Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
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Matemática financeira I
Juros simples: montante, capital, prazo e taxa
Na televisão, em jornais, em revistas ou em lojas, é comum ouvirmos falar
em juros. Essa palavra também é mencionada quando nos referimos à dívida
externa, às aplicações financeiras, ou mesmo, a uma dívida pessoal que,
muitas vezes, não será saldada à vista.
Quando uma pessoa ou uma instituição dispõe de fundos para emprestar,
o preço desse crédito é chamado de juro. Tecnicamente, podemos dizer que
juro é o custo do crédito ou a remuneração do capital. O juro existe porque
muitas pessoas preferem consumir seus bens no presente e não no futuro.
Dessa forma, se uma pessoa não tem todo o dinheiro necessário para a aquisição de um produto e, mesmo assim, deseja adquiri-lo no momento, deve
haver uma compensação por pagá-lo somente no futuro.
Fique atento a algumas definições importantes:
Capital ou principal – bem ou quantia em dinheiro sobre o qual há
remuneração.
Taxa de juros – coeficiente empregado em uma unidade de tempo
expresso como porcentagem do capital.
Período ou tempo – tempo em que o capital será remunerado.
Juros – remuneração do capital.
Montante – capital inicial adicionado ao juro do período.
Exemplo:
Suponha que uma pessoa aplicou um capital de R$1.000,00 a uma taxa
de 20% ao ano pelo prazo de três anos. Quanto renderá de juros simples essa
aplicação?
Quando o regime de capitalização é de juros simples, o juro de cada período é calculado sobre o capital inicial:
J1 = J2 = J3 = 1.000 . 0,20 = 200,00
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213
Matemática financeira I
O juro total será a soma dos juros obtidos em todos os anos, ou seja:
J = 200 + 200 + 200
J = 600,00
E o Montante é a soma do capital com o juro:
M = 1.000 + 600 = 1.600
Generalizando, a fórmula para se calcular o valor do juro em um regime
de capitalização simples é dada por:
J=C.i.t
No exemplo anterior, seria possível efetuar:
J = 1.000 . 0,20 . 3 = 600
De forma análoga, para se calcular o valor do montante em um regime de
capitalização simples poderíamos utilizar a seguinte relação:
M=C+J
M=C+C.i.t
M = C . (1 + i . t)
Para usarmos essas fórmulas, é necessário que a unidade de tempo do
prazo da taxa de juros seja a mesma unidade de medida do tempo. Assim,
se a taxa for 10% ao mês, por exemplo, o tempo deve ser também medido
em meses.
Taxas equivalentes e taxas proporcionais
Taxas proporcionais
Duas taxas são consideradas proporcionais quando os valores das taxas e
dos períodos formam uma proporção. Ou seja, quando reduzidas às mesmas
unidades, as taxas sejam iguais.
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Matemática financeira I
Exemplos:
As taxas 1% ao mês e 6% ao semestre são proporcionais.
As taxas 5% ao trimestre e 20% ao ano são proporcionais.
Taxa equivalentes
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo
mesmo prazo de tempo, ambas produzem o mesmo montante.
Exemplos:
Em um regime de juros simples, são equivalentes as taxas:
1% ao mês e 6% ao semestre;
5% ao trimestre e 20% ao ano.
Em um regime de juros compostos, são equivalentes as taxas:
1% ao mês e 6,15% ao semestre;
5% ao trimestre e 21,63% ao ano.
Conclusão:
Os exemplos anteriores esclarecem que, no regime de juros simples, as
taxas de juros proporcionais sempre serão taxas equivalentes, pois, se o capital é o mesmo e o período de tempo também é o mesmo, obrigatoriamente
a taxa deverá ser a mesma para produzir o mesmo montante. No caso do
regime de juros compostos, as taxas proporcionais não são, em geral, taxas
equivalentes, pois não produzem os mesmos montantes.
Descontos simples
Quando uma pessoa compra uma mercadoria e a paga à vista, em geral,
recebe por isso um desconto no pagamento. Entretanto, não é apenas em liquidações ou promoções de vendas que utilizamos o conceito de desconto.
Exemplo:
Paulo fez uma aplicação financeira com vencimento predeterminado e,
antes da data do vencimento, precisa de dinheiro. Como ele pode captar recursos financeiros utilizando o título adquirido na aplicação financeira?
