1. Generalidades Exercı́cio 1. Seja X : Ω → R uma variável aleatória. A função distribuição F de X fica definida por: ∀x ∈ R F (x) = P[X ≤ x] . (1) Mostre que F tem as seguintes propriedades: (a) 0 ≤ F ≤ 1, limx→−∞ F (x) = 0, limx→+∞ F (x) = 1 . (b) F é não decrescente. (c) F é contı́nua à direita. i.e. : limh→0, h≥0 F (x + h) = F (x) (2) Seja g : R → R mensurável tal que E[|g(X)|] < +∞. Mostre que: +∞ g(x)dF (x) , E[g(X)] = −∞ onde o integral à direita é um integral de Lebesgue-Stieltjes. (3) Seja p(x) ≥ 0 uma função mensurável definida em R. Diz-se que X tem como densidade (relativamente à medida de Lebesgue) a função p se: x p(y)dy . F (x) = −∞ Sabendo que o movimento browniano a uma dimensão, Bt no tempo t, tem densidade: ∀x ∈ R p(x) = √ x2 1 exp(− ) , 2t 2πt determine a densidade de Bt2 . Exercı́cio 2. (1) Seja X : Ω → Rn uma variável aleatória tal que: ∃p ∈]0, +∞[ E[|X|p ] < +∞ . Mostre a desigualdade de Chebychev: ∀λ > 0 P[|X| ≥ λ] ≤ 1 E[|X|p ] . λp (2) Suponha que existe k > 0 tal que: M = E[exp(k|X|)] < +∞ . Mostre que: ∀λ ≥ 0 P[|X| ≥ λ] ≤ M e−kλ . Exercı́cio 3. Sejam X, Y : Ω → R variáveis aleatórias independentes e suponha também, para simplificar, que X e Y são limitadas. Mostre que: E[XY ] = E[X]E[Y ] . 1 2 Exercı́cio 4. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidadee sejam A1 , A2 . . . , conjuntos em F tais que: +∞ P[Ak ] < +∞ . k=1 Mostre o lema de Borel-Cantelli: P[ +∞ +∞ Ak ] = 0 , m=1 k=m i.e., a probabilidade que ω pertença a uma infinidade dos conjuntos Ak é zero. Exercı́cio 5. Sendo W = (Wt )t≥0 o processo de Wiener, mostre que: (1) E [Wt ] = 0, E [Wt2 ] = t, ∀t ≥ 0. (2) E [W s), ∀t, s ≥ 0. t Ws ] = min(t, (3) E (Wt − Ws )2 = t − s, t ≥ s. Exercı́cio 6. Sejam W = (Wt )t≥0 o processo de Wiener e t0 ≥ 0 fixo. t = Wt0 +t − Wt0 é um processo de Wiener. Prove que W Exercı́cio 7. Seja Bt um processo de Wiener em R tal que B0 = 0 (1) Mostre, usando propriedades conhecidas, que: 1 ∀u ∈ R E[eiuBt ] = exp(− u2 t) . 2 (2) Usando o desenvolvimento de Taylor da função exponencial nos dois membros da igualdade acima, compare os termos com a mesma potência em u e deduza que: E[Bt4 ] = 3t2 e, mais geralmente que: ∀k ∈ N E[Bt2k ] = (2k)! k t . 2k k! (3) Uma outra justificação do resultado anterior é a seguinte. Mostre que: 1 x2 f (x) exp(− )dx , E[f (Bt )] = √ 2t 2πt R para todas as funções f tais que o integral à direita converge. Aplique então este resultado à função f (x) = x2k e use integração por partes e indução em k. 3 2. Integral de Ito, Tempos de Paragem e Martingalas Exercı́cio 8. Mostre que com Bt o processo browniano e considerando B0 = 0. Então t 1 1 Bs dBs = Bt2 − t. 2 2 0 Exercı́cio 9. Mostre directamente usando a definição do integral de Ito que: t t sdBs = tBt − Bs ds . 0 0 Indicação: Considere que B0 = 0 e que: ∆(sj Bj ) = sj ∆(Bj ) + Bj+1 ∆(sj ) . j j j Exercı́cio 10. Mostre directamente usando a definição do integral de Ito que: t t 1 3 2 Bs dBs = Bt − Bs ds . 