Tópicos Especiais em
Processamento de Sinais
Biológicos
COB 860
Professores:
Antonio Fernando C. Infantosi
Maurício Cagy
Bibliografia




“Signal Processing for Neuroscientists – An Introduction
to the Analysis of Physiological Signals”, Win Van
Drongelen, 2007.
“EEG Signal Processing”, Saeid Sanei, J.A. Chambers,
2009.
Niedermeyer’s Electroencephalography – Basic Principles,
Clinical Applications and Related Fields, 6th edition, Eds.:
Donald L. Schomer, Fernando H. Lopes daSilva.
Eletroencefalografia, Eds.: Gomes e Bello, 2008.
Introdução ao EEG

Ritmos do Eletroencefalograma:
– Delta: 0 - 4 Hz;
– Teta: 4 - 8 Hz;
– Alfa: 8 - 12 Hz;
– Beta: 12 - 32 Hz;
– Gama: > 32 Hz.
Figura ilustrando os principais ritmos do EEG
Notas

Ritmos EEG:
– a) redes interconectadas, permitindo
sincronização de conjuntos de neurônios;
– b) cada ritmo deve ser associado ao contexto de
um estado comportamental (não simplesmente
à faixa de freqüências);
– c) é necessário o entendimento dos mecanismos
celulares envolvidos nos diferentes tipos de
oscilação.
Geração de Ritmos Síncronos

Dois modos:
– Comando de uma estrutura central: marca-
passo.
– Compartilhamento de informação entre
neurônios, inibindo-se ou excitando-se
mutuamente.

Walter Freeman: hipótese pioneira de que os
ritmos neuronais servem à coordenação da
atividade entre regiões do sistema nervoso,
através de “surtos” de sincronização entre
neurônios.
Epilepsia

Crises epilépticas são atividades cerebrais extremamente síncronas, que nunca ocorrem em
circunstâncias normais  padrões EEG de
elevada amplitude.
 Balanço delicado entre excitação e inibição
sináptica no cérebro.
 Crises de Ausência: < 30s - 3 Hz (perda de
consciência , com sinais motores súbitos).
Sono

Sono REM e Não-REM
Acordado
Amplitude baixa,
rápido
Vívido, geração
Sensação
externa
Lógico,
Pensamento
progressivo
Contínuo e
Movimento
voluntário
Mov. Rápido dos Freqüente
Olhos
EEG
Sono Não-REM
Alta amplitude,
lento
Nebuloso ou
ausente
Lógico, repetitivo
Sono REM
Amplitude baixa,
rápido
Vívido, geração
interna
Vívido, ilógico,
bizarro
Ocasional,
Atonia, exceção
involunt. (postura) músc. oculares
Raro
Freqüente
Ritmos do Sono
Fusos

Marco da sincronização do EEG nos primeiros
estágios do sono: ondas 7-14 Hz durando de 1 a
2 s, recorrência de 0,2 a 0,5 Hz.
 Geração no Tálamo, mas sua sincronização é
influenciada pelo córtex.
 Núcleos reticulares (neurônios GABAérgicos
cobrindo a superfície rostral, lateral e ventral do
Tálamo): pacemaker.
 Amplificação e recrutamento das freqüências
dos fusos no Tálamo.
Relação entre Fusos e
Complexos Ponta-Onda

Evidências:
– P-O aumentam durante estágio de fuso e são
atenuados ou suprimidos ao acordar;
– Estimulação de projeções córtico-talâmicas na banda
dos fusos podem gerar P-O auto-sustentáveis.

Córtex cerebral levaria o tálamo à geração da
epilepsia de complexos P-O.
 ~10Hz (fusos)  3Hz (P-O): aumento da
duração dos potenciais inibitórios (Jasper, 1969:
“papel de mecanismos inibitórios e não
excitatórios”).
Oscilações Lentas (<1Hz)

Descritas em neurônios neocorticais de animais
anestesiados e, subseqüentemente, durante sono
natural em animais e humanos.
 Cetamina (bloqueador de receptores NMDA) /
Xylazina (agonista de receptores 2): indutores
de oscilações lentas.
 Origem cortical:
– permanência após talamectomia;
– ausência no tálamo de animais decorticados;
– ausência após desconexão de ligações intracorticais.
Quais mecanismos estão
envolvidos nos processos de
Sincronização?

Registros intracelulares duais in vivo
revelaram que a sincronização de padrões
EEG está associada à hiperpolarização
simultânea de neurônios corticais

mecanismos inibitórios
Complexos K

Elemento eletroencefalográfico constituído
por um transiente “positivo-superfície” rápido
seguido de um componente “negativosuperfície” mais lento e, eventualmente, ondas
fusas (estágio 2 do sono).
 Evidências indicam que são a expressão de
oscilações lentas espontâneas geradas pelo
córtex.
Ritmo Delta
Estágios 3 e 4 do sono (“sono-delta”).
 Oscilações lentas (<1Hz)  Delta (1-4Hz):

– O.L.: córtex;
– : pelo menos um tipo originado no tálamo;
– ondas  são agrupadas pelas O.L.

Dois tipos de oscilações :
– Cortical (persiste após talamectomia);
– Talâmica (persiste no tálamo após decorticação).
Ritmo Delta (cont.)

