IST - 1o Semestre de 2011/12
LEGM, MEC
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
1
FICHA 3 - Transformações Lineares
1
Linearidade
Transformações lineares são funções
T : E1 → E2
entre dois espaços vectoriais E1 e E2 (sobre R ou C) com as seguintes características:
i) T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ E1 .
ii) T (αu) = αT (u), ∀u ∈ E1 , ∀α ∈ K.
A partir destes axiomas pode facilmente mostrar-se que as transformações lineares gozam das seguintes propriedades:
• T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), ∀u, v ∈ E1 , ∀α, β ∈ K.
• T (−u) = −T (u).
• T (0) = 0.
Um exemplo de transformação linear pode ser obtido através da operação de derivação
de funções, dadas as suas propriedades no que concerne à soma e ao produto de funções. Se
considerarmos o espaço P de todos os polinómios, a função D : P → P tal que
Dp (t) = p′ (t) ,
ou mais concretamente
D an tn + ... + a2 t2 + a1 t + a0 = nan tn−1 + (n − 1) an−1 tn−2 + ... + 2a2 t + a1 ,
constitui uma transformação linear entre P e ele próprio.
1
Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1
1.1
Algumas transformações lineares de R2 em R2
Outro exemplo de transformação linear
T : Rn → Rm
é-nos dado pelo produto de uma matriz A, m × n, por um vector coluna x ∈ Rn :
T (x) = Ax.
Entre elas constam as seguintes transformações lineares de R2 em R2 (ver exercícios 8 e 11
da secção seguinte).
1. MUDANÇA DE ESCALA:
Sr (x, y) = (rx, ry) =
r 0
0 r
x
y
.
(ampliação se r > 1, redução se r < 1).
2. ROTAÇÃO EM TORNO DA ORIGEM DE AMPLITUDE θ:
cos θ − sin θ
x
Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) =
.
sin θ cos θ
y
3. REFLEXÃO RELATIVAMENTE ÀS RECTAS y = ±x:
0 ±1
x
R (x, y) = (±y, ±x) =
.
±1 0
y
4. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS xx:
1 0
x
Rx (x, y) = (x, −y) =
.
0 −1
y
5. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS yy:
−1 0
x
Ry (x, y) = (−x, y) =
.
0 1
y
6. REFLEXÃO RELATIVA À ORIGEM:
R0 (x, y) = (−x, −y) =
−1 0
0 −1
x
y
7. PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS xx:
Px (x, y) = (x, 0) =
1 0
0 0
x
y
.
0 0
0 1
x
y
.
8. PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS yy:
Py (x, y) = (0, y) =
2
.
1.2
Exercícios
Exercício 1 T : R4 → R2 é uma transformação linear tal que
T (u1 ) = (1, −1) , T (u2 ) = (1, 2) , T (u3 ) = (−3, −1) .
a) Calcule
i) T (u1 − 2u2 ) . ii) T (3u1 − u2 ) . iii) T (u1 − u2 + 4u3 ) .
b) Determine α e β tais que T (α u1 + β u3 ) = (0, −8) .
Exercício 2 Quais das seguintes transformações são lineares?
a) T (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) .
b) T (x1 , x2 ) = (x1 + 1, x2 ) .
c) T (x1 , x2 ) = (2x21 + x1 x2 , x1 ) .
d) T (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , x1 + 2x2 , x1 + 2x2 + x3 ) .
e) T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 3, x1 + 2x2 + x3 , x2 − 4x3 ) .
f) T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 + x2 − x3 + x4 , x1 + x2 − 3x3 ) .
Exercício 3 Com k, m ∈ R, sejam Tk e Tm as transformações de R3 em R2 dadas, respectivamente, por:
Tk (x, y, z) = (x − y − z, x + y + z) + (k, k) ,
Tm (x, y, z) = xm − y m − z m , y m−1 z .
Para que valores de k e m são Tk e Tm transformações lineares?
Exercício 4 A transformação T : P → P, entre o espaço de todos os polinómios P e ele
próprio, é dada por
T (p (t)) = tp (t) .
a) Calcule T (5 + 4t + 3t2 + 2t3 ) .
b) Mostre que T é uma transformação linear.
Exercício 5 Seja P1 (R) = {a0 + a1 t : a0 , a1 ∈ R} o espaço dos polinómios de grau não
superior a 1. A transformação T : P1 (R) → P1 (R) , entre P1 (R) e ele próprio, é dada por
T (a0 + a1 t) = b0 + b1 t
em que
b0
b1
=
1 −1
−1 1
a0
a1
.
a) Calcule T (1 + 2t) .
b) Determine a0 e a1 tais que T (a0 + a1 t) = 1 − t. E tais que T (a0 + a1 t) = 1 − 2t?
c) Mostre que T é uma transformação linear.
3
Exercício 6 Sejam v1 , ..., vp , vectores de Rn e T : Rn → Rm uma transformação linear.
Mostre que se T (v1 ) , ..., T (vp ) são linearmente independentes então o mesmo sucede a
v1 , ..., vp .
Exercício 7 Seja T : R2 → R a transformação linear definida por T (x, y) = x − y. Dado
E ⊂ R, por T −1 (E) entende-se o subconjunto de R2 ,
T −1 (E) = (x, y) ∈ R2 : T (x, y) ∈ E .
Determine e represente geometricamente:
a) T −1 ({3}) . b) T −1 ({0}) . c) T −1 ([−1, 1]) .
Exercício 8 Seja ∆ ⊂ R2 o triângulo de vértices (1, 1) , (1, −1) e (2, 0) e Cρ ⊂ R2 a
circunferência de centro na origem e raio ρ > 0. Relativamente às transformações lineares
T : R2 → R2 descritas a seguir, determine:
i) T (∆) . ii) T (Cρ ) .
a) Reflexão relativamente ao eixo dos xx.
b) Reflexão relativamente ao eixo dos yy.
