície do fundo do recipiente (pela coluna de líquido contido no
interior do cilindro) é igual ao peso da coluna de líquido, Wliquido, somada ao peso do ar que se
localiza acima do cilindro, War, isto é, F = Wliquido + War.
Esta força atua segundo uma perpendicular ao fundo do recipiente. Como conseqüência, a
pressão (tensão normal) exercida pelo líquido sobre a superfície do fundo do recipiente é dada pelo
limite
F
p = lim A→0  
A
(13)
De maneira análoga pode-se definir a pressão exercida sobre a superfície do líquido; esta
corresponde ao peso da coluna de ar na atmosfera e é denominada de pressão atmosférica da Terra,
isto é:
W 
p atm = lim A→0  ar 
 A 
(14)
13
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
A pressão definida pela expressão (13) é denominada de pressão absoluta e a diferença
entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica é denominada de pressão manométrica - pm -. Logo
p = patm + pm
(15)
o que é ilustrado com o auxílio da figura 4.
War
h
W
líquido
liquido
A
FIGURA 3
PRESSA ESTÁTICA
Analisando esta figura verifica-se que a pressão manométrica pode ser negativa, bastando
para isto que p < patm. Este fato ocorre, por exemplo, quando se mede a pressão absoluta num ponto
acima do nível da água, por exemplo.
pm = pressão manométrica
p = pressão absoluta
patm = pressão atmosférica
patm = 101.3 kpa (valor padrão)
p = 0 vácuo
FIGURA 4
PRESSÃO ABSOLUTA, ATMOSFÉRICA E MANOMÉTRICA
A pressão atmosférica varia de um local para outro; no entanto, convenciona-se adotar como
padrão para a atmosfera terrestre o valor:
1 atmosfera padrão = 1.013 * 105 Pa.
que corresponde à pressão atmosférica no nível do mar.
A análise da pressão nos problemas de Mecânica dos Fluidos envolve muitos outros detalhes
que serão apresentados ao longo do texto. Esta introdução se aplica à situações em que o fluido se
encontra em repouso, daí o nome de pressão estática.
14
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
EXERCÍCIO 10: A componente normal da tensão que atua num ponto é denominada de pressão. Se
o fluido encontra-se em repouso e se a altura h da coluna de água da figura 3 for igual a 10m calcule
o valor da pressão no fundo do recipiente. Assuma que a temperatura da água seja 30ºC e que a
pressão atmosférica local é igual a 1.013*105Pa.
EXERCÍCIO 11: Na figura 3 utilize o seguinte sistema de coordenadas: o plano (xy) é horizontal e
coincide com o fundo do recipiente. O eixo z é vertical e aponta para cima. Os vetores unitários nas
direções x, y e z são representados por i, j e k. Se a superfície de interesse é a superfície do fundo
do recipiente, complete:
n=
p=
EXERCÍCIO 12: Forneça o valor da tensão tangencial no fundo do recipiente do exercício 10.
15
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
5. RELAÇÕES DE ESTADO PARA GASES.
Uma forma com que os fluidos se apresentam é a forma gasosa. Quando se introduziu o
conceito de fluido, algumas características marcantes foram identificadas. Estas características
permitem diferenciar os gases dos líquidos. Entre elas a facilidade com que os gases são
comprimidos é a mais evidente.
Os gases apresentam comportamentos peculiares que merecem uma análise mais detalhada.
É oportuno sugerir que o leitor se reporte também aos textos de Termodinâmica e de
Transferência de Calor e observe como o comportamento de fenômenos complexos que ocorrem a
nível molecular são representados através de grandezas (coeficientes, constantes, etc.) bastante
convenientes nas análises dos problemas do contínuo.
5.1. CONSTANTE UNIVERSAL DOS GASES, R .
Uma primeira constatação sobre o comportamento dos gases pode ser feita com uma
montagem bem simples de ser entendida. Um gás é confinado no interior de um cilindro por meio
de um pistão; nesta montagem a temperatura é mantida inalterada.
Para cada posição do pistão, mede-se a pressão interna, p, e o volume por mol, υ . Este
procedimento é repetido para diferentes valores da temperatura. Os resultados são apresentados
pυ
num gráfico com a escala da pressão na abscissa e na ordenada a escala dos valores da razão
,
T
como mostra a figura 5. Nesta figura se observa que as retas de T = cte apontam (parte tracejada)
para um mesmo valor limite quando p → 0. Observa-se, ainda, que a repetição do experimento
utilizando gases diferentes fornece o mesmo valor limite. Pode-se concluir, portanto, que existe uma
constante, R , que é a mesma (isto é, universal) para todos os gases. Matematicamente a constante
universal dos gases é definida como:
 pυ 
R = lim 
p →0 T
 
(16)
Inúmeros experimentos foram realizados e todos eles apontam para um único valor da
constante universal dos gases.
FIGURA 5
CONSTANTE UNIVERSAL DOS GASES
Valores (para diferentes unidades) da constante universal dos gases são fornecidos a seguir
kJ/(kmol.K) (kPa.m3)/(kmol.K) (bar.m3)/(kmol.K) Btu/(lbmol.R)
8.31447
8.31447
0.0831447
1.98588
16
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Uma grandeza que poderia ser utilizada para caracterizar a capacidade de um gás ser
comprimido é definida como (como será visto no item 5.3, utilizaremos outra grandeza de mais
fácil manipulação para caracterizar esta propriedade):
pυ
Z=
RT
Como o volume por mol, υ , relaciona-se com o volume específico através da expressão
υ = Mυ (eq. 10), M é a massa molar, tem-se
pυ
Z=
RT
A constante R é, evidentemente, definida como:
R=
R
= constante dos gases
M
(17)
Esta grandeza assume um valor constante para cada gás, mas possui valores diferentes para
diferentes gases. Valores de R e M característicos de cada gás são encontrados nas tabelas dos
livros de Transferência de Calor e de Termodinâmica. A tabela abaixo fornece valores para alguns
gases mais comuns.