Oscilação potencializada e sincronizada por
uma rede envolvendo projeções córticotalâmicas com uma ligação intermediária no
núcleo reticular.
 É bloqueado por pequenas doses de barbituratos
e por seqüências de fusos.
 Oscilações  e fusos surgem com diferentes
potenciais de membrana (-60mV  -70mV).
 Influências corticais facilitam o surgimento de
oscilação  em células tálamo-corticais.
Ritmos Rápidos (20 - 50 Hz)
“Ativação” - Moruzzi & Magoun (1949)
estimularam o trato reticular de gatos
anestesiados: HV-LF  LV- HF (similar ao
despertar natural).
 Estudos posteriores relacionaram a presença
de atividade 20-40Hz com aumento do
estado de alerta.
 Origem cortical, talâmica e, possivelmente,
em outras estruturas sub-corticais (estudos
de coerência).

Ritmos Rápidos (cont.)

Vários estudos investigam a presença de
oscilações de 40 Hz: bulbo olfatório (Freeman,
1975); córtex visual (Gray et al., 1990); córtex
(Steriade et al., 1991 e 1993; Jones, 1985).
 O ritmo 40 Hz reflete uma condição de aumento
difuso de vigília do cérebro (Steriade, 1993).
 Presença de ritmo 40 Hz em neurônios corticais
motores durante comportamento de atenção
demonstrada por Murthy & Fetz (1992).
Ritmo Teta

Primeiro descrito no hipocampo de coelhos;
faixa de 4-7 Hz.
 Atividade teta normal pobre ou ausente em
primatas, sendo negada por alguns autores
(Brazier, 1968; Halgreen et al., 1979, 1985).
 Não se deve confundir com as “ondas teta
patológicas”, descritas por um alentecimento
da atividade  (e.g., redução do fluxo
cerebral, encefalopatias metabólicas)
Ritmo Alfa

8-13Hz: um dos elementos mais importantes do EEG,
com descrição desde Berger (1929).
 Não se conhecem os mecanismos celulares.
 Não se deve confundir  com fusos, apesar da
superposição de freqüências:
– : vigília em relaxamento;
– fusos: sono.
Opinião de  relacionado a atenção visual reduzida
desafiada por achados de aumento de atividade  durante
estimulação visual e tarefas de atenção.
 Sugere-se geração e espalhamento no córtex cerebral.

Teoria da Ressonância do EEG
(Basar et al., 1995, 1999)

Hipóteses:
– EEG consiste da atividade de um conjunto de
geradores produzindo atividade em várias
bandas de freqüência;
– Estes ritmos podem ocorrer também sem
estimulações físicas, mas por fontes internas;
– A superposição de oscilações evocadas ou
induzidas nos vários canais de freqüência do
EEG resulta no Potencial Evocado.

Concluem que a banda Gama (30-70 Hz) exerce
o papel de elemento de comunicação entre
estruturas cerebrais.
 Achados confirmam que ritmos espontâneos do
EEG, provavelmente respostas a fontes
internas, aparecem em várias condições de
comportamento, cognição e sensação.
 Consideram as várias atividades rítmicas como
“blocos” que acompanham eventos fisiológicos
e psicológicos: combinação - comportamento
complexo.

O cérebro possui várias freqüências naturais de
oscilação (, , , , ), que podem ocorrer
espontaneamente, ou serem evocadas ou
induzidas.
 EEG não é um ruído: sugerem possibilidade de
comportamento caótico.
 As freqüências naturais são registradas a nível
celular.
 Relação: freqüências naturais - funções de
transferência.
 Transições do EEG de estados desordenados a
ordenados.

Susceptibilidade de resposta do cérebro: PEs
internos  PEs externos.
 Superposição dos diferentes ritmos, que podem
ser estabelecidos em fase, dependendo da
natureza do estímulo.
 “Código EEG”: oscilações seriam o alfabeto
cerebral.
 Os geradores do EEG são distribuídos
seletivamente em todo o cérebro, havendo uma
atividade integrada.
Modelagem da Dinâmica do EEG

Terminologia de Freeman (1975):
– Conjuntos de neurônios KI (KIe e KIi);
– KII: KIe + KIi;
– KIII: 2  KII.

Modelagem Dinâmica:
– Loops de Realimentação;
– constantes de tempo das sinapses;
– constantes de comprimento;
– fatores de ganho.
Modo-Onda  Modo-Pulso

Potenciais pós-sinápticos podem ser considerados
como modo-onda, enquanto os potenciais de ação
representam o modo-pulso.
Propriedades de Transferência
Exemplo de Simulação Alfa
Relevância da Análise Não-Linear

Vários estudos de modelagem: aproximação
linear.
 Negligencia importantes características nãolineares do sistema, como geração de
harmônicos.
 Sistemas podem ter muitos estados de
estabilidade: equilíbrio, ciclos limites e atratores
caóticos (“estranhos”).
 Transferência: modelos de redes locais de
neurônios para modelos complexos
espacialmente distribuídos.
Condicionamento e Aquisição
do EEG
Características Gerais do EEG


Amplitude da ordem de V a dezenas de V;
Bandas do EEG normal de adultos:
–
–
–
–
–