c) Reflexão relativa à recta y = x.
d) Reflexão relativa à recta y = −x.
e) Mudança de escala de razão r > 0.
Exercício 9 A transformação linear T : R2 → R2 dada por
x y
,
T (x, y) =
.
2 3
Determine T (E) , onde E designa a elipse de equação
x2 y 2
+
= 1.
4
9
Exercício 10 Com θ ∈ R, a transformação linear Rθ : R2 → R2 dada por
Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) ,
diz-se uma rotação de amplitude θ.
a) Calcule os vectores Rπ/2 (1, 0) , Rπ/2 (0, 1) , Rπ/2 (1, 1) , Rπ/3 (1, 1) . Interprete os resultados geometricamente.
b) Quais das seguintes matrizes representam rotações? Em caso afirmativo indique a respectiva amplitude.
√
√
0 −1
0 1
−√ 2/2 −√2/2
i)
. ii)
. iii)
.
1 0
−1 0
2/2 − 2/2
√
√
−1/2
− 3/2
1/2
3/2
√
. v) √
.
iv)
3/2 −1/2
−1/2 − 3/2
4
c) A composição de duas rotações, Rθ2 ◦ Rθ1 , é uma rotação? Em caso afirmativo, qual a
sua amplitude?
d) Mostre que para qualquer θ ∈ R, Rθ admite inversa. Determine-a.
e) Se Cρ ⊂ R2 for a circunferência de centro na origem e raio ρ > 0, mostre que Rθ (Cρ ) =
Cρ , para qualquer θ ∈ R.
f) Seja ra a recta de R2 cuja equação analítica é y = ax (a = 0) . Qual a equação analítica
da recta Rπ/2 (ra )?
Exercício 11 Seja ∆ ⊂ R3 , o triângulo de vértices (1, 0, 1) , (−1, 1, 0) e (0, 0, 2) . Relativamente às transformações lineares T : R3 → R3 descritas a seguir, determine T (∆) .
a) Reflexão com relação ao plano xOz.
b) Reflexão com relação ao plano yOz.
c) Rotação em torno do eixos dos zz de amplitude π/2.
2
Representação matricial de transformações lineares
Se T : E1 → E2 for uma transformação linear entre E1 e E2 , e estes forem espaços
vectoriais de dimensão finita, então T admite uma representação matricial no sentido que
passamos a descrever.
Sejam B1 = {u1 , ..., un } uma base de E1 (dim E1 = n) e B2 = {v1 , ..., vm } uma base de
E2 (dim E2 = m) . Então com x ∈ E1 temos
x = x1 u1 + ... + xn un
e
T (x) = x1 T (u1 ) + ... + xn T (un ) .
Como tal, as coordenadas de [T (x)]B2 de T (x) na base B2 relacionam-se com as coordenadas
[x]B1 de x na base B1 através de uma matriz [T ]B2 B1 (m × n):
[T (x)]B2 = [T ]B2 B1 [x]B1 ,
em que as colunas de [T ]B2 B1 são as coordenadas na base B2 , [T (u1 )]B2 , ..., [T (un )]B2 , de
T (u1 ) , ..., T (un ) .
No caso de ser E1 = Rn e E2 = Rp , ou seja, quando T : Rn → Rm é uma transformação
linear entre Rn e Rm , os vectores x e T (x) confundem-se com as suas coordenadas nas
correspondentes bases canónicas, En e Em . Assim, em tal caso
T (x) = [T ] x
em que as colunas da matriz [T ] são as coordenadas na base Ep dos vectores T (u1 ) , ..., T (un ) .
5
2.1
Composição de transformações lineares
Com E1 , E2 e E3 espaços vectoriais sobre K (R ou C) sejam T1 : E1 → E2 e T2 : E2 → E3
duas transformações lineares. Então facilmente se observa que a composição de T2 com T1 ,
(T2 ◦ T1 ) (x) = T2 (T1 (x))
é uma transformação linear entre os espaços E1 e E3 .
Se E1 , E2 e E3 forem espaços de dimensão finita tais que
dim E1 = n, dim E2 = m e dim E3 = ℓ,
de bases, respectivamente, B1 , B2 e B3 , T1 admite uma representação matricial através de
uma matriz [T1 ]B2 B1 , m×n, e T2 uma representação matricial por uma matriz [T2 ]B3 B2 , ℓ×m.
Como tal, T2 ◦ T1 terá como representação matricial a matriz [T2 ]B3 B2 [T1 ]B2 B1 (ℓ × n) . Na
verdade,
[(T2 ◦ T1 ) (x)]B3 = [T2 (T1 (x))]B3
= [T2 ]B3 B2 [T1 (x)]B2
= [T2 ]B3 B2 [T1 ]B2 B1 [x]B1 .
2.2
Representação matricial e mudanças de base
Se D1 e D2 forem outras bases, respectivamente, de E1 e E2 a transformação linear
T : E1 → E2 terá uma representação matricial diferente, dada agora por uma outra matriz
[T ]D2 D1 , igualmente m × n.
As matrizes [T ]B2 B1 e [T ]D2 D1 relacionam-se de acordo com o diagrama
MB1 ←D1
[x]B1
↑
[x]D1
[T ]B
B
2 1
−→
−→
[T ]D
[T (x)]B2
↓
MD2 ←B2
[T (x)]D2
2 D1
onde MB1 ←D1 é a matriz de mudança de base D1 para a base B1 e MD2 ←B2 é a matriz de
mudança de base de B2 para D2 . Ou seja,
[T ]D2 D1 = MD2 ←B2 [T ]B2 B1 MB1 ←D1
2.3
Exercícios
Exercício 12 Considere R2 munido da base B = {v1 , v2 } , onde v1 = (1, 2) , v2 = (2, 1) .
Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2
definidas pelas seguintes relações:
a) T (1, 2) = (2, 1) e T (2, 1) = (1, 2).
b) T (1, 2) = (3, 3) e T (2, 1) = (6, 6).
c) T (v1 ) = v1 + v2 e T (v2 ) = 3v1 − 7v2 .
d) T (v1 + v2 ) = 5v1 + v2 e T (v1 − v2 ) = 3v1 − 7v2 .
6
Exercício 13 Considere uma transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1, 3) = (1, 1, 1)
e T (5, 7) = (2, 2, 3)
Determine uma base B2 = {v1 , v2 } de R2 e uma base B3 = {w1 , w2 , w3 } de R3 de forma que
a representação matricial de T nestas bases B2 , B3 seja


