IAG
Fluxo de Caixa
• O valor do dinheiro no tempo
Matemática
Financeira
• Representação:
Saídas
Entradas
(100)
100
Prof. Luiz Brandão
2012
1
B&A
2
B&A
Fluxo de Caixa
Fluxo de Caixa
• Visualização:
0
1
• Definições:
2
3
4
5
Fluxo de Caixa
3
B&A
4
VP
Æ
Valor Presente
i
Æ
Taxa de juros
VF
Æ
Valor Futuro
n
Æ
Número de Períodos
J
Æ
Valor de Juros recebidos
B&A
Exemplo
0
1
VP =1.000
J=?
VF = ?
VP = 1.000
i = 10% a.a.
n =1
Juros Simples
• Sempre são calculados sobre o valor inicial
do empréstimo
Ano
Saldo no
Início do ano
Taxa de
Juros
Base de
Cálculo
Juros do
período
Saldo final
do ano
J = VP x i = 1.000 x 10% = 100
1
$1.000
10%
$1.000
$100
$1.100
VF = VP + J = 1.100
2
$1.100
10%
$1.000
$100
$1.200
3
$1.200
10%
$1.000
$100
$1.300
4
$1.300
10%
$1.000
$100
$1.400
VF = VP (1+i)
5
B&A
6
B&A
Juros Simples
Juros Compostos
• Sempre são calculados sobre o valor inicial do
empréstimo mais os juros do período
• Fórmula Geral para Juros Simples:
b
VF = VP 1 + i ⋅ n
g
Ano
Saldo no
Início do ano
Taxa de
Juros
Base de
Cálculo
Juros do
período
Saldo final
do ano
1
$1.000
10%
$1.000
$100
$1.100
2
3
4
$1.100
$1.210
$1.331
10%
10%
10%
$1.100
$1.210
$1.331
$110
$121
$133
$1.210
$1.331
$1.464
• A partir da fórmula acima podemos obter:
VP =
7
VF
1+ i ⋅n
i=
VF − VP
VP ⋅ n
n=
VF − VP
i ⋅ VP
B&A
8
B&A
Juros Compostos
Juros Simples e Juros Compostos
10000
• Fórmula Geral para Juros Compostos:
Juros Compostos
VF = VP (1 + i )
7000
n
• A partir da fórmula acima podemos obter:
Juros Simples
4000
VP =
1000
0
5
10
15
20
9
0
VP =100
11
1
VF = ?
2
VF = ?
B&A
Exercícios
1. Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa
de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos
desta aplicação?
n
6
VF = 100 ( 1 + 0,1 ) = 177,16
i = 10% a.a.
n =6
⎛ VF ⎞
i=⎜
⎟ −1
⎝ VP ⎠
10
Exemplo
VF = VP (1 + i )
(1 + i )
n
⎛ VF ⎞
ln ⎜
VP ⎟⎠
⎝
n=
ln (1 + i )
25
B&A
VP = 100
1
n
VF
2. Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em
determinada instituição terá em 2 anos $2.420. Qual é a
taxa que esta instituição está pagando para sua
aplicação?
6
3. Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para
fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você
deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa
de juros que esta poupança paga é 12% ao ano?
VF = ?
B&A
12
B&A
Utilizando Calculadoras
Financeiras
Exercícios
4. Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica
$2.000,00 a juros compostos pelo período de 4 anos a
uma taxa de 20% ao ano?
Convenção:
5. Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao
final do 5 ano $1.500,00. Considere que a taxa de juros
compostos que você usou é de 10% ao ano.
7. Você tem hoje (t=0) $1.000.000,00 para aplicar a uma
taxa de 15% ao ano. Quanto você terá depois de 4 anos
desta aplicação?
B&A
PV
PMT
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
2
PMT
3
PMT
n
......
......
PMT
FV
Valor Presente
Taxa de juros
Valor Futuro
Número de Períodos
Anuidade
14
Usando a HP12c
B&A
Usando a HP12c
• Funções Financeiras
Calculando um Valor Futuro
• Teclas brancas, azuis e amarelas
Suponha que você irá investir $100 num banco a uma
taxa de 10% a.a. por um período de 6 anos. Qual o
montante a receber ao final dos 6 anos?
• Casas decimais
• Exemplos
Valor do investimento hoje:
Taxa de juros do investimento:
Duração do investimento:
Valor Futuro deste investimento:
– Calculando um Valor Futuro
– Calculando um Valor Presente
– Calculando uma Taxa de Juros
15
1
PV
i
FV
n
PMT
6. Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar
$3.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos
de 20% ao mês?
