24/4/2006, 21:30:14
Matrizes _____________________________________________________________ 2
Definição _________________________________________________________________2
Notação de uma matriz _________________________________________________ 2
Matriz Quadrada ______________________________________________________ 2
Matriz Diagonal _______________________________________________________ 2
Matriz linha __________________________________________________________ 2
Matriz coluna _________________________________________________________ 2
Matrizes iguais ________________________________________________________ 2
Exercício__________________________________________________________________3
Matriz Transposta _____________________________________________________ 3
Propriedades da matriz transposta ____________________________________________3
Matriz Oposta_________________________________________________________ 3
Matriz Nula __________________________________________________________ 3
Matriz identidade ou Matriz unidade ______________________________________ 4
Adição de Matrizes_____________________________________________________ 4
Exercício__________________________________________________________________4
Produto de Matrizes____________________________________________________ 4
Exercícios _________________________________________________________________4
Matriz inversa A-1 de uma matriz _________________________________________ 5
Ambiente e Preservação ________________________________________________ 6
Arquivo: matrice01.doc page 2/6
Matrizes
Definição
— São números dispostos em linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais), formando uma tabela.
— Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas
(filas verticais).
Notação de uma matriz
1.
 a11
Uma matriz de ordem 2x3: B = 
 a21
 4
Exemplo: D =  2

 5
a13 
.
a23 
a12
a22
− 3 0
 é uma matriz 2x3, com 6 elementos, onde a11=4, a12=-3, a21=2/5, a13=0,
1 6

a22=1, a23=6.
 a11

 a`21
2. Uma matriz genérica de ordem mxn: A =  a31

 ...

 am1
a12
a`22
a32
...
am 2
a13
a23
a33
...
am 3
...
...
...
...
...
a1n 

a2 n 
a3n  , a11, a12, a13, ... , a1n são

... 

amn 
os elementos da primeira linha e a12, a22, a32, ... , an2 são os elementos da segunda coluna, etc.
Matriz Quadrada
— é toda matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplo:
a)
b)
1
A = 
0
4

B = 9
8

7
 é uma matriz quadrada de ordem 2x2;
2 
0 1

2 5  é uma matriz quadrada de ordem 3x3.
0 3 
Matriz Diagonal
— É a matriz quadrada na qual os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.
 − 2 0 0


Exemplos: A =  0
7 0 ;
 0 0 8


Matriz linha
9

0
B=
0

0

— é toda matriz do tipo 1xn. Exemplo: C = (3
0
4
0
0
0
0 

0
0 
3
0 

0 − 10 
 0 0 0


e C =  0 0 0
 0 0 0


0 1 8) , matriz de ordem 1x4.
Matriz coluna
2
 
— é toda matriz do tipo mx1. Exemplo: M =  7  , matriz de ordem 3x1.
 40 
 
Matrizes iguais
— duas matrizes A e B são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são iguais.
Arquivo: matrice01.doc page 3/6
Exemplo:
Exercício
 5 1

D = 
0
3


e
 5 1
 logo
E = 
0
3


 x+ y
Sendo as matrizes A = 
x − 2y
para que se tenha A=B.
Resolução:
1.
x + y = 8

 x − 2 y = −1
2.
→
D=E.
m−n 
 8 6
 e B = 
 , achar os valores de x, y, m e n
3m + n 
−
1
10


® x=5; y=3; m=4 e n= -2.
m − n = 6

3m + n = 10
 2x + 5 y 
 =
 x− y 
Determine x e y, sabendo que as matrizes 
1
4
3
  são iguais. ® x = − e y =
7
7
 −1
 x + y a + b   5 − 1
 = 
 , determine x, y, a e b.
® x=3; y=2; a=1 e b=2
 x − y a − b  1 3 
1 2
 4 2
 e B = 
 , encontre as X e Y do sistema
4. Dadas as matrizes A = 
0 1
10 6 
5/ 2 2 
X + Y = A
 e Y=?
® X = 

X − Y = B
 5 7 / 2
3.
Se 
Matriz Transposta
— quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz é dita uma matriz
transposta.
 2 5 7


Exemplo: A =  4 6 8 
10 1 0 


 2 4 10 


a sua transposta é A =  5 6 1  .
7 8 0 


4 
 1 2 3


 0 0 −1 − 2
t
5. Encontrar a matriz transposta A da matriz A = 
. ® A=?
−3 4 5
6 


 7 8 9 10 


t
Propriedades da matriz transposta
1.
2.
3.
(A ) = A
t t
( A + B )t = At + B t
(α . A)t = α .At
Matriz Oposta
— matriz oposta de uma matriz A é uma que somada com a matriz A, resulta na matriz Nula.
 − 7 0
 a sua oposta é:
1 
Matriz Nula
Exemplo: A = 
 3
0
 7

− A = 
 − 3 − 1
— É a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.
Exemplo:
Arquivo: matrice01.doc page 4/6
 0 0 0


B =  0 0 0
 0 0 0


a)
b)
0 0


0 0
Matriz identidade ou Matriz unidade
— de ordem n ≥ 2 , é a matriz quadrada de ordem n que tem os elementos da diagonal principal iguais a
1 e os demais elementos iguais a zero.
Exemplos:
1 0
 , matriz identidade de ordem 2;
I 2 = 
0 1
1

