Transformações de
Pontos
Computação Gráfica
Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi
Aluna: Karina da Silva Salles
Sumário
Motivação
 Definição
 Translação
 Escala
 Rotação
 Reflexão
 Shearing
 Referências

Motivação

Transformações Geométricas (TG) são a
base de inúmeras aplicações gráficas,
podendo
estar
desde
em
simples
programa para representar layouts de
circuitos eletrônicos; em programas de
planejamento de cidades; ou mesmo em
sistemas de software sofisticados que
permitem a construção de cenas realistas.
Definição

Uma transformação de coordenadas da forma:
v’ = A .v + b,
é denominada uma transformação “afim”. Neste
caso, as coordenadas (x’, y’) do vetor v’, que
definem um ponto no espaço, são uma função
linear de (x, y) do vetor v. A e b são constantes
determinadas pelo tipo de transformação. As
transformações afins têm a função de modificar a
posição dos pontos no espaço, ou dos objetos no
espaço.
Translação (1)

É a alteração da posição de um ponto
através da soma de constantes de
deslocamento as suas coordenadas.
Translação (2)
Cada ponto P(x, y) pode ser movido por
dx unidades em relação ao eixo x, e por
dy unidades em relação ao eixo y.
 Logo, o ponto P’(x’, y’), pode ser escrito
como:
x’ = x + dx
y’ = y + dy

Translação (3)

E se definimos os vetores colunas:
então as expressões podem ser expressas
como:
P' = P + T
Translação (4)

Podemos transladar um objeto, fazendo-o
a todos os seus pontos (o que não é muito
eficiente). Para transladar uma linha
podemos fazê-lo apenas para seus pontos
limites e sobre estes pontos redesenhar a
linha.
Translação (Exemplo)
Escala (1)

A Mudança de Escala corresponde à
multiplicação das coordenadas de um
ponto por valores iguais ou diferentes.
x’ = sx.x
y’ = sy.y
Escala (2)

Ou em forma matricial:

Onde sx e sy são respectivamente os
fatores de escala em relação aos eixos X e
Y.
Escala (3)
É normalmente aplicada sobre todos os
pontos de uma figura com o objetivo de
ampliar ou reduzir a sua dimensão ou
então distorcer a sua forma geométrica.
 Fatores de escala:
> 1: aumentam o tamanho do modelo;
entre 0 e 1: diminuem o tamanho;
< 0: "invertem" o modelo em relação aos
eixos coordenados.

Escala (4)
A escala ocorre sempre em torno da
origem.
 Isto quer dizer que todo o ponto que
estiver sobre a origem permanece nesta
posição após a escala.
 Por outro lado, os pontos que não estão
sobre a origem sofrem um deslocamento
em relação a esta após a operação de
escala.

Escala (Exemplo)
Exemplo com valores ½ para Sx, e ¼ para Sy
Rotação (1)
A rotação é o giro de um determinado
ângulo de um ponto em torno de um
ponto de referência (ponto de origem),
sem alteração da distância entre eles.
A
rotação, como a translação, é
caracterizada por reposicionar os objetos,
sem deformá-los. Deste modo, cada ponto
do objeto é rotacionado de um mesmo
ângulo sobre um mesmo eixo.

Rotação (2)

A rotação é definida matematicamente
por:
x’ = x. cos(α) − y. sin(α)
y’ = x. sin(α) + y. cos(α)
Rotação (3)

Ou em forma matricial:
Rotação (4)
Ângulos positivos a rotação é feita no
sentido anti-horário;
 e ângulos negativos a rotação é feita no
sentido horário.


Observação:


sin(−α) = −sin(α)
cos(−α) = cos(α).
Rotação (5)

A
rotação
por
α
transforma P(x, y) em
P’(x’, y’). Como a
rotação é em relação a
origem, as distâncias
de P e P’ a origem são
iguais.
Rotação (Exemplo)
Reflexão (1)

A
transformação
de
reflexão,
ou
espelhamento, aplicada a um objeto,
produz um objeto que é o espelho do
original. No caso de uma reflexão 2D, o
espelho é gerado relativamente a um eixo
de reflexão rotacionando o objeto de 180°
em torno do eixo de reflexão.
Reflexão (2)

Pode-se aplicar uma reflexão em torno da
linha y = 0 (o eixo x) usando a seguinte
matriz de transformação:
Reflexão (3)

Esta transformação
mantém
as
coordenadas x do
objeto inalteradas,
mas "inverte" os
valores
das
coordenadas
y,
alterando
a
orientação espacial
do objeto.
Reflexão (4)

Analogamente,
poderíamos
definir
uma reflexão em
torno do eixo y, que
"inverteria"
as
coordenadas x do
objeto.
Reflexão (5)

Podemos também definir uma reflexão em
torno de um eixo perpendicular ao plano
xy e passando (por exemplo) pela origem
do sistema de coordenadas, "invertendo"
nesse caso ambas as coordenadas x e y.
Reflexão (6)

A matriz de transformação é dada por:
Shearing (cisalhamento)

É uma transformação que distorce o
formato de um objeto - em geral, é
aplicado um deslocamento aos valores das
coordenadas x ou das coordenadas y do
objeto.
Shearing (2)

Uma distorção na direção x é produzida
com a seguinte matriz de transformação:
Shearing (3)


As coordenadas do objeto são transformadas da
seguinte maneira:
x' = x + shx . y
y' = y
Qualquer número real pode ser usado como
parâmetro. O resultado é que a coordenada (x,y)
é deslocada horizontalmente segundo um valor
proporcional à sua distância ao eixo x. Por
exemplo, se shx é 2, um quadrado será
transformado em um paralelogramo. Valores
negativos deslocam as coordenadas para a
esquerda.
Shearing (4)

Analogamente, pode-se aplicar uma distorção na
direção y, relativa ao eixo x, usando:
que gera as seguintes transformações
posições das coordenadas:
x' = x
y' = y + shy . x
nas
Shearing (5)

Esta
transformação
desloca
as
coordenadas
de
uma
posição
verticalmente
segundo
um
fator
proporcional à sua distância do eixo x,.
Qualquer operação de distorção pode ser
descrita como uma composição de
transformações
envolvendo
uma
seqüência de matrizes de rotação e escala.
Referências

Prof. Dr. André Luiz Battaiola, Apostila do Curso de
Computação Gráfica, Departamento de
Computação, Universidade Federal de São Carlos –
UFSCar;

http://www.dpi.ufv.br/disciplinas/inf390

http://www.inf.pucrs.br/~pinho/CG/Aulas

http://www.dca.fee.unicamp.br/~martino/iniciacao

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat