Departamento de Matemática e Engenharias
Álgebra Linear - 06/07
Valores e vectores próprios. Diagonalização. Potência da matriz
Folha de ex. No .8
⎡
⎤
1 1 0
1. Seja A = ⎣ 0 2 2 ⎦ . Verifique que:
0 2 5
(a) (1, 5, 10) é vector próprio de A.
(b) 1 é valor próprio de A.
2. Considere as seguintes matrizes:
A=
∙
⎡
0 1
1 0
¸
B=
⎤
3 1 0
E=⎣ 1 3 0 ⎦
0 0 2
⎡
∙
2 1
0 1
⎡
⎤
1 2 −2
D=⎣ 2 1 0 ⎦
−2 0 1
⎡
¸
⎤
1
0 0
F = ⎣ −7 1 0 ⎦
4 −3 1
⎤
1 1 0
C=⎣ 0 2 2 ⎦
0 2 5
⎡
1
⎢ 0
G=⎢
⎣ 0
0
⎤
1 0 0
1 0 0 ⎥
⎥
0 −2 0 ⎦
0 0 2
(a) Determine os valores e os vectores próprios de cada uma das matrizes.
(b) Identifique as matrizes diagonalizáveis.
(c) Para cada uma das matrizes identificadas na alínea anterior, diagonalize-as e determine
a potência de ordem n, n ∈ N.
⎡
⎤
2 1 1 0
⎢ 0 2 0 1 ⎥
⎥
3. Seja A = ⎢
⎣ 0 0 2 1 ⎦.
0 0 0 2
(a) Determine os valores próprios e os vectores próprios da matriz A.
(b) Indique, justificando, se
⎡
1
⎣
4. Considere a matriz A = 2
1
A é uma matriz diagonalizável.
⎤
1 −1
2 0 ⎦ , com a ∈ R.
a a
1
(a) Diga para que valores do parâmetro a a matriz A admite o valor próprio zero.
(b) Para esses valores de a, determine os restantes valores próprios de A e os correspondentes
vectores próprios.
(c) Considerando os valores de a da alínea anterior, estude a invertibilidade de A.
¸
∙
2 1
, a, b ∈ R.
5. Considere A =
a b
(a) Para a = 2 e b = 1 diagonalize a matriz A.
(b) Se b = 2, para que valores de a a matriz A é diagonalizável?
6. Seja A ∈ M3×3 . Sabendo que A admite os valores próprios 1 e 2, com multiplicidade algébrica
2 e 1, respectivamente e que (1, 0, −1) , (0, 1, 1) e (−1, 1, 0) são os vectores próprios associados
aos valores próprios 1 e 2, respectivamente, determine a matriz A.
7. Seja
A=
∙
√1
2
√ ¸
2
.
2
(a) Determine uma matriz diagonal D e a matriz S que satisfazem a igualdade D = S −1 AS.
(b) Calcule An , para cada natural n.
8. Considere a matriz
⎡
⎤
0 1 0
A = ⎣ 0 0 1 ⎦.
a b c
Sabendo que A admite valores próprios −1, 0 e 1, calcule a, b, c.
9. Considere a matriz
⎡
⎤
1 0 0
A = ⎣ 0 α α ⎦.
0 1 1
Indique um valor de α para o qual A admite o valor próprio 0, com multiplicidade algébrica
2.
2