1 2
0 1 .
0 0
Exercício 14 Considerem-se as aplicações lineares S : R3 → R2 e T : R2 → R3 definidas
por S (x, y, z) = (3x + y + 4z, x + z) e T (x, y) = (x − 4y, 2x − 5y, 3x − 6y). Determine a
representação matricial de S ◦ T e de T ◦ S nas bases canónicas de R3 e R2 , respectivamente.
Exercício 15 Considere R2 munido da base B = {v1 , v2 } , onde v1 = (0, 2) , v2 = (2, 0) .
Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2 :
a) T é definida por T (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , x1 + 2x2 ) .
b) T é representada na base canónica de R2 pela matriz
a b
.
c d
Exercício 16 B = {v1 , v2 } constitui uma base de R2 , onde v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
a) Qual a representação matricial da transformação linear T : R2 → R2 na base B, se na
base canónica de R2 ela for representada pela matriz
2 1
?
1 2
b) Supondo que T é representada na base B pela matriz
3 2
,
1 2
determine a expressão analítica para T (x1 , x2 ) .
Exercício 17 Com v1 = (0, 2, 0) , v2 = (0, 0, 2) e v3 = (2, 0, 0) , B = {v1 , v2 , v3 } forma uma
base de R3 . Determine as representações matriciais na base B das seguintes transformações
lineares T : R3 → R3 :
a) T é dada analiticamente por T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x1 + x3 , x3 + x2 ) .
b) Relativamente à base canónica de R3 , T