Delta (0-4 Hz);
Teta (4-8 Hz);
Alfa (8-12 Hz);
Beta (12-32 Hz);
Gama (>32Hz);
Sistema Internacional 10-20 de
posicionamento de eletrodos:
– 20 derivações monopolares;


Derivações monopolares ou bipolares;
Localização do eletrodo terra:
– FPz;
– Nuca;

Referência (física ou virtual):
–
–
–
–

Lóbulos auriculares interligados;
Cz;
média dos lóbulos;
média de todos eletrodos;
Impedância dos eletrodos < 10 k;
Condicionadores de Sinais para EEG
Pré-Amplificador
T3 -
V+
Cz -
V-
Filtro Passa-Altas
Amp. (2o. estágio) Filtro Passa-Baixas
Terra

Pré-Amplificador (Diferencial):
– ganhos de 10 a 50;

Filtro Passa-Altas:
– empregado quando se deseja remover DC e flutuações lentas;

Amplificador (2o. Estágio):
– em geral, apresenta maior ganho (10 a 1000);
– quando o equipamento fica ligado eletricamente ao ser humano, deve
incluir isolação;

Filtro Passa-Baixas:
– pode servir como anti-aliasing para digitalização.
Pré-Amplificador
Vo  G  Vd 

G  Vc
Zi
 G  Vc 1 
CMRR
 Z i  Z1  Z 2
 Desejável:
– Ganho flexível;
– Elevada faixa de tensão de
alimentação

• se possível, “rail-to-rail”;
Requisitos:
– Baixo consumo;
– Alta Impedância de Entrada;
– Baixo ruído;
– Alta Rejeição de Modo Comum:
– Baixo custo.
CMRR  20log10
G
Gc
– Baixo viés e deriva térmica de tensão de entrada;
– Baixa deriva de corrente de entrada.




Pré-Amplificador

Topologia “Clássica”:
– 3 Amplificadores Operacionais (1 Diferencial e 2 Buffers)

 R3
2
R
1

G  1 
 Rganho  R2


 Exemplos:
CMRR
Zi
Vbias
Vdrift
Ibias
AD620
100 (G=10)
10 G
< 50 V
< 0,6 V/°C
< 1 nA
INA129
100 (G=10)
10 G
< 20 V
< 0,4 V/°C
<10 nA
Filtro Passa-Altas

Deve ser omitido quando DC for importante:
– Extensometria e Células de Carga;
– Termo-pares.

Importante com sinais eletrofisiológicos:
– Potencial de meia-célula (interface com o eletrodo);
– Artefatos de respiração e outros movimentos.

Elimina influência de viés e deriva de tensão e de
corrente.
 Arquitetura recomendada:
– Bessel passivo ou ativo.
Quando a Interferência de Rede é muito elevada, devese cascatear um filtro Notch neste estágio.
Segundo Estágio de Amplificação

Apresenta, geralmente, o maior ganho:
– Parte dos sinais indesejáveis que poderiam causar a saturação
do sistema já foram eliminados no estágio anterior.

Em sistemas para sinais DC, pode ser omitido
juntamente com o Filtro Passa-Altas:
– Neste caso, o Amplificador Diferencial responderá pelo
Ganho Total;

Sistemas eletricamente ligados ao sujeito:
– Amplificador de Isolação:



Analógico: por transformadores, óticos e capacitivos;
Digitais: CTF  Acoplador Ótico ou Indutivo  CFT.
Exemplo: 3650/3652 (Burr-Brown – tipo ótico analógico)
Corrente Vazamento
Impedância de Isolação
Vmax Segura de Isolação
< 0,35 A
1 T
2000 Vp ou VDC
Filtro Passa-Baixas

Importante na “separação” de sinais indesejáveis de
alta freqüência e interferências RF:
– Atenuação do EMG na coleta de EEG;
– Atenuação de ruídos eletromagnéticos.

Assume o papel de filtro anti-aliasing no caso de
digitalização:
– Taxa de amostragem deve considerar a freqüência que já
apresente elevada atenuação.

Arquitetura recomendada:
– Bessel ativo, com ordem elevada.
Minimização de Ruídos e Artefatos





Uso de eletrodos não-polarizados, e com baixo
potencial de “meia-célula”, como Ag/AgCl;
Uso de cabos blindados;
Minimização / afastamento de possíveis fontes de
RF;
Uso de Gaiola de Faraday;
Realimentação tipo “Guarda de Entrada”.
“Guarda de Entrada”

Realimentação negativa da Tensão de Modo Comum
no próprio sujeito (deve se dar o mais distante
possível dos eletrodos que captam o sinal).
Proteção Contra Surtos de Tensão

Protege o Condicionador de surtos de tensão
causados, por exemplo, por desfibriladores ou
equipamentos eletro-cirúrgicos.
0,6 V
3-20 V
50-90 V
Conversão Analógico-Digital (CAD)

Faixa Dinâmica (em volts)
 Resolução – no. de bits (NOB);
– NOB Efetivo (ENOB): depende da razão sinal-ruído;

Sistemas multi-canais:
– “sample-and-hold”?

