Cálculo Numérico
Módulo III
Erros
Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Marcelo Alves de Barros
Erros - Roteiro

Existência

Tipos

Propagação
2
Erros - Existência I

Erro Inerente
Erro sempre presente nas soluções numéricas
devido à incerteza sobre o valor real
Ex. 01: Representação intervalar de dados
(50,3 ± 0,2) cm
(1,57 ± 0,003) ml
(110,276 ± 1,04) Kg
3
Erros - Existência II

Erro de Truncamento
Erro proveniente da limitação do número de
iterações dos métodos numéricos durante a
determinação de um valor de interesse
 Número de iterações


Teórico
 Infinito ou muito grande
Prático  Limitado
por
restrições
associadas à capacidade de processamento/
armazenamento do sistema
4
Erros - Existência III

Erro de Representação
Aproximação do valor de um número real
para sua representação com um número
finito de dígitos.
5
Erros - Existência III

Erro de Representação x Erro de truncamento
Erro de Representação

Associada à conversão numérica entre bases
(representação humana e de máquina) ou à
realização de operações aritméticas
Erro de Truncamento

Associada à quantidade de informação que a
máquina pode conter sob a forma de um
número
6
Erros - Existência IV

Representação dos números reais com um
número finito de dígitos (aproximação)
Ex.
02:
Cálculo
da
área
circunferência de raio 100 m
de
uma
Possíveis resultados:
(1) A = 31400 m2
(2) A = 31416 m2
(3) A = 31414,92654 m2
Erro de
Representação

não tem representação finita - 3,14
(1), 3,1416 (2) e 3,141592654 (3)
7
Erros - Existência V

Representação dos números reais com um
número finito de dígitos (aproximação)
 Dependência da representação numérica da
máquina utilizada
(0,1)10 = (0,00011001100110011...)2
Um
número
pode
ter
representação finita em uma
base e não finita em outra
Erro de
Representação
Operações
com
dados
imprecisos
ou
incertos
acarretam a propagação do erro.
8
Erros - Existência VI
Ex. 03: Cálculo de
3000
S
x
i
i 1
usando uma calculadora e um
computador, para xi = 0,5 e xi = 0,1
xi
0,5
0,1
Calculadora
S= 1500
S= 300
Computador
S= 1500
S=300,00909424 (precisão simples)
S=299,999999999999720 (precisão dupla)
9
Erros - Existência VII
Ex. 04: Fazer a conversão de O,1 de base 10
para a base 2
(0,1)10 = (0,00011001100110011...)2
(0,1) 10 não tem representação exata na base 2
A representação de um número
depende da base em uso e do número
máximo de dígitos usados em sua
representação.
10
Erros - Existência VIII

Exatidão (Acurácia) x Precisão I
Uso
incorreto
como
sinônimos
linguagem cotidiana (e mesmo
linguagem técnica)
na
em
Exatidão  Grau de concordância entre o
resultado de uma medição e um valor
verdadeiro do mensurando
 Exatidão é um conceito qualitativo
 Precisão
 Grau de concordância entre
resultados de medição obtidos sob as
mesmas condições (repetitividade)
 Exatidão é um conceito qualitativo

11
Erros - Existência VIII
Exatidão (Acurácia) x Precisão II
Exatidão (Acurácia)

Precisão
12
Erros - Tipos I

Absoluto
 Diferença entre o valor exato de um
número e o seu valor aproximado
EA x  x  x
13
Erros - Tipos II

Relativo
 Razão entre o erro absoluto e o valor
aproximado
(x  x)
ER x 
x
Erro Percentualx = ERx x 100%
14
Erros - Tipos III

Erro Absoluto - Considerações I
EAx só poderá ser determinado se x for
conhecido com exatidão
Na prática, costuma-se trabalhar com um
limitante superior para o erro, ao invés do
próprio erro (|E | < ε, onde ε é o limitante)
Ex. 05: Para   (3,14, 3,15)
EA       0,01
15
Erros - Tipos III

Erro Absoluto - Considerações II
Ex. 05: Sejam a = 3876,373 e b = 1,373
Considerando-se a parte inteira de a (a’) o
erro absoluto será:
EAa = |a - a'|= 0,373
e a parte inteira de b, b’, o erro absoluto será:
EAb = |b - b'|= 0,373
16
Erros - Tipos III

Erro Absoluto - Considerações III
 Obviamente, o resultado do erro absoluto
é o mesmo nos dois casos
 Entretanto, o peso da aproximação em b é
maior do que em a
17
Erros - Tipos IV