a
 d
g
é representada pela matriz

b c
e f .
h i
7
Exercício 18 Considere a base de R3 , B = {v1 , v2 , v3 } , onde v1 = (1, 0, 0) , v2 = (1, 1, 0) e
v3 = (1, 1, 1) .
a) Sabendo que T : R3 → R3 é uma transformação linear que na base canónica de R3 é
representada pela matriz


1 1 0
 1 0 1 ,
0 1 1
determine a sua representação matricial na base B.
b) Supondo que na base B, T é representada matricialmente pela matriz


1 2 1
 1 0 0 ,
0 1 2
determine analiticamente T (x1 , x2 , x3 ) .
Exercício 19 T : R3 → R2 é a transformação linear dada por
T (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , x3 + 3x2 ) .
Por que matrizes é representada T relativamente à base B1 = {u1 , u2 , u3 } de R3 e B2 =
{v1 , v2 } de R2 nos casos em que:
a) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1) , v1 = (1, 0) , v2 = (0, 1) .
b) u1 = (0, 2, 0) , u2 = (0, 0, 2) , u3 = (2, 0, 0) , v1 = (1, 0) , v2 = (0, 1) .
c) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (1, 1, 0) , u3 = (1, 1, 1) , v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
d) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1) , v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
Exercício 20 Considerem-se as bases B2 = {w1 , w2 } de R2 e B3 = {v1 , v2 , v3 } de R3 , onde
w1 = (2, 1) , w2 = (2, 2) ,
v1 = (1, −1, 0) , v2 = (−1, 1, 1) e v3 = (1, 0, −1) .
Sejam S : R3 → R2 e T : R2 → R3 aplicações lineares tais que
S (v1 ) = w1 + w2 , S (v2 ) = w1 − w2 , S (v3 ) = w1 ,
T (w1 ) = v1 + v2 e T (w2 ) = v2 + v3 .
determine a expressão analítica para T ◦ S (x, y, z).
Exercício 21 Seja T : P2 → P2 definida por T (p (t)) = tp′ (t). Determine a matriz que
representa T na base P2 = {1, t, t2 }.
Exercício 22 Seja T : P2 → P4 definida por T (p (t)) = p (t2 )+p (2) t3 . Determine a matriz
que representa T nas bases P2 = {1, t, t2 }, P4 = {1, t, t2 , t3 , t4 }.
8
Exercício 23 Seja T : P2 → R3 definida por T (p (t)) = (p (−1) , p (0) , p (1)). Determine a
matriz que representa T nas bases canónicas P2 , E3 .
Exercício 24 T : P2 → P3 é uma transformação linear tal que
T (1) = 1 + t, T (t) = 1 + 2t, T t2 = t − t3 .
a) Que polinómio é T (1 − 2t + 3t2 )?
b) Represente matricialmente T com respeito às bases canónicas de P2 e de P3 .
c) Represente matricialmente T relativamente às bases B = {1, 1 + t, 1 + t + t2 } de P2 e
D = {1, 1 + t, 1 + t2 , 1 + t3 } de P3 .
Exercício 25 Seja F : M2×2 (R) → M2×2 (R) dada por
F (A) = A + AT .
a) F é uma transformação linear. Justifique.
b) Por que matriz é representada F relativamente à base canónica de M2×2 (R) ,
1 0
0 1
0 0
0 0
,
,
,
.
0 0
0 0
1 0
0 1
Exercício 26 Seja
A=
a b
c d
uma matriz arbitrária do espaço vectorial M2×2 (R) das matrizes reais 2 × 2. Quais das
seguintes transformações de M2×2 (R) em R, são lineares?
T1 (A) = a + d. T2 (A) = ab − cd. T3 (A) = a + b + c + d. T4 (A) = abcd.
Nos casos afirmativos indique a respectiva representação matricial relativamente à base canónica de M2×2 (R) .
Exercício 27 Considere as transformações D : P3 → P2 e P : P2 → P3 definidas por:
t
′
Dp (t) = p (t) , P p (t) =
p (s) ds,
0
em que p designa um polinómio de P3 .
a) Ambas são transformações lineares. Justifique.
b) Determine as matrizes que representam D e P relativamente às bases canónicas {1, t, t2 }
de P2 e {1, t, t2 , t3 } de P3 .
c) D e P são transformações inversas?
9
3
Núcleo e contradomínio de uma transformação linear
Relativamente a uma qualquer transformação linear T : E1 → E2 entre dois espaços
vectoriais E1 e E2 , facilmente se verifica que o contradomínio de T ou conjunto imagem