TABELA 6
VALORES DA MASSA MOLAR E DA CONSTANTE DOS GASES
VALORES CRÍTICOS
SUBSTÂNCIA
M(Kg/kmol) R[kJ/(kg.k)] Tc (K) pc(MPa)
Ar
28.97
0.2870
132.5
3.77
Amônia
17.03
0.4882
405.5
11.28
Monóxido de carbono (CO)
28.01
0.2968
133
3.50
Dióxido de carbono (CO2)
44.01
0.1889
304.2
7.39
Metano (CH4)
16.04
0.5182
191.1
4.64
Nitrogênio (N2)
28.01
0.2968
126.2
3.39
Oxigênio (O2)
32.00
0.2598
154.8
5.08
Água
18.015
0.4615
647.1
22.06
EXERCÍCIO 13: Mostre que, no limite para p → 0, tem-se Z = 1. Como interpretar este fato?
5.2. GÁS IDEAL.
No exercício acima mostra-se que Z = 1 quando p → 0, se a temperatura for mantida
constante. Observações experimentais mostram que Z ≈ 1, até mesmo em condições menos
extremas do que aquelas do exercício, isto é, Z ≈ 1 desde que p seja pequena em relação à pc (a
pressão no ponto crítico); a maior parte das situações encontradas nos problemas de engenharia
satisfazem estas condições.
PARA PESQUISAR: Como é definido o ponto crítico? O ponto crítico é o mesmo que ponto
triplo? Tendo respondido a estas perguntas observe, na Tabela 6, os valores assumidas por algumas
grandezas (grandezas críticas) para fluidos mais comuns.
17
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Como conseqüência desta observação pode-se afirmar, como uma aproximação bastante
razoável, que os “gases quando submetidos a baixas pressões obedecem aproximadamente a
relação”.
pυ = RT
p = ρRT
ou
(18A)
Por esta razão é interessante conceber um gás imaginário, o gás ideal, que teria um
comportamento governado pela expressão acima e que representa o comportamento limite de todos
os gases quando p → 0. A expressão recebe o nome de equação do gás perfeito ou do gás ideal.
Utilizando as relações já apresentadas, a equação do gás perfeito pode ser expressa nas
formas alternativas:
pV = mRT
V é o volume e m a massa
pV = n RT
υ=
(18B)
V
, n = número de moles
n
(18C)
p υ = RT
(18D)
TABELA 7
ALGUMAS PROPRIEDADES DOS GASES MAIS COMUNS
GÁS TEMPERATURA
T (OC)
Ar
CO2
H2
O2
15
20
20
20
MASSA
ESPECÍFICA
ρ (kg/m3)
1.23
1.83
8.38 * 10-2
1.33
CONSTANTE DO
GASES
R [J/(kg.K)]
2.869 * 102
1.889 * 102
4.124 * 103
2.598 * 102
RAZÃO DE CALORES
ESPECÍFICOS
k
1.40
1.30
1.41
1.40
O comportamento do gás perfeito fica completamente definido ao se observar
experimentalmente que,
“quando submetido a baixas pressões, a sua energia interna, u, depende apenas da temperatura”
fato este expresso como:
u = u (T)
(19)
PARA PESQUISAR: O que é energia interna? Esta grandeza assim como a entalpia apresentada
abaixo é analisada quando o Princípio de Conservação da Energia for introduzido.
Como conseqüência desta observação conclui-se que a entalpia dos gases, nestas condições,
também depende apenas da temperatura. De fato, como a entalpia é definida pela relação:
tem-se
h = u + pυ
(20)
h = u + RT = h (T )
(21)
Coletando os resultados acima pode-se definir um gás perfeito como sendo aquele que
obedece as relações:
(18.A)
p = ρRT
u = u (T)
(19)
(21)
h = h(T )
18
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Este comportamento representa o limite esperado para o comportamento dos gases quando
submetidos à baixas pressões.
OBSERVAÇÃO: Não existe uma lei para líquidos que seja comparável às leis que definem um gás
perfeito. No entanto, para uma ampla faixa de condições, é perfeitamente aceitável considerar
que uma forma idealizada de líquido seria descrito pelas relações:
ρ ≈ constante
Cp ≈ Cv ≈ constante
dh ≈ Cp . dT
a, estas propriedades deve-se acrescentar que na sua forma idealizada a viscosidade do líquido
tende a zero (veja o conceito de viscosidade no capítulo 5: Conceitos Fundamentais da Mecânica
dos Fluidos: Parte II).
O modelo do gás perfeito permite que se obtenham outras relações de interesse.
Os calores específicos a volume constante e a pressão constante são definidos como
 ∂u 
Cv =  
 ∂T  υ
 ∂h 
Cp =  
 ∂T  p
Para o gás perfeito, tem-se imediatamente que:
Cv = Cv (T )
ou
T2
du = Cv (T )dT
ou
u (T2 ) − u (T1 ) = ∫ Cv(T)dT
T1
Cp = Cp (T )
ou
T2
dh = Cp (T )dT
ou
h (T2 ) − h (T1 ) = ∫ Cp(T)dT
T1
A relação entre os calores específicos é definida como
k=
Cp
Cv
e, para um gás perfeito tem-se que:
k = k(T) ≥ 1
Finalmente, combinando as expressões obtidas mostra-se que
Cp (T) - Cv(T) = R
e, portanto
Cp (T) =
kR
k −1
Cv (T) =
e
R
k −1
(22)
EXEMPLO 2. O ar, uma mistura de vários gases, que se mantém inalterada por uma larga faixa de
temperaturas, pode ter seu comportamento simulado com boa precisão utilizando o modelo de gás
perfeito. Assumindo que o peso molecular do ar é M = 28.97, tem-se:
R
8314
m2
R=
=
≈ 287
M 28.87
K.s 2
e, a massa específica nas condições normais de temperatura e pressão pode ser estimado como:
T = 15oC = 288.15K
19
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
p = 101.3 kN/m2
pυ = RT
ou
ρ=
p
101300
kg
=
= 1.22 3
RT 287 * 288.15
m
um valor muito próximo daqueles encontrados nas tabelas.
