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MATEMÁTICA(parte 01)
Prof. Daniel Almeida
MATEMÁTICA:
x
ULTIMO EDITAL: 1. Números inteiros, racionais e reais;
problemas de contagem. 2. Razões e proporções; divisão
proporcional; regras de três simples e composta;
porcentagens. 3. Equações e inequações de 1º e 2º
graus;
Sistemas
Lineares.
Funções,
Gráficos.
4.Seqüências numéricas. 5. Funções exponenciais e
logarítmicas. 6. Noções de probabilidade e estatística.
x
x
x
[ [ ĺ R WULSOR GH XP Q~PHUR PDLV VXD
metade;
[í[ĺDWHUoDSDUWHGHXPQ~PHURPHQRVR
seu quíntuplo;
[ð[íĺRTXDGUDGRGHXPQ~PHURPDLVR
seu triplo menos dois;
x² - \ð ĺ D GLIHUHQoD GR TXDGUDGR GH GRLV
números.
Propriedades gerais da potenciação
OPERAÇÕES BÁSICAS
x
Regra de sinais
VLQDLVLJXDLVĺpositivo;
í íVLQDLVGLIHUHQWHVĺQHJDWLYR
íí VLQDLVLJXDLVĺSRVLWLYR
Lembrar que a regra de sinais só é utilizada para
multiplicação e divisão.
x
x
A ordem na resolução de expressões numéricas
x
žRVSDUrQWHVHVĺ
žRVFROFKHWHVĺ>]
žDVFKDYHVĺ^`
Quanto aos sinais, também precisamos obedecer a
ordem correta entre eles:
x
x
x
ĺ VLQDLV LJXDLV VRPD-se e
conserva-se o sinal;
íí ĺQRWHTXHDRSHUDomRUHVXOWDHP
sinais iguais, então aplicamos a regra anterior;
í í D RSHUDomR WDPEpP UHVXOWD HP
sinais iguais, então aplicamos a mesma regra;
í í í D RSHUDomR UHVXOWD HP VLQDLV
diferentes, então subtrai-se e conserva-se o
sinal do valor de maior módulo.
Na multiplicação e divisão:
x
x
x
x
î ĺVLQDLVLJXDLVĺSRVLWLYR
íî íĺVLQDLVGLIHUHQWHVĺQHJDWLYR
·í íĺVLQDLVGLIHUHQWHVĺQHJDWLYR
í·í VLQDLVLJXDLVĺSRVLtivo.
3
2+3
5
§a·
¨ ¸
©b¹
n
=
an
bn
§2·
¸
©3¹
E(QWmR ¨
3
=
23
33
=
8
27
x
x
x
0
0
0
a = 1, logo: 1 = 1 ; 2 ĺTXDOTXHUQ~PHUR
não nulo, elevado a zero é igual a um;
1
1
1
a = a, então: 1 = 1; 2 ĺTXDOTXHUQ~PHUR
elevado a um é igual a ele mesmo;
a
±n
=
1
an
-5
DORJR =
1
25
=
1
ĺTXDQGR
32
um expoente é negativo, invertemos a base e o
sinal do expoente.
Em algumas situações precisamos apenas saber se um
número natural é divisível por outro número natural, sem
a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste
caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de
divisibilidade.
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina
em 0, 2, 4, 6 ou 8
x + x = 2x
x × x = x²
[í[ x÷x=1
Exemplo: 10, 32, 1.408
Transformando a linguagem numérica em escrita
x
x
x
x
x
2
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Operação com incógnitas
x
x
x
x
n+m
Lembretes
Na adição e subtração:
x
m
ĺ QRWH TXH WDQWR R numerador quanto o
denominador estão elevados ao mesmo
expoente.