3 0 0 Indicação: Considere que B0 = 0. Exercı́cio 11. Seja X = (Xt )t∈[0,+∞[ um processo estocástico e seja HtX = Ht para t ∈ [0, +∞[, a σ-álgebra gerada pela famı́lia de variáveis aleatórias {Xt : 0 ≤ s ≤ t}. Isto é, HX = (Ht )t∈[0,+∞[ é a filtração associada ao processo estocástico X. (1) Mostre que se X é uma martingala relativamente a uma dada filtração N = (Nt )t∈[0,+∞[ então X é também uma martingala relativamente à filtração que lhe está associada HX . (2) Mostre que se X é uma martingala relativamente a HX então: ∀t ∈ [0, +∞[ E[Xt ] = E[X0 ] . Exercı́cio 12. Mostre que o processo de Wiener W = (Wt )t≥0 é uma martingala com respeito à filtração Ft = σ ({Ws ; s ≤ t}) . Exercı́cio 13. Verifique quais os processos seguintes são ou não martingalas: (1) Xt = Bt + 4t , (2) Xt = Bt2 , (3) t Xt = t2 Bt − 2 sBs ds , 0 (4) Xt = Bti × Btii , 4 onde Bti e Btii são processos brownianos independentes. Exercı́cio 14. Mostre directamente que: Mt = Bt2 − t , é uma martingala relativamente à filtração do processo browniano. Exercı́cio 15. Mostre que: Mt = Bt3 − 3tBt , é uma martingala relativamente à filtração do processo browniano. Exercı́cio 16. Seja ∆ = {s(1), s(2), . . . s(n)} uma subdivisão do intervalo [t, u] em R+ isto é, tal que: t = s(1) < s(2) < · · · < s(n) = u. Seja δ(∆) o passo da subdivisão ∆ definido por: δ(∆) = sup |s(i + 1) − s(i)| . 1≤i≤n−1 Seja r2 (∆) a variação quadrática do processo browniano em ∆ dada por: n−1 (Bs(i+1) − Bs(i) )2 . r2 (∆) = i=1 Seja r1 (∆) a variação (simples) do processo browniano em ∆ dada por: r1 (∆) = n−1 |Bs(i+1) − Bs(i) | . i=1 (1) Mostre que E[r2 (∆)] = u − t. 2 2 (2) Mostre que E[(r2 (∆))2 ] = 2 n−1 i=1 (s(i + 1) − s(i)) + (u − t) . Indicações: Poderá usar que: • E[(Bs(i+1) − Bs(i) )4 ] = 3(s(i + 1) − s(i))2 . • Os incrementos do processo browniano são independentes. (3) Mostre que E[(r2 (∆) − (u − t))2 ] = E[(r2 (∆))2 ] − (u − t)2 e conclua que em L2 (P): lim r2 (∆) = u − t . δ(∆)→0 (4) Mostre que existe uma sucessão de partições (∆n )n∈N tal que, salvo talvez num conjunnto de probabilidade nula: lim r2 (∆n ) = u − t . n→+∞ Indicação: A convergência em L2 (P) implica a existência de uma sucessão convergente salvo talvez num conjunnto de probabilidade nula. (5) Mostre que se ∆n = {s(1, n), s(2, n), . . . s(k(n), n)} com u = s(1, n) < · · · < s(k(n), n) = t então: k(n) k(n) 2 i=1 |Bs(i+1,n) − Bs(i,n) | |Bs(i+1,n) − Bs(i,n) | ≥ . sup r1 (∆) ≥ sup |B − B | ∆ s(i+1,n) s(i,n) 1≤i≤k(n) i=1 5 (6) Conclua que salvo talvez num conjunto de probabilidade nula: sup r1 (∆) = sup ∆ ∆ n−1 |Bs(i+1) − Bs(i) | = +∞ . i=1 Exercı́cio 17. Mostre que qualquer função constante não negativa é um stopping time. Exercı́cio 18. Mostre que se T é um stopping time de (Ft )t≥0 então para ∀t ≥ 0{T < t} ∈ Ft . Exercı́cio 19. Se T é um stopping time e a > 0 uma constante então T + a é um stopping time. Exercı́cio 20. Mostre que se T e S são stopping times então também o são T ∧ S e T ∨ S. Exercı́cio 21. Prove que FT é uma σ−álgebra e que T é FT −mensurável. Mostre que se ∀ω ∈ Ω T (ω) = a para a ≥ 0 constante, então FT = Fa Exercı́cio 22. Mostre que para quaisquer dois stopping times T e S e para qualquer A ∈ FS , temos A ∩ {S ≤ T } ∈ FT . Em particular, se S ≤ T em Ω então FS ⊆ FT . Exercı́cio 23. Dados S e T stopping times. Mostre que FT ∧S = FT ∩ FS . Exercı́cio 24. Sejam Bt o processo browniano, ∆tk = tk+1 − tk e ∆Bk = Btk+1 − Btk com 0 = t0 < t1 < . . . < tn = t. Mostre que 2 n n 2 (∆Bk ) − t (∆tk )2 =2 E k=1 k=1 e conclua que n (∆Bk )2 → t quando ∆tk → 0 (n → ∞) k=1 em L . 