Álgebra Linear - Prof a Ana Paula
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Definição: T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, T : V
cada vetor v V tem um só vetor imagem w W, que será indicado por w T v .
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V
transformação linear de V em W se:
1) T u v
T u T v para u, v V.
2) T u
T u para u V
3) T 0
0
W, se
W é chamada de
Exemplos: São transformações lineares:
3
1) T : 2
onde T x, y
3x, 2y, x y
2
2
2) T :
onde T x, y
x, y (Transformação identidade)
3
2
3) T :
onde T x, y, z
x 2y z, z
4) T :
2
5) T : V
6) T : 2
7) T :
8) D: P n
M 2 onde T x, y
x
y
2x
y
3x
5y
W onde T v
0 (Transformação nula)
3
onde T x, y
3x, x 2y, 3x 6y
onde T x
3x
P n onde D f
f sendo f a derivada de f.
Exemplos: Não são transformações lineares:
1) T :
onde T x
3x 1
3
2
2) T :
onde T x, y, z
3x 2, 2y z
2
2
2
3) T :
onde T x, y
x , 3y
4) T : 2
onde T x, y
|x|
OBS:
1) Uma transformação linear de V em V é chamada operador linear sobre V.
2) Se T 0
0 não implica que T é uma transformação linear.
3) Uma matriz A mxn sempre determina uma transformação linear: T : n
m
transformação linear T : n
sempre pode ser representada por uma matriz mxn.
Propriedades: Seja T : V W uma transformação linear:
1) T a 1 v 1 a 2 v 2
a 1 T v 1 a 2 T v 2 para v 1 , v 2 V.
2) T a 1 v 1 a 2 v 2
anvn
a1T v1 a2T v2
a n T v n para v i V.
3) Sejam v 1 , v 2 , , v n uma base do domínio V e v V tal que v a 1 v 1 a 2 v 2
Aplicando a transformação linear T, tem-se T v
a1T v1 a2T v2
anT vn .
33
m
. E uma
anvn.
2
Exemplo: Seja T : 3
uma transformação linear e B
v 1 , v 2 , v 3 uma base do
v1
0, 1, 0 , v 2
1, 0, 1 e v 3
1, 1, 0 . Determinar T(5,3,-2), sabendo que T v 1
T v2
3, 1 e T v 3
0, 2 . Resp: (-10,20)
Exercício 1: Seja T : 3
a) Determinar o vetor u
b) Determinar o vetor v
3
3
3
definida por: T x, y, z
onde T u
1, 8, 11 .
onde T v
v.
x
2y 2z, x 2y z, x
Resp: 1, 2, 3
Resp: z 2, 1, 1 , z
y
3
, sendo
1, 2 ,
4z .
2
3
Exercício 2: Seja T :
uma transformação linear onde T 1, 1
T 1, 2
1, 1, 3 . Determinar T x, y .
Resp: 7x 4y, 3x y, x y
3, 2, 2
e
Matriz de uma Transformação Linear
Sejam T : V W uma transformação linear, onde dimV n e dimW m. Sejam A uma base de
V e B uma base de W.
a n v n V, tem-se
Aplicando a transformação linear em v a 1 v 1 a 2 v 2
Tv
onde v A
Portanto,
a1, a2,
a1T v1
, a n . Mas T v
a2T v2
anT vn ,
W, portanto, precisa encontrar T v
B.
Tv B
T AB v A
onde T AB é a matriz de T em relação às bases A e B de ordem mxn, onde cada coluna é
formada pelos componentes das imagens dos vetores de A em relação à base de B:
T
A
B
T v1
B
T v2
B
T vn
B
OBS:
1) Fixadas as bases de V e W, a matriz T AB é única.
2) No caso de serem A e B as bases canônicas de V e W, respectivamente, representa-se a
matriz simplesmente por T , que é chamada de matriz canônica de T.
3) Para um operador linear sobre V, T : V V, a matriz de T em relação à base A é
representada por T A .
Exemplos: As matrizes canônicas das transformações lineares são:
1) T :
34
2
3
onde T x, y
3x, 2y, x
y . A matriz canônica é dada por: A
3
0
0
2
1
1
.
2
2) T :
1 0
A
3
4) T : V
onde T x, y
x, y (Transformação identidade). A matriz canônica é dada por:
.
0 1
3) T :
5) T :
2
2
onde T x, y, z
W onde T v
2
3
x
2y
z, z . A matriz canônica é dada por: A
1 2
1
0 0
1
0 (Transformação nula). A matriz canônica é dada por: A
onde T x, y
3x, x
2y, 3x
6y . A matriz canônica é dada por: A
.
0
3
0
1
2
3
6
.
2
definida por: T x, y, z
2x y z, 3x y 2z .
Exemplo: Seja T : 3
3
Considere A
1, 1, 1 , 0, 1, 1 , 0, 0, 1 base de
eB
2, 1 , 5, 3 base do 2 .
A
a) Determine T B .
b) Se v
3, 4, 2 (em relação à base canônica do 3 ), calcular T v B , utilizando a matriz
encontrada.
Resp: a)
2
T
5
13
2
2
5
Exemplo: Encontrar T
e 3.
Resp:
3
4
3
2
4
1
1
0
b) (31,-10)
para T x, y
3x
2y, 4x
y, x onde A e B são as bases canônicas do
Exercício 3: Dadas as bases A
1, 1 , 1, 0 do
. Determinar
a
transformação
linear
A
B
35
2
0
1
2
1
3
.