žPXOWLSOLFDomRHGLYLV}HVĺîH·
žDGLo}HVHVXEWUDo}HVĺHí
x
n
. Logo 2 · 2 = 2 = 2 = 2 × 2 ×
a ·a =a
îî ĺQDPXOWLSOLFDomRGHSRWrQFLDV
de mesma base, conservamos a base e
somamos os expoentes;
n
m
QíP
3
2
í
1
. Então 2 ÷2 = 2 = 2 = 2 ĺ
a ÷a =a
na divisão de potências de mesma base
conservamos a base a subtraímos os
expoentes;
m n
m n
2 3
2x3
6
(a ) = a · . Logo: (2 ) = 2 = 2 = 2 × 2 × 2
î î î ĺ QD SRWrQFLD GH SRWrQFLD
multiplicamos os expoentes;
n
n
n
2
2
2
(a × b) = a · b . Logo: (2 × 3) = 2 · 3 = 4 × 9
ĺ REVHUYH TXH R SULPHLUR H R VHJXQGR
valor estão elevados ao mesmo expoente.
[ĺRGREURGHXPQ~PHUR
[ðĺRTXDGUDGRGHXPQ~PHUR
[í\ĺDGLIHUHQoDGHGRLVQ~PHURV
[·\ĺRTXRFLHQWHHQWUHGRLVQ~PHURV
[î\ĺRSURGXWRGHGRLVQ~PHURV
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus
algarismos produz como resultado um número múltiplo de
3.
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
1
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Exemplo:
36
(3 + 6 = 9)
147
(1 + 4 + 7 = 12)
MATEMÁTICA(parte 01)
64 ± 2 = 62
MÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc)
Divisibilidade por 4
Um número é divisível quando os 2 últimos números
formam um número divisível por 4.
Exemplo: 840
1.232
987.624
(40 é divisível por 4)
(32 é divisível por 4)
(24 é divisível por 4)
Dois ou mais números naturais sempre têm divisores
comuns, mesmo que esse divisor seja 1.
Vamos encontrar os divisores comuns de 30 e 60
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou
5
Exemplo: 20, 45, 1.355.
MINIMO MULTIPLO COMUM (mmc)
NÚMEROS PRIMOS
Denominamos números primos todos os números
naturais divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos.
Números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...}
Dois ou mais números naturais sempre têm múltiplo
comuns a eles.
Vamos encontrar os múltiplos comuns de 4 e 6.
4,6 2
CUIDADO!!
O número 1 não é primo.
2,3 2
1,3 3
1 6
FATORAÇÃO
Fatorar significa escrever uma expressão algébrica na
forma de um produto de expressões o mais simples.
Exemplos:
1. ax + ay = a.(x + y)
2. bx + by ± bz = b.(x+y-z)
3. 49 = 7.7 = 7²
5
4. 32 = 2 . 2. 2. 2. 2. = 2
4
5 1.296 = 6 x 6 x 6 x 6 = 6
Os múltiplos comuns de 6 são 0, 6, 12, 18, 24....
Os múltiplos comuns de 4 são 0, 4, 12, 16, 20, 24...
Observe que os múltiplos comuns de 4 e 6 são 0, 12,
24... Dentre estes, diferentes de zero, 12 é o menor.
Então, nós o denominamos de mínimo múltiplo comum
de 4 e 6 e representamos por: m.m.c. (4,6) = 12
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
As expressões numéricas são expressões matemáticas
que envolvem números. Devemos lembrar de que existe
uma ordem para resolvermos qual quer expressão
numérica. Resumidamente:
FIXAÇÃO:
1. Calcule o mínimo múltiplo comum dos números:
a) (3, 4, 6)
b) (2, 4, 8)
1) Parênteses
2) Colchetes
3) Chaves
4) Potência ou Radiciação
5) Multiplicação
6) Soma ou Subtração
c) (3, 6, 9)
d) (4, 8,10)
e) (6, 15, 18)
f) (12, 18, 24)
Veja o exemplo abaixo:
[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / 1 ± 2=
[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 1 ± 2 =
[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 1 ± 2 =
[6 + 60 - 2] / 1 ± 2 =
64 / 1 ± 2 =
2. Encontre o máximo divisor comum dos números
a) (16, 18, 20)
b) (15, 20, 30)
c) (14, 21, 28)
d) (14, 28, 35)
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03. (PUC-COPEL-2008) Numa estação rodoviária, sai um
ônibus para uma cidade A, a cada 30 minutos, e um
ônibus para uma cidade B, a cada 50 minutos. Os ônibus
saem juntos pela primeira vez às 6 horas da manhã. A
próxima saída conjunta ocorre às:
d)
MATEMÁTICA(parte 01)
7
fração decimal
100
Frações equivalentes: são frações que representam a
mesma parte de um todo, como o próprio nome já diz,
são equivalentes.