2 3. Fórmula de Ito Exercı́cio 25. Use a fórmula de Ito para escrever os seguintes processos estocásticos na forma diferencial habitual: dXt = u(t, ω)dt + v(t, ω)dBt . (1) Xt = (Bt )2 . (2) Xt = 2 + t + exp(Bt ). 6 Exercı́cio 26. Use a fórmula de Ito para demonstrar que: t t 1 3 2 Bs dBs = Bt − Bt ds, B0 = 0. 3 0 0 Exercı́cio 27. Sejam Xt e Yt dois processos de Ito dados na forma diferencial habitual por: dXt = σ(t, ω)dt + µ(t, ω)dBt , dYt = ρ(t, ω)dt + ν(t, ω)dBt . Mostre usando a fórmula de Ito e o facto 1 Xt Yt = ((Xt + Yt )2 − Xt2 − Yt2 ) , 2 que: d(Xt Yt ) = Xt dYt + Yt dXt + µ(t, ω)ν(t, ω)dt . Exercı́cio 28. Sejam Xt e Yt dois processos de Ito. Mostre que d(Xt Yt ) = Xt dYt + Yt dXt + dXt dYt e conclua com a seguinte fórmula de integração por partes: t t t Xs dYs = Xt Yt − X0 Y0 − Ys dXs − dXs dYs . 0 0 0 Exercı́cio 29. Seja θ(t, ω) ∈ N ([0, T ]) onde N ([0, T ]) é o espaço das funções integrandas para as quais o integral de Ito foi definido inicialmente. Seja para t ∈ [0, T ]: t 1 t 2 θ (s, ω)ds) . Zt = exp( θ(s, ω)dBs − 2 0 0 (1) Use a fórmula de Ito para mostrar que dZt = Zt θ(t, ω)dBt . (2) Conclua que Zt é uma martingala para t ∈ [0, T ] se se verificar que Zt θ(t, ω) ∈ N ([0, T ]). Exercı́cio 30. (1) Para c e α constantes seja Xt = exp(ct + αBt ). Mostre que: 1 dXt = (c + α2 )Xt dt + αXt dBt . 2 (2) Para c e α1 , . . . , αn constantes e (Bti )i∈{1,...,n} famı́lia de n processos brownianos independentes seja: n αi Bti ) Xt = exp(ct + i=1 Mostre que: n n 1 2 α )Xt dt + Xt ( αi dBti ) . dXt = (c + 2 i=1 i i=1 Exercı́cio 31. Seja Xt um integral de Ito dXt = v(t, ω)dBt . 7 (1) Dê um exemplo que mostre que Xt2 não é em geral uma martingala. (2) Mostre que t 2 |v(t, ω)|2 ds , Mt = Xt − 0 é uma martingala. Exercı́cio 32. Sejam Bt1 e Bt2 dois processos brownianos independentes. Escreva na forma diferencial o processo bidimensional definido por: Zt = Zt1 , Zt2 = Bt1 Bt2 , exp(Bt1 )Bt2 . Exercı́cio 33. Suponha-se que Xt satisfaz a equação dXt = αXt dt + σXt dWt e que Yt satisfaz a equação dYt = γYt dt + δYt dVt , onde V é um processo de Wiener independente de W . Defina-se Z por Z = XY e obtenha o desenvolvimento diferencial de Z. Nota: Se X descreve o processo do preço de uma acção da IBM em dólares e Y a taxa de conversão escudos/dólares então Z descreve a dinamica do preço da acção da IBM em escudos. Exercı́cio 34. Seja Xt o processo solução da equação: dXt = (αXt + β) dt + (σXt + ρ) dWt X0 = 0 Façamos St = exp((α − σ 2 /2) t + σWt ). (1) Escreva a equação diferencial que St−1 satisfaz. (2) Prove que d Xt St−1 = St−1 ((β − σρ)dt + ρdWt ). (3) Obtenha a representação explicita de Xt . Exercı́cio 35. O processo de Ornstein-Ulhenbeck é a solução da equação: dXt = −cXt dt + σdBt X0 = x0 t (1) Mostre que Xt = x0 e−ct + σe−ct 0 ecs dBs . (2) Calcule E [Xt ] e V [Xt ]. Indicação: Aplique a fórmula de Ito à função f (t, Xt ) = Xt exp(ct). Exercı́cio 36. O movimento browniano geométrico é a solução da equação: dXt = αXt dt + σXt dWt X0 = x0 σ2 (1) Mostre que Xt = x0 exp( α − 2 t + σWt ). (2) Mostre que E [Xt ] = x0 exp(αt). 8 Indicação: Aplique a fórmula de Ito à função f (t, Xt ) = ln(Xt ). 