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215
Matemática financeira I
Paulo pode transferir o título da aplicação para um terceiro, recebendo na
transferência o principal aplicado, adicionado aos juros que foram capitalizados no período. Nesse caso, há uma operação de desconto, pois ele precisou
trocar o título por dinheiro antes da data do vencimento e, por isso, não terá
direito ao valor nominal do título.
N
A
D
id
t
O diagrama ilustra uma operação de desconto, na qual um título cujo
valor nominal (ou de face)é igual a N (valor nominal) será descontado t períodos antes do vencimento a uma taxa de desconto id. O valor atual A é o
valor atual (valor descontado) e o valor D é o valor do desconto.
Desconto racional, real ou “por dentro”
Um desconto é denominado desconto racional, real ou “por dentro”
quando é calculado sobre o Valor Atual do título.
Exemplo:
José possui um título no valor nominal de R$11.000,00, com vencimento
em quatro meses. Ele pretende descontá-lo em uma instituição financeira
que realiza o desconto racional e cobra uma taxa de juros simples de 36% ao
ano. Quanto será o valor do desconto e do valor descontado?
Observe a ilustração:
N
A
0
216
4 meses
t
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Matemática financeira I
Das informações do problema, temos:
N = 11.000,00
n = 4 meses
0 , 36
= 0 , 03.
12
Quando o desconto é sobre o valor atual, deve-se pensar que aplicando
o valor atual nas condições do desconto racional, o montante é, na verdade,
o valor nominal do título:
A taxa de 36% ao ano é proporcional a 3% ao mês, pois
M = C . (1 + i . t)
N = A . (1 + i . t)
11.000 = A . (1 + 0,03 . 4)
11.000 = A . (1,12)
A=
11.000
1,12
A ≅ 9.821,43
Logo, o valor descontado racional é aproximadamente igual a R$9.821,43
e o desconto racional é a diferença entre o valor nominal e o atual do título:
D=N–A
D ≅ 11.000 – 9821,43
D ≅ 1.178,57
Assim, o valor do desconto é aproximadamente igual a R$1.178,57.
Fórmulas
O montante é dado por:
M = C . (1 + i . t)
Considerando M = N (valor nominal) e C = A (valor atual), temos:
N = A . (1 + i . t)
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Matemática financeira I
Isolando na equação anterior o valor atual, temos:
A=
N
1+ it
Essa equação permite relacionar o valor atual (A) com o valor nominal (N),
a taxa de desconto (i) e o prazo de desconto (t).
Mas o desconto é dado por:
D=N–A
Logo, sendo Dr o desconto racional, temos:
Dr = N Dr =
N
1+ it
N.(1+ it ) - N
1+ it
Dr =
Nit
1+ it
Essa última equação permite relacionar o desconto racional (Dr) com o
valor nominal (N), a taxa de desconto (i) e o prazo de desconto (t).
Essas fórmulas são úteis quando se deseja velocidade na resolução da
questão. Por outro lado, elas se tornam desnecessárias se considerarmos
que o valor atual é o capital que, quando aplicado nas mesmas condições do
desconto, tem como montante o valor nominal.
Desconto comercial, bancário ou “por fora”
Um desconto é denominado desconto comercial, bancário ou “por fora”
quando é calculado sobre o Valor Nominal do título.
Exemplo:
José possui um título no valor nominal de R$11.000,00, com vencimento
em quatro meses. Ele pretende descontá-lo em uma instituição financeira
que realiza o desconto comercial e cobra uma taxa de juros simples de 36%
ao ano. Quanto será o valor do desconto e do valor descontado?
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Matemática financeira I
Solução:
Observe a ilustração:
N
A
0
4 meses
t
Das informações do problema, temos:
N = 11.000,00
n = 4 meses
0 , 36
= 0 , 03.
12
Quando o desconto é sobre o valor nominal, deve-se aplicar diretamente
sobre o valor nominal. Assim, descontando-se o valor nominal obtém-se o
valor atual:
A taxa de 36% ao ano é proporcional a 3% ao mês, pois
A = N . (1 – i . t)
A = 11.000 . (1 – 0,03 . 4)
A = 11.000 . (0,88)
A = 9.680,00
Logo, o valor descontado comercial simples é igual a R$9.680,00.
O desconto comercial simples é igual a:
D=N–A
D = 11.000 – 9.680,00
D = 1.320,00
Assim, o valor do desconto é igual a R$1.320,00.