A) 8h30 min
B) 8h
C) 6h20 min
D) 12h
E) 6h20 min
FRAÇÕES
O que é uma fração?
Fração é um número que exprime uma ou mais partes
iguais em que foi divido uma unidade ou inteiro.
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a
dividirmos em quatro partes iguais, cada parte
representará uma fração da pizza.
Simplificação de frações: Para simplificarmos uma
fração, devemos dividir o numerador e o denominador por
um mesmo número inteiro. Observem comparando com
os quadradinhos acima.
a)
b)
Outros exemplos:
a)
Qual o significado de uma fração?
Uma fração significa dividir algo em partes iguais.
Seja então a fração
1
Chamamos
4
b)
3
não
4
é possível a simplificação, por isso, é uma
fração irredutível.
1 o numerador da
Tipos de fração:
fração e 4 o denominador da fração.
Fração Decimal: quando o denominador da fração for
igual a 10 ou múltiplo de 10.
Fração Ordinária: é quando o denominador for um
número diferente de 10 e seus múltiplos.
Exemplos:
- Fração própria: é aquela que o numerador é menor
que
o
denominador.
Ex:
- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior
ou igual ao denominador.
a)
1
fração ordinária
8
b)
4
fração ordinária
5
a)
3
fração decimal
10
b)
c)
( 7<9 )
Exemplo:
15
4
e
4
4
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FIXAÇÃO:
não-nulo. Entre dois números racionais quaisquer
existem infinitos números racionais. Representamos esse
conjunto por meio de uma característica comum a todos
os elementos:
1. Efetue as seguintes operações fracionárias:
a)
2 8
5 7
b)
3 11
7 7
c) 2 +
d)
Q={x|x=
p
q
*
, p Z e q Z }
Observação: Verifique que todo número inteiro também é
racional. Porque ?
5
9
Exemplos:
1 4 3 6
, , ,
2 2 4 7
- Números Irracionais ( I ):
4+ 1- 7=
5 3 8
Existem números que não podem ser escritos na forma
e)
3 × 49 × 25 × 12 =
5 18 14 7
de fração, como por exemplo
2 H ʌ . Estes números
formam o conjunto dos números irracionais I, e todo
número pertencente a este conjunto é chamado de
número irracional.
f)
3 × 1 - 3+ 4 ÷8+ 1 =
2 4 8 10 5 4
Números Reais (IR):
02. Transforme em fração e simplifique:
A junção dos números racionais Q e dos números
irracionais I, formam o conjunto dos números reais IR.
a) 1,2
Simetria ou oposto
b) 3,24
Exemplo: + 3 é -3 (+3 é oposto de -3)
* A soma de dois opostos é zero (0)
c) 0,03
d) 0,004
PROPRIEDADES
e) 2,88
Propriedades da adição dos naturais
x
Fechamento: A soma de dois números naturais
é um numero natural.
f) 7,32
x
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Associativa: A adição de três parcelas pode ser
feita associando-se as duas primeiras ou as
duas últimas parcelas, indiferentemente.
Exemplo: (5+13) + 4 = 5 + (13+4)
- Números Naturais (IN )
Foram os primeiros números a surgir
necessidade dos homens em contar objetos.
devido
à
x
Comutativa: A ordem das parcelas não altera a
soma.
IN = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ... }
Exemplo:
- Números Inteiros ( Z )
Se juntarmos os números naturais aos números inteiros
negativos formamos o conjuntos dos números inteiros.
Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 ,...}
x
4 8 12½
¾4 8 8 4
8 4 12¿
Elemento neutro: No conjunto dos números
naturais, zero é chamado de elemento neutro da
adição.