Erro Relativo - Consideração
O erro relativo, entretanto, pode traduzir
perfeitamente este fato, pois:
0,373
ER a 
 0,000096  10 4
3876
0,373
ER b 
 0,373  5  10 0
1
18
Erros - Tipos V
Ex. 06: Cálculo do erro relativo considerando-se
os números ā = 2112,9, ē = 5,3 e |EA|
< 0,1
|ERa| = |a - ā|/|ā| = 0,1/2112,9
 4,7 x 10-5
|ERe| = |e - ē|/|ē| = 0,1/5,3  0,02
Conclusão: a é representado com maior
precisão do que e
19
Erros - Tipos VIII

Arredondamento

Truncamento
Quanto menor for o erro, maior
será a precisão do resultado da
operação.
20
Erros - Tipos VI

Arredondamento
Ex. 07: Cálculo de
2
calculadora digital
utilizando
uma
Valor apresentado: 1,4142136
Valor real: 1,41421356...
Inexistência de forma de representação de
números irracionais com uma quantidade
finita de algarismos

Apresentação de uma aproximação do número
pela calculadora
 Erro de arredondamento
21
Erros - Tipos VII

Truncamento
Associação ao método de aproximação
empregado para o cálculo de uma função
exata, a partir do uso de fórmulas
aproximadas
 Ex.
08: Cálculo do valor de ex e partir da
série
ex
x2
x3
x4
 1  x


 ...
2!
3!
4!
 Impossibilidade de
exato da função
determinação
do
valor
22
Arredondamento e Truncamento

Erros de Truncamento e Arredondamento
- Demonstração
Em um sistema que opera em ponto flutuante
de t dígitos na base 10, e seja x:

x = fxx10e + gxx10e-t (0,1 fx  1 e 0,1 gx 1)

Para t = 4 e x = 234,57, então:
x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10-1
fx = 0,2345
gx = 0,7
23
Erros - Truncamento

No truncamento, gxx10e-t é desprezado e
x  fx  10 e
EA x  x  x  gx  10e t  10e t
visto que  gx <1
ER x 
EA x
x

gx  10e t
fx  10e

10e t
0,1  10e
 10 t 1
,
pois 0,1 é o menor valor possível para fx
24
Erros – Arredondamento I

No arredondamento
mais utilizada):
simétrico
(forma
1
 f  10e
, se g x 
(gx é desprezado)
 x
2
x

1
(soma “1” ao último
 fx  10e  10e t , se g x 
2
dígito de fx)
25
Erros - Arredondamento II
Se
1
gx 
2
:
EA x  x  x  gx  10e t 
ER x 
EA x
x

gx  10e t
fx  10e

1
 10e t
2
0 ,5  10e t
0,1  10e

1
 10 t 1
2
26
Erros – Arredondamento III
Se g x 
1
2
EA x  x  x   fx  10 e  gx  10 e t    fx  10 e  10 e t 

 

EA x  gx  10e  t  10e  t  gx  1  10e  t 
e
ER x 
EA x
x

1/2  10e  t
fx  10e  10e  t

1/2  10e  t
fx  10e

1/2  10e  t
0,1  10e
1
 10e  t
2

1
 10 t 1
2
27
Arredondamento e Truncamento

Erros de Truncamento e Arredondamento
Sistema operando em ponto flutuante Base 10

Erro de Truncamento
EA x  10e t

ER x  10 t 1
e
Erro de Arredondamento
1
EA x   10e t
2
e
ER x 
1
 10 t 1
2
e - nº de dígitos inteiros
t - nº de dígitos
28
Arredondamento e Truncamento

Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4
dígitos, precisão dupla
Ex. 09: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x
102. Calcular x + y
Alinhamento dos pontos decimais antes da soma
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104,
x+y = 0,938272 x 104
Resultado com 4 dígitos
Arredondamento : x+y = 0,9383 x 104
Truncamento:
x+y = 0,9382 x 104
29
Arredondamento e Truncamento
Ex. 10: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x
102. Calcular x.y.
x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102)
x.y = (0,937 x 0,1272) x 106
x.y = 0,1191864 x 106
Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x.y = 0,1192 x106
Truncamento:
x.y = 0,1191 x106
30
Arredondamento e Truncamento

Considerações
Ainda que as parcelas ou fatores de uma
operação
possam
ser
representados
exatamente no sistema, não se pode
esperar que o resultado armazenado seja
exato.
x e y tinham representação exata, mas os
resultados x+y e x.y tiveram representação
aproximada.
31
Erros – Propagação

Propagação dos Erros:
Durante as operações aritméticas de um
método, os erros dos operandos produzem
um erro no resultado da operação