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Matemática financeira I
Fórmulas
O desconto comercial de um título, representado por Dc, por incidir sobre
o valor nominal, é dado por:
Dc = N . i . t
Mas, o valor atual do título, representado por Ac, é dado por:
Ac = N – Dc
Logo:
Ac = N – N . i . t
Ac = N . (1 – it)
O valor Ac é denominado valor atual comercial.
Concluindo, para resolver problemas de descontos, basta lembrar que no
desconto racional, deve-se capitalizar A para se obter N, e no desconto comercial, deve-se descapitalizar N para se obter A.
Taxa de juros efetiva
A taxa de juros efetiva é a taxa aplicada sobre o valor descontado comercial (ou bancário), que gera no período considerado um montante igual ao
valor nominal.
Taxa efetiva para desconto comercial simples
Sendo ie a taxa efetiva, temos:
N = A c .(1+ie . t) ®
N
ie . t =
-1 ®
Ac
N
= 1+ ie . t ®
Ac
N
-1
Ac
ie =
t
em que Ac é o valor descontado no caso de uma operação de desconto
comercial, N é o valor nominal do título na data do correspondente vencimento e t é o prazo de tempo do título.
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Matemática financeira I
Vamos calcular a taxa efetiva de juros por meio de um exemplo já resolvido anteriormente.
Exemplo:
João pretende saldar um título de R$11.000,00, quatro meses antes do
correspondente vencimento. Sabendo-se que o desconto será dado sobre o
valor nominal, qual a taxa efetiva mensal de juros da operação?
Os valores encontrados foram:
N = 11.000,00
Ac = 9.680,00
t = 4 meses
A taxa mensal efetiva de juros é dada por:
N
-1
Ac
ie =
t
®
11.000
-1
ie = 9.680
4
®
ie @ 0,0341
Portanto, a operação foi realizada a uma taxa efetiva aproximada de 3,41%
de juros simples ao mês.
Taxa efetiva para desconto bancário
Sendo ie a taxa efetiva, temos:
N = Ab .(1+ie .t) ®
ie .t =
N
-1 ®
Ab
N
= 1+ ie .t ®
Ab
N
-1
A
ie = b
t
em que Ab é o valor descontado no caso de uma operação de desconto
bancário, N é o valor nominal do título na data do correspondente vencimento e t é o prazo de tempo do título.
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Matemática financeira I
Exemplo:
Juca pretende emprestar de um banco que cobra, em regime de juros
simples, uma taxa de juros de 3% ao mês e uma taxa administrativa fixa de
2%. Ele pretende fazer um financiamento e saldá-lo pagando R$11.000,00
após 4 meses. Qual a taxa efetiva mensal de juros no financiamento?
Os valores encontrados foram:
N = 11.000,00
Ab = 9.460,00
t = 4 meses
A taxa mensal efetiva de juros é dada por:
N
-1
Ab
ie =
t
11.000
-1
ie = 9.460
4
ie @ 0,0353
Logo, a operação foi realizada a uma taxa efetiva aproximada de 3,53% de
juros simples ao mês.
Observação:
No caso de desconto racional, a taxa de juros da operação financeira é
exatamente igual à taxa efetiva dessa operação, pois ambas são calculadas
sobre o valor atual (e não nominal), sem a adição de taxas administrativas.
Nesse caso, a taxa efetiva é também chamada de taxa de rentabilidade.
Relação entre taxa efetiva e
taxa de juros para desconto comercial
Para relacionar a taxa efetiva com a taxa de juros para desconto comercial,
vamos considerar os descontos racional e comercial. Sendo ie a taxa efetiva e
i a taxa para desconto comercial, temos:
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Matemática financeira I
Dr =
N.ie .t
e
1+ ie .t
Dc = N.i.t
Como os descontos devem ser iguais, temos:
N.ie .t
= N.i.t ®
1+ ie t
ie = i + i.ie t ®
ie
=i ®
1+ ie t
ie - i.ie t = i ®
ie .(1- i.t ) = i ®
ie =
i
1- i.t
Exemplo:
Numa operação financeira de desconto comercial a taxa de juros simples
praticada é de 3% ao mês, um título foi descontado com quatro meses de
antecedência em relação à data do correspondente vencimento. Qual é a
taxa efetiva mensal de juros da operação financeira?
