MATEMÁTICA FINANCEIRA E INSTRUMENTOS DE GESTÃO
LICENCIATURA EM GESTÃO
[LGE103]
EXERCÍCIOS #2
[Matemática Financeira]
2007-2008
FACULDADE DE ECONOMIA DO PORTO
Caderno#2-LGE103-2007-2008
Exercício 1
Uma taxa de juro anual nominal capitalizável semestralmente de 8% equivale a:
a) Uma taxa de juro anual efectiva de 8,16%.
b) A uma taxa efectiva de 4,0% ao semestre.
c) A uma taxa efectiva de 1,9804% ao trimestre.
d) ***Todas as alíneas anteriores estão certas.
R:
Taxa semestral efectiva = 8%/2 = 4%
Taxa anual equivalente = (1+4%)2-1 = 8,16%
Taxa trimestral equivalente = (1+4%)0,5-1 = 1,9804%
Exercício 2
Uma taxa de juro anual nominal capitalizável continuamente de 10% equivale a:
a) ***Uma taxa de juro semestral efectiva de 5,127%.
b) A uma taxa efectiva de 5,000% ao semestre.
c) A uma taxa anual efectiva de 10,250%.
d) Todas as alíneas anteriores estão certas.
R:
e10% = (1+ r)2, donde r = 5,127%.
Notar que taxa anual efectiva é 10,5169% = (1+5,127%)2-1.
Exercício 3
Na data de aposentação, um seu cliente tem de optar entre dois planos de reforma: uma
anuidade de €50 000 durante 20 anos vencendo-se a primeira daqui a um ano (Plano A);
e um pagamento único de €500 000 liquidado hoje (Plano B). Qual o plano que permite
ao seu cliente aceder a um maior valor actual?
a) O plano B, se a taxa de juro anual efectiva for 6%.
b) ***O plano A, se a taxa de juro anual efectiva for 5%.
c) O plano A, se a taxa de juro anual efectiva for 10%.
d) Os planos são indiferentes, se a taxa de juro anual efectiva for 7%.
R:
VA(50 000; 20; 6%) = 573 496 > 500 000
VA(50 000; 20; 5%) = 623 111 > 500 000
VA(50 000; 20; 10%) = 425 678 < 500 000
VA(50 000; 20; 7%) = 529 701 > 500 000
[Taxa de indiferença é 7,7547%]
Exercício 4
Qual dos seguintes montantes é mais próximo do valor final correspondente a investir
€ 5 000 por 14 meses a uma taxa de juro anual nominal de 6% capitalizável
mensalmente?
a) €5 293.
b) €5 845.
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c) €6 183.
d) ***€5 362.
R:
Taxa mensal efectiva=(1+r/m)m-1 = [1+(0,06/12)]12-1 = 0,06167781
Valor final = €5 000(1+0,06167781)14/12 = €5 361,61
Exercício 5
A Shock Tech, é uma nova empresa de prestação de serviços de informática, cujas
receitas correntes são de 0,5 milhões de euros por ano. Espera-se que as receitas venham
a crescer à taxa de 20% ao ano durante os próximos 5 anos, e que depois disso cresçam
ao ritmo de 3% ao ano. Qual o valor actual dos receitas futuras da empresa se a taxa de
desconto apropriada for de 12%?
a) 8,08 milhões de euros.
b) ***11,7 milhões de euros.
c) 4,22 milhões de euros.
d) 17.32 milhões de euros.
R:
Anos 1-5: (0,50(1,2)1/(1,12)1
+ (0,50(1,2)2/(1,12)2
+ (0,50(1,2)3/(1,12)3
+
(0,50(1,2)4/(1,12)4 + (0,50(1,2)5/(1,12)5 = 0,53571 + 0,57398 + 0,61498 + 0,65891 +
0,70597 = 3,08955
Anos 6- ∞: [(0,50(1,2)5(1,03)/(0,12-0,03)]/(1,12)5 = (1,28148/0,09)/(1,12)5 = 8,07943
Total: = 11,16898
Exercício 6
Um investidor aplicou EUR 100 num dado activo financeiro em 31.12.2000. Esse activo
não pagou rendimentos durante todo o período do investimento. O investidor procedeu à
sua alienação em 31.12.2003 por EUR 115. Por afirmar-se:
a) Que a sua rendibilidade média anual foi de 15%.
b) ***Que o retorno médio anual obtido, em termos geométricos, foi de 4,769%.
c) Que o retorno médio anual obtido, em termos aritméticos, foi de 4,769%.
d) Que o retorno médio anual obtido, em termos contínuos, foi de 13,976%.