Taxa de amostragem: Nyquist;
 Acurácia:
– Erro de quantização;
– Não-Linearidade.
Considerações Práticas

Amplitude muito pequena de grande parte dos
sinais biomédicos  utilização de componentes
SMD, trilhas curtas e placas de pequenas
dimensões;
 Em sistemas multicanais, as placas de cada canal
devem ser separadas das vizinhas por planos de
terra – minimizar cross-talking;
 Digitalização:
– a resolução do CAD (no. de bits  faixa dinâmica) deve
ser considerada no dimensionamento do ganho total do
condicionador;
– emprego de filtragem Notch digital.
Bases Teóricas para o
Processamento do EEG
Função Delta de Kronecker
 [n]
 [ n  2]

Elemento neutro da convolução:
x[ n]  x[ n]   [ n] 

 x[k ] [n  k ]
k  
Convolução com a Função Delta
x[0] [ n ]
x[1] [n  1]
x[2] [n  2]
x[3] [n  3]
x[4] [n  4]
x[ n]  x[ n]   [ n] 

 x[k ] [n  k ]
k  
Transformada de Fourier

Discrete-Time Fourier Transform (DTFT):
X () 

 jn
x
[
n
]
e
 x[n] 

n  

jn
X
(

)
e
d

2
Discrete Fourier Transform (DFT):
– Assunção de que o trecho de sinal analisado é
periódico  espectro discreto;
ak 

N 1
 jk ( 2 / N ) n
x
[
n
]
e

n 0
Algoritmo rápido: Fast Fourier Transform (FFT).
Transformada Discreta a
Cosseno

Família das transformadas reais;
 Base do método JPEG de compressão de
imagens;
 DCT:
 (2n  1) k 
v[ k ]  [ k ] u[n]cos
, 0  k  N 1

2N


n0
onde
N 1

[0] 

1
, [ k ] 
N
2
, para 1  k  N  1
N
Função de Autocorrelação

Para um sinal x[n] qualquer:


rxx [n, m]  E x[n]x*[n  m]
onde E{...} refere-se à esperança matemática e (*) refere-se ao
complexo conjugado.

Para x[n] estacionário:


rxx [m]  E x[n]x*[n  m]

Para x[n] ergódico: 1
1
*
r
[
m
]

lim
x
[
n
]
x
[ n  m]
• xx

N 
N
N
• rxx[m] = rxx[-m]
2
n N 2
• rxx[0] = E{|x[n]|2} = v.m.q.(x) = x2 se DC=0.
Função de Autocorrelação

Estimador Não-Tendencioso:
N 1 m
1
*
rˆxx [m]  rˆxx [ m] 
x
[
n
]

x
[ n  m]

( N  m) n  0

Estimador Tendencioso:
1
rˆxx [m]  rˆxx [m] 
N
N 1 m
*
x
[
n
]

x
[n  m]

n 0
tem a vantagem de ser uma função positiva semidefinida.
Densidade Espectral de
Potência

Definição: transformada de Fourier da FAC:
Pxx ( f )  F rxx [m]

Significância estatística da estimação
espectral;
 Variância  resolução espectral;
 Para sinais ergódicos:

T

Pxx ( f )  lim E 
M 
( 2 M  1)


M
 x[n]e
nM
2
 j 2fnT





Densidade Espectral de
Potência

Sinal finito;
 Bartlett: promediação da DFT de vários
segmentos do sinal;
 corresponde à aplicação de janelas
retangulares: “leakage” (vazamento);
 Welch: utilização de janelas Hann com
superposição de 50%;
Periodograma de Welch
P 1
1
~ ( p)

PW ( f ) 
Pxx ( f )

P p0
~ ( p)
Pxx ( f ) 
1
2
( p)
X (f)
UDT
D 1
U  T  w [ n]
2
n0
Ruído Branco

Definição: sinal cuja autocorrelação vale
rxx [m]    [n]
2
w


Portanto: Pww( f ) = w2
Caso w[n] seja gaussiano, suas amostras,
além de descorrelacionadas, são
independentes...
Modelagem Auto-Regressiva
DEP: significância  resolução  uso de
modelos;
 Modelos ARMA, MA e AR;
 AR mais comumente utilizado;
 Modelo AR genérico de ordem m:

m
x[n]   a[k ]x[n  k ]  u[n]
k 1
Equações de Yule-Walker

Buscam-se os coeficientes a[k] que
minimizam a variância (energia) do erro:

  E u[n]

2
 
2
Solução das equações de Yule-Walker (para
sinais estacionários):
 rxx [0] rxx* [1]  rxx* [m]   1      2 



    
*
 rxx [1] rxx [0]  rxx [m  1]  a[1]   0  0 
   











 
    
 rxx [m] rxx [m  1]  rxx [0]   a[m]  0  0 
Equações de Yule-Walker
(cont.)