Exemplo: 5 + 0 = 5
Propriedades da multiplicação dos naturais
- Números Racionais ( Q )
A motivação para a criação dos números racionais foi a
necessidade de efetuar medidas. O conjunto dos
números racionais é formado por todos os números que
podem ser escritos na forma de fração, com denominador
x
Fechamento: O produto de dois números
naturais é sempre um numero natural.
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x
Associativa: Numa multiplicação de três
fatores, podem-se associar aos dois primeiros
ou os dois últimos, indiferentemente.
Exemplo
(4 u 5) u 2
4 u (5 u 2)
x
4 u (5 u 2)
Comutativa: A ordem dos fatores não altera o
produto.
7u4
4u7
28½
¾7 u 4
28¿
Distributiva da multiplicação em relação à
adição (ou subtração): O produto de um
número por uma soma (ou diferença) pode ser
obtido multiplicando-se o número por cada um
dos termos da soma (ou diferença) e
adicionando-se (ou subtraindo-se) os produtos
parciais. Observe essa propriedade nos
exemplos seguintes:
9 u (3 2) 9 u 5 45
½
¾9 u (3 2)
9 u 3 9 u 2 27 18 45¿
Exemplo: 3×3
RAZAO E PROPORÇÃO
0 , ao quociente
a
. Também representamos este quociente
b
por a:b.
Exemplo:
1RWDQTXHGRPHXYHtFXOR³IOH[´HXFRORFROLWURVGH
gasolina e 30 litros de álcool a cada abastecimento. Ou seja,
em uma razão de
20
30
2
. Concluímos que para cada 2
3
litros de gasolina colocamos 3 litros de álcool no tanque.
Proporção: É uma igualdade de duas razões.Dizemos que a
está para b assim como c está para d quando
9u3 9u 2
a
b
c
d
, ou
seja, a,b,c,d (nesta ordem) formam uma proporção.
Propriedade fundamental:
Elemento inverso
-1
f) 20 ÷ 4 + 6 ÷ 3 + (3 × 4 ± 9 × 1) ² =
Chama-se razão entre dois números racionais a e b FRPE
4u7
É importante lembrar que, se num produto de três os
mais fatores um deles for zero, o produto será igual a
zero:
Exemplo: 3 × 0 × 5 = 0
x
5
d) 21 ÷ 7 + (5 × 1 ± 2 × 2) + 10 =
e) [(5 + 12) ± 6]² + 45 ÷ 5 + 1 =
20 u 2 40½
¾(4 u 5) u 2
4 u 10 40 ¿
Exemplo:
x
c) (4 × 2 ± 3 × 1)² + 18 ÷ 9 + 24 ÷ 4 =
§1·
= 3× ¨ ¸ = 1
©3¹
a.d = b.c
Exemplo: 1,2,3,x são proporcionais nesta ordem. Calcule o valor
de x.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
Dizemos que um número racional é aquele que pode ser
representado na forma de fração
n
onde n (numerador)
d
e d (denominador) são números inteiros, com
denominador diferente de zero, pois não existe divisão
por zero.
1
Exemplo 0,01 =
100
3
0,75 =
4
1
2
3
x
(Utilizando a propriedade acima)
Temos que:
1.x = 2.3
Logo:
X=6
0,333..=
1
3
FIXAÇÃO:
1. Encontre os valores das expressões:
APLICAÇÕES
Entre as aplicações práticas de razões, as mais comuns
são
Velocidade média
A velocidade média em geral é uma grandeza obtida pela
razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto.
a) (2 × 3 ± 4)² + 10 ÷ 5 =
b) [16 ÷ 8 + (4 ÷2 + 2 × 1)²] ± 5 =
Velocidade Média =
Distância percorrida
Tempo gasto
no percurso
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MATEMÁTICA(parte 01)
DIVISÃO PROPORCIONAL
Exemplo:
Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2 horas.
A velocidade média do carro neste percurso é calculada a
partir da razão:
120 km
2 horas
Velocidade Média =
O que significa que, que sua velocidade é
Ex:
Dividir 100 reais em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
120
2
= 60݇݉/݄.
Escala
Escala é a comparação da razão entre o comprimento
considerado no desenho e o comprimento real
correspondente, ambos na mesma unidade de medida.
Comprimento do desenho
Comprimento real
Escala =
Exemplo:
Em um desenho, um comprimento de 8m está
representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer
esse desenho?
16
Sabemos que ao somar as 3 partes deveremos
obter 100 reais,ou seja:
A + B + C = 100
Como A é proporcional a 2, B é proporcional a 3 e C é
proporcional a 5, podemos dizer que:
A = 2k
B = 3k
C = 5k
Assim substituindo na equação inicial temos:
2k + 3k + 5k = 100
10k = 100
k = 10
Finalmente,
A = 20
B = 30
C = 50
16 cm
800 cm
Escala =
Utilizamos divisão proporcional quando queremos dividir
uma quantia qualquer em partes proporcionais a valores
pré-determinados.
1
A escala é
= , o que significa que as medidas no
800
50
desenho são 50 vezes menor do que as medidas reais.
FIXAÇÃO:
01. (CESGRANRIO 2006) O Município de Juriti, no Pará,
tem 35 mil habitantes. A razão entre o número de
habitantes que moram na cidade e os que vivem nas
diversas comunidades ao seu redor é igual a 2/5.
Quantos são os habitantes do Município de Juriti que
moram na cidade?
a) 5.000
b) 10.000
c) 14.000
d) 20.000
e) 25.000
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais
quando, a razão entre elas é constante, isto é aumentando
uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas a e b são inversamente proporcionais
quando, o produto entre elas é constante, isto é
aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão
da primeira.
FIXAÇÃO:
02. (FAE-COPEL-2009) Dois números são tais que o
primeiro está para o segundo assim como 3 está para 4.
Sabendo que a soma dos dois números é 42, é correto
afirmar que
01. (CEFET) Um pai resolveu dar um presente de natal
diferente para os seus filhos; Ana com 5 anos, Carlos
com 7 anos e Joana, 8 anos. Deixou sob a árvore
enfeitada um envelope contendo R$ 560,00 e um bilhete
que dizia que esse dinheiro deveria ser dividido pelos
seus filhos proporcionalmente às suas respectivas
idades. Quais os valores recebidos pelos filhos?
a) a diferença entre o maior e o menor é 12.
b) o produto entre eles é 430.
c) o máximo divisor comum entre eles é 6.
d) o mínimo múltiplo comum entre eles é 36.
e) o menor é divisível por 12.
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REGRA DE TRÊS SIMPLES
Existem alguns problemas que envolvem duas grandezas
diretamente, ou inversamente proporcionais que podem ser
resolvidos através de um método pratico chamado regra de
três simples.
Método para solução de uma regra de três simples.
Ex: Uma fábrica de pneus produz 4500 pneus a cada 3
dias. Quantos dias serão necessários para produzir 3000
pneus?
1º Posicione as grandezas em razões. Fique atento para as
unidades; elas devem se apresentar no mesmo sistema.
PNEUS
4500
3000
DIAS
3
X
2º Verifique se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais, posicionando setas ao lado
dessas grandezas; orientadas no mesmo sentido para as
grandezas diretas e, em
sentidos opostos para as
grandezas inversas.
MATEMÁTICA(parte 01)
FIXAÇÃO:
01. Uma olaria fabrica 2560 tijolos em 8 dias. Quantos dias
seriam necessários para fabricar 960 tijolos?
a) 2 dias
b) 3 dias
c) 5 dias
d) 5 dias
e) 6 dias
02. Seis pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo
levarão 18 pedreiros para fazer o mesmo muro?
a) 12 horas
b) 24 horas
c) 48 horas
d) 96 horas
e) 72 horas
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
É um processo para resolver problemas envolvendo mais de
duas grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Método para solução de uma regra de três composta
Importante:
Faça esta operação sem envolver os valores, pensando
somente nas grandezas, assim você não será induzido a
nenhum erro.
NÃO ENVOLVA OS VALORES NESTA ANÁLISE.
G.D.P. (Grandezas diretamente proporcionais)
Mais dias - consequentemente mais pneus.
3º Caso as grandezas sejam diretas as setas estão orientadas
no mesmo sentido, então passe ao próximo item. Caso as
grandezas sejam inversas as setas estão invertidas, desta
forma, inverta uma das razões para que as setas tenham
mesmo sentido, e vá para o próximo item.