Fim do exemplo 2
EXEMPLO 3. Para os gases, de uma maneira geral, Cp e Cv aumentam com a temperatura,
enquanto que k decresce. Para o ar, no entanto, uma boa aproximação consiste em assumir que k =
1.4 e se mantém constante. Pede-se estimar os valores de Cp e de Cv.
k = 1.4
Cp(T) =
kR 1.4 * 287
m2
=
= 1004.5
k −1
1 .4 − 1
K.s 2
Cv(T) =
R
287
m2
=
= 717.5
k − 1 1 .4 − 1
K.s 2
Fim do exemplo 3
5.3. COMPRESSIBILIDADE
A idéia de compressibilidade está associada à capacidade do fluido ter sua massa específica
alterada em função de fatores externos, a pressão por exemplo.
Para caracterizar esta propriedade é interessante analisar a capacidade que um fluido possui
para resistir a um processo de compressão; esta característica é denominada de elasticidade. Para
caracterizar esta propriedade é apropriado utilizar a relação entre a diferença de pressão ∆p
necessária para provocar uma variação de volume ∆∀, isto é:
∆p
∆∀
Esta razão, no entanto, não define corretamente o quanto o fluido é elástico porque ela
depende do volume inicial ∀; esta dificuldade pode ser contornada considerando a variação
específica do volume, isto é, [∆∀/∀]. Desta maneira, o módulo de elasticidade -Ev- é definido em
termos de variações infinitesimais como:
Ev = −
dp
d∀
∀
(22A)
O sinal negativo, (-), utilizado na definição acima, é necessário porque um aumento da
pressão provoca uma diminuição do volume.
Uma expressão alternativa, expressa em termos da massa específica, pode ser facilmente
obtida ao se observar que, para uma dada massa m, a diminuição do volume acarreta um aumento
da massa específica [m = ρ∀]:
Ev =
dp
dρ
ρ
(22B)
Das expressões acima se conclui que os fluidos com elevados valores de Ev são menos
elásticos, isto é, exige-se a aplicação de uma diferença de pressão elevada para provocar uma
pequena variação do volume (ou da massa específica). O módulo de elasticidade fornece uma
20
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
indicação da capacidade que um fluido possui para resistir a um processo de compressão; um fluido
que apresenta um valor elevado de Ev é pouco compressível e vice versa. Logo, um fluido com alto
valor de Ev é um fluido que apresenta pequena capacidade de ser comprimido.
A compressibilidade, indicada pelo símbolo - τ - é a grandeza que fornece uma indicação da
capacidade que um fluido apresenta para ser comprimido. Esta propriedade é definida, portanto,
como o inverso do módulo de elasticidade:
τ=
1
Ev
(23)
Analisando o arranjo das moléculas de um fluido verifica-se que num líquido as distância
entre moléculas é relativamente pequena e nos gases esta distância é relativamente grande; mais
ainda, nos líquidos grupos de moléculas se movimentam relativamente uns aos outros enquanto que
nos gases as moléculas movimentam-se aleatoriamente. Não é difícil, portanto, concluir que os
líquidos são pouco (ou quase nada) compressíveis, com τ assumindo valores muito pequenos ou
desprezíveis; por outro lado, nos gases o valor da compressibilidade assume valores elevados e se
diz que são compressíveis.
Substituindo (23) na expressão (22. B) obtém-se uma expressão alternativa para τ:
dρ
1
=
dp = τdp
(24)
ρ
Ev
Características do módulo de elasticidade e da compressibilidade são apresentadas de
maneira resumida na Tabela 8.
TABELA 8
MÓDULO DE ELASTICIDADE E COMPRESSIBILIDADE: Propriedades Características
GRANDEZA
Módulo de Elasticidade
Compressibilidade
SÍMBOLO DIMENSÃO UNIDADE (SI)
EV
[ML-1T-2]
N/m2
τ
[M-1LT2]
m2/N
A Tabela 9 fornece valores do módulo de elasticidade para alguns líquidos mais comuns;
observe que, para estes, os valores do módulo de elasticidade são elevados. Por exemplo, é
necessário um acréscimo de 21.5 Mpa na pressão para provocar uma variação de 1% num dado
volume de água! Quanto vale a compressibilidade deste fluido?
TABELA 9
VALORES DO MÓDULO DE ELASTICIDADE PARA ALGUNS LÍQUIDOS
LÍQUIDO TEMPERATURA DENSIDADE MÓDULO DE ELASTICIDADE
T (oC)
ρ (kg/m3)
EV (N/m2)
20
13 600
2.85 * 1010
Água
15.6
999
2.15 * 109
Gasolina
15.6
680
1.30 * 109
20
789
1.06 * 109
Mercúrio
Alcool
21
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Ao contrário dos líquidos, os gases são altamente compressíveis. Para verificar este fato é
suficiente analisar o comportamento do gás ideal; esta análise se aplica aproximadamente aos gases
reais (em condições normais, o comportamento dos gases muito se aproxima do comportamento do
gás ideal).
