APÊNDICE
CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA
INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO
(A) TRANSFORMAÇÃO REAL
Seja uma estrutura genérica representada na Fig. 1.
i1
-
+
v1
i2
-
+
v2
i3
-
+
v3
in
-
+
vn
Fig. 1 – Estrutura genérica.
Seja:
 i1 
i 
2
i= 
 i3 
 
i n 
(1)
 v1 
v 
2
v= 
 v3 
 
 v n 
(2)
A potência envolvida é definida genericamente pela expressão (3).
P = vti
(3)
v T = A -1 v
(4)
Seja:
174
APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO
i T = A -1i
(5)
Onde A-1 é uma matriz real n x n.
vT e IT representam os vetores tensão e corrente transformados pela matriz A-1.
Das expressões (4) e (5) obtém-se:
v = Av T
(6)
i = Ai T
(7)
t
v t = vT At
(8)
Levando-se as expressões (7) e (8) na expressão (3) obtém-se:
t
P = v T A t Ai T
(9)
Seja:
t
PT = v T i T
(10)
Assim, para que PT = P é necessário que:
At A = I
(11)
A t = A -1
(12)
ou
Portanto para que a potência seja a invariante, é necessário que a
transformação seja ortogonal.
(B) TRANSFORMAÇÃO COMPLEXA
Quando as variáveis são complexas, a potência é definida pela expressão (13).
∗
P = it v
Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.
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(13)
175
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO
Seja:
v T = A -1 v
(14)
i T = A -1i
(15)
v = Av T
(16)
i = Ai T
(17)
Assim:
t
i t = iT At
t∗
it = iT At
(18)
∗
(19)
Levando-se (19) e (16) em (13) obtém-se:
t∗
∗
P = i T A t Av T
(20)
Como,
∗
PT = i tT v T
(21)
Para que PT = P é necessário que:
∗
At A = I
(22)
ou
∗
A t = A -1
(23)
Portanto quando a transformação é complexa, a matriz que a realiza deve ser
unitária.
A transformação real é um caso particular da transformação complexa. Nesse
caso:
176
APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO
∗
At = At
(24)
A t = A -1
(25)
Assim,
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