4º Temos então duas razões e, entre elas uma igualdade, logo
estamos diante de uma proporção que será resolvida usando a
propriedade fundamental, isto é, o produto dos extremos igual
ao produto dos meios.
x
3.3000
4500
2 dias
1º Posicione as grandezas em razões. Fique atento para as
unidades; elas devem se apresentar no mesmo sistema
MINEIROS
15
20
PNEUS _______________ DIAS
4500
3000
Ex: Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 5 toneladas
de carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 mineiros, em
quanto tempo serão extraídas 10 toneladas de carvão?
3
x
DIAS
30
X
TONELADAS
5
10
2º Relacione cada uma das grandezas, em separado, com a
variável onde aparece a incógnita.
MINEIROS
15
20
DIAS
30
X
TONELADAS
5
10
3º Iguale a razão que contém a variável com o produto das
demais; invertendo as razões que estão contrárias a razão da
variável.
30
x
20 5
.
15 10
30
x
100
150
100 x
x
4500
45 dias
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7
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FIXAÇÃO:
01. 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes
em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão
necessárias para confeccionar 2160 uniformes em 24
dias?
a) 8 máquinas
b) 10 máquinas
c) 12 máquinas
d) 14 máquinas
e) 16 máquinas
MATEMÁTICA(parte 01)
03. Uma máquina depois de usada sofre uma
desvalorização de 12% e é então avaliada em R$
1760,00. Qual era o valor dessa máquina antes de ser
usada?
a) R$ 3.308,00
b) R$ 2.400,00
c) R$ 2.000,00
d) R$ 1.548,00
e) R$ 1.466,66
02. (SANEPAR-2008)
Um funcionário fez 1/4 de um
serviço em 3 dias, trabalhando 6 horas por dia. Para
concluir o serviço em mais 6 dias, ele deverá trabalhar
04. Sobre o preço de um carro importado incide um
imposto de importação de 30%. Em função disso o seu
preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo
que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em
reais, o novo preço do carro para o importador?
a)
b)
c)
d)
e)
a) R$ 22.500,00
b) R$ 24.000,00
c) R$ 22.350,00
d) R$ 31.200,00
e) R$ 39.000,00
9,5 horas por dia.
9 horas por dia.
8,5 horas por dia.
8 horas por dia.
7,5 horas por dia.
PORCENTAGENS
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Podemos definir porcentagem como sendo qualquer
razão cujo denominador é 100. O seu símbolo é o %.
Simplificando, quando dizemos 10% estamos falando em
10 partes de 100, ou seja,
10
100
10% .
Exemplo:
Calcular 15% de 60.
15
.60
100
900
100
Equação é uma expressão que apresenta uma igualdade
com o zero (ou um número qualquer), ou com uma outra
expressão.
Uma equação do 1º grau apresenta apenas variáveis (x)
com expoente 1, e a igualdade só é verificada para
determinados valores, denominados raízes, para o caso
de uma equação do 1º grau com uma variável teremos
uma única raiz.
Solução de uma equação do 1º grau com uma
variável.
9
FIXAÇÃO:
01. (PM-2005) Um administrador municipal promoveu
uma consulta à população com o objetivo de obter
subsídios para o projeto do orçamento do próximo ano.
Das pessoas consultadas, 4392 responderam que a
maior prioridade deveria ser dada à segurança pública.
Sabendo que estas constituíam 24% do total de pessoas
consultadas, calcule esse total.
a) 18.300.
b) 17.860.
c) 16.120.
d) 13.600.
e) 10.540.