A equação dos gases perfeitos é utilizada para o cálculo da massa específica.
p = ρRT
(18.A)
Para o cálculo do módulo de elasticidade, no entanto, é necessário que se conheça a maneira
com que o gás é comprimido (ou expandido).
Se o processo é isotérmico (isto é, mantendo-se constante a temperatura) a equação dos
gases perfeitos é simplificada tomando a forma
p
= cons tan te
ρ
(25)
Substituindo este resultado na equação (22.B) tem-se:
Ev = p
(26)
Há, no entanto, outro processo de grande interesse. Um processo adiabático é aquele que
ocorre sem troca de calor. Se, além de adiabático, o processo realiza-se sem atrito, ele é
denominado de processo é isoentrópico. Mostra-se que, para um processo isoentrópico
p
= cons tan te
(27)
ρk
e que
(28)
E v = kp
As equações (26) e (28) mostram que Ev varia linearmente com a pressão! Valores de k para
os gases mais comuns são encontrados na Tabela 7.
Consideremos, em seguida, situações mais complexas como, por exemplo, o movimento de
um fluido ao redor de um corpo, uma asa por exemplo.
- Se a asa movimenta-se num líquido (por exemplo, a água) τ é muito pequeno e, para uma dada
variação da pressão a variação da massa específica é desprezível e diremos que o escoamento é
incompressível ou que os efeitos da compressibilidade são desprezíveis.
- Se, no entanto, a asa movimenta-se num gás (por exemplo, o ar) uma variação da pressão, de um
ponto para outro pode resultar, em consideráveis gradientes da densidade; nestas condições
diremos que o escoamento é compressível ou que os efeitos da compressibilidade NÃO são
desprezíveis. A exceção à esta situação é observada quando o escoamento ocorre com valores
baixos da velocidade; as variações da pressão são pequenas quando comparadas com a pressão em
si de modos que, mesmo com valores elevados de τ, a variação da massa específica é governada
pelas pequenas variações da pressão. Assim sendo os efeitos da compressibilidade podem ser
desprezados, mesmo quando o fluido é um gás, desde que ele escoe com baixas velocidades. Em
outras palavras, o escoamento de um gás em baixas velocidades caracteriza-se por ser um
escoamento incompressível.
Nas discussões apresentadas foram utilizados termos mais ou menos vagos como “muito
pequenos”, “baixas velocidades”, etc. que, embora possibilitem um entendimento qualitativo do
fenômeno não são suficientes para uma tomada de decisão. Como será visto uma expressão
envolvendo uma grandeza adimensional, o número de Mach -Ma -, será utilizada para este fim.
Diremos que o escoamento é incompressível se o número de Mach for muito pequeno
comparado com a unidade, isto é:
“se Ma < < 1 então os efeitos da compressibilidade podem ser desprezados”
22
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Um valor apropriado seria Ma < 0.3. No capítulo 5 retornaremos a este assunto com mais detalhes.
EXERCÍCIO 15: Escolha a(s) resposta(s) correta(s)
- líquidos e gases são altamente compressíveis
- líquidos são praticamente incompressíveis e gases são compressíveis.
- líquidos são praticamente incompressíveis porque apresentam valores elevados de τ
- gases são compressíveis porque apresentam valores elevados de τ
- fluidos que apresentam valores elevados de Ev podem ser facilmente comprimidos.
EXERCÍCIO 16: Calcule o valor da compressibilidade da água e da gasolina quando T = 15.6ºC.
EXERCÍCIO 17: Justifique porque os gases em alta pressão apresentam maior dificuldade para
serem comprimidos. Para isto identifique a grandeza que será o alvo da sua análise e, em seguida,
identifique as expressões que justifiquem a afirmação.
EXERCÍCIO 18: Procure nos livros textos a definição do número de Mach e nas tabelas os valores
das grandezas envolvidas na sua definição. Utilize o critério acima exposto para decidir se o ar
pode ser considerado incompressível quando:
a) A velocidade de um automóvel é da ordem de 100 km/h
b) A velocidade de um avião a jato é da ordem de 900 km/h
23
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
6. EQUAÇÕES QUE GOVERNAM UM FENÔMENO.
Os fenômenos que ocorrem na natureza são governados por leis naturais. A compreensão
destas leis e a análise de suas conseqüências podem ser levadas a bom termo enunciando-se alguns
princípios básicos que se aplicam a todos os fenômenos que ocorrem na natureza. Estes princípios
são aceitos como fatos e não se apresentam provas ou deduções para a sua validade.
A análise dos fenômenos de interesse é efetuada a partir destes princípios. Para o cálculo de
grandezas necessárias para a análise e para a solução dos problemas são utilizados raciocínios
lógicos e as soluções das equações que exprimem matematicamente os princípios.
No âmbito da Mecânica Newtoniana – da qual a Mecânica dos Fluidos é uma parte – estes
princípios são conhecidos como Princípios de Conservação. Fica claro, portanto, a necessidade de
uma clara explicitação destes princípios e o estabelecimento de expressões que os exprimam
matematicamente.
Assim sendo cada princípio de conservação é expresso matematicamente por uma equação:
- o princípio de conservação da massa é expresso pela equação da continuidade
- o princípio de conservação da energia é expresso pela equação da energia
- etc.
Estas equações são as Equações que Governam os Fenômenos e, todas elas sem exceção,
devem ser obedecidas nas análises.
As equações que governam os fenômenos, em sua plena generalidade, são complexas e de
difícil solução. A análise de cada fenômeno permite, via de regra, identificar termos das equações
que são de menor importância (para o particular fenômeno em estudo) e que podem ser omitidos
sem afetar significativamente os resultados obtidos. Nestas condições as expressões resultantes são
simplificadas e sua solução obtida com a utilização de ferramentas matemáticas disponíveis. Em
essência, este procedimento representa o processo de modelagem do problema.