A partir dos coeficientes auto-regressivos,
pode-se obter a DEP através do Método da
Máxima Entropia (MEM):
T 2
PMEM ( f ) 
1
p

k 1
2
a[k ]e  j 2fkT
Equações de Yule-Walker Como um
Método de Mínimos Quadrados

Minimização da energia de u[n]:
Xa = x
0
 x[0]




 x[m  2] x[m  3]
X
 x[m  1] x[m  2]




 x[ N  2] x[ N  3]






x[0]





 x[ N  m  1]



0

0
 a[1] 
 a[ 2] 

a
  


a
[
m
]


a  (Xt X) 1 Xt x
1
ˆ  s 
N
2
u
N 1
 u 2 [ n] 
n0
1
(x  Xa)t (x  Xa)
N
 x[1] 
x    
 x[ N  1]
Seleção da Ordem do Modelo

Critérios tipo função-custo (a serem minimizados):
– Final Prediction Error (Akaike, 1970):
FPE[m] 
N m
ˆ m
N m
– Akaike Information Criterion (Akaike, 1974):
AIC[m]  N  ln ˆ m  2m
– Minimum Description Length (Rissanen, 1978):
MDL[m]  N  ln ˆ m  m  ln N
– Criterion Autoregressive Transfer Function (Parzen, 1976):
1
CAT[m] 
N
 1
1 
~  N ˆ



,
onde

i
i

 ~ ~ 
N

1
i 1  i
m 
m
Função de Correlação Cruzada

Para x[n] e y[n] ergódicos:
rxy [m]  limN 
1
N
N
2 1
 x[n] y * [n  m]
n N 2
• rxy[m]  rxy[-m]  não é necessariamente par;
• rxy[m] = ryx*[-m];
• rxy [i]  rxx [0]  ryy [0]

1
2
i
Estimadores:
N 1 m
1
*
rˆxy [m] 
x
[
n
]

y
[ n  m]

( N  m) n  0
1
ˆrxy [m] 
N
N 1 m
*
x
[
n
]

y
[ n  m]

n 0
Espectro Cruzado

Definição: transformada de Fourier da
Função de Correlação Cruzada:


Pxy ( f )  F rxy [m]
• como rxy[m] não é necessariamente par, Pxy( f ) não é
puramente real;

• Pxy ( f )  Pxx ( f )  Pyy ( f )


1
2
f
Para sinais ergódicos:

 M
T

  x[n]e  j 2fnT
Pxy ( f )  lim E 
M 

 (2M  1)  n   M
 M *
  y [n]e j 2fnT
 n   M





Coerência Espectral

Definição: Espectro Cruzado normalizado
pela raiz do produto das DEPs:
 xy ( f ) 
Pxy ( f )
Pxx ( f ) Pyy ( f )
– como Pxy( f ) é complexo, a coerência também o é.

Magnitude Quadrática da Coerência (MSC):
2
 ( f )   xy ( f ) 
2
Pxy ( f )
2
Pxx ( f ) Pyy ( f )
Respostas Induzidas e Evocadas

Tipos de sincronização:
– no tempo: time-locked  respostas “induzidas”:
 ERD/ERS ou ERSP;
 TFE (uma modalidade de ORD).
– na fase: phase-locked  respostas “evocadas”:
 Média coerente;
 Técnicas de Detecção Objetiva de Respostas (ORD).
Média Coerente

Pressupõe que haja uma parcela consistente
de sinal a cada época pós-estímulo
embebida por um ruído de média nula:
xi [n]  s[n]  ri [n]
1
sˆ[n] 
M
M
1
x
[
n
]

i
M
i 1
M
1
s
[
n
]


M
i 1
• sˆ[n]  s[n] quando M  
• Marcação do gatilho (trigger):
• Atrasos sistemáticos;
• Atrasos aleatórios (Jittering).
M
 ri [n]
i 1
Teste F Espectral (TFE)

Razão de Potências ou de DEP:
1
Mx
Mx
2
~
X i ( f ) Sob H0 (ausência de resposta):

Pˆxx ( f )
i 1
TFE( f ) 

TFE( f ) ~ F2M ,2M
My
ˆ
2
Pyy ( f )
1
~
Y

i( f )
M y i 1
x
Pˆxx (n. f 0 )
TFE(n. f 0 ) 

ˆ
1
Pxx ([n. f 0  f ],[n. f 0  f ])
2M

M
i 1
1
M
M

i 1
y
2
~
X i (n. f 0 )
2
2
~
~
X i (n. f 0  f )  X i (n. f 0  f )
TFE( f ) ~ F2 M , 4 M

Medida de Sincronismo de
Componentes (CSM)

Mede a consistência da fase da componente
de freqüência em questão:
1
CSM ( f )  
M
2
 1
cosi ( f )  

i 1
 M
M
Sob H0 (ausência de resposta):
CSM ( f ) ~
 22
2M

sin i ( f )

i 1

M
2
Magnitude Quadrada da
Coerência (MSC)

A MSC entre um sinal periódico e um sinal
aleatório depende apenas do último e pode ser
2
M
reescrita como:
~
MSC( f ) 
X
j 1
M
M
j 1
Sob H0 (ausência de resposta):
j
(f)
2
~
X j( f )
Sob H1 (presença de resposta):
1  M ( ( f )) /(1   ( f )F

M  1  1  M ( ( f )) /(1   ( f )F
2
MSC( f ) ~ 1, M 1
MSCcrit
2
2

 2( f ) 

   2  2M
2
1


(
f
)


crit 2 , 2 M  2,
2
2
crit 2 , 2 M  2,

 2( f ) 
 2  4M

2
1


(
f
)


Detector de Potenciais Evocados (EPD)