Propagação ao longo do processo
Determinação do erro no resultado final
obtido
32
Erros – Propagação
Ex. 11: Suponha-se que as operações a seguir
sejam processadas em uma máquina com 4
dígitos
significativos
e
fazendo-se:
x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,2345x100, tem-se:
(x2 + x1) − x1 =
= (0,2345x100 + 0,3491x104) − 0,3491x104
= 0,3491x104 − 0,3491x104 = 0,0000
x2 + (x1 − x1) =
= 0,2345x100 + (0,3491x104 − 0,3491x104)
= 0,2345 + 0,0000 = 0,2345
33
Erros – Propagação

Os dois resultados são diferentes, quando
não deveriam ser, pois a adição é uma
operação distributiva.
(x2 + x1) − x1 = 0,0000 e
x2 + (x1 − x1) = 0,2345
Causa da diferença  arredondamento feito na
adição (x2 + x1), cujo resultado tem 8 dígitos
A
máquina
só
armazena
4
(desprezando os menos significativos)
dígitos
34
Erros – Propagação

Resolução numérica de um problema
Importância do conhecimento dos efeitos
da propagação de erros


Determinação do erro final de uma operação
numérica
Conhecimento da sensibilidade de um
determinado problema ou método numérico
35
Erros – Propagação

Ex. 12: Calcular o valor de √2 - e3 .
√2 (erro de arredondamento)
e3
(erro de truncamento)
Propagação dos erros nos valores de √2 e
e3 para o resultado de √2 - e3
36
Erros – Propagação

Ex. 13: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1,
calcular a + b
 Variação de a  47 a 53
 Variação de b  20 a 22
 Menor valor da soma  47 + 20 = 67
 Maior valor da soma  53 + 22 = 75

a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4  67 a 75
37
Erros – Propagação

Ex. 14: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1,
calcular a – b
Variação de a  47 a 53
Variação de b  20 a 22
Menor valor da diferença  47 - 22 = 25
Maior valor da diferença  53 - 20 = 33

a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4  25 a 33
Na subtração, os erros absolutos se somam, pois
sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem
erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o
caso mais desfavorável.
38
Erros – Propagação
Ex. 15: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1,
calcular a . b
 Variação de a  47 a 53
 Variação de b  20 a 22
 Menor valor do produto  47 . 20 = 940
 Maior valor do produto  53 . 22 = 1166
39
Erros – Propagação
Ex. 15: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1,
calcular a . B
a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1)
 1050 ± (3 x 21 + 50 x 1)
 1050 ± 113  937 a 1163
 Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito
pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113
 Ligeiramente
diferente
do
verdadeiro
intervalo, exatamente pelo abandono do
produto 1 x 3, considerado desprezível
40
Erros – Propagação

Análise dos Erros Absoluto e Relativo:
Fórmulas para os erros nas operações
aritméticas
Erros presentes nas parcelas ou fatores e
no resultado da operação

Supondo um erro final arredondado, sendo
x e y, tais que:
x  x  EA x e y  y  EA y
41
Erros – Propagação

Adição
Erro Absoluto
x
x  yy  xx EA
EAxxyy EA
EAyy xxyyEA
EAxx EA
EAyy
Erro Relativo
ER x  y
EA x  y
 x 
 y 
  ER y 


 ER x 
xy
xy
xy
42
Erros – Propagação

Subtração
Erro Absoluto
x  y  x  EA xx   y  EA yy   x  y   EA
EAxx  EA
EAyy 
Erro Relativo
ER x  y 
EA x  EA y
xy
 x 
 y 
  ER y 

 ER x 
xy
xy
43
Erros – Propagação

Multiplicação
Erro Absoluto
x.y  x  EA x .y  EA y   x.y  y.EA x  xEA y  EA x .EA y 
muito pequeno
x.y  x
x EA
EAxx ..yy EA
EAyy   x
x..yy  yy.EA
.EAxx  xxEA
EAyy
Erro Relativo
ER x . y  ER x  ER y
44
Erros – Propagação

Divisão
Erro Absoluto


x x  EA x  x  EA x  
1


.

EA y
y y  EA y 
y
1


y

Simplificação:
2
3
EA  EA   EA 
1

 1  y   y    y   ...

EA
y  y   y 
 1 y
y


(desprezam-se os termos

de potência >1)
x x EA x xEAy y.EA x  xEA y
 Relativo



2
2
Erro
y y
y
y
y
ER x/y  ER x  ER y
45
Erros – Análise
Ex. 16: Cálculo de ER(x+y)
EA x  y
ER x  y 
 RA
xy
ER x  y  RA
EAx=EAy= 0,
 EAx+y=0
1
ER x  y  RA   10 t 1
2
Como x e y são representados exatamente, ERx+y se
resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no
resultado da soma.
46
Erros – Análise

Sistema de aritmética de ponto flutuante
de 4 dígitos, precisão dupla.
Ex.
17:
Seja
x
=
0,937x104,
y = 0,1272x102 e z = 0,231x101, calcular
x+y+z e ER(x+y+z), sabendo que x, y e z
estão exatamente representados.