Im T = {y ∈ E2 : y = T (x) , x ∈ E1 }
constitui um subespaço de E2 . Sempre que Im T = E2 diremos que T é uma transformação
linear sobrejectiva ou uma sobrejecção de E1 em E2 .
A invertibilidade de T fica então apenas dependente de ser uma transformação injectiva, ou seja de satisfazer a propriedade
x1 = x2 ⇒ T (x1 ) = T (x2 )
(ou de modo equivalente a implicação T (x1 ) = T (x2 ) ⇒ x1 = x2 ). Na verdade, se T for
injectiva então podemos considerar a transformação inversa
T −1 : Im T → E1 ,
ou seja a transformação que satisfaz as relações
−1
T ◦ T (x) = x, ∀x ∈ E1 ,
T ◦ T −1 (y) = y, ∀y ∈ Im T.
Nestas circunstâncias, pode facilmente verificar-se que T −1 é igualmente uma transformação
linear entre Im T e E1 . Quando T for simultaneamente injectiva e sobrejectiva diremos que
T é bijectiva ou uma bijecção entre E1 e E2 .
Para aferirmos da injectividade da transformação T, um outro espaço assume um papel
relevante: o chamado de núcleo de T definido por
NucT = {x ∈ E1 : T (x) = 0} ,
que facilmente se observa constituir um subespaço de E1 . Na verdade, pode mostrar-se que
T é injectiva se e só se for válida a seguinte equivalência
T (x) = 0 ⇔ x = 0,
facto que é equivalente a afirmar que NucT = {0} .
Podemos pois estabelecer que as seguintes afirmações são equivalentes:
• T : E1 → Im T é invertível.
• T é injectiva.
• NucT = {0} .
10
3.1
Núcleo e contradomínio de uma transformação linear entre
espaços de dimensão finita
No caso em que os espaços E1 e E2 são de dimensão finita há a registar algumas particularidades específicas. Na verdade, tomando uma base B1 de E1 , uma base B2 de E2 e a matriz
[T ]B2 B1 que, relativamente a estas bases, representa a transformação linear T : E1 → E2 ,
atendendo a que
[T (x)]B2 = [T ]B2 B1 [x]B1 ,
podemos concluir que
Do mesmo modo,
NucT = x ∈ E1 : [x]B1 ∈ Nul [T ]B2 B1 .
Im T = y ∈ E2 : [y]B2 ∈ Col [T ]B2 B1 .
Assim, recordando a nulidade, n (A) , e a característica, c (A) , de uma matriz A, temos
dim (NucT ) = dim Nul [T ]B2 B1 = n [T ]B2 B1
dim (Im T ) = dim Col [T ]B2 B1 = c [T ]B2 B1
e
dim (NucT ) + dim (Im T ) = dim E1 .
Se dim (E1 ) = dim (E2 ), podemos ainda afirmar que T é uma transformação invertível
(ou bijectiva) se e só se a matriz [T ]B2 B1 for invertível. Nestas condições, relativamente às
bases B1 e B2 , a matriz que representa
a transformação inversa, T −1 , é a matriz inversa da
−1
matriz que representa T :
TB1 B2 = [T ]−1
B2 B1 .
3.2
Exercícios
Exercício 28 Determine bases para o núcleo e para o contradomínio (ou espaço imagem)
de cada uma das seguintes transformações lineares:
a) T (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , 2x1 + x2 ) .
b) T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 − x2 ) .
c) T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , 2x1 + 2x2 + 2x3 , x2 − x3 ) .
d) T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − x3 , 2x1 + 4x2 − 2x3 , −x1 − 2x2 + x3 ) .
e) T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , x1 + 2x3 , x2 + 3x3 ) .
f) T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , x2 + x3 ) .
g) T (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , 4x1 + 2x2 , 0) .
Exercício 29 A transformação linear T :
v1 = (1, 1), v2 = (1, −1) é representada pela
3
2
R2 → R2 , na base constituída pelos vectores
matriz
3
.
2
Determine bases para o núcleo e para o espaço imagem de T e indique a dimensão desses
subespaços.
11
Exercício 30 Na base formada pelos vectores
v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1, −1, 1), v3 = (1, 1, −1),
a transformação linear T : R3 → R3 é representada pela matriz