Para determinar a solução de uma equação do 1º grau
com uma incógnita, basta isolar os valores
acompanhados pelas variáveis no primeiro membro da
igualdade e, no segundo membro agrupamos os valores
numéricos. Para estas operações devemos, quando
alterar um valor de membro, aplicar as operações
inversas que são:
Adição l Inversa l Subtração
Multiplicação l Inversa l Divisão
Potenciação l Inversa l Radiciação
Exemplo:
Encontrar as raízes das equações abaixo
a)
5x
02. Em uma liquidação, os preços dos artigos de uma
loja são reduzidos em 20% do seu valor. Terminada a
liquidação e pretendendo voltar aos preços originais, de
que porcentagem devem ser acrescidos os preços da
liquidação?
a) 27,5%
b) 25%
c) 22,5%
d) 21 %
e) 20%
20
x
20
5
x
4
b)
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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BANCO DO BRASIL E CAIXA ECONÔMICA FEDERAL
MATEMÁTICA(parte 01)
Prof. Daniel Almeida
2x 5 4x 3
2x 4x 3 5
Solução de um sistema de duas equações e duas
variáveis.
2x
Apresentaremos a seguir dois métodos diferentes.
1 Adição
2
2
2
x
Este método consiste em eliminar uma das incógnitas,
somando membro a membro as duas equações. Neste
método é necessário que os coeficientes de uma das
incógnitas sejam opostos.
x 1
Ex:
­x y 5
®
¯x y 1
FIXAÇÃO
01. A solução da equação 5(x+3) ± 2(x -1) = 20 é:
a) 0
b) 1
c) 3
d) 9
3 7
8 6
d)
é:
1
24
1
48
6
2
3
Substitui o valor de x em uma das equações do sistema
e encontra o valor de y.
y=5±3=2
Extensão do método da adição
x3
7
x 1
4
é
3
5
5
b)
3
3
c)
5
5
d)
3
a)
Se os coeficientes de uma das variáveis não são
simétricos, podemos multiplicar as equações pelos
coeficientes permutados, lembrando que, se existir a
necessidade troque o sinal de um dos valores a ser
multiplicado para que os novos coeficientes sejam
opostos.
Solução:
Exemplo:
­ 2 x 3 y 13
2. ­ 2 x 3 y 13
Ÿ
®
®
¯ 4 x 5 y 7
¯ 4 x 5 y 7
SISTEMAS LINEARES
Uma equação do primeiro grau com duas variáveis
admite infinitas soluções, então para que se tenha
solução é necessário uma outra equação. Logo para
cada variável apresentada na equação devemos possuir
uma equação, isto é, se a expressão possui duas
variáveis, precisamos de duas equações.
a) x + y = 6 Ÿ Infinitas Soluções
­x y 5
Ÿ
®
¯x y 1
6
x+y=5
3+y=5
03. A raiz da equação
b)
2x
x
a) 0
b) 1
c)
______________
x
1
02. A solução da equação 1 x
2
+
­ 4 x 6 y
®
¯ 4 x 5 y
26
+
7
________________
11 y
y
y
33
33
11
3
Substitui-se o valor de y em qualquer equação:
Solução no conjunto dos reais
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2 x 3 y 13
2 x 3.3 13
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03. A solução do sistema
2 x 13 9
4
2
x
2
S {2,3}
­2 x y 3
®
¯x y 3
a) (1,1)
b) (2,1)
c) (1,2)
d) (1,0)
2 Substituição
Este método consiste em isolar uma das variáveis de
uma das equações, e substituir o valor encontrado na
outra equação:
Ex:
04. Numa sala há tamboretes de 3 pernas e cadeiras de
4 pernas. Sendo 43 o número total de pernas e 12 o
número total de cadeiras e tamboretes, determine o
número de cadeiras
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
­x y 7
®
¯2 x 4 y 22
Solução:
Isolando y na primeira equação:
y
7x
Substitui-se o valor de y na segunda equação
2 x 4 y 22
2 x 4(7 x) 22
2 x 28 4 x 22
2x
2x
22 28
6
x
6
2
y
y
y
7x
73
4
3
FIXAÇÃO:
01. Resolva o sistema:
­x 2 y 7
®
¯4 x y 10
a) x = 5 e y = 7
b) x = -3 e y = -2
c) x = -3 e y = 2
d) x = 3 e y = 2
e) x = 3 e y = -2
02. Resolva o sistema:
a) x = 4
b) x = 3
c) x = 2
d) x = 1
e) x = 0
e
e
e
e
e
­2 x 5 y
®
¯3x 2 y
9
4
y=3
y=2
y=1
y=0
y=1
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