O capítulo 4 apresenta alguns aspectos interessantes deste processo; naquele capítulo, alguns
princípios de conservação são automaticamente obedecidos (e, portanto, nem são considerados),
outros são redundantes, etc.
No presente capítulo, os princípios de conservação são apresentados na sua forma mais
geral; uma análise mais detalhada é realizada no Capítulo 5, onde as equações que governam os
fenômenos são apresentadas na forma integral; nos capítulos posteriores (capítulos 6 e 7) as
equações que governam os fenômenos sofrem simplificações adequadas ao tipo de fenômenos
analisados.
A formulação dos princípios de conservação é bastante simplificada com a introdução co
conceito de sistema; com este conceito os princípios de conservação tornam-se mais fáceis de serem
entendidos tornando-se quase que intuitivos.
Se por um lado a utilização do conceito de sistema simplifica a formulação dos princípios,
por outro, a utilização deste conceito nem sempre leva a equações de fácil solução. Via de regra a
utilização de outro conceito, o volume de controle, é mais apropriada quando se procura estas
soluções.
6.1. SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE.
Sistema (ou sistema fechado, como alguns preferem) é definido como uma quantidade de
matéria ou região do espaço identificada para estudo. Um sistema, independente do tempo, é
formado sempre pela mesma matéria, isto é, nenhuma massa pode atravessar a sua fronteira; a
energia na forma de calor ou trabalho pode atravessar Γ. O volume de um sistema é indicado pela
letra -Ω- e a superfície que separa o sistema da sua vizinhança é indicada pela letra -Γ-; a área da
superfície Γ é indicada, como de costume, por A.
Pela definição, a forma e o tamanho da superfície Γ e do volume Ω variam com o tempo. Da
mesma forma, a posição do sistema varia de instante para instante, desde que o fluido não esteja em
24
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
repouso; diz-se que o sistema movimenta-se com o fluido. A Figura 6 mostra a fumaça expelida por
um fumante; o sistema em consideração é formado pelas mesmas partículas de fumaça expelida
numa única baforada do fumante.
- no instante t1 o sistema possui um volume pequeno Ω(t1) e localiza-se perto do fumante
- no instante t2 o sistema possui um volume um pouco maior Ω(t2), com forma modificada e já se
afasta do fumante.
- no instante t3 o sistema possui um volume bem maior Ω(t3), com forma bastante modificada e já se
afastou do fumante.
Γ(t3)
VOLUME DE
CONTROLE
Ω (t3)
∀
(t )
S
SISTEMA NO
INSTANTE t3
Ω (t2)
Γ(t2)
ℜ (t )
Ω (t1)
SISTEMA NO
INSTANTE t2
SISTEMA NO
INSTANTE t1
FIGURA 6
SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE
Volume de controle (ou sistema aberto, como alguns preferem) é uma região criteriosamente
selecionada no espaço para estudo. O volume de controle é “virtual” no sentido de que ele é um
ente matemático definido arbitrariamente sem que haja a necessidade da existência de qualquer ente
físico. O volume ocupado pelo volume de controle é indicado pela letra -∀- e a superfície que o
separa do resto do fluido é a superfície de controle indicada pela letra -S-; a área da superfície de
controle é indicada por A. Massa atravessa livremente a superfície de controle e esta em nada afeta
o movimento do fluido.
De acordo com a definição, o volume de controle pode:
- ser fixo ou móvel.
- ter sua forma e tamanho variando no tempo
Na Figura 6 o volume de controle, definido pela superfície de controle S (linha vermelha
tracejada) é fixo com tamanho e forma constante. No instante t2 a fumaça penetra no volume de
controle através da face inferior e no instante t3 a fumaça deixa o volume de controle através da face
direita. A figura é utilizada para mostrar algumas possibilidades de escolha para o volume de
controle:
- a Figura 7(a) mostra um volume de controle utilizado para a análise de uma turbina a vapor. A
superfície de controle (linha tracejada vermelha) é fixa com forma e tamanho constantes; ela
possui uma entrada e uma saída.
25
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
- a Figura 7 (b) mostra um volume de controle utilizado para a análise do desempenho de um
veículo. A superfície de controle (linha tracejada vermelha) move-se com o veículo e possui forma
e tamanho constantes; ela possui apenas uma saída.
- a Figura 7 (c) mostra um volume de controle utilizado para a análise de um sistema cilindropistão. A forma e o tamanho da superfície de controle (linha tracejada vermelha) são variáveis; ela
possui uma entrada e uma saída.
ENTRADA DA
MISTURA
SAÍDA DOS
GASES
ENTRADA
VAPOR
SAÍDA
VAPOR
SAÍDA DOS
GASES
(a)
TURBINA A VAPOR
(b)
VEÍCULO
(c)
CILINDRO-PISTÃO
FIGURA 7
VOLUMES DE CONTROLE
6.2. PRINCIPIOS DE CONSERVAÇÃO
Neste capítulo os princípios de conservação serão apenas enunciados. Após os enunciados
serão apresentados a forma que terão sua transcrição matemática, sem que equações formais sejam
escritas. Estas são reservadas para o capítulo 5.
Os princípios de conservação serão formulados utilizando o conceito de sistema, como já
antecipado, e colocados na forma:
“Num sistema, a grandeza (...) deve ser conservada”
6.2.1. Princípio de Conservação da Massa: este princípio será referido como PCM.
O princípio de conservação da massa é enunciado como:
“a massa de um sistema deve se conservar, isto é, manter-se invariante no tempo”
Matematicamente, este princípio de conservação será expresso pela equação da
continuidade que pode ser escrita como:
Variação (massa do sistema) = 0
(29)
Esta equação será apresentada com detalhes e analisada no capítulo 5: Conceitos
Fundamentais da Mecânica dos Fluidos: Parte II.