−2 0 1
 1 1 0 .
−1 1 1
Determine bases dos subespaços NucT e Im T.
Exercício 31 A transformação linear T : P2 → P1 , relativamente às bases canónicas destes
espaços, é representada pela matriz
2
1 −3
.
−6 −3 9
a) Que polinómio é T (1 + 2t + t2 )?
b) Determine bases do núcleo e do contradomínio de T.
Exercício 32 T : P1 → P2 é uma transformação linear que nas bases canónicas de P1 e P2
é representada pela matriz


1 1
 1 −1  .
1 0
a) Caso exista, qual o polinómio p (t) de P1 tal que T (p (t)) = 1 − t?
b) Determine bases do núcleo e do contradomínio de T.
Exercício 33 Seja T : Rn → Rm uma transformação linear e A a matriz que representa
T nas bases canónicas de Rn e Rm . Justificando as suas respostas, indique se as seguintes
afirmações são verdadeiras ou falsas.
a) dim (NucT ) = n (A) 2 .
b) T é injectiva se e só se n (A) = 0.
c) T é injectiva se e só se a característica de A coincide com o número de colunas de A.
d) A dimensão da imagem de T coincide com a característica de A.
e) T é sobrejectiva se e só se a característica de A coincide com o número de linhas de A.
Exercício 34 Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por
T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x1 + x2 − x3 ) .
a) Calcule a matriz que representa T nas bases canónicas de R3 e R2 .
2
Recorde que n(A) designa a nulidade da matriz A.
12
b) Determine uma base para o núcleo de T. A transformação T é injectiva?
c) Determine uma base para o contradomínio de T. T é sobrejectiva?
d) Resolva a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (1, 1).
e) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (a, b) é impossível?
f) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (a, b) é possível e
determinada?
Exercício 35 Considere a transformação linear que na base canónica de R3 é representada
pela matriz


1 2 2
 2 1 4 .
0 0 2
a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injectiva?
b) Indique uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva?
c) Resolva a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (3, 3, 0).
d) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (a, b, c) é impossível?
e) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (a, b, c) é indeterminada?
Exercício 36 Na base de R2 formada por v1 = (1, 1), v2 = (1, 0), a transformação linear
T : R2 → R2 é representada pela matriz
2 4
.
1 2
a) Encontre uma base de NucT. T é injectiva?
b) Indique uma base de ImT. T é sobrejectiva?
c) Resolva a equação T (x1 , x2 ) = (3, 2).
d) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1 , x2 ) = (a, b) é impossível?
e) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1 , x2 ) = (a, b) é possível e
determinada?
Exercício 37 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base constituída pelos
vectores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) é representada por


1 2 2
 2 4 4 .
0 0 2
a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injectiva?
b) Indique uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva?
c) Mostre que equação T (x1 , x2 , x3 ) = (2, 4, 0) não tem soluções.
d) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (a, b, c) é indeterminada.
13
Exercício 38 T é a transformação linear dada por
T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 + 2x2 ) .
a) Qual a matriz que representa T na base canónica?
b) Mostre que T é bijectiva e calcule T −1 (y1 , y2 ).
c) Resolva a equação linear T (x1 , x2 ) = (1, 1).
Exercício 39 A matriz


1 0 0
 0 1 0 
0 0 −1
representa a transformação linear T na base de R3 constituída pelos vectores
v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0).
a) Mostre que T é bijectiva e calcule T −1 (y1 , y2 , y3 ).
b) Resolva a equação linear T (x1 , x2 , x3 ) = (1, 2, 1).
Exercício 40 Relativamente à base canónica
tem a representação matricial

