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1 - Variáveis endógenas vs exógenas
A teoria económica geralmente serve-se da análise matemática em dois momentos
distintos: na formulação de relações causais entre variáveis; no confronto dessas relações,
consideradas como hipóteses, com a realidade. Por enquanto, preocupemo-nos com o primeiro
caso...
Uma função não é mais do que a expressão de uma relação de comportamento entre
variáveis. Este conceito engloba três elementos:
• variável dependente, explicada ou endógena - o seu comportamento é explicado pela
teoria em causa, nomeadamente pelo comportamento da...
• variável(eis) independente(s), explicativa(s) ou exógena(s) - são determinadas por
ocorrências exteriores à teoria em causa, pelo que são meros dados que se aceitam para
estudar o desempenho da variável explicada.
• correspondência unívoca entre a(s) variável(eis) independente(s) e a dependente.
Imaginemos que estamos a formular uma teoria que explique o número de homicídios por
ano, levando-nos a formular a hipótese de que “o número de homicídios depende da severidade
das penas”. A nossa variável explicativa seria a severidade das penas, medida pelo número de anos
de prisão (S); a variável explicada, o número de homicídios por ano (H). A cada valor de S
corresponderia um valor de H (relação unívoca), traduzindo-se a função na expressão H=f(S), ou
seja, “o número de homicídios é função (depende) da severidade das penas”, logo, a tradução
matemática da hipótese formulada.
Como exemplo, consideremos os seguintes dados hipotéticos:
0
3
6
9
12 15 18 21 24 27
Severidade das penas
(Anos de prisão)
140 100
Nº de homicídios
por ano
73
56
45
37
33
30
28
27
Tais dados traduzem-se numa determinada representação gráfica:
140
120
100
80
60
40
20
30
27
24
21
X
18
15
12
9
6
3
0
0
Y
30
26
2
Repare-se que a teoria poderia ser outra, alterando por completo o raciocínio. Se
entendêssemos que as penas de prisão estabelecidas na lei eram influenciadas pelo clima de
insegurança da população, que dependia nomeadamente do número de homicídios por ano, as
variáveis atrás mencionadas trocariam de posição: a explicada passaria a explicativa e vice-versa.
Por outro lado, convém referir que esta hipótese é extremamente simples, nada dizendo
sobre outras variáveis que influenciam o número de homicídios. No fundo, estamos a analisar o
efeito de uma variável, mantendo constantes todas as demais, o que equivale à aplicação da cláusula
“ceteris paribus”.
2 - Interpretação geométrica das inclinações
2.1 - Numa recta
A inclinação de uma recta é dada pelo valor da tangente trignométrica do ângulo que a
recta forma com o eixo horizontal ou com uma paralela a esse eixo.
y
12
10
8
a
6
4
2
β
c
b
Inclinação da recta = Tg ( β ) =
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
x
cateto _ oposto
ab ∆y 6 − 2 4
= = 0,5
=
=
=
cateto _ adjacente cb ∆x 8 − 0 8
Interpretação:
A um acréscimo de 1 unidade no valor de x corresponde, em média, um aumento de 0,5 unidades
no valor de y.
Em suma, num qualquer ponto da recta, a sua inclinação é dada pelo quociente da variação
da variável dependente sobre a variação da variável independente.
Casos particulares
y
y
Inclinação infinita
Inclinação nula
x
x
3
2.2 - Num arco de uma curva
A inclinação no arco de uma curva é dada pelo valor da tangente trignométrica do ângulo
que a secante que une os dois pontos do arco forma com o eixo horizontal ou com uma paralela.
80
70
60
50
40
30
20
10
0
R
∆y
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3
2,5
2
1,5
1
0,5
Inclinação no arco PR= Tgα =
∆x
3,5
α
P
0
y
x
∆y 50 − 20
= 10
=
∆x
5− 2
Interpretação:
Uma variação unitária de x entre os valores do arco (2 e 5) determina no valor total de y,
em média, uma variação no mesmo sentido de 10 unidades.