R:
100(1+R)3=115, donde R = 4,769%.
Exercício 7
Admita que pretende aconselhar um seu cliente a fazer um depósito bancário com uma
taxa de rendibilidade projectada de 3 por cento ao ano. O seu cliente pretende saber
quanto terá (previsivelmente) acumulado ao fim de 7 anos, se investir um capital de
EUR 250 000.
a) EUR 312 235.
b) ***EUR 307 468.
c) EUR 250 000.
d) EUR 302 500.
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R:
EUR 307 468 = EUR 250 000 (1+3%)7.
Exercício 8
Tudo o resto constante, pode afirmar-se que:
a) O valor actual de uma perpetuidade é tanto maior quanto maior o prazo de
vencimento.
b) ***O valor actual de uma dívida é tanto menor quanto maior a taxa de juro.
c) O valor actual de um crédito é tanto menor quanto menor a taxa de juro.
d) Quanto maior a inflação maior o valor actual de um pagamento futuro.
Exercício 9
O Senhor Endividado contraiu um empréstimo de EUR 10 000 por 3 anos, acumulando
juros à taxa efectiva de 5% ao ano. Como no vencimento se encontrava com
dificuldades financeiras, negociou o adiamento da amortização para data mais oportuna,
passando a taxa a ser de 7,5% ao ano. À medida que foi recuperando passou a liquidar o
empréstimo, tendo pago EUR 2500 no final do 1º ano, EUR 3000 no final do segundo
ano e EUR 4000 passados dois anos e meio. Passados 3 anos pretende liquidar o
remanescente. Qual a quantia a pagar?
a) EUR 500.
b) EUR 3316.
c) ***EUR 4120.
d) EUR 2076.
R:
Quantia em dívida na data do adiamento = 10 000(1+5%)3 = 11 576, 25.
Donde: 11 576,25 = 2500(1+7,5%)-1 + 3000(1+7,5%)-2 + 4000(1+7,5%)-2,5 +
X(1+7,5%)-3.
X = 4120.
Exercício 10
A taxa de juro anual nominal praticada por uma instituição de crédito é de 2,0 %. Podemos
afirmar que:
a) Se a capitalização for mensal, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %.
b) Se a capitalização for semestral, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %.
c) ***Se a capitalização for trimestral, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %.
d) Se a capitalização for anual, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %.
R:
2 % / 4 = 0,5 %.
Exercício 11
O Sr. A fez um depósito num banco no valor de 5000 €. Sabendo que a taxa de juro anual
efectiva praticada pelo banco é de 2,25%, daqui a 5 anos o Sr A terá na sua conta:
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a) 5562,5 €.
b) ***5588,4 €.
c) 5542,5 €.
d) 5572,1 €.
R:
5000(1 + 2,25%)5 = 5588,4 €.
Exercício 12
O Sr. A fez um depósito num banco no valor de 5000 €. Sabendo que a taxa de juro nominal
anual praticada pelo banco é de 2% e que o depósito capitaliza semestralmente, daqui a meio
ano o Sr A terá na sua conta:
a) 5049,75 €.
b) 5051,5 €.
c) 5060 €.
d) ***5050 €.
R:
5000(1 + 2% / 2) = 5050 €.
Exercício 13
A D. Rosa fez hoje um depósito o qual lhe irá permitir receber daqui a 1 ano e meio o valor
de 1000 €. Como a taxa de juro anual efectiva em vigor é de 1,75 % o valor do depósito
efectuado é de:
a) 975 €.
b) 976,563 €.
c) ***974,313 €.
d) 975,442 €.
R:
1000(1 + 1,75%)-3/2 = 974,313 €.
Exercício 14
Um cliente de um banco solicitou um empréstimo para construção de casa própria, tendo
acordado para a fase de construção as seguintes condições:
- montante global do empréstimo de 150 000 €, o qual é entregue ao cliente
parcelarmente. As entregas são semestrais e correspondem a 20% do montante global
(a primeira entrega ocorre no momento 0);
- taxa de juro anual nominal com capitalização mensal de 4,5%;
- pagamento mensal dos juros devidos;
- início do processo de amortização do capital decorrido um ano após a realização da
última transferência pelo banco.