1 1
 1 2
0 0
de P2 , a transformação linear T : P2 → P2 ,

1
−4  .
1
Mostre que T é bijectiva e calcule T −1 (1 + t + 2t2 ).
Exercício 41 Seja I : Pn → R a transformação dada por
1
I (p) =
p (t) dt (p (t) ∈ Pn ) .
0
a) I é uma transformação linear. Justifique.
b) Qual a matriz que na base canónica {1, t, ..., tn } de Pn representa I?
c) Determine o núcleo de I? Qual a sua dimensão?
d) É I uma bijecção entre Pn e R?
Exercício 42 Designe-se por S o subespaço das matrizes simétricas 2 × 2, i.e.
S = A ∈ M2×2 (R) : A = AT .
Considere-se T : S → S a transformação linear definida por
0 1
T (A) = AB + BA, onde B=
.
1 0
a) Determine uma base para S e indique a matriz que, nessa base, representa T.
b) Calcule uma base do NucT e justifique que T não é injectiva nem sobrejectiva.
c) Resolva em S, a equação T (A) = B.
14
4
Soluções
1) a) i) (−1, −5) . ii) (2, −5) . iii) (−12, −7) . b) α = 6, β = 2.
2) São lineares as transformações das alíneas a), d) e f).
3) k = 0 e m = 1.
4) a) 5t + 4t2 + 3t3 + 2t4 .
5) a) t − 1. b) a0 = a1 + 1. Não existe.
7) a) Recta y = x − 3. b) Recta y = x. c) Região do plano entre as rectas y = x − 1 e
y = x + 1.
8) a) i) T (∆) = ∆; ii) T (Cρ ) = Cρ .
b) i) Triângulo de vértices (−1, 1) , (−1, −1) e (−2, 0) ; ii) T (Cρ ) = Cρ .
c) i) Triângulo de vértices (1, 1) , (−1, 1) e (0, 2) ; ii) T (Cρ ) = Cρ .
d) i) Triângulo de vértices (−1, −1) , (1, −1) e (−2, 0) ; ii) T (Cρ ) = Cρ .
e) i) Triângulo de vértices (r, r) , (r, −r) e (2r, 0) ; ii) T (Cρ ) = Crρ .
9) T (E) é a circunferência de centro na origem e raio 1.
√ √ 10) a) (0, 1) , (−1, 0) , (−1, 1) e 1 − 3 /2, 1 + 3 /2 .
b) i) θ = π/2 + 2kπ. ii) θ = −π/2 + 2kπ. iii) θ = 3π/4 + 2kπ. iv) θ = −5π/6 + 2kπ. v)
Não.
c) Sim; θ1 + θ2 . d) R−θ . f) y = −x/a.
11) a) Triângulo de vértices (1, 0, 1) , (−1, −1, 0) e (0, 0, 2) .
b) Triângulo de vértices (−1, 0, 1) , (1, 1, 0) e (0, 0, 2) .
c) Triângulo de vértices (0, 1, 1) , (−1, −1, 0) e (0, 0, 2) .
0 1
1 2
1 3
4 1
12) a)
. b)
c)
d)
.
1 0
1 2
1 −7
−3 4
13) Por exemplo v1 = (1, 3) , v2 = (5, 7) , w1 = (1, 1, 1) , w2 = (0, 0, 1) , w3 = (1, 0, 0) .


−1 1 0
17 −41
14) [S ◦ T ] =
, [T ◦ S] =  1 2 3
4 −10
3 3 6
2 1
d c
15) a)
. b)
.
1 2
b a
3 3
16) a)
. b) T (x1 , x2 ) = (4x1 , 4x1 + x2 ) .
0 1




0 1 1
e f d
17) a) 1 1 0 . b h i g  .
1 0 1
b c a
15


0 1 0
18) a)  1 0 0  . b) T (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , x1 + x3 , x2 + x3 ).
0 1 2
2 1 0
2 0 4
4 3 2
4 −1 −1
19) a)
. b)
. c)
. d)
.
0 3 1
6 2 0
−2 0 1
−2 2
1
20) T ◦ S (x, y, z) = (0, −y, 3x + 2y + 2z)




0 0 0



21) 0 1 0
22) 


0 0 2

1

1
24) a) −3t3 − 1. b) 
 0
0


2 0 0 0
 0 1 1 0 

25) b) 
 0 1 1 0 
0 0 0 2
1
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
0
0
4
1








1 0
0 −1 −1


2 1 
1 3
4
. c) 
 0 0
0 0 
0
0 −1
0 0 −1


1 −1 1
23)  1 0 0 
1 1 1


.