2.3 - Num ponto de uma curva
Numa curva, a inclinação num ponto é dada pelo valor do ângulo que a tangente
trignométrica nesse ponto da curva forma com o eixo horizontal ou com uma paralela a esse eixo.
Ao fim e ao cabo, temos uma situação similar à anterior, com a ressalva de que estamos a
medir
∆y
, quando ∆x tende para zero, ou seja, em termos analíticos, a calcular a derivada da
∆x
função num ponto.
2X2-4X+20
80
70
60
50
40
d
30
20
f
e
10
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
y
x
4
No ponto (2,20) da função traçada, a inclinação será dada pela inclinação da
recta tangente àquele ponto, ou seja,
de 30 − 20 10
=
=
= 4 . Se derivássemos a função utilizada,
fe 4,5 − 2 2,5
teríamos o resultado (4X-4). Substituindo X por 2, obteremos o mesmo valor geometricamente
determinado.
Interpretação:
Se na vizinhança do ponto f, a variável independente sofrer um acréscimo infinitamente
pequeno, então a variável dependente sofre um acréscimo 4 vezes superior.
Em suma, a inclinação de uma função num ponto de abcissa x0 corresponde,
geometricamente, ao declive da recta tangente ao gráfico da função em causa e analiticamente, ao
valor da derivada da função nesse ponto.
3 - Importância da segunda derivada de uma função
Se a primeira derivada nos permite analisar o crescimento ou decrescimento de uma
função, já a segunda derivada procura mensurar esse ritmo de crescimento/decrescimento. Se a
segunda derivada de uma função for positiva, temos uma curva convexa. Caso contrário, obtemos
uma função côncava.
Chama-se ponto de inflexão de uma curva contínua, ao ponto que separa a parte côncava
da parte convexa da curva.
y
x
5
Função crescente e côncava
( f ’(x) > 0 , f ’’(x) < 0 )
y
x
A função cresce a ritmos decrescentes: acréscimos sucessivos, de igual montante, da
variável independente provocam acréscimos cada vez mais pequenos da variável dependente.
No exemplo que temos sugerido, uma representação gráfica dos dados obtidos deste
género significaria, um pouco irrealisticamente, que o aumento da severidade das penas provocava
aumentos do número de homicídios, mas a um ritmo cada vez menor: por cada ano acrescido das
penas, vamos tendo aumentos cada vez menores do número de homicídios.
Função decrescente e côncava
( f ‘ (x) < 0 , f ‘’(x) < 0 )
y
x
A função decresce, em valor absoluto, a ritmos crescentes: acréscimos sucessivos, de igual
montante, da variável independente provocam decréscimos cada vez maiores (em valor absoluto) da
variável dependente.
No nosso exemplo, se a representação dos dados fosse esta, teríamos que o aumento da
severidade das penas provocava diminuições do número de homicídios, a um ritmo cada vez maior:
por cada ano acrescido das penas, vamos tendo reduções cada vez maiores do número de
homicídios. O aumento da severidade das penas surge como um elemento fortemente dissuasor do
número de homicídios.
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Função crescente e convexa
( f ‘(x) < 0 , f ‘’ (x) > 0 )
y
x
A função cresce a ritmos crescentes: acréscimos sucessivos, de igual montante, da variável
independente provocam acréscimos cada vez maiores da variável dependente.
No exemplo dado, teríamos, talvez de forma pouco realista, que o aumento da severidade
das penas provocava aumentos do número de homicídios, a um ritmo cada vez maior: por cada ano
acrescido das penas, vamos tendo aumentos cada vez maiores do número de homicídios.
Função decrescente e convexa
( f ‘ (x) < 0 , f ‘’ (x) > 0 )
y
x
A função decresce, em valor absoluto, a ritmos decrescentes: acréscimos sucessivos, de
igual montante, da variável independente provocam decréscimos cada vez menores (em valor
absoluto) da variável dependente.
No exemplo que temos sugerido, teríamos que o aumento da severidade das penas
provocava diminuições do número de homicídios, a um ritmo cada vez menor. No limite, a partir de
determinado grau de severidade de penas, não há qualquer efeito dissuasor sobre o número de
homicídios.