26
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Como pode se observar, este princípio é quase que intuitivo. Utilizando a Figura 6, o
princípio garante que a massa de fumaça contida no sistema no instante t1 é a mesma que aquela
contida nos instantes t2 e t3
6.2.2. Princípio de Conservação da Energia: este princípio será referido como PCE
O princípio de conservação da energia é enunciado como:
“a energia de um sistema deve se conservar, isto é, manter-se invariante no tempo”
Matematicamente, este princípio de conservação será expresso pela equação da energia, que
pode ser escrita como:
Variação (energia do sistema) = 0
(30)
Esta equação será apresentada com detalhes e analisada no capítulo 5: Conceitos
Fundamentais da Mecânica dos Fluidos: Parte II. A análise deste princípio é um pouco mais
complexa do que a análise do PCM porque a energia apresenta-se sob várias formas e porque a
energia pode atravessar a superfície que separa o sistema da sua vizinhança.
6.2.3. Princípio de Conservação da Quantidade de Movimento (linear): este princípio será referido
como PCQM
Para se enunciar este princípio de conservação é necessário definir a grandeza Ψ para um
sistema:
Ψ = [(quantidade de movimento) – (impulso)]
(31)
Com esta definição o princípio de conservação da quantidade de movimento linear é
enunciado como:
“a grandeza Ψ, definida para um sistema deve se conservar”
Matematicamente, este princípio de conservação será expresso pela equação do
movimento (linear) que pode ser escrita como:
Variação ( Ψ ) = 0
(32)
Esta equação será apresentada e analisada no capítulo 5: Conceitos Fundamentais da Mecânica dos
Fluidos: Parte II. A equação acima é expressa em termos de grandezas pouco usuais. No entanto,
lembrando que a quantidade de movimento linear de um sistema (uma grandeza vetorial) é definida
pelo produto da massa deste sistema pela sua velocidade, tem-se que a
Variação (quantidade de movimento) = (massa) * (aceleração)
e, lembrando que
Variação (impulso) = força exercida sobre o sistema
verifica-se que a equação do movimento linear representa, em última instância, a segunda lei de
Newton, ou seja, a forma alternativa de enunciar o PCQM seria:
“a força que atua num sistema é igual ao produto da sua massa pela sua aceleração”.
6.2.4. Principio de Conservação da Quantidade de Movimento Angular: este princípio será referido
como PCQMA
27
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Este princípio de conservação é o correspondente do PCQM quando o sistema está animado
de um movimento de rotação.
Matematicamente, este princípio de conservação será expresso pela equação do movimento
(angular), que pode ser escrita como:
Variação (quantidade de movimento angular) = momento aplicado ao sistema
(33)
Esta equação será apresentada e analisada no capítulo 5: Conceitos Fundamentais da
Mecânica dos Fluidos: Parte II
REFERÊNCIAS:
1. CURRIE, I.G., (1974), “Fundamental Mechanics of Fluids”, McGraw-Hill Inc.
2. FOX, R.W. and McDONALD, A.T., (1995), “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, 4ª.
Edição, Guanabara – Koogan.
3. MORAN, M.J., SHAPIRO, H.N., MUNSON, B.R. and DeWITT, D.P., (2005), “Introdução
à Engenharia de Sistemas Térmicos”, LTC Editora.
4. MUNSON,B.R., YOUNG,D.F. and OKIISHI, T.H., (1994), “Fundamentals of Fluid
Mechanics”, John Wiley & Sons, Inc.
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M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
CAPÍTULO 3
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA
MECÂNICA DOS FLUIDOS
PARTE 1 (Resumo)
1. O QUE É UM FLUIDO?
partículas (moléculas) encontram-se largamente espaçadas entre si.
- Matéria:
- Sólidos:
Espaçamento relativamente pequeno força de coesão
grande
- Líquidos:
- Gases:
Resistência razoável à deformação
Espaçamento intermolecular maior força de coesão menor
Pouca resistência à deformação
Moldam-se ao recipiente que os contem
(Mas) apresentam resistência à compressão
Espaçamento intermolecular grande força de coesão muito
pequena
Praticamente não apresentam resistência à deformação
Ocupam todo o volume do recipiente que os contem
Apresentam pouca resistência à compressão
- Fluido: quando a matéria deforma continuamente quando submetida a uma tensão de
cisalhamento.
Líquidos e gases são fluidos
A definição de fluido é baseada na resposta a uma ação externa e não a uma
propriedade que leva diretamente em consideração a estrutura
molecular da matéria.
Observação: condição de aderência.
2. HIPÓTESE DO CONTÍNUO
- A hipótese:
um fluido apresenta-se de maneira contínua.
- Conseqüência da hipótese:
Viabiliza
a
utilização
de
todo
o
ferramental
matemático.
Validade restrita dos resultados
Ex: Sensor para a medida da temperatura de um fluido
Volume de influência
Medida pontual
- Critério para a validade da hipótese: Número de Knudsen
3. PROPRIEDADES DO FLUIDO
m
- Massa específica (ρ ) hipótese do contínuo ρ(Q, t ) = lim  m = ∫ ρd∀
∀→ 0 ∀
 
∀
1
υ=
- Volume específico (υ)
ρ
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M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
- Temperatura (T)
(oC)
20
10
0
20
30
40
50
00
50
(oF)
4
14
32
68
86
04
22
12
02
(K)
53.15
63.15
73.15 93.15
03.15
13.15
23.15
73.15
23.15
(oR)
55.67
73.67
91.67 27.67
45.67
63.67
81.67
71.67
61.67
4. FORÇAS E TENSÕES
- Tipos de Força:
FC
força que atua a distância, ex: força peso
FS = (FSt) t + (FSn ) n
força que atua através da superfície.