26) T1 e T3 são lineares; T
e
T
não.
T
é
representada
pela
matriz
1
0
0
1
e T3 é
2
4
1
representada pela matriz 1 1 1 1 .




0 0
0
0 1 0 0
 1 0
0 


27) b) D é representada por 0 0 2 0  e P por 
 0 1/2 0  . c) Não.
0 0 0 3
0 0 1/3
28) a) {(1, −2)} é base de NucT e {(1, 1)} é base de Im T.
b) ∅ é base de NucT ; {(1, 1) , (1, −1)} é base de Im T.
c) {(−2, 1, 1)} é base de NucT ; {(1, 2, 0) , (1, 2, 1)} é base de Im T.
d) {(−2, 1, 0), (1, 0, 1)} é base de NucT ; {(1, 2, −1)} é base de Im T.
e) ∅ é base de NucT ; {(1, 1, 0) , (0, 0, 1) , (−1, 2, 3)} é base de Im T.
f) {(1, −1, 1)} é base de NucT ; {(1, 0) , (0, 1)} é base de Im T.
g) (− 12 , 1) é base de NucT ; {(2, 4, 0)} é base de Im T.
29) {(0, 1)} é base de NucT e {(5, 1)} é base de Im T. dim NucT = dim Im T = 1.
30) {(0, 2, −1)} é base de NucT e {(2, −4, 0) , (2, 0, 0)} é base de Im T.
31) a) 1 − 3t. b) {1 − 2t, 3 + 2t2 } é base de NucT, {2 − 6t} é base de Im T.
32 a) p (t) = t. b) ∅ é base de NucT, {1 + t + t2 , 1 − t} é base de Im T.
33) Todas as afirmações são verdadeiras.
16
34) a)
1 1 0
1 1 −1
.
b) {(−1, 1, 0)} é base de NucT. A transformação T não é injectiva pois dim NucT = 0.
c) {(1, 1) , (0, −1)} é base de Im T. A transformação T é sobrejectiva pois dim Im T = 2 =
dim R2 .
d) O conjunto das soluções é {(1, 0, 0)} + NucT = {(1, 0, 0) + x2 (−1, 1, 0) : x2 ∈ R} .
e) Não, porque T é sobrejectiva.
f) Não, porque T não injectiva.
35) a) ∅ é base do NucT . T é injectiva.
b) {(1, 2, 0) , (2, 1, 0) , (2, 4, 2)} é base de Im T. T é sobrejectiva.
c) A única solução da equação é (1, 1, 0).
d) e e) Como T é bijectiva a equação T (x1 , x2 , x3 ) = (a, b, c) é possível e determinada para
qualquer (a, b, c) ∈ R3 .
36) a) {(1, 2)} é base de NucT, logo T não é injectiva.
b) {(3, 2)} é uma base de Im T , pelo que T não é sobrejectiva.
c) O conjunto das soluções é {(0, −1)} +NucT.
d) Sim. Por exemplo, T (x1 , x2 ) = (1, 0) é impossível.
e) Não.
37) a) {(1, 1, 2)} é base de NucT, logo T não é injectiva.
b) {(8, 6, 2) , (−2, 0, 0)} é uma base de Im T, pelo que T não é sobrejectiva.
d) Sim.
1 1
38) a)
. b) T −1 (y1 , y2 ) = (2y1 − y2 , −y1 + y2 ) .
1 2
c) Como T é bijectiva, a única solução da equação é o vector T −1 (1, 1) = (1, 0) .
39) a) T −1 (y1 , y2 , y3 ) = (−y1 + 2y2 , y2 , y3 ) . b) A única solução da equação é (3, 2, 1) .
40) T −1 (1 + t + 2t2 ) = 2t2 + 10t − 11.
41) b) 1 1/2 ... 1/ (n + 1) .
an
c) NucI = a0 + a1 t + ... + an tn : a0 + a21 + ... + n+1
= 0 , dimNucI = n. d) Não.
1 0
0 0
0 1
42) a) Na base
,
,
,
0 0
0 1
1 0


0 0 2
a matriz que representa T é  0 0 2  .
1 1 0
−1 0
1−a 0
b)
é base de NucT.
c) O conjunto das soluções é
:a∈R .
0 1
0
a
17