Inspira-se na MSC como ORD, mas refere-se ao domínio do
tempo:
2
ni  N 1

EPD 
n  ni
M

  x j [ n] 
 j 1



ni  N 1 M
M
  x [n]
n  ni
Sob
j 1
EPD  SNR SNR 1
2
j
H0 (ausência de respostas), EPD segue uma distribuição
Beta:
– EEG como um ruído branco: EPD ~ N / 2, N (M-1)/2
– EEG como um ruído colorido: EPD ~ Nfit / 2, Nfit (M-1)/2,

onde Nfit é ajustado com base na FAC do EEG…
ERD/ERS em Função do TFE

Considerando-se x[n] como o sinal de referência e y[n] como
o sinal durante indução de resposta:
My
ˆ yx ( f )  100
Mx
Y ( f )  X ( f )
2
i
2
i
i 1
i 1
Mx

Xi ( f )
2
i 1
Sob
 My

2
  Yi ( f )

ˆ yx ( f )  100  Mix1
 1


2
 Xi ( f )

 i 1

H0 (ausência de respostas) :
ˆ yx ( f ) /100  1 ~ F2M x , 2M y
Variância e Covariância

Para um sinal x[n] ergódico:

  Ex[n]

var(x[n])  c xx [0]  E x[n]  Ex[n] 

 Ex[n]  
 E x[n]   x
2
2
2
x
2
2

  x2 
 rxx [0]   x2
onde E{...} refere-se à esperança matemática.
Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:
cov(x[n], y[n])  c xy [0]  Ex[n]  Ex[n] y[n]  Ey[n] 
 Ex[n] y[n]  x  y  rxy [0]   x  y
Matriz de Covariância

Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n]:
 c x1x1 [0] c x1x2 [0]
c [0] c [0]
x x
x2 x2
C 2 1
 


c xk x1 [0] c xk x2 [0]

 c x1xk [0]
 c x2 xk [0]

 

 c xk xk [0]
Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser
dada por:
Xt X
C
N 1
onde X é uma matriz (N  k) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas
respectivas médias.
 x1[0]  x1
 x [1]  x
1
X 1



 x1[ N  1]  x1
x2 [0]  x2
x2 [1]  x2

x2 [ N  1]  x2

xk [0]  xk 

xk [1]  xk 




 xk [ N  1]  xk 
Análise de Componentes Principais (PCA)

Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n]
correlacionados entre si (não ortogonais):
• sua matriz de covariância C não é diagonal.

Existe um conjunto de k outros sinais
descorrelacionados entre si (ortogonais e de
média nula), s1[n] a sk[n] (componentes
principais), tais que: Xt  A  S t
 Problema: achar A e S...
Análise de Componentes Principais (PCA)

Multiplicando-se ambos os lados por X:
Xt  X  A  S t  X  A  S t  S  A t
– mas os sinais si[n] são ortogonais por
pressuposição, de modo que StS é uma matriz
diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N1,
tem-se que:
C  A  D  At
o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza
ortogonalmente C:
•
decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.
Incerteza, Informação e
Entropia

Sejam k e x variáveis aleatórias (discreta e
contínua respectivamente). A “Quantidade
de Informação” (I) de uma observação é
dada por:
I (k i )  logb
1
  logb p (k i )
p(k i )
I ( xt )  logb
1
  logb pdf ( xt )
pdf ( xt )
– A Entropia de Shannon é o valor esperado de I:
n
H (k )  EI (ki )   p(ki ) logb p(ki )
i 1

H ( x)  EI ( xt )    pdf ( x) ln pdf ( x) dx

Propriedades da Entropia

Continuidade;
 Valor máximo (p.ex. var. discreta):
1
1 1
H n  p1 , p2 ,..., pn   H n  , ,..., 
n
n n
1
1
1 
1 1
 1
H n  , ,...,   H n 1 
,
,...,

n
n 1
n n
 n 1 n 1

Entropia conjunta:
H k , l   H (k | l )  H (l )  H (l | k )  H (k )  H (l , k )

Se k e l são independentes:
H (k | l )  H (k )
H (l | k )  H (l )
Propriedades da Entropia

Exemplo:
– Processo de Bernoulli:
 k1 = 0;
 k2 = 1;
Informação Mútua

H(k): medida de incerteza da variável k;
 H(k|l): incerteza remanescente de k após se
observar l;
 Informação Mútua:
I k ; l   H (k )  H (k | l )  H (l )  H (l | k )  I (l; k )  0
– representa a quantidade de incerteza sobre k
que foi resolvida ao se observar l.
– se k e l são independentes:
I k ; l   H (k )  H (k | l )  H (k )  H (k )  0
Análise de Componentes Independentes (ICA)
 Análoga à PCA mas visa a componentes
estatisticamente independentes:
– Minimização da Informação Mútua:
 Ex.: Algoritmos baseados na Medida de Divergência de
Kullback-Leibler;
– Maximização da Não-Gaussianidade:
E ( x   ) 
3
 Curtose: CurtEx( x) 
E( x   )  ;
 Negentropia  J(pdf(x)) = H(N(0,))H(pdf(x,)).
4
2
2
– Algoritmos comuns:
 Infomax (Redes Neurais, Maximização da Entropia);
 JADE (cumulantes de 4a. Ordem – Curtose);
 FastICA (PCA  Maximização de Não-Gaussianidade via
função não-linear)...
Filtros