4. O Modelo de Black-Scholes Exercı́cio 37. Considere que no modelo de Black-Scholes a evolução dos preços dos activos é dada pelas equações: dSt = µSt dt + σSt dBt , dβt = rβt dt onde (Bt )t∈R+ é um processo browniano usual. 1- Mostre que: (2.1) St+∆t = St exp(σ(Bt+∆t − Bt ) + (µ − 12 σ 2 )∆t) e conclua que os retornos logarı́tmicos do activo em questão são normais com média e variância definidas. 2- Usando a fórmula (2.1) mostre que: E[ln(St+∆t /St )] V[ln(St+∆t /St )] 1 , σ2 = µ − σ2 = 2 ∆t ∆t onde E[X] e V[X] representam a média e a variância da variável aleatória X. 3- Considere os seguintes dados para a evolução dos preços (St )t∈{0,...,11} em que os preços são dados mensalmente. t 0 1 2 3 4 5 St 6 900 6 710 6 535 6 281 6 232 6 098 t 6 7 8 9 10 11 St 6 021 5 536 5 419 5 641 5 380 5 216 Determine µ e σ. 4- Determine o preço de uma call option europeia, no instante t = 11 sobre o activo representado por St , com taxa nominal de 3,6% ao ano, maturidade de 3 meses e preço de Execı́cio de 5 500. Exercı́cio 38. Para c e α constantes, seja Xt = exp (ct + αBt ). Use a fórmula de Ito para mostrar que 1 2 dXt = c + α Xt dt + αXt dBt 2 Exercı́cio 39. Considere que no modelo de Black-Scholes a evolução dos preços dos activos é dada pelas equações: dSt = µSt dt + σSt dBt , dβt = rβt dt onde (Bt )t∈R+ é um processo browniano usual. 1- Mostre que: (2.1) St+∆t = St exp(σ(Bt+∆t − Bt ) + (µ − 12 σ 2 )∆t) e conclua que os retornos logarı́tmicos do activo em questão são normais com média e variância definidas. 9 2- Usando a fórmula (2.1) mostre que: E[ln(St+∆t /St )] V[ln(St+∆t /St )] 1 µ − σ2 = , σ2 = 2 ∆t ∆t onde E[X] e V[X] representam a média e a variância da variável aleatória X. 3- Considere os seguintes dados para a evolução dos preços (St )t∈{0,...,13} em que os preços são dados mensalmente. t 0 1 2 3 4 5 St 3 478 3 587 3 760 3 613 3 690 4 014 t 6 7 8 9 10 11 St 4 065 4 154 4 187 4 357 4 473 4 600 Determine µ e σ. 4- Determine o preço de uma put option europeia, no instante t = 11 sobre o activo representado por St , com taxa nominal de 3,6% ao ano, maturidade de 4 meses e preço de Execı́cio de 4 500. Exercı́cio 40. Considere que no modelo de Black-Scholes a evolução dos preços dos activos é dada pelas equações: dSt = µSt dt + σSt dBt , dβt = rβt dt onde (Bt )t∈R+ é um processo browniano usual. 1- Mostre que: (2.1) St+∆t = St exp(σ(Bt+∆t − Bt ) + (µ − 12 σ 2 )∆t) e conclua que os retornos logarı́tmicos do activo em questão são normais com média e variância definidas. 2- Usando a fórmula (2.1) mostre que: E[ln(St+∆t /St )] V[ln(St+∆t /St )] 1 , σ2 = µ − σ2 = 2 ∆t ∆t onde E[X] e V[X] representam a média e a variância da variável aleatória X. 3- Considere os seguintes dados para a evolução dos preços (St )t∈{0,...,13} em que os preços são dados mensalmente. t 0 1 2 3 4 5 St 6 900 6 710 6 535 6 281 6 232 6 098 t 6 7 8 9 10 11 St 6 021 5 536 5 419 5 641 5 380 5 216 Determine µ e σ. 4- Usando a fórmula de Black-Scholes determine uma volatilidade implı́cita para a qual a fórmula de apreçamento de uma Call Option europeia dá um preço de 4, dado que o preço do activo subjacente é 45, o preço 10 de Execı́cio é 50, a taxa de juro sem risco mensal é 0.4% e que a maturidade é 3 meses. Sugestão: Poderá usar uma interpolação linear.