Licenciatura em Engenharia Civil
MECÂNICA II
2º Ano / 1º Semestre
Folha 6
2002/2003
DINÂMICA DO SISTEMA DE PARTÍCULAS
1. É dado um sistema de partículas de massas mA = 1 kg, mB = 2 kg e mC = 3 kg. Os vectores
r
r
de posição relativamente à origem são: r A = ( t ; t 2 ; t ) (m;s), r B = ( 2 ⋅ t 3 ; t 2 ;1 ) (m;s) e
r
rC = (1;2 ; t ) (m;s). Determine para t = 2 s:
a) as coordenadas do centro de massa do sistema;
b) o vector velocidade do centro de massa;
c) o vector aceleração do centro de massa;
d) a resultante do sistema de forças que actua sobre o sistema;
e) o momento de inércia do sistema em relação a uma recta que passa pelo ponto que
ocupa a partícula A e pelo ponto que ocupa a partícula C nesse instante;
f)
o momento cinético em relação à origem das coordenadas.
2. Uma bala de 200 g de massa é disparada na direcção horizontal, passa através do bloco 1 e
crava-se no bloco 2. Os blocos têm 2 kg de massa e a bala causa-lhes um movimento com uma
velocidade de 5 m/s. Admitindo que não existe atrito entre os blocos e o solo determine:
a) a velocidade inicial da bala;
b) a velocidade da bala entre o bloco 1 e o bloco 2.
vb
V1
V2
Bloco 1
Bloco 2
3. Dois pequenos discos A e B, de massas 2 kg e 1 kg, respectivamente, podem deslizar sobre
uma superfície horizontal e sem atrito. Estão ligados por uma corda de massa desprezável e
giram em torno do centro de massa comum G. Quando t = 0 s, as coordenadas de G são (0; 1,6)
m e a sua velocidade é (1,5; 1,2) m/s. Pouco tempo depois, a corda parte-se e o disco A movese segundo uma trajectória paralela ao eixo OY e a uma distância a = 1,96 m deste eixo.
Sabendo que, inicialmente, o momento angular dos dois discos, em relação a G era 3 kgm2/s no
sentido anti-horário e que a sua energia cinética total em relação ao centro de massa do sistema
era 18,75 J. Determine:
a) as velocidades de A e B após a corda se partir;
b) a abcissa do ponto B’ onde a trajectória de B intersecta o eixo OX.
y
a
r
va
A
A
yo
G
r
vo
B
B
r
vb
O
B'
x
b
4. Uma esfera B de massa 2 kg encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal a 10 m
duma parede rígida C. Uma segunda esfera A de 10 kg de massa, movendo-se com uma
velocidade de 10 m/s, efectua uma colisão frontal com B que em seguida colide com a parede C.
Supondo todos os choques elásticos determine:
a) a que distância da parede C se dará a segunda colisão entre A e B;
b) qual a velocidade de B depois desta segunda colisão.
C
A
B
5. Considere que os veículos 1 e 2 representados na figura, cujas massas são, respectivamente,
m1 = 1,5 ton e m2 = 2 ton, se movem segundo duas direcções ortogonais com velocidades v1 =
10 m/s e v2 = 6 m/s e chocam entre si. Admitindo que após o choque os dois veículos se movem
em conjunto determine:
a) a direcção e a grandeza da velocidade comum;
b) a velocidade (grandeza e direcção) do centro de massa do sistema antes da colisão;
c) a energia cinética antes e após a colisão.
V
v1
m1 + m2
m1
m2
Antes
v2
Depois
6. Uma esfera de massa mA = 2 kg move-se sobre uma superfície perfeitamente lisa com a
r
velocidade v Ai = ( 2 ;0 ) m/s e colide com outra esfera de massa mB = 1 kg cuja velocidade é
r
v B = ( 0 ;3 ) m/s, depois do choque, que se supõe central, a esfera A têm uma velocidade
r
v Af = (1;1 ) m/s. Sabendo que as superfícies das esferas em contacto são perfeitamente lisas e
sem atrito, determine a velocidade final da esfera B e o coeficiente de restituição.
r
7. Uma granada com 10 kg de massa desloca-se com velocidade v 0 = (12 ; −10 ; −400 )( m / s )
Explode no ponto D em três fragmentos A, B e C, que têm massas, respectivamente, de 2 kg,
3 kg e 5 kg. Sabendo que os fragmentos atingem a parede vertical nos pontos indicados,
determine (desprezando o efeito da gravidade):
a) A velocidade de cada fragmento imediatamente depois da explosão;
b) O trabalho realizado pelas forças internas durante a explosão.
8. Quando a corda que liga os pontos materiais A e B é rompida, a mola comprimida compele os
pontos materiais A e B a voarem separadamente (a mola não está presa aos pontos materiais).
A energia potencial da mola comprimida é conhecida e vale 40 J, e o conjunto tem uma
velocidade inicial v0 = 8 m/s como é mostrado. Se a corda se rompe quando α = 20º, determine a
velocidade resultante de cada ponto material. O peso dos pontos materiais é respectivamente de
15 N e 20 N.