- Tensões
23
23
22
21
21
12
11
5. RELAÇÕES DE ESTADO
 pυ 
R = lim 
p →0 T
 
- Constante Universal dos Gases:
- Constante dos Gases
R=
R
M
- Fator de Compressibilidade
M = peso molecular
Z=
pυ
RT
pυ = RT
u = u(T)
h = h(T)
- Gases quando submetidos à baixas pressões comportam-se como gases ideais.
- Gás Ideal
6. EQUAÇÕES QUE GOVERNAM UM FENÔMENO.
- Princípio de conservação da Massa (PCM) :
“a massa de um sistema deve se
conservar”
- Equação da Continuidade:
Variação (massa do sistema) = 0
30
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
- Princípio de conservação da Energia (PCE) :
“a energia de um sistema deve se
conservar”
- Equação da Energia:
Variação (energia do sistema) = 0
- Princípio de conservação da Quantidade de Movimento Linear (PCQM) :
“a grandeza Ψ de um sistema deve se conservar”
Ψ = [(quantidade de movimento) – (impulso)]
- Equação do Movimento:
Variação (Ψ) = 0
- Princípio de conservação da Quantidade de Movimento Angular(PCQMA) :
31
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
Textos de Hiperlink
COMPRESSIBILIDADE (cap. 3) capacidade do fluido variar seu volume quando
submetido a uma variação da pressão; o número de Mach – Ma – é utilizado como critério para
avaliar a importância desta propriedade.
CONDIÇÃO DE ADERÊNCIA (cap. 3) Segundo esta condição o fluido em
contacto com uma superfície sólida a ela se adere, adquirindo a sua velocidade. Em termos
matemáticos esta condição é expressa pela como:
CONSTANTE UNIVERSAL DOS GASES (cap. 3) R = 8314
kJ
- uma
kmol.K
constante utilizada na análise do comportamento dos gases.
ENTALPIA (cap. 3) h - é uma propriedade definida como: h = u + PV
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (cap. 3) e (cap.5) equação que exprime
matematicamente o princípio de conservação da massa.
EQUAÇÃO DA ENERGIA (cap. 3) e (cap.5) equação que exprime
matematicamente o princípio de conservação da energia.
EQUAÇÃO DO GÁS IDEAL (cap. 3) a equação do gás ideal é: ( p = ρRT)
EQUAÇÃO DO GÁS PERFEITO (cap. 3) a equação do gás perfeito é: ( p = ρRT)
EQUAÇÃO DO MOVIMENTO (cap. 3) e (cap.5) equação que exprime
matematicamente o princípio de conservação da quantidade de movimento; ela representa a segunda
lei de Newton.
EQUAÇÕES GOVERNANTES (cap.3) e (cap.5) equações que representam
matematicamente os princípios de conservação
EQUAÇÕES QUE GOVERNAM OS FENÔMENOS (cap. 3) e (cap.5) ou
equações governantes são aquelas que exprimem matematicamente os princípios de conservação.
ESTRATIFICADO (cap. 3) um fluido é dito estratificado quando sua massa
específica varia com a profundidade.
FLUIDO (cap. 3) Se a matéria se deforma continuamente sob a ação de uma força
cisalhante (por menor que seja), ela é classificada como um fluido.
FORÇA DE CONTACTO (cap. 3) ou força que atua através da superfície é um tipo
de força que atua sobre os corpos e que exige o contacto físico (través da superfície) para sua
efetivação; a força de atrito exige o contacto entre as duas superfícies que se atritam.
FORÇA ESPECÍFICA (cap. 3) força por unidade de massa ou força por unidade de
superfície. Um exemplo de força específica que atua a distância é representada pela aceleração da
gravidade uma vez que a força peso é igual ao produto da massa do corpo por esta aceleração. Da
mesma maneira, a pressão representa um bom exemplo de força específica de contacto uma vez que
o produto da pressão pela área fornece uma força normal à superfície.
FORÇA NORMAL (cap. 3) Fn - é a componente normal (à superfície) da força de
contacto (ou que atua através da superfície)
FORÇA QUE ATUA A DISTÂNCIA (cap. 3) um tipo de força que atua sobre os
corpos e que não exige o contacto físico para sua efetivação; a força peso (ou gravitacional) é
32
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
exercida pela Terra sobre qualquer corpo nas suas vizinhanças, mesmo que este corpo não esteja em
contacto direto com ela. A componente i desta força é expressa como
‫ܨ‬௖௜ = ‫݂ߩ ∀׬‬௖௜ ݀∀
onde fc ≡(fc1, fc2, fc3)
Em particular a força peso é escrita como fc = g ≡ (0, 0, -g)
FORÇA QUE ATUA ATRAVÉS DA SUPERFÍCIE (cap. 3) ou força de contacto é
um tipo de força que atua sobre os corpos e que exige o contacto físico (través da superfície) para
sua efetivação; a força de atrito, por exemplo, exige o contacto entre as duas superfícies que se
atritam. A componente i desta força é expressa como
‫ܨ‬௦௜ = ‫׬‬஺ ݂௦௜ ݀‫ܣ‬
onde fs ≡(fs1, fs2, fs3)
FORÇA TANGENCIAL (cap. 3) Ft - é a componente tangencial (à superfície) da
força de contacto (ou que atua através da superfície)
GÁS IDEAL (cap. 3) ou gás perfeito é uma idealização. Um gás ideal deve
satisfazer a equação do gás ideal ou perfeito ( p = ρRT) e a sua energia interna assim como sua
entalpia só dependem da temperatura.