Sinal + ruído ou interferência;
 Interferência da rede (60Hz);
 Interferência de outros sinais fisiológicos;
 Coincidência dos espectros do sinal e do
ruído;
 Uso de filtros: IIR  FIR.
Filtro Passa-Baixas Ideal
1, 0     C ,
H d ()  
0,  C     .
1
hdLP [n] 
2
C
1
0 2 cosn d  n senC n
hdLP[0]  limn0 (hdLP[n]) 
C cos(c 0)


C

Filtro Passa-Altas Ideal
0, 0     C ,
H d ()  
1, C     .
1
hdHP[n]   senC n
n
 cos( 0)  C cos(c 0)
C
hdHP[0]  limn0 (hdHP[n]) 
 1


Filtro Passa-Faixa Ideal
0, 0     C1 ,

H d ()  1,  C1     C 2 ,
0,      .
C2

1
hdBP [n] 
2
C 2
1
2 cos n d 
(senC 2 n  senC1n)

n

C1
hdBP [0]  limn0 (hdBP [n]) 
C 2 cos(C 2 0)  C1 cos(C1 0)


C 2  C1

Filtro Rejeita-Faixa Ideal
1, 0     C1 ,

H d ()  0,  C1     C 2 ,
1,      .
C2

1
hdBS [n]   (senC 2 n  senC1n)
n
hdBS [0]  limn0 (hdBS [n])  1 
C 2  C1

Filtros FIR - Método de
Janelas

Idéia: truncar a resposta ao impulso ideal
hd[n] correspondente a uma janela
retangular no domínio da freqüência;
 Fenômeno de Gibbs (janela retangular) 
emprego de outras janelas;
1
hd [n] 
2
2
H
(

)
e
d

0
jn
d
Truncamento simples (Janela
Retangular)

Outras Janelas

Hann:

Hamming:

Blackman:
1
2n 
2 n
wN [n]  1  cos
 sen

2
M 
M
2n
w M [n]  0,54  0,46 cos
M
2 n
4 n
wB [n]  0,42  0,5 cos
 0,08 cos
M
M
Comparação de filtros projetados
a partir das diferentes janelas:
Janela
Banda de
Ripple máximo na
Transição (2/M) banda de rejeição (dB)
Retangular
0,9
-21
Hann
3,1
-44
Hamming
3,3
-53
Blackman
5,5
-74
Comparação (Hann - linha contínua,
Hamming - pontilhada, Blackman tracejada)

Janela Kaiser

Família de curvas com parâmetros flexíveis
(dependendo de ;
wK [n] 


I 0  1  (1  2n / M ) 2
I 0 ()
,
para n  0,1, 2,..., M
onde I0( ) é a função de Bessel modificada
de primeira ordem.
Comparação - Kaiser
(diferentes valores de 
Parâmetro 
Banda de
Ripple máximo na
Transição (2/M)
banda de rejeição (dB)
2,0
1,5
-29
3,0
2,0
-37
4,0
2,6
-45
5,0
3,2
-54
6,0
3,8
-63
7,0
4,5
-72
8,0
5,1
-81
9,0
5,7
-90
10,0
6,4
-99
Filtros FIR Passa-Baixas, PassaAltas, Passa-Faixa e Rejeita-Faixa
Fase linear  resposta ao impulso simétrica
ou anti-simétrica;
 Simétrica:
Anti-simétrica:

Filtro FIR

Trunca-se a resposta ideal do filtro do tipo
desejado;
 Ordem par (comprimento ímpar):
N
N
N
N


h n    hd [n].wn  , para n   ,..., 0,...,
2
2
2
2



Ordem ímpar (comprimento par):
N
N
N
N


hn    hd [n]. wn  , para n   ,...,  0,5 , 0,5 ,...,
2
2
2
2


Filtros FIR Passa-Altas e
Rejeita-Faixa

Polinômios simétricos de ordem ímpar
apresentam raiz em –1 (ej);
 Este zero determina resposta nula na
freqüência de Nyquist;
 Logo, filtros FIR passa-altas e rejeita-faixa
não podem possuir ordem ímpar.
Projeto por Especificações
(FIR-Kaiser)

Especificações: ripple e limite(s) da faixa
de passagem e ripple e limite(s) da faixa de
rejeição;
 ripple ajustado através do parâmetro  e
largura do lobo principal, através da ordem
do filtro;
 Janela Kaiser pode-se adequar a,
praticamente, qualquer especificação;
Projeto por Especificações
(cont.)
Faixa de passagem: A’p ripple máximo,
delimitada por p (ou p1 p2);
 Faixa de rejeição: A’r de atenuação mínima,
delimitada por r (ou r1 r2);
 Pode-se projetar um filtro com banda de
transição Bt e ripples:
1 
Ap  20 log10
1 
Ar  20 log10 

Projeto por Especificações (cont.)
Projeto por Especificações
(cont.)

1) Freqüência(s) de corte: distanciada(s) de
Bt /2 do(s) limites da faixa de passagem;
 2) Escolha de :
  min(1 ,  2 )
1  10
 0 , 05 Ar'
2 
10
10
0 , 05 A p'
1
0 , 05 A p'
1
Projeto por Especificações
(cont.)