A taxa de juro mensal efectiva praticada pelo banco é de:
a) 0,38 %.
b) 0,407%.
c) ***0,375%.
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d) 0,42%.
R:
4,5% / 12 = 0,375%.
Exercício 15
Na situação descrita no Exercício 14, no momento em que o cliente inicia a amortização do
capital, o valor da dívida perante o banco é de:
a) 163 500 €.
b) ***150 000 €.
c) 175 000 €.
d) 160 000 €.
R:
Como os juros são sempre pagos, o valor em dívida no momento em que inicia a
amortização do capital é o valor inicial da dívida.
Exercício 16
Na situação descrita no Exercício 14, até ao momento em que o cliente inicia a amortização
do capital, o maior juro mensal pago foi de:
a) 112,5 €.
b) 225 €.
c) 750 €.
d) ***562,5 €.
R:
O maior juro mensal pago é o resultante do total do capital em dívida:
150000(1 + 0,375%) = 562,5 €
Exercício 17
Na situação descrita no Exercício 14, até ao momento em que o cliente inicia a amortização
do capital o montante total de juros pagos pelo cliente ao banco foi de:
a) ***13 500 €.
b) 15 000 €.
c) 12 500 €.
d) 14 500 €.
R:
6*30000*0,375% + 6*60000*0,375% + 6*90000*0,375% + 6*120000*0,375% +
12*150000*0,375% = 13500 €
Exercício 18
Na situação descrita no Exercício 14, o cliente inicia a amortização do capital no momento
(mês):
a) 30.
b) 35.
c) ***36.
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d) 37.
Exercício 19
Na situação descrita no Exercício 14, a partir do momento em que se inicia a amortização do
capital foi acordado que o processo teria uma duração de vinte anos, em prestações mensais
constantes, a uma taxa de juro mensal efectiva de 0,35%. O valor da prestação mensal paga
pelo cliente é:
a) ***921,630 €.
b) 625 €.
c) 850 €.
d) 965,35 €.
R:
150000*(1+0,35%)-1*0,35% / (1 − 1,0035-240) = 921,630 €
ou PMT(0,35% ; 240 ; −150000*(1+0,35%)^(-1)) = 921,630 €
Exercício 20
O Sr. ABC contraiu um empréstimo no valor de 200000 €, o qual irá ser pago em 240
prestações postcipadas, iguais e mensais. A taxa anual nominal é de 1,8%. O valor da
prestação a pagar é de:
a) 833,(3) €.
b) 902,245 €.
c) 997,663 €.
d) ***992,932 €.
R:
Tx efectiva mensal = 1,8% / 12 = 0,15%
200000*0,15% / ( 1 − 1,0015-240) = 992,932 €
ou PMT(0,15% ; 240 ; −200000) = 992,932 €
Exercício 21
O Sr. ABC contraiu um empréstimo no valor de 200000 €, o qual irá ser pago em 240
prestações postcipadas, iguais e mensais. A taxa anual nominal é de 1,8%. O valor total dos
juros pagos durante todo o processo de amortização é de:
a) 35 000 €.
b) ***38 303,7 €.
c) 38 465,5 €.
d) 37 905,2 €.
R:
240*992,932-200000 = 38303,7 €.
Exercício 22
Aquando do falecimento do avô, o Netinho recebeu uma herança de EUR 100 000 que o
seu pai e tutor aplicou à taxa de juro efectiva de 10% ao ano. Passados três anos, faleceu
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a avó deixando uma herança de EUR 130 000. Sabendo que quando o avô faleceu o
netinho tinha 8 anos e que as taxas de juro não sofreram alterações, responda:
a) Quem deixou maior herança, o avô ou a avó?
b) Verifique se o pecúlio acumulado quando o Netinho perfizer 18 anos chegará aos
EUR 500 000 tidos como necessários para fazer face às suas despesas de formação
numa prestigiada universidade?
R:
a)
FV3 (PV = EUR 100 000) = EUR 100 000 x (1 + 10%)3 = EUR 133 100.
PV (FV3 = EUR 130 000) = EUR 130 000 x (1 + 10%)-3 = EUR 97 671.
b)
Valor futuro da herança da avó:
EUR 133 100 x (1 + 10%)7 = EUR 259 374,25. Ou :
EUR 100 000 x (1 + 10%)10 = EUR 259 374,25.
Valor futuro da herança do avô:
EUR 130 000 x (1 + 10%)7 = EUR 253 333,22
Valor acumulado total:
EUR 259 374,25 + EUR 253 333,22 = EUR 512 707,47. Ou :
EUR 263 100 x (1 + 10%)7 = EUR 512 707,47.