13
0
B&A
16
PV
i
n
FV
=
=
=
=
100
10%
6
?
B&A
Usando a HP12c
Usando a HP12c
Calculando um Valor Presente
Ação
1
tecle
Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter
acumulado um total de $1.000 daqui a 12 meses, a
uma taxa de 3% ao mês?
Descrição
FIN
Limpa a memória financeira
2
100
e tecle
Informa que o Valor Presente é $100
3
10
e tecle
Informa que os juros são 10% p/ período
4
6
e tecle
Informa que são 6 períodos
5
tecle
Calcula o Valor Futuro:
Valor Futuro:
Taxa de juros do investimento:
Duração do investimento:
Valor Presente deste investimento:
-177,16
17
B&A
FV
i
n
PV
=
=
=
=
1.000
3%
12
?
18
Usando a HP12c
B&A
Usando a HP12c
Calculando uma Taxa de Juros
Ação
1
tecle
Qual é a taxa de juros anual que faz uma aplicação
hoje no valor de 1.000,00 valer $1.200,00 em 1 ano?
Descrição
FIN
Limpa a memória financeira
Valor Presente:
2
100
12
e tecle
o Valor
Presente é $1.000
Informa que são
12 períodos
3
10
3
e tecle
10%p/p/período
período
Informa que os juros são 3%
4
1000
6
e tecle
Informa que osão
Valor
Futuro será $1.000
6 períodos
5
19
tecle
Valor Futuro:
Duração do investimento:
Taxa de juros do investimento:
Futuro: -177,16
Calcula o Valor Presente:
-701.37
B&A
20
PV = 1.000
FV = (1.200)
n= 1
i= ?
B&A
Usando a HP12c
Anuidades (PMT)
• Uma anuidade é uma série de pagamentos ou
recebimentos iguais e sucessivos.
Ação
1
tecle
Descrição
FIN
• É muito utilizado em financiamentos para compra de
bens.
Limpa aa memória
memória financeira
financeira
Limpa
2
100
12
1000
e tecle
Informa que
que osão
o Valor
Valor
Presente éé $1.000
$1.000
12 períodos
Informa
Presente
33
10
3
1200
tecle
ee tecle
Informa que
que oosValor
10%p/($1.200)
p/período
período
jurosFut.
são 3%
Informa
será
44
1000
16
tecle
ee tecle
Informa que
que éosão
Futuro será $1.000
6 períodos
Informa
1Valor
período
5
tecle
• A maioria das vendas de crediário, conforme
anunciados nos jornais, utiliza cálculo de anuidade.
– Ex: TV Full HD 42”: Apenas 12 x R$ 299,00 (ou R$ 2.800,00
à vista).
Calcula os
Futuro:
o Valor
-701.37
Calcula
juros:Presente:
20% -177,16
Obs: É necessário teclar
para trocar o sinal do Valor Futuro.
21
B&A
22
B&A
Anuidade
Anuidade
• Valor Presente de uma Anuidade:
• Valor Futuro de uma Anuidade:
PMT = 1.000
0
i = 10% a.a.
n =3
1
2
1000
• Fórmula Geral:
n
VF = PMT ∑ (1 + i )
1000
PMT = 730
3
1000
1100
1210
3310
n
VP = ∑
n −t
t =1
B&A
24
1
730
• Fórmula Geral:
t =1
23
0
i = 1% a.m.
n =3
2
3
730
730
723
716
708
2147
PMT
(1 + i )
n
B&A
Exercícios
Exercícios
1. Em 1989, o Banco Garantia comprou o controle acionário da
Brahma por 60 milhões de dólares. Em 1997, oito anos depois,
a participação do Garantia na empresa valia 1 bilhão de
dólares. Qual foi a rentabilidade anual desse investimento no
período?
4. Determinar o valor atual do seguinte fluxo de caixa, para uma
taxa de juros compostos de 3% a.m.:
Mês 1 = + 3.000
Mês 4 = - 8.000
Mês 6 = + 6.000
26
B&A
Exercícios
Exercícios
9. Como Presidente da Januzzi Empreendimentos, lhe foi
oferecido uma oportunidade de participar em um projeto que
irá gerar fluxos de caixa líquidos de R$ 150.000, R$ 170.000,
R$ 190.000, R$ 230.000 e R$ 200.000 respectivamente em
cada um dos cinco anos de vida útil do projeto. O custo do
investimento é de R$ 700.000. Considerando que a taxa de
desconto é de 12% a.a., qual é o valor presente líquido? Você
recomendaria que o projeto fosse aceito ou não?