Das informações do enunciado, temos:
i = 3% ao mês
t = 4 meses
Logo:
ie =
ie =
i
1- i.t
0 , 03
1- 0 , 03.4
ie =
0 , 03
0 , 88
ie @ 0,0341
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Matemática financeira I
Portanto, a taxa efetiva mensal de juros na operação financeira foi aproximadamente igual a 3,41%.
Relação entre desconto racional e comercial
Por meio de exemplos, observamos anteriormente que, nas mesmas condições, o desconto comercial é maior do que o desconto racional, ou seja:
Dc > Dr
Os descontos comercial e racional são dados, respectivamente, por:
Dc = N.i.t e Dr =
N.i.t
1+ i.t
Dividindo membro a membro as duas últimas equações, obtemos:
Dc N.i.t
=
Dr N.i.t
1+ i.t
Dc
= 1+ i.t
Dr
Dc = Dr . (1+ i.t )
Dessa forma, o desconto comercial pode ser interpretado como sendo o
montante do desconto racional calculado para um mesmo período e mesma
taxa.
Exemplo:
O desconto comercial de um título descontado quatro meses antes do
correspondente vencimento e à taxa de 3% ao mês é de R$1.320,00. Qual é
o desconto racional?
Do enunciado, temos:
i = 3% ao mês
t = 4 meses
Dc = 1.320,00
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Matemática financeira I
Então, o desconto racional será dado por:
Dc = Dr . (1+ i.t )
1.320,00 = Dr .(1+0,03.4)
1.320,00 =1,12.Dr
Dr =
1.320 , 00
1,12
Dr @ 1.178,57
Logo, o desconto racional será aproximadamente igual a R$1.178,57.
Juros compostos
Vamos iniciar o estudo dos juros compostos recordando um exercício que
foi resolvido em juros simples.
Para ilustrar, suponha que uma pessoa aplicou um capital de R$1.000,00
a uma taxa de 20% ao ano pelo prazo de três anos. Quanto renderá de juros
compostos essa aplicação?
Informações:
Juros compostos.
C = 1.000,00.
i = 20% ao ano.
t = 3 anos.
Para uma melhor compreensão dos dois regimes de capitalização, vamos
apresentar um estudo comparativo por meio de uma tabela:
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Matemática financeira I
Juros simples
Juros compostos
1.º ano
J1 = 1 000,00 x 0,2 x 1 = 200,00
M1 = C + J1
M1 = 1 000,00 + 200,00
M1 = 1 200,00
J1 = 1 000,00 x 0,2 = 200,00
M1 = C + J1
M1 = 1 000,00 + 200,00
M1 = 1 200,00
2.º ano
J2 = 1 000,00 x 0,2 x 1 = 200,00
M2 = M1 + J2
M2 = 1 200,00 + 200,00
M2 = 1 400,00
J2 = 1 200,00 x 0,2 = 240,00
M2 = M1 + J2
M2 = 1 200,00 + 240,00
M2 = 1 440,00
3.º ano
J3 = 1 000,00 x 0,2 x 1 = 200,00
M3 = M2 + J3
M3 = 1 400,00 + 200,00
M3 = 1 600,00
J3 = 1 440,00 x 0,2 = 288,00
M3 = M2 + J3
M3 = 1 440,00 + 288,00
M3 = 1 728,00
Se fosse efetuada em regime de juros simples, a aplicação renderia
R$600,00. Já a aplicação no regime de juros compostos, rendeu R$728,00.
Para ilustrar, observe nos gráficos os valores dos montantes alcançados nos
dois regimes a uma mesma taxa de juros.
1.700
Montante (Reais)
1.600
1.500
1.400
1.300
1.200
Juros simples
Juros compostos
1.100
1.000
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Tempo em (anos)
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3
Matemática financeira I
Cálculo do montante em juros compostos
Um capital C aplicado a uma taxa de juros i durante um prazo t terá o
montante M dado por:
M = C . (1 + i)t
Substituindo os dados do problema, encontramos o mesmo valor do
montante:
M = 1.000 . (1 + 0,20)3
M = 1.000 . (1,20)3
M = 1.000 . 1,728
M = 1.728
O juro é sempre a diferença entre o montante e o capital, ou seja:
J=M–C
J = 1.728 – 1.000
J = 728
Na fórmula do montante, a expressão (1 + i)t é chamada de fator de acumulação de um capital e é, geralmente, tabelado para diferentes valores de
i e de t.