Resp: x
y, 3x
8y, 11x
15y).
2
e B
T:
1, 2, 0 , 1, 0, 1 , 1, 1, 3 do
3
cuja
matriz
2
Operações
Adição:
Sejam T 1 : V
W e T2 : V
W. Chama-se a soma de transformações lineares por:
T1 T2 : V W
v
T1 T2 v
T1 v T2 v
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, temos:
T 1 AB T 2 AB
T 1 T 2 AB
Multiplicação por escalar:
Sejam T : V W e
. Chama-se o produto de T pelo escalar
T:V W
v
T v
Tv
por:
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, temos:
T AB
T AB
Composição:
Sejam T 1 : V W e T 2 : V
U. Chama-se aplicação composta de T 1 em T 2 por:
T 2 oT 1 : V U
v
T 2 oT 1 v
T2 T1 v
Se A , B e C são bases de V, W e U respectivamente, temos:
T 2 oT 1 AC
T 2 BC T 1 AB
3
3
Exemplo: Sejam T 1 : 2
e T2 : 2
e A
3
B
1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 base do .
T 1 x, y
x 2y, 2x y, x
x, y, x y
T 2 x, y
Determinar
a) T 1 T 2
b) 3T 1 2T 2
Resp: a) (2y,2x,2x y)
b) (5x 6y, 6x-5y, x-2y)
Exemplo: S e T operadores lineares do
Determinar:
a) SoT
b) ToS
Resp: a) (2x, x-y)
b) (2x, 2x-y)
36
2
1, 0 , 0, 1
definidos por S x, y
uma base do
2x, y e T x, y
x, x
2
e
y.
OBS:
1) ToS SoT, em geral. Isto é, não é comutativa.
2) Composição de 3 ou mais transformações lineares, como T T 3 oT 2 oT 1 .
A matriz canônica da transformação composta será T
T3 T2 T1 .
Transformação Linear Inversa
n
um operador linear. T é uma transformação linear inversível, isto é,
Definição: Seja T : n
n
n
T :
se e somente se a matriz canônica de T é inversível, isto é, detA 0 e a matriz
canônica de T 1 é T 1 .
1
Exemplo: Seja T :
a) Encontre T 1 x, y
b) Calcule T 1 5, 5 .
2
2
OBS: Se T é inversível e T
onde T x, y
1
b)
y, 3x
4y .
é a sua inversa. Então ToT
2
Exemplo: Seja T : 2
onde T x, y
a) Mostre que T é inversível.
b) Encontre T 1 x, y .
1
2x
4x
3y, 2x
1
T 1 oT
I (identidade)
2y .
3
2
1 2
Transformações lineares especiais
2
2
Entende-se por transformações lineares planas as transformações de
em
e
3
3
transformações lineares no espaço as transformações
em . Algumas delas têm interpretações
geométricas e têm especial importância. São elas: reflexões, diltações e contrações, projeções,
cisalhamentos e rotações.
Para transformações lineares de 2 em 2 :
A reflexão leva cada ponto x, y para sua imagem simétrica em relação aos eixos dos x, y, das
retas y
x ou da origem. Vejas as transformações 1 a 5 na tabela.
A dilatação acontece quando | | 1. Isto é, aumenta o comprimento do vetor. Se
1, além de
dilatar, muda o sentido do vetor. A contração acontece quando | | 1. Se
1, a transformação é
a identidade. Veja as transformações 6 a 8 na tabela. Se
0, a transformação será uma projeção
ortogonal sobre o eixo x ou sobre o eixo y. Veja as transformações 7 e 8 na tabela
O efeito do cisalhamento é transformar um retângulo em paralelogramo de mesma base e
mesma altura. Veja as transformações 9 e 10 na tabela
A rotação gira um vetor de sua posição inicial em torno da origem em relação a um ângulo . A
37
imagem do vetor tem o mesmo comprimento. Veja a transformação 11 na tabela.
Para transformações lineares de 3 em 3 :
A reflexão leva cada ponto x, y, z para sua imagem simétrica em relação aos planos
coordenados, aos eixos coordenados ou da origem. Veja as transformações 12 a 18 na tabela.
As transformações de dilatação, contração e projeção ortogonal são equivalentes em 2 . Veja a
transformação 19 na tabela.
O efeito do cisalhamento é equivalente em 2 .
A rotação no 3 é efeita em torno dos eixos coordenados x, y ou z, fazendo o vetor descreve
um ângulo . Veja as transformações 20 a 22 na tabela.
Exercício: O plano sofre uma rotação de um ângulo 3 . A seguir experimenta uma dilatação de
fator 4 na direção do eixo x e, posteriormente, uma reflexão em torno da reta y x. Qual a matriz
que representa a única transformação linear e que tem o mesmo efeito do conjunto das três
transformações citadas?
Exercício: Aplique a transformação anterior nos seguintes vértices de um triângulo eqüilátero:
A 2, 1 , B 6, 1 e C 4
3 , 2 3 . Faça a figura da transformação.
Exercício: Calcular o ângulo formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno
dos eixos dos z de um ângulo , nos seguintes casos:
1)
180 e v
3, 0, 3
2)
38
90 e v
3
2 2
,
2
4
,
2
2