GÁS PERFEITO (cap. 3) ou gás ideal é uma idealização. Um gás perfeito deve
satisfazer a equação do gás ideal ou perfeito ( p = ρRT) e a sua energia interna assim como sua
entalpia só dependem da temperatura.
HIPÓTESE DO CONTÍNUO (cap. 3) fluidos (líquidos e gases) são constituídos de
partículas (átomos e moléculas) que se encontram grandemente espaçados. Do ponto de vista
macroscópico (onde os problemas da Mecânica dos Fluidos ocorrem), no entanto, pode-se abstrair
dos detalhes associados a estrutura molecular e assumir que os fluidos sejam contínuos. Uma
conseqüência desta hipótese é que todo o ferramental matemático clássico (limite, continuidade,
derivada, etc.) se aplica nas análises do comportamento dos fluidos. O número de Knudsen (K <
0.01) é utilizado como critério para delimitar a validade da hipótese.
MODELAGEM DO PROBLEMA (cap. 3) as equações que governam os
fenômenos podem ser simplificadas em função das condições em que estes fenômenos ocorrem
permitindo assim a obtenção de soluções com a utilização de ferramentas matemáticas disponíveis.
Em essência, este procedimento representa o processo de modelagem do problema.
NÚMERO DE KNUDSEN (cap. 3) é um número adimensional utilizado como
critério de validação da hipótese do contínuo; ele é definido como a razão entre o caminho livre
médio das moléculas e o comprimento característico do fenômeno.
ONDA DE SUPERFÍCIE (cap. 3) onda que ocorre na interface entre a água (de um
rio, lago, oceano, etc.) e o ar.
ONDA INTERNA (cap. 3) onda que ocorre na interface de dois fluidos que não se
misturam
PARTÍCULA DE FLUIDO (cap. 3) sub-região da região fluida que possua
identidade própria; normalmente a partícula de fluido está associada a um ponto que pertence a
região fluida
PONTO CRÍTICO (cap. 3) PRESSÃO ABSOLUTA (cap. 3), (cap.4) é a pressão medida a partir do zero
absoluto da pressão (zero absoluto da pressão corresponde à condição de vácuo)
33
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
PRESSÃO AEROSTÁTICA (cap. 3), (cap.4) pressão hidrostática, pressão
aeroestática ou pressão estática é a pressão absoluta quando o fluido encontra-se em repouso; em
particular o termo aerostática é utilizado quando o fluido é o ar.
PRESSÃO ATMOSFÉRICA (cap. 3), (cap.4) patm - pressão que corresponde ao
peso da coluna de ar na atmosfera; esta pressão varia de ponto para ponto. O valor da pressão
atmosférica padrão é igual a aproximadamente 101.3 kPa.
PRESSÃO ESTÁTICA (cap. 3), (cap.4) é a pressão absoluta quando o fluido
encontra-se em repouso.
PRESSÃO HIDROSTÁTICA (cap. 3), (cap.4) pressão hidrostática, pressão
aeroestática ou pressão estática é a pressão absoluta quando o fluido encontra-se em repouso; em
particular o termo hidrostática é utilizado quando o fluido é a água.
PRESSÃO MANOMÉTRICA (cap. 3), (cap.4) pm – corresponde a diferença entre a
pressão absoluta e a pressão atmosférica, isto é: pm = p - patm
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA (cap.3) e (cap.5) “a energia de
um sistema deve ser conservada”
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA (cap.3) e (cap. 5) “a massa de um
sistema deve ser conservada”
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO (cap.3) e
(cap.5) “a grandeza [(quantidade de movimento) – (impulso)] de um sistema deve ser
conservada”.
PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO (cap. 3) e (cap. 5) os fenômenos que ocorrem
na natureza são governados por leis naturais. A compreensão destas leis e a análise de suas
conseqüências podem ser levadas a bom termo enunciando-se alguns princípios básicos que se
aplicam a todos os fenômenos que ocorrem na natureza. No contexto da Mecânica Clássica estes
princípios são denominados de Princípios de Conservação e especificam o que acontece quando um
sistema interage com o meio.
PRINCÍPIOS DE CONSEVAÇÃO (cap. 3) e (cap.5) os fenômenos que ocorrem na
natureza são governados por leis naturais. A compreensão destas leis e a análise de suas
conseqüências podem ser levadas a bom termo enunciando-se alguns princípios básicos que se
aplicam a todos os fenômenos que ocorrem na natureza. No âmbito da Mecânica Newtoniana – da
qual a Mecânica dos Fluidos é uma parte – estes princípios são conhecidos como Princípios de
Conservação.
SISTEMA (cap. 3) e (cap.5) é um conjunto composto sempre pela mesma massa de
fluido; o volume ocupado por um sistema é representado por ℜ e sua superfície por Г.
SUPERFÍCIE LIVRE (cap. 3) interface entre dois líquidos que não se misturam; a
superfície livre deforma-se livremente sob a ação da pressão.
SUPERFÍCIE VIRTUAL (cap. 3) superfície imaginária, utilizada para delimitar
uma porção de fluido em estudo; ela é atravessada livremente pelo fluido. Uma superfície virtual
muito utilizada é a superfície de um volume de controle.
VOLUME DE CONTROLE (cap. 3) e (cap.5) é um volume virtual utilizado para a
análise do escoamento; o volume ocupado pelo volume de controle é representado por ∀ e sua
superfície (através da qual o fluido flui livremente) por S.
34
M. H. Hirata
Conceitos Fundamentais I
VOLUME DE INFLUÊNCIA (cap. 3) um sensor (de temperatura, por exemplo)
mede a temperatura média das partículas que se encontram na sua vizinhança; o volume ocupado
pelas partículas que influenciam na medida do sensor é denominado de volume de influência. O
volume de influência é algumas vezes maior do que o volume do sensor.
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