Taxas equivalentes
Duas taxas, relacionadas com diferentes períodos de capitalização, são
consideradas equivalentes se, aplicadas ao mesmo capital e durante o
mesmo prazo de tempo, produzirem montantes de mesmo valor.
Exemplo:
1.ª aplicação: aplicar R$1.000,00, durante um ano, à taxa de 1% ao
mês;
2.ª aplicação: aplicar R$1.000,00, durante um ano, à taxa de 12,68%
ao ano.
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Matemática financeira I
Os montantes obtidos em ambas as aplicações terão o mesmo valor,
observe:
Cálculo do montante à taxa de 1% ao mês:
M = 1.000,00 . (1 + 0,01)12 = 1.126,80
Cálculo do montante à taxa de 12,68% ao ano:
M = 1.000,00 . (1 + 0,1268)1 = 1.126,80
Como os montantes produzidos são iguais, as taxas são equivalentes.
Podemos relacionar duas taxas equivalentes por meio da igualdade existente entre os montantes. Para exemplificar, considere um capital C e as seguintes taxas:
M = C . (1 + ip)p e M = C . (1 + iq)q
Para que essas taxas sejam equivalentes, o montante produzido por
ambas deve ser o mesmo, logo:
C . (1 + ip)p = C . (1 + iq)q
Dividindo ambos os membros da última igualdade por C, temos:
(1 + ip)p = (1 + iq)q
Exemplo:
Em regime de juros compostos, a taxa mensal de 10% é equivalente a que
taxa trimestral?
(1 + ip)p = (1 + iq)q
(1 +0,10)3 = (1 + it)
(1,10)3 = 1 + it
1,331 = 1 + it
1,331 – 1 = it
it = 0,331
it = 33,1% ao trimestre
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Matemática financeira I
Logo, em regime de juros compostos, a taxa mensal de 10% é equivalente
à taxa trimestral de 33,1%. Quando a questão é de equivalência de taxas, a
ideia é, a partir do mesmo Capital, produzir o mesmo montante o que, consequentemente, nos levará à igualdade entre os fatores de acumulação de
capital.
Resolução de questões
1. (Cesgranrio) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10%
para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento
um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de
juros mensal praticada deve ser, aproximadamente,
a) 0,5%.
b) 3,8%.
c) 4,6%.
d) 5,0%.
e) 5,6%.
2. (Cesgranrio) Um título com valor de face de R$1.000,00 faltando três meses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de
desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao
mês. O valor presente do título, em reais, é:
a) 860,00.
b) 850,00.
c) 840,00.
d) 830,00.
e) 820,00.
3. (Cesgranrio) Uma quantia de R$20.000,00 aplicada a uma taxa de 2% ao
mês no regime de juros compostos, ao final de três meses, gera um montante, em reais, de:
a) 20.120,24.
b) 21.200,00.
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229
Matemática financeira I
c) 21.224,16.
d) 26.000,00.
e) 34.560,00.
4. (Cesgranrio) Uma loja oferece um aparelho celular por R$1.344,00 à vista.
Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em
dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês
após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais,
de:
a) 704,00.
b) 705,60.
c) 719,00.
d) 739,20.
e) 806,40.
5. (Cesgranrio) João tomou um empréstimo de R$900,00 a juros compostos
de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$600,00 e, um mês após
esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente,
a) 240,00.
b) 330,00.
c) 429,00.
d) 489,00.
e) 538,00.
6. (Cespe) Antônio fez dois investimentos seguintes, em que ambos pagam
juros compostos de 3% a.m.
I. três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$2.000,00; o primeiro
foi feito no dia 01/03/2009.
II. dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$3.000,00; o primeiro foi feito no dia 01/03/2009.
230
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Matemática financeira I
Considerando que M1 e M2 sejam, respectivamente, os montantes das
aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta:
a) M2 - M1 = R$90,90.
b) M2 - M1 = R$45,45.
c) M2 = M1.
d) M1 - M2 = R$45,45.
e) M1 - M2 = R$90,90
7. (Cespe) Uma instituição financeira capta investimentos oferecendo a taxa
interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada quantia, um
investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$10.500,00 um mês após
a data do depósito, e outra, no valor restante de R$11.025,00, dois meses
após o depósito, então o valor investido foi igual a:
a) R$18.000,00.
b) R$18.500,00.
c) R$19.000,00.
d) R$19.500,00.
e) R$20.000,00.