Donde:
EUR 512 707,47 > EUR 500 000.
Exercício 23
A Empresa da Luz, SA pratica actualmente (data zero) um dividendo de EUR 1,5 por
acção. Os analistas esperam que o dividendo da empresa venha a crescer eternamente a
um ritmo de 3 por cento ao ano. A taxa de juro anual efectiva adequada ao perfil de
risco desta empresa, segundo os mesmos analistas, é de 9 por cento.
a) Qual o dividendo esperado para o ano 5?
b) Qual o valor actual dos dividendos da empresa?
c) Qual o valor actual dos dividendos, considerando apenas os dividendos a distribuir
nos próximos 50 anos?
R:
a) D(0) = 1,5
D(1) = 1,5x(1+3%) = 1,55
D(2) = 1,5x(1+3%)2 = 1,59
D(3) = 1,5x(1+3%)3 = 1,64
D(4) = 1,5x(1+3%)4 = 1,96
D(5) = 1,5x(1+3%)5 = 1,74
b)
1,55/(9%-3%) = 25,75.
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c)
PV(50 anos) = [1,55/(9%-3%)]x[1-((1+3%)/(1+9%))50] = 24,23.
Exercício 24
O Senhor João é titular de uma poupança de EUR 100 000, mas planeia atingir um valor
de EUR 250 000, fazendo aplicações com uma taxa de juro efectiva de 20% ao ano.
1) Quantos anos demora a empresa a atingir o seu objectivo?
2) Se o Senhor João atingir o seu objectivo em 10 anos, a que taxa de juro aplicou as
suas poupanças?
R:
1)
250 000 = 100 000 x (1+20%)n
n = ln(250 000/100 000)/ln(1+20%) = 5,026.
2)
250 000 = 100 000 x (1+R)10
R = 9,60%/ano.
Exercício 25
O Senhor Sortudo acaba de ganhar uma lotaria no valor de EUR 100 000. Depois de
muito pensar decidiu proceder à sua aplicação num depósito bancário, com um prazo de
10 anos, vencendo juros à taxa efectiva de 10 por cento.
(i) Na hipótese de os juros serem automaticamente capitalizados, responda:
a) Qual o valor acumulado na data de vencimento?
b) Qual o valor acumulado no início do oitavo ano?
c) Qual o montante total dos juros de juros?
d) Qual o montante dos juros de juros gerados no quinto ano?
(ii) Qual o valor acumulado do capital do Senhor Sortudo, no caso de não haver lugar à
capitalização automática de juros, mas havendo lugar à aplicação (numa outra
aplicação) dos juros libertos à taxa anual efectiva de 8 por cento?
R:
(i)
a)
VF = 100 000(1+10%)10 = 259 374.
b)
Início do 8 ano igual a fim do 7º ano. Donde: VF (7) = 100 000(1+10%)7 = 194 872.
Alternativa: VF(8)(1+10%)-1 = 100 000(1+10%)8(1+10%)-1 = 194 872.
c) Juros de Juros = 259 374 – 100 000 – 100 000 x 10% x10 = 59 374.
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d) VF(4) = 100 000(1+10%)4 = 146 410.
Juros Acumulados até final de 4 = 146 410 – 100 000 = 46 410.
Juros de Juros (5) = 46 410 x 10% = 4641.
(ii) Retirando os juros mal se vencem no depósito 1, significa que no final apenas lá está
o capital. O outro depósito equivale ao valor futuro de uma anuidade de 10 000
[=100 000 x 10%] e um prazo de 10 anos.
VF (A=10) = 10 000*((1+8%)10-1)/8% = 144 866.
Capital = 100 000
Total = 100 000 + 144 866 = 244 866.
Exercício 26
A Senhora Dona deseja comprar uma casa nova. O valor da casa é de EUR 200 000 e
será totalmente financiada com um empréstimo bancário à taxa de juro nominal de 5%
ao ano. Responda:
1) Se o prazo do empréstimo for 30 anos, quanto será a mensalidade?
2) Se a mensalidade for de EUR 1000 quantos anos demora a pagar a casa?
3) Admita que a senhora prevê poder pagar EUR 2000 por mês, excepto em Dezembro e
Agosto, altura em que gasta todo o seu rendimento. Qual a mensalidade e o prazo que
deve acordar com o banco?