0
I4 = 
0

0

0
1
0
0
0
0
1
0
1 0 0


I 3 =  0 1 0  , matriz identidade de ordem 3;
0 0 1


0

0
, matriz identidade de ordem 4.
0

1 
Adição de Matrizes
– A soma de duas matrizes A = (aij ) e B = (bij ) é a matriz A + B = (a ij + bij ) , ambas do mesmo
tipo mxn , (ambas da mesma ordem).
Exercício
6.
 − 3 6
 2 − 6
 2 − 6
 , calcular:
 e C = 
 , B = 
2
4
8
10
10 




Dadas as matrizes A = 
8
a) A + B − C
 2 − 6
 +
 8 10 
Resolução: 
 2 − 6   + 3 − 6   7 − 18 

 = 

 + 
 8 10   − 2 − 4  14 16 
7.
 x − 2 4   1 2 z − 3
=
 + 
1 
 y + 1 3  − 3
Determinar x, y e z sabendo que: 
Produto de Matrizes
 3 − 6

 − 2 − 4
® 
b) A − B − C
3 z 

 .
 2 4
® 4, 4 e -1
Requisito: O número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
Assim: a) A2 x3 XB3 x 4 à P2 x 4 ;
b) M 3 x 4 . A4 x1 à D3x1
Exercícios
− 2 5 


 1 2 − 1
 e B =  4 − 3  , determine AxB.
8. Sejam as matrizes A = 
3 1 4 
 2
1 

Arquivo: matrice01.doc page 5/6
Resolução:
− 2 5 
 1x(−2) + 2 x 4 + (−1x 2) 1x5 + 2 x(−3) + (−1) x1
 1 2 − 1 
 x  4 − 3  = 
=
AxB = 
3 x(−2) + 1x 4 + 4 x 2
3 x5 + 1x(−3) + 4 x1 
3 1 4   2


1 

 4 − 2


(Regra: Primeira linha com a primeira coluna; primeira linha com a segunda coluna;
 6 16 
segunda linha com a primeira coluna; segunda linha com a segunda coluna).
9.
 1 1
0 0
 e B = 
 , calcule os produtos de matrizes abaixo::
 0 1
1 1
Sejam as matrizes A = 
a) A.B
d) A2
b) B.A
c) A.B=B.A ?
V ou F.
e) B2
1 1
0 0
b) 
c) não vale a propriedade comutariva


1 1
1 1 
0 0
2
e) B = 

1 1
Matriz inversa A-1 de uma matriz
Respostas: a) 
1 2

0 1
d) 
Definição:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se A-1 é a matriz inversa da matriz A então o
-1
-1
produto A.A =A .A= In.
 0 2
 .
 − 1 4
10. Encontrar a matriz inversa A_1 da matriz A = 
a) Usando o escalonamento.
Resolução:
coloca-se à direita da matriz dada, a matriz identidade; faz-se o escalonamento de modo
que a matriz identidade passe a ocupar a posição da matriz dada.
−1 4 0 1
1 − 4 0 −1
1 0 2 −1
0 2 1 0
à
à
à
0 2 1 0
0 2 1 0
−1 4 0 1
0 2 1 0
1 0 2 −1
, observe que a posição da matriz A foi ocupada pela matriz identidade e na
à
0 1 1/ 2 0
 2 − 1
−1
 .
posição da matriz identidade encontra-se a matriz inversa A = 
1 / 2 0 
a b
−1
 )
b) Usando a definição. (obs: faça A = 
c d
Solução:
1 − 1
 usando o escalonamento. ®
1 2 
11. Encontrar a matriz inversa A_1 da matriz A = 
 2

A_1=  3
− 1

 3
1

3
1

3
 1 0 −1


12. Encontrar a matriz inversa A da matriz A =  0 1 − 2  usando o escalonamento.
−1 2 1 


_1
Arquivo: matrice01.doc page 6/6
5 / 4 − 1 / 2 1/ 4 


® 1/ 2
0
1/ 2 
1/ 4 − 1 / 2 1/ 4 


 4 2
1 2
 , encontre a matriz X, tal que
 e B = 
0
1
10
6




13. Dadas as matrizes A = 
a) A. X = B
−1
=A
Resolução:
b) B. X
B. X −1 = A → B. X −1. X = A. X → B.I = A. X → A. X = B
Ambiente e Preservação
(bb18, page 198) Um modelo matricial em um estudo ecológico
Os professores Bem Noble e James W. Daniel, no livro Álgebra Linear Aplicada,
apresentam um modelo matricial para o estudo do equilíbrio entre o crescimento de
duas populações: uma de 1000 galinhas e outra de 100 raposas, predadoras das galinhas.
Admitindo certas taxas de variação para o número de indivíduos das duas populações,
em n unidades de tempo, os autores obtiveram a equação matricial:
n
 Rn   0,6 0,5   100 
  = 
 .
 , em que Rn e G n são, respectivamente, o número de
 G n   − k 1, 2  1000 
raposas e o número de galinhas na enésima unidade de tempo, e k é a taxa de predação
(razão do número de galinhas mortas para o número total de galinhas em cada unidade
de tempo).
A partir dessa equação, os professores mostram que, mantendo-se a taxa de predação
dentro de certos limites, as duas populações crescem indefinidamente; mas, para taxas
altas além do limite superior, as duas populações desaparecem.
Esse exemplo mostra o quanto a Matemática pode ajudar no equilíbrio ecológico. Resta
saber o quanto a ambição desmedida e a sede de poder do homem, como predador da
natureza, pode interferir na taxa de predação.
Referências Bibliográficas
Bb18. Paiva, Manoel — Matemática, volume único — 2ª. Edição, Editora Moderna, 2003,
Volume 2, Atual Editora, 1994, São Paulo.