6. Uma loja anuncia uma promoção de um fogão: “Preço de
$600,00, sem juros! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60
dias) sem juros ou à vista com 30% de desconto!” A loja está
fazendo propaganda enganosa ou não? Porque?
7. Marcos Ferreira quer vender o seu automóvel por R$
18.000,00 à vista. No entanto, ele recebeu uma oferta compra
onde receberia 20% a vista, e três parcelas mensais e iguais
de R$ 5.500,00, com a primeira vencendo em 30 dias. Se a
taxa de juros for de 2.% a.m., esta oferta é interessante para o
Sr. Ferreira?
10. Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em três
parcelas mensais e sucessivas. A primeira parcela será de R$
30.000,00 e a segunda de R$ 35.000. Se a taxa de juros
mensal for de 1% a.m., qual deve ser o valor da terceira e
última parcela?
8. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira mensal, a
juros compostos de 1,5% a.m., de forma que possa retirar
$15.000 no final de dois anos. Qual o menor valor da aplicação
mensal que permite a retirada desses valores nos meses
indicados?
27
Mês 5 = + 5.000
5. Você recebe no seu extrato de cobrança uma oferta de
assinatura de TV a cabo por 6 meses com desconto em
relação à taxa mensal. Você paga atualmente R$118,00, e a
assinatura semestral custa R$ 656,00. Se você tem dinheiro
investido em uma aplicação que rende 1% a.m., vale a pena
mudar? Considere que o pagamento da mensalidade (e da
assinatura) é devida no início do mês.
3. Determinada pessoa deseja dispor de $100.000 ao fim de seis
meses e de $200.000 ao fim de um ano. Que quantia dever
depositar hoje a uma taxa de juros compostos de 2.8% a.m.,
de modo que possa fazer as retiradas indicadas, sem deixar
saldo final?
B&A
Mês 3 = + 2.000
Mês 2 = + 6.000
2. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros
compostos de 2% a.m., de forma que possa retirar $10.000 no
final do sexto mês e $20.000 no final do décimo-segundo mês.
Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses
valores nos meses indicados?
25
Mês 0 = - 10.000
B&A
28
B&A
Respostas
Perpetuidade
1. 42,14% a.a..
• Uma anuidade que dura um tempo infinito é
denominada uma perpetuidade.
2. $24.649.58
3. $228.316,97
• Perpetuidades são muito utilizadas em avaliação de
empresas.
4. $2.628,53
5. Sim. VP mensalidade = $690,70
• Isso ocorre porque consideramos que os fluxos de
caixa de uma empresa não possuem limite de prazo.
6. Sim. 51,08%
7. Sim. $19.461,36
8. $523,86
9. Não. VPL = $664.344 - $700.000 = -$35.644,69
10. $16.471,08
29
B&A
30
B&A
Exemplo
Perpetuidades
• Durante o processo de privatização da Vale em 1995, a
empresa foi avaliada em $10 bilhões de dólares.
• Qual o valor de uma anuidade de $100 pelos
seguintes períodos?
• Este valor equivalia aproximadamente ao valor de mercado
observado na bolsa na época
• Setores críticos da privatização da empresa questionaram
esse cálculo, que não teria levado em conta o valor das
enormes jazidas minerais da Vale.
• O argumento era que somente Carajás teria reservas
comprovadas de minério suficientes para 450 anos de
consumo, que ao preço de mercado da época, representava
cerca de $80 bilhões de dólares
31
B&A
32
No de Períodos
PMT
Valor Presente
a)
10 anos
100
614,46
b)
30 anos
100
942,69
c)
100 anos
100
999.93
d)
450 anos
100
1.000,00
e)
Infinito
100
1.000,00
B&A
Perpetuidade
Perpetuidade
Precisão do Fluxo em função do no. de Períodos
Contribuição Incremental (Taxa de 10% )
10,0%
100%
7,5%
75%
% do Total
10%
5,0%
2,5%
50%
25%
0,0%
0%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
Períodos
33
B&A
25
30
35
40
45
Fluxos não Uniformes
Perpetuidade
Taxa de Juros
• Exemplo:
Valor de uma Perpetuidade Crescente
35
20
B&A
0
Valor =
15
34
Valor de uma Perpetuidade Constante
Valor =
10
No. de Períodos utiliza do no fluxo de caixa
Perpetuidade
Taxa de Juros − g
1
2
3
4
100
170
200
140
O cálculo pode ser feito descontando-se um período
de cada vez. Considere i = 10%
B&A
36
B&A
50
Fluxos não Uniformes
Fluxos não Uniformes
• Exemplo:
Passo
0
90,9
140,5
150,3
95,6
477,3
1
2
3
4
100
170
200
140
Ação
1
tecle
FIN
Limpa a memória financeira
2
100
e tecle
CF j
Informa que o primeiro Fluxo é $100
3
170
e tecle
CF j
Informa que o segundo Fluxo é $170
4
200
e tecle
CF j
Informa que o terceiro Fluxo é $200
5
140
e tecle
CF j
Informa que o quarto Fluxo é $140
6
10
e tecle
7
37
Descrição
tecle
Informa que os juros são 10% p/ período
NPV
Calcula o Valor Presente: 477,3
38
B&A
B&A
Fluxos não Uniformes
Fluxos não Uniformes
• Exemplo: (taxa de 15% a.a.)