R:
1) PMT (5%/12; 30; - 200 000) = EUR 1074.
2) NPER (5%/12; - 1000; + 200 000) = 431 meses (36 anos).
3)
1º Passo
VA(S) = PV(5%/12; 11; - 2000) – 2000 x (1+5%/12)-8 = EUR 21460 – EUR 935 =
EUR 19 525.
2º Passo
Mensalidade equivalente = PMT (5%/12; 12; - 19 525) = EUR 1672.
3º Passo
N = NPER (5%/12; 1672; - 200 000) = 166 meses (14 anos).
Exercício 27
Imagine que é um consultor financeiro que foi abordado por um cliente que lhe pediu
ajuda para definir a sua estratégia financeira pessoal. Ele tem poupanças no valor de
EUR 250 000 depositadas num banco; tem 55 anos; e espera trabalhar mais 10 anos,
obtendo um rendimento de EUR 100 000 por ano. A taxa de juro anual efectiva é de
5%.
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a) O seu cliente pretende preparar-se para, durante a sua reforma, gastar EUR 80 000
por ano. As estimativas actuariais apontam para uma esperança de vida de 90 anos.
Quanto é que ele necessita de ter no banco na data em que se reformar?
b) Quanto é que ele necessita de poupar em cada ano nos próximos 10 anos de modo a
suportar o nível de vida que pretende ter na reforma (gasto de EUR 80 000 por ano).
c) Assuma que as taxas de juro efectivas declinarão para 4 por cento ao ano dentro de
10 anos a contar de agora. Quanto é que o seu cliente tem de reduzir nas suas despesas
anuais de consumo durante o período de reforma, assumindo que ele que ele cumprirá o
plano de poupança que lhe sugeriu na alínea b).
R:
a)
Montante que necessita de ter no banco para suportar as despesas anuais de EUR 80 000
durante 25 anos = EUR 1 127 516.
b)
Valor Futuro das poupanças existentes no banco = EUR 407 224.
Quanto precisa de acumular até à reforma = EUR 1 127 516 - EUR 407 224 = EUR
720 292.
Poupança Anual Necessária para Obter EUR 720 292 = EUR 57 267.
c)
Se a taxa de juro cai após o 10º ano.
A anuidade máxima que consegue obter com os EUR 1 127 516 que terá acumulados
dentro de 10 anos (data da reforma) é = EUR 72 174.
Donde, o seu consumo terá de baixar de EUR 80 000 para EUR 72 174, isto é, terá de
baixar EUR 7826.
Exercício 28
Suponha que pretende solicitar financiamento bancário por dois anos. O Banco A
oferece-lhe um empréstimo à taxa de 7,4% ao ano com pagamento anual de juros. O
Banco B oferece-lhe um empréstimo pelo mesmo período à taxa nominal de 7,175% ao
ano, com pagamento mensal de juros. Qual o banco com que fará o empréstimo?
R:
(1+7,175%/12)12-1 = 7,416%>7,4%, donde prefere o Banco A.
Taxa anual efectiva Banco A (7,4%) < Taxa anual efectiva do Banco B (7,416%).
Exercício 29
Determine as taxas de juro anuais das seguintes operações:
a) Pede um empréstimo de €900 e promete pagar €972 daqui por um ano;
b) Empresta €900 e recebe a promessa de receber €972 ao fim de um ano.
c) Pede emprestado €65.000 e promete pagar €310.998 ao fim de 15 anos.
d) Pede hoje um empréstimo no valor de €11.000 e promete efectuar pagamentos anuais
de €2.487,22 ao ano durante 7 anos, a começar daqui a um ano.
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R:
a) 972/900-1 = 8%;
b) 972/900-1 = 8%;
c) 65 000(1+R)15 = 310 998, donde R = 11%;
d) 13%.