8. (Cesgranrio) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do montante a juros simples e do montante a juros compostos, ambos à mesma
taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade
de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.
Montante (M)
Composto
Simples
c0
1
Tempo (t)
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Matemática financeira I
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso
emprestar a juros:
a) compostos, sempre.
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade
de tempo.
c) simples, sempre.
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de
tempo.
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de
tempo.
9. (Cesgranrio) Júlio fez uma compra de R$600,00, sujeita à taxa de juros de
2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento
de um sinal no valor de R$150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e
R$206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se
quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em
reais?
a) 110,00.
b) 108,00.
c) 106,00.
d) 104,00.
e) 102,00.
10.(FCC) Uma empresa obteve um financiamento de $10.000 à taxa de 120%
ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou
$6.000 ao final do primeiro mês e $3.000 ao final do segundo mês. O valor
que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é:
a) $3.250,00.
b) $3.100,00.
c) $3.050,00.
d) $2.975,00.
e) $2.750,00.
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Matemática financeira I
Dica de estudo
De nada adianta uma pessoa ter boa desenvoltura nos cálculos sem o
domínio dos conceitos. Da mesma forma, de nada adianta uma pessoa dominar os conceitos sem o pleno desenvolvimento dos cálculos. Portanto, o
êxito no estudo da matemática financeira reside na prática de exercícios e no
domínio dos conceitos.
Referências
FURTADO, Emerson Marcos. Lições de Matemática Financeira. CEC: Curitiba,
2007.
MORGADO, Augusto C.; CESAR, Benjamin. Matemática Financeira. Rio de Janeiro:
Campus, 2006.
MORGADO, Augusto C.; WAGNER, Eduardo; ZANI, Sheila C. Progressões e Matemática Financeira. SBM – Sociedade Brasileira de Matemática: Rio de Janeiro,
2005.
Gabarito
1. Suponha que o preço do produto em questão seja igual a 100 reais. Com
o desconto de 10% sobre o preço anunciado, o valor à vista passa a ser
igual a 90 reais. Para pagamento após um mês, o desconto é de 5%, ou
seja, o pagamento deve ser de 95 reais.
Assim, o juro é de 95 – 90 = 5 reais sobre o valor que deveria ser pago à
vista, 90 reais.
Para calcular a que percentual correspondente a 5 reais, em relação a 90
reais (100%), basta dividir 5 por 90.
Assim, 5/90 ≅ 0,056 = 5,6%.
Resposta: E
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Matemática financeira I
2. Se o título será descontado “por fora”, então o desconto é comercial e incidente sobre o valor nominal do título. Como a taxa de desconto simples é
igual a 5% ao mês e o desconto é realizado 3 meses antes do vencimento,
então o desconto será de 3 . 5% = 15% sobre o valor do título. Assim,
o valor presente do título será 15% menor do que o valor nominal, ou
seja, será 85% do valor nominal. Portanto, o valor presente (descontado)
é dado por:
A = 0,85 . 1.000,00 = 850,00
Resposta: B
3. O montante de um capital de R$20.000,00, após três meses em regime de
juros compostos e à taxa de 2% ao mês é dado por:
M = 20.000 . (1,02)3
M = 20.000 . 1,061208
M = 21.224,16
Resposta: C
4. Suponha que o valor da 1.ª prestação seja igual a x reais. O saldo devedor, imediatamente após o pagamento da 1.ª prestação, é igual a
(1.344 – x). Como este saldo devedor será quitado após um mês, haverá
a incidência de juros na taxa de 10%, ou seja, a 2ª prestação deve ser
igual a (1.344 – x) . 1,10. Se as prestações são iguais, deve-se ter:
x = (1.344 – x) . 1,10
x = 1.478,40 – 1,10x
1,10x + x = 1.478,40
2,10x = 1.478,40
x = 1.478,40/2,10
x = 704
Resposta: A
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5. O empréstimo de 900 reais tem saldo devedor igual a 1,10 . 900 = 990
reais após um mês, e 990 . 1,10 = 1.089 após dois meses.
O pagamento de 600 reais após dois meses, deixa saldo devedor de
1.089 – 600 = 489. Se o último pagamento será feito após três meses do
empréstimo, ainda se deve considerar o juro de 10% sobre o saldo devedor de 489. Assim, o último pagamento é igual a 1,10 . 489 = 537,90., ou
seja, aproximadamente 538,00.