3) Cálculo de Ar:
Ar  20 log10 

4) Escolha de :
0

  0,5842( Ar  21) 0,4  0,07886( Ar  21)
0,1102( A  8,7)
r

para
Ar  21,
para 21  Ar  50,
para
Ar  50;
Projeto por Especificações
(cont.)

5) Escolha do parâmetro D:
0,9222

D   Ar  7,95
 14,36


para Ar  21,
para Ar  21;
6) Ordem N:
2D
N
1
Bt
Filtro IIR Butterworth

Maximamente plano;
 Filtro passa-baixas:
H ( j ) 
2
1

1   
 c 
2n
H ( j)  H ( j).H * ( j)  H ( j).H ( j)
2
Filtro IIR Butterworth (cont.)

Fazendo-se s=j ,
H ( s ).H (  s ) 
sk  (1)
1
 s 

1  
 j c 
1/ 2n
( jc )
2n
Filtros IIR Chebychev

Filtros equiripple: Chebychev I - faixa de
passagem; Chebychev II - faixa de rejeição;
 Passa-baixas normalizado do tipo I:
1
G ( j ) 
1   2 C n2 ( )
2

Cn() é o polinômio de Chebychev de
ordem n;
Filtro IIR Chebychev (cont.)

Definição dos polinômios de Chebychev:
C n ( )  cos(n. cos1  ),
0   1
e
C n ( )  cosh(n. cosh1  ),
 1
Filtros IIR Chebychev (cont.)

Relação de recorrência para os polinômios
de Chebychev:
C n 1 ( )  2..C n ( )  C n 1 ( )  0,
sendo C1 ( )   e C 2 ( )  2. 2  1
Transformações Espectrais
para Filtros Analógicos

Filtros passa-baixas normalizados para
quaisquer tipos de filtros;
s  f (s )
 Freqüência de corte:
– Butterworth : 3dB;
– Chebychev : final da faixa de passagem (dB);
10 log10 (1 / (1  ))
Transformações Espectrais
(cont.)
Tipo de Filtro
Transformação s  f (s )
Passa-Baixas
s  s / c
Passa-Altas
s  c / s
Passa-Faixa
s 2  1 2
s
s ( 2  1 )
Rejeita-Faixa
s
s ( 2  1 )
s 2  1 2
Hdesejada ( s )  Hnormalizada ( s) s f ( s )
Transformação Bilinear

Passar do domínio s (analógico) para o
domínio z (digital);
 Definição:
2  1 z 
s 
1 
T  1 z 
1
Transformação Bilinear (cont.)
2
1  T 
  tan 

T
 2 

Warping:

Solução: pre-warping - se o filtro digital é
caracterizado pelas freqüências i, o filtro
analógico deve possuir suas freqüências
correspondentes em:
i T
2
i  tan
T
2
Efeito Warping
Projeto por Especificações
(IIR)

Funções do Matlab (butter e cheby1);
 Especificações: ripple e limite(s) da faixa
de passagem e ripple e limite(s) da faixa de
rejeição;
 Faixa de passagem: Rp ripple máximo,
delimitada por p (ou  p1  p2);
 Faixa de rejeição: Rs de atenuação mínima,
delimitada por  r (ou  r1  r2);
Projeto por Especificações
(cont.)

1) pre-warping das freqüências limites do
filtro digital desejado;
 2) Obter um filtro passa-baixas
normalizado:
S
passa- baixas :  A 
P
P
passa- altas:  A 
S
Projeto por Especificações
(cont.)
 Si2   P1 P 2
passa- faixa :  Ai 
, para i = 1,2
 Si ( P 2   P1 )
 Si ( P 2   P1 )
rejeita- faixa :  Ai  2
, para i = 1,2
 Si   P1 P 2
Projeto por Especificações
(cont.)

3) Determinação da ordem; para passa-faixa
e rejeita-faixa, pega-se o menor dos Ai :
– Butterworth:
– Chebychev:
 100,1. Rs  1 

log10  0,1. R p

10

1


N
2log10  A
cosh1
N
100,1. Rs  1
10 p  1
cosh1  A
0 ,1. R
Projeto por Especificações
(cont.)

4) Exclusivamente para Butterworth:
 4.a) achar freqüência de 3dB:
0 

A
2N
100,1Rs 1
4.b) voltar ao modelo analógico:
passa- baixas : C 
0
P
P
passa- altas: C 
0
Projeto por Especificações
(cont.)
passa- faixa :
C1 
C 2 
0 2
4
0 2
4
( P 2   P1 )   P1 P 2 
2
( P 2   P1 )   P1 P 2 
2
0
2
0
2
( P 2   P1 )
( P 2   P1 )
rejeita- faixa :
C1
 P 2   P1  ( P 2   P1 ) 2  40 2 P1 P 2

20
C 2
 P 2   P1  ( P 2   P1 ) 2  40 2 P1 P 2

20
Projeto por Especificações
(cont.)


4.c) Voltar ao domínio digital:
2
1
ci  tan Ci

onde, para filtros passa-faixa e rejeita-faixa,
i=1,2.
Filtro Notch Digital

Estrutura básica de segunda ordem:
z  2 cos  n  1
H ( z)  2
2
z  2  r  cos  n  r
2