Exercício 30
O Senhor Endividado contraiu um empréstimo de EUR 20 000 por 5 anos, acumulando
juros à taxa efectiva de 5% ao ano.
a) Admitindo que foi estipulado que os juros vencidos em cada ano eram imediatamente
pagos, construa uma tabela onde se evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em
dívida e os pagamentos a efectuar pelo devedor.
b) Admitindo que foi convencionado um pagamento único a efectuar no final dos 5
anos, construa uma tabela onde se evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em
dívida e os pagamentos a efectuar pelo devedor.
c) No cenário da alínea a), suponha que ao fim de 3 anos (imediatamente após o
pagamento correspondente a esse ano) o devedor solicita o reembolso antecipado dos
seus compromissos. Suponha ainda que devedor e credor acordaram, para o efeito,
numa taxa de desconto efectiva de 8% ao ano. Qual o montante a pagar? E se tivessem
acordado uma taxa de desconto efectiva de 5% ao ano? E se essa taxa efectiva for de
3% ano?
d) No cenário da alínea b), admita que o devedor, para satisfazer o pagamento a que se
comprometeu, decidiu depositar, no final de cada ano, uma certa quantia num fundo de
amortização (sinking fund), rendendo juros à taxa efectiva de 3% ao ano. Quanto é que
deposita cada ano? Construa uma tabela que descreva o plano do fundo de amortização.
R:
Ver Excel
Exercício 31
O Senhor Endividado contraiu um empréstimo de EUR 20 000 por 5 anos, acumulando
juros à taxa efectiva de 5% ao ano.
a) Suponha que foi estipulado um regime de pagamentos constantes, isto é, com
amortização periódica pelo chamado «sistema francês», construa uma tabela onde se
evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em dívida e os pagamentos a efectuar
pelo devedor (distinguindo a quota-juro da quota-capital).
b) Suponha que foi estipulado um regime de reembolsos constantes, construa uma
tabela onde se evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em dívida e os
pagamentos a efectuar pelo devedor (distinguindo a quota-juro da quota-capital).
c) No cenário da alínea a), suponha que ao fim de 3 anos (imediatamente após o
pagamento correspondente a esse ano) o devedor solicita o reembolso antecipado dos
seus compromissos. Suponha ainda que devedor e credor acordaram, para o efeito,
numa taxa de desconto efectiva de 8% ao ano. Qual o montante a pagar? E se tivessem
acordado uma taxa de desconto efectiva de 5% ao ano? E se essa taxa efectiva for de
3% ano?
c) No cenário da alínea b), suponha que ao fim de 3 anos (imediatamente após o
pagamento correspondente a esse ano) o devedor solicita o reembolso antecipado dos
seus compromissos. Suponha ainda que devedor e credor acordaram, para o efeito,
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numa taxa de desconto efectiva de 8% ao ano. Qual o montante a pagar? E se tivessem
acordado uma taxa de desconto efectiva de 5% ao ano? E se essa taxa efectiva for de
3% ano?
R:
Ver Excel
Exercício 32
Uma sociedade de crédito ao consumo concede um empréstimo de 5000 €. O
empréstimo será reembolsado em 4 anos em prestações mensais de 130 € (a primeira
um mês depois do desembolso). Qual o valor da TAEG?
R:
Ver Excel .
Exercício 33
Uma empresa de aluguer de automóveis compra os veículos ao importador para de
imediato os arrendar a clientes em contratos de 4 anos. O preço corrente de cada veículo
é de 20000 € e a empresa espera vendê-los no fim dos contratos por 7500 €. Os clientes
pagam uma renda anual antecipada que aumenta 750 € por ano.
Qual deve ser o valor da primeira renda para gerar uma TIR de 15% por ano para a
empresa?
R:
Ver Excel .
Exercício 34
Um empréstimo obrigacionista de 5 milhões de euros foi emitido e reembolsado pelo
mesmo montante 3 anos depois. A taxa de juro foi 8% ao ano, sendo os juros pagos em
cada data de aniversário da emissão. O IPC assumiu os seguintes valores nas seguintes
datas:
Data da emissão 307
Um ano depois 322
Dois anos depois 332
Três anos depois 345.
Qual a TIR real da emissão?
R:
Ver Excel .
Exercício 35
Uma empresa obteve um empréstimo de 5 000 000 € de um banco. O empréstimo deve
ser reembolsado em 5 prestações anuais iguais, a primeira das quais um ano após o
desembolso. As prestações são calculadas a uma taxa de juro anual efectiva de 10%.
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a) Calcule o valor de cada prestação e os juros totais nos 5 anos de vida do
empréstimo.
b) Imediatamente após o segundo pagamento, a empresa pediu ao banco para
reescalonar o reembolso por forma a que ele ocorresse ao longo dos próximos 5
anos. O banco concordou na condição de a taxa de juro passar a ser de 12% anual
efectiva e ainda de os pagamentos serem feitos no fim de cada trimestre.
i . Calcule o valor da nova prestação trimestral.
ii. Qual o valor da componente juros da segunda prestação trimestral?