Passo
0
2.434,8
1.512,3
(2.958,8)
1.715,3
2.734,5
1
2
3
4
2.800
2.000
(4.500)
3.000
5
5.500
5.437,98
39
40
Descrição
1
tecle
2
2800 e tecle
CF j
Informa que o primeiro Fluxo é R$2.800
3
2000 e tecle
CF j
Informa que o segundo Fluxo é R$2.000
4
4500 e tecle
5
3000 e tecle
CF j
Informa que o quarto Fluxo é R$3.000
6
3000 e tecle
CF j
Informa que o quarto Fluxo é R$3.000
7
15
8
B&A
Ação
FIN
CFj Informa que o terceiro Fluxo é - R$4.500
e tecle
tecle
Limpa a memória financeira
Informa que os juros são 15% a.a.
NPV
Calcula o Valor Presente: R$5.437,98
B&A
Usando a HP12c
Exemplo
Passo
Ação
1
1) Calcular o VPL do seguinte projeto. Considere uma
taxa de desconto de 10% a.a.:
tecle
Descrição
FIN
Limpa a memória financeira
2
10000
e tecle
Informa que o primeiro Fluxo é -$10000
2
2000
e tecle
CFj
Informa que o primeiro Fluxo é $2000
2
2200
e tecle
CFj
Informa que o primeiro Fluxo é $2200
2
1800
e tecle
CFj
Informa que o primeiro Fluxo é $1800
3
2800
e tecle
CFj
Informa que o segundo Fluxo é $2800
4
3000
e tecle
CFj
Informa que o terceiro Fluxo é $3000
5
3500
e tecle
CFj
Informa que o quarto Fluxo é $3500
6
10
e tecle
CF0
0
1
2
CF0
(10000)
CF1
2000
CF2
2200
3
CF3
1800
4
5
6
CF4
2800
CF5
3000
CF6
3500
VPL = 740
7
41
B&A
Ação
1
tecle
10000
e tecle
2
2000
e tecle
CFj
Informa que o primeiro Fluxo é $2000
2
2200
e tecle
CFj
Informa que o primeiro Fluxo é $2200
2
1800
e tecle
CFj
Informa que o primeiro Fluxo é $1800
3
2800
e tecle
CFj
Informa que o segundo Fluxo é $2800
4
3000
e tecle
CFj
Informa que o terceiro Fluxo é $3000
5
3500
e tecle
CFj
Informa que o quarto Fluxo é $3500
6
10
e tecle
• Dada uma taxa de juros, dois fluxos de caixa são
equivalentes se os seus valores atuais forem iguais.
Informa que o primeiro Fluxo é -$10000
CF0
43
tecle
B&A
Limpa a memória financeira
2
7
Calcula o Valor Presente: 740
Equivalência de Fluxos de
Caixa
Descrição
FIN
NPV
42
Usando a HP12c
Passo
tecle
Informa que o Custo de Capital é 10% a.a.
• O estudo da equivalência de fluxos de caixa se faz
no regime de juros compostos
Informa que o Custo de Capital é 10% a.a.
NPV
Calcula o Valor Presente: 740
B&A
44
B&A
Equivalência de Fluxos de
Caixa
Equivalência de Fluxos de
Caixa
• Ex: Verifique se os fluxos abaixo são
equivalentes a uma taxa de 10% a.a.
Ano
Plano B
Plano C
Plano D
Ano
1
100,00
315,47
350,00
2
100,00
315,47
3
100,00
315,47
1.100,00
315,47
4
Plano A
• Todos os quatro planos são equivalentes a
uma taxa de 10% a.a.
1.464,10
Plano B
Plano C
Plano D
1
100,00
315,47
350,00
325,00
2
100,00
315,47
325,00
300,00
3
100,00
315,47
300,00
275,00
4
1.464,10
1.100,00
315,47
275,00
VP
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
VP
45
B&A
Plano A
46
Exercícios
B&A
Exercícios
1. Qual é o pagamento mensal constante que amortiza um
empréstimo de $15.000,00 em 12 parcelas mensais à taxa de
5% a.m.?
5. Qual é a taxa de juros que um banco está cobrando de uma
empresa, se a empresa recebe $9.000 ao descontar uma
duplicata de $9.500 que vence daqui a um mês, e o banco
ainda cobra antecipadamente uma comissão de 2% sobre o
valor da duplicata?
2. Mário comprou um imóvel de $100.000 financiado em 36
meses, pagando 20% à vista, 15% daqui a um ano e o restante
em 24 parcelas mensais iguais. Considerando que os juros do
financiamento são de 1,5% a.m., qual o valor da parcela
mensal a pagar?
6. Vocês acabaram de casar, e com duas rendas e sem filhos,
resolveram iniciar uma poupança visando juntar $100.000 para
comprar uma casa daqui a cinco anos. Considerando que os
recursos aplicados renderão 1,2% a.m., qual o valor que deve
ser depositado mensalmente ao final de cada mês para se
obter o montante desejado ao final deste período?
3. Um investidor comprou US$ 1.000 em ações da Disney em
1984. Dez anos depois, essas ações valiam US$ 20.100. Qual
foi o retorno anual (em %) desse investidor no período?
4. Joana tem um salário de $2.500,00, sendo que nos últimos
anos ela recebeu três aumentos cumulativos: 15%, 10% e
25%. Qual é o salário atual da Joana?
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B&A
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B&A
Exercícios
Exercícios
7. A Loja Bom Mercado está anunciando uma geladeira ecológica
movida a energia solar. O preço é de $2.000, mas a loja
anuncia que pode ser financiado em quatro parcelas sem
juros, sendo que a primeira é paga no ato da compra. Por
outro lado, para compra à vista, a loja oferece um desconto de
5%. A loja está realmente financiando sem juros? Qual a taxa
mensal de juros cobrada?
9. Para liberar um empréstimo de $5.000,00 à taxa de 3% a.m.
por um prazo de 60 dias, um banco cobra da empresa uma
taxa de abertura de crédito de 2% sobre o valor do
empréstimo. O banco adota o cálculo de juros simples, mas
cobra os juros totais devidos e a taxa de abertura de crédito no
ato da liberação dos recursos. Quais as taxas efetivas mensal
e anual desta operação em regime de juros simples?
8. Uma empresa está considerando se deve ou não fazer um
projeto de quatro anos de duração que apresenta a seguinte
expectativa de fluxos de caixa: FC1 = $28.000, FC2 =
$32.000, FC3 = $25.000 e FC4 = $22.000. O custo do projeto é
de $80.000 no tempo zero. A taxa para desconto dos fluxos de
caixa é 15% a cada período. Qual é o valor (VPL) deste
projeto? A empresa deve fazer este investimento?
10. Determinar o valor atual (valor presente) do seguinte conjunto
de fluxos de caixa, para uma taxa de juros compostos de 2.5%
a.m.
Mês 0 = +3.000
Mês 3 = - 6.000
Mês 6 = - 4.200
Mês 1 = 2.000
Mês 4 = 3.000
Mês 7 = 3.500
Mês 2 = 2.500
Mês 5 = 2.000
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B&A
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IAG
Respostas
1. VP = 15.000
i =5%
n = 12
PMT =1.692,38
2. i = 1,5% VP = 100.000 - 20.000 - 12.545,81(VP12) = 67.454,19
n = 36 PMT = 2.438,63
Matemática
Financeira
3. Resp: 35% a.a.
4. Resp: 3.953,13
5. VP = 9.000 - 190 = 8.810
6. VF = 100.000
n=60
VF = 9.500
i = 1,2%
7. VP=2.000-100- 500=1.400
B&A
n=1
i = 7,83%
PMT =1.147,61
PMT = 500 n=3
Não. i = 3,53%
8. VPL =-2.439,10, Não
9. VP = 5.000-100-150-150 =4.600
i = 4,0%a.m.; 48,0%a.a.
VF = 5.000
n=2
Prof. Luiz Brandão
10. VPL = 5.567,50
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B&A
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