Resposta: E
6. Na data do 3.º depósito do investimento I, o montante do investimento I,
é dado por:
M1 = 2.000 . (1,03)2 + 2.000 . (1,03) + 2.000 . (1,03)0
M1 = 2.121,80 + 2.060 + 2.000
M1 = 6.181,80
Na data do 3.º depósito do investimento I, o montante do investimento II,
é dado por:
M2 = 3.000 . (1,03)2 + 3.000 . (1,03)
M2 = 3.182,70 + 3.090
M2 = 6.272,70
Logo, a diferença entre M2 e M1 é dada por:
M2 – M1 = 90,90
Resposta: A
7. A taxa interna de retorno é aquela que anula o Valor Presente do Fluxo de
Caixa, considerando-se recebimentos e pagamentos. Vamos supor que o
investimento inicial é igual a X. Logo, com as informações do enunciado,
é possível construir uma tabela que apresente os recebimentos e pagamentos ao longo do tempo:
Tempo (em meses)
0
1
2
Investimento (em reais)
–X
+10.500
+11.025
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Matemática financeira I
Assim, se a TIR é igual a 5% ao mês, deve-se descontar os valores recebidos nos instantes 1 e 2 para o instante zero (data focal), somar estes
recebimentos quando levados à data zero, subtrair o investimento inicial
e igualar a zero o Valor Presente:
VP = –X + 10.500/(1,05) + 11.025 / (1,05)2 = 0
VP = –X + 10.500/(1,05) + 11.025 / (1,1025) = 0
VP = –X + 10.000 + 10.000 = 0
VP = –X + 20.000 = 0
X = 20.000
Logo, o investimento inicial foi de R$20.000,00.
Resposta: E
8. O gráfico compara uma aplicação realizada a juros simples com outra a juros compostos. Ao final do período 1, os gráficos se intersectam. Assim, ao
final do período 01 as duas aplicações obtêm o mesmo rendimento. Em
um período maior que 01 o montante em um regime de juros compostos
apresenta maior rendimento do que o montante em juros simples. Entretanto, para o período inferior ao instante 01, o montante em juros simples
apresenta maior rendimento do que o montante em juros compostos.
Resposta: E
9. Júlio pagou R$150 à vista. Logo, o saldo devedor no instante inicial da
compra é igual a 600 – 150 = 450.
236
Sobre esse saldo devedor deve-se ter juro de 2%, ou seja, 1,02 . 450 = 459
é o saldo devedor após um mês.
Se a prestação após um mês é igual a 159 reais, então o saldo devedor
será 459 – 159 = 300.
Sobre esse saldo devedor há juro de 2%, de modo que a dívida passará a
ser de 1,02 . 300 = 306.
Se o pagamento após dois meses é de 206, então saldo devedor será
306 – 206 = 100.
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Matemática financeira I
Uma vez que a quitação será somente após três meses da data da compra,
então o pagamento necessário para saldar a dívida deve ser 2% maior do
que 100 reais, saldo devedor após dois meses, ou seja, deve ser de 1,02 .
100 = 102 reais.
Esse problema também poderia ser resolvido projetando-se todos os pagamentos para o mês 3 após a compra e efetuando a soma dos pagamentos menos o valor da compra.
Resposta: E
10.A taxa de 120% ao ano é proporcional a 10% ao mês. Esta deve ser a taxa
efetiva mensal utilizada para atualizar o saldo devedor.
O financiamento é igual a 10.000. Após um mês, o saldo devedor é igual a
10.000 . 1,10 = 11.000.
Se o 1.º pagamento é igual a 6.000, então o saldo devedor logo após o 1.º
pagamento é igual a 11.000 – 6.000 = 5.000.
Se esse saldo será abatido ao final do 2.º mês, então haverá incidência de
juros à taxa de 10%.
Logo, o saldo devedor é igual a 5.000 . 1,10 = 5.500.
Se o 2.º pagamento é igual a 3.000, então o saldo devedor logo após o 2.º
pagamento é igual a 5.500 – 3.000 = 2.500.
Ao final do 3.º mês, o saldo devedor deve ser 10% maior do que 2.500, ou
seja, 1,10 . 2.500 = 2.750.
Portanto, o valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento é igual a 2.750.
Resposta: E
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