R:
Ver Excel .
Exercício 36
Um promotor imobiliário vai construir um bloco de apartamentos, o que demorará 6
meses. O promotor terá de pagar ao empreiteiro 2 milhões de euros no início do
projecto e depois 500000 euros no final de cada um dos seis meses que durará a
construção.
O promotor espera receber 80000 euros de rendas no início do 7° mês e do cada um dos
meses subsequentes.
O promotor espera suportar 150000 euros de custos anuais de manutenção e de gestão,
pagáveis mensalmente com início no fim do 7° mês.
a) Se bloco for vendido cinco anos após o início do projecto, qual deve ser o preço de
venda para gerar uma TIR anual de 15%?
b) Se o preço de venda for na realidade o calculado em a) e a taxa de inflação for de
3% ao ano, qual será o valor da TIR real apurada pelo promotor?
R:
Ver Excel .
Exercício 37
Um investidor isento de impostos ganhou 100000 € numa lotaria e decidiu investir o
dinheiro por 20 anos. Gastou metade (A) num investimento que rende 3000 € por
semestre durante 20 anos, começando 6 meses depois do prémio. A outra metade do
prémio é investida num título do Tesouro (investimento B) que paga 100000 € dentro
de 20 anos ("cupão 0").
Seis meses depois do prémio o investidor compra um contrato (investimento C) que
paga 150000 € dentro de 19 1/2 anos a troco de pagamentos regulares de 6000 € por ano
começando na data de compra do contrato.
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a) Calcule a TIR do investimento A.
b) Calcule a TIR do investimento B.
c) Calcule a TIR do investimento C.
d) Calcule a TIR do investimento global.
R:
Ver Excel .
Exercício 38
Uma senhora investe 5000 € no primeiro dia de cada trimestre, começando em 1 de
Janeiro de 2004, numa conta poupança que vence juros a uma taxa nominal de 3% por
ano com capitalização mensal. Ela também levanta 250 € no primeiro dia de cada mês,
começando em 1 de Fevereiro de 2004. Quanto dinheiro terá ela na conta em 31 de
Dezembro de 2006?
R:
Ver Excel .
Exercício 39
Um empréstimo é reembolsado em 3 anos através de pagamentos de 200, 300 e 400
euros no fim de cada mês durante os primeiro, segundo e terceiro anos respectivamente.
A taxa de juro efectiva mensal do empréstimo é 0,5%.
Decomponha o 15° pagamento em capital e juros.
R:
Ver Excel .
Exercício 40
Um indivíduo contrai um empréstimo de 100000 € em 1 de Janeiro de 2005 que
reembolsa através de pagamentos anuais com início em 1 de Julho de 2010 e fim em 1
de Julho de 2020. Calcule a TAEG supondo que:
a) o primeiro pagamento é de 12000 € e os subsequentes crescem 7,5% ao ano.
b) o primeiro pagamento é de 12000 € e os subsequentes crescem 500 € por ano.
R:
Ver Excel .
Exercício 41
Um investidor está a considerar a compra de um edifício, onde se encontra a sede de
uma companhia de seguros, por 3 milhões de euros. A renda é paga por essa companhia
no início de cada ano e é aumentada de 5 em 5 anos. O último aumento ocorreu há 3
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anos e fixou a renda actual (200.000 EUR). O próximo aumento será dentro de 2 anos, o
seguinte de 7, etc. Ao fim de 42 anos a propriedade regressa ao proprietário original. O
investidor estima ir ser necessário gastar 500.000 EUR seis meses após a compra na
remodelação do centro, não sendo depois requerido qualquer outro investimento. O
investidor pretende obter uma taxa de rentabilidade de 10% por ano.
Mostre que se os aumentos de renda forem sempre à mesma taxa essa taxa é de 22,04%.
R:
Ver Excel .
Exercício 42
O Sr. Esteves efectuou há dois anos um depósito a prazo de 10 000 €, que capitalizava
semestralmente. Na altura, a taxa de juro semestral em vigor era de 1,4% mas hoje, passados
dois anos, a taxa de juro semestral diminuiu para 1,25%. Considerando que não se prevê
que a taxa vá sofrer alterações, quanto dinheiro deverá receber o Sr. Esteves ao levantar o
seu depósito daqui a 2 anos?
R:
10000*(1+1,4%)4*(1+1,25%)4 = 11110,46 €.