Solução:
Alinhando as vírgulas decimais
x = 0,937x104
y = 0,001272x104 e
z = 0,000231x104
47
Erros – Análise
Ex. 17:
Solução:

A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0.9383 x 104
x+y+z = 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104
x+y+z = 0,938531x 104
x+y+z = 0,9385x 104
(após o arredondamento)
x+y+z= 0,9385 x 104
48
Erros – Análise

Ex. 17:
Solução:
 xy 
 xy 


  RA EAz=0,
ER x  y  z  ER s
 ER z 
x yz
x yz
 ERz=0




 xy 
  RA
ER x  y  z  ER s 
x yz


 xy 
 xy




ER x  y  z  RA s
 RA  RA
 1
x yz
xyz





ER x  y z
 xy
1
 
 1   10 t 1
 xyz
2
49
Erros – Análise

Ex. 17:
Solução:
 xy
1

ER x  y  z 
 1   10  t 1
xyz
2


 0,9383  10 4
1

ER x  y  z 
 1   10  3
 0,9385  10  4
2


ER x  y z  0,9998  10 3
50
Erros – Análise
Ex. 18: Supondo que x é representado num
computador por x, que é obtido por
arredondamento. Obter os limites superiores
para os erros relativos de

u  2 x
e
w xx
51
Erros – Análise
Ex. 18:
 Solução:
u  2 x
ER
2.x
ER
2.x
 ER 2  ER  RA  RA  RA  2. RA
x
 2.
1
 10  t 1
2
ERu  10
 t 1
52
Erros – Análise

Ex. 18:
Solução:
w xx
 x 
 x 
  ER 
  RA
ER w  ER 
x
x


x

x


xx
 x 
  RA  2. RA
ER w  2. RA 
xx


1
ER w  2. RA  2. 10  t 1  10  t 1
2
ER w  ERu  10  t 1
53
Erros – Sumário I
1. Erro relativo da soma
 Soma dos
erros
relativos
de
cada
parcela,
ponderados pela participação de cada
parcela no total da soma.
2. Erro relativo da subtração  Soma dos
erros
relativos
do
minuendo
e
do
subtraendo,
ponderados
pela
participação
de
cada
parcela
no
resultado da subtração.
54
Erros – Sumário II
1. Erro relativo do produto  Soma
erros relativos dos fatores.
dos
2. Erro relativo da divisão  Soma
dos
erros relativos do dividendo e do
divisor.
55
Erros – Exercícios
1. Seja um sistema de aritmética de ponto
flutuante de 4 dígitos, base decimal e com
acumulador de precisão dupla. Dados os
números
x = 0,7237x104, y = 0,2145x10-3 e
z = 0,2585x101, efetuar as seguintes operações
e obter o erro relativo nos resultados, supondo
que x, y, e z estão exatamente representados.
a) x+y+z
b) x-y-z
c) x/y
d) (x.y)/z
e) x.(y/z)
f) (x+y).z
56
Erros – Exercícios
2. Supondo que x é representado num
computador por x, onde este é obtido por
arredondamento, obter os limites superiores
para os erros relativos de
u  3 x
c) u  4  x
a)
b)
d)
wxxx
wxxxx
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Erros – Exercícios
3. Sejam x e y as representações de x e y
obtidas
em
um
computador
por
arredondamento. Deduzir expressões de
limitante de erro, a fim de mostrar que o
limitante
de
erro
relativo
de
u  3 x  y é
v  x  x  x   y
58
Erros – Exercícios
4. Um computador armazena números reais
utilizando 1 bit para o sinal do número, 7 bits
para o expoente e 8 bits para a mantissa.
Admitindo que haja truncamento, como
ficariam armazenados os seguintes números
decimais?
a) n1 = 25,5
b) n2 = 120,25
c) n3 = 2,5
d) n4 = 460,25 e) n5 = 24,005
59
Erros - Bibliografia
 Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo
Numérico: Aspectos teóricos e computacionais.
MAKRON Books, 1996, 2ª ed.
 Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico:
Fundamentos e Aplicações. Departamento de
Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.
 Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Numéricos.
DI/UFPR, 2006.
 Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de
Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online]
http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestr
e_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso 07
de Junho de 2007].
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