Exercício 43
A D. Constança pretende adquirir uma viatura que custa 15 000 €. Como não pode
pagá-la a pronto obteve três condições de pagamento:
A – Sem entrada inicial; prestação mensal postcipada de 300 € durante 60
meses.
B – 2 000 € de entrada inicial; prestação mensal postcipada de 250 €
durante 60 meses.
C – 5 000 € de entrada inicial; prestação mensal postcipada de 300 €
durante 36 meses.
a) Calcule o valor total dos juros pagos pela D. Constança, em cada uma das
modalidades de pagamento que lhe foram propostas.
b) Determine o valor da taxa de juro anual nominal praticada em cada uma das
modalidades de pagamento.
c) Se fosse você a escolher que faria? Justifique.
R:
a) Hipótese A → 60 * 300 – 15000 = 3000 €
Hipótese B → 2000 + 60 * 250 – 15000 = 2000 €
Hipótese C → 5000 + 36 * 300 – 15000 = 800 €
b) Hipótese A → RATE(60 ; – 300 ;15000 ) * 12 = 0,618 % *12 = 7,42%
Hipótese B → RATE(60 ; – 250 ;13000 ) * 12 = 0,482 % * 12 = 5,78%
Hipótese C → RATE(36 ; – 300 ;10000 ) * 12 = 0,422 % * 12 = 5,06 %
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Exercício 44
Mostre que, sendo i a taxa de juro referente ao período de capitalização:
a) A razão entre os capitais referentes a dois períodos de capitalização consecutivos é igual a
1+i.
b) A razão entre os juros gerados em dois períodos de capitalização consecutivos é igual
a 1+i.
R:
a) Ct+1 / Ct = Ct * (1+i) / Ct = (1+i)
b) Jt+1,t / Jt,t-1 = [Ct * (1+i)] / [Ct-1* (1+i)] = [Ct-1 * (1+i) *(1+i)]/ [Ct-1* (1+i)] = (1+i).
Exercício 45
Os termos de um empréstimo de 57500 € a 20 anos feito em 15 de Setembro de 2000
previam que a taxa de juro em vigor em cada semestre teria o valor de uma certa taxa
indexante referente ao primeiro dia útil do mês imediatamente anterior ao início do
semestre (taxa anual proporcional com capitalização mensal) acrescida de um ponto
percentual. 0s valores do indexante nas datas relevantes são apresentados na tabela
seguinte.
Data
Tx. ref.
Data
Tx. ref.
1-08-2000
5,128%
1-02-2002
3,375%
1-02-2001
4,767%
1-08-2002
3,500%
1-08-2001
4,500%
O devedor deve ainda pagar um seguro de vida com um custo anual, pago
antecipadamente, de 200 € - que cresce 1% anualmente.
Calcule:
a) As prestações mensais nos primeiros cinco semestres.
b) A TAEG.
R:
Excel.
Exercício 46
Uma família obteve hoje um financiamento de 100 000 euros para a compra de uma
habitação. Do contrato constam as seguintes condições:
–
–
–
amortização através de uma renda anual, postcipada de n termos, a
iniciar-se daqui a um ano, de valor constante de 10 000 euros.
o último pagamento (inferior a 10 000 euros) é feito um ano após o
pagamento do n-iésimo termo da renda constante.
a taxa de juro efectiva anual contratada foi de 7%.
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1. Determine durante quanto tempo tem lugar o pagamento anual de 10 000 euros.
2. Calcule os juros totais formados ao longo de todo o processo.
3. Calcule o montante apenas respeitante à amortização de capital do 1º e do niésimo termos da renda constante.
Exercício 47
Os termos de um empréstimo de 57500 € feito em 15 de Setembro de 2000 previam que
a taxa de juro em vigor em cada semestre teria o valor de uma certa taxa indexante
referente ao primeiro dia útil do mês imediatamente anterior ao início do semestre (taxa
anual proporcional com capitalização mensal) acrescida de um ponto percentual. 0s
valores do indexante nas datas relevantes são apresentados na tabela seguinte.
Data
1-08-2000
1-02-2001
1-08-2001
Tx. ref.
5,128%
4,767%
4,500%
Data
1-02-2002
1-08-2002
Tx. ref.
3,375%
3,500%
A prestação mensal seria de 400 €, excepto a última, de valor inferior e que
reembolsaria o capital em dívida remanescente.
Calcule o prazo previsto do empréstimo no início de cada um dos 5 primeiros semestres.
R:
Excel.
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