Resolução das atividades complementares
Matemática
M10 — Progressões
p. 46
1 (UFBA) A soma dos 3o e 4o termos da seqüência abaixo é:
a 1 5 18

n 11
? a n, n  IN *
a n 1 1 5 18 1 (21)
a) 236
b) 218
c) 0
d) 18
e) 36
Resolução:
a 1 5 18

n 11
? a n, n  IN *
a n 1 1 5 18 1 (21)
a2 5 18 1 (21)2 ? a1 5 18 1 18 5 36
a3 518 1 (21)3 ? a2 5 18 2 36 5 218
a4 5 18 1 (21)4 2 a3 5 18 2 18 5 0
a3 1 a4 5 218 1 0 5 218
2 (UERN) A seqüência de números positivos (x, x 1 10, x2, ...) é uma progressão aritmética, cujo
décimo termo é:
a) 94
b) 95
c) 101
d) 104
e) 105
Resolução:
(x, x 1 10, x2, ...) → PA de números positivos
2(x 1 10) 5 x 1 x2
x2 2 x 2 20 5 0
x 5 5
19
x 5
2
x 5 2 4 (não convém)
PA: (5, 15, 25, ...)
a1 5 5; r 5 10
a10 5 a1 1 9r 5 5 1 9 ? 10 [ a10 5 95
3 (UFJF-MG) Em 2004, foi realizada, em Atenas, a 28o Olimpíada da era moderna, evento esportivo que
acontece de quatro em quatro anos.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a edição da Olimpíada de 1948 e o ano de 50a Olimpíada
da era moderna, supondo que não haja interrupção, são, respectivamente:
c) 15a e 2086
e) 17a e 2092
a) 14a e 2200
d) 14a e 2092
b) 15a e 2204
Resolução:
Do enunciado, temos:
a28 5 2004 e r 5 4
Logo:
a28 5 a1 1 27 r → 2004 5 a1 1 27 ? 4 → a1 5 1896
Daí, vem:
1948 5 1896 1 (n 2 1) ? 4 → 52 5 4n 2 4 → n 5 14
a50 5 a1 1 49 r → a50 5 1896 1 49 ? 4 → a50 5 2092
4 (UFG) Um reservatório de água tem a forma de um cubo de arestas 10 m. Por causa de um
vazamento, a cada hora perde-se 5% do volume total do reservatório.
a) Se o reservatório estiver completamente cheio no início do vazamento, em quanto tempo ele estará
vazio? 20 h
b) Se o vazamento permanecer por 12 horas, quantos litros de água restarão no reservatório? 400 000 ,
Resolução:
a) O volume total é igual a:
v 5 a3 → v 5 103 → v 5 1 000 m3
A cada hora perde-se 5%: V 5 0,05 ? 1 000 5 50 m3
Portanto, temos a PA:
1 h → 950
2 h → 900
r 5 2 50
3 h → 850 →
a 1 5 950


nh → 0
Assim:
an 5 a1 1 (n 2 1) r → 0 5 950 1 (n 2 1) (250)
50n 5 1 000
n 5 20 horas
b) a12 5 a1 1 11r → a12 5 950 1 11 ? (250)
a12 5 400 m3
Em litros, temos 400 000 litros
Resposta: a) 20 h
b) 400 000 ,
5 (UFPel-RS) A Matemática está presente em cada momento do nosso cotidiano, desde a criação do
mundo. Como exemplo, podemos citar a origem da vida por meio de divisão celular, a divisão do tempo em
milênios, séculos, anos etc.
A aplicabilidade dessa ciência, no dia-a-dia, é comprovada até mesmo pelas pessoas que não tiveram
muita escolaridade e que, contudo, são capazes de administrar esse conhecimento muito bem. Numa área
reservada para o plantio de eucaliptos, o espaçamento das mudas – dispostas em fileiras – deve ser de 2,5 m,
e a plantação deverá iniciar a uma distância de 1 m das extremidades do terreno.
Baseando-se no texto, em seus conhecimentos e considerando que as fileiras tenham o mesmo número de
mudas tanto na horizontal quanto na vertical, determine:
a) a quantidade máxima que pode ser plantada num terreno retangular, cujas medidas são x 1 3 e x 1 5 e
cuja área é igual a 899 m2; 144 mudas
b) a menor área e o menor perímetro do terreno para que haja o plantio de 289 mudas de eucalipto.
1 681 m2 e 164 m
Resolução:
a) A área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Logo:
x 5 26
(x 1 3)(x 1 5) 5 899 → x 2 1 8x 2 884 5 0
x 5 2 34 (não ser ve)
Os lados do terreno medem:
x 1 3 5 26 1 3 5 29 m
x 1 5 5 26 1 5 5 31 m
Sendo n, o número de plantas e fazendo os cálculos para os lados, temos:
an 5 a1 1 (n 2 1) r → 31 5 1 1 (n 2 1) ? 2,5
n 5 13
an 5 a1 1 (n 2 1) r → 29 5 1 1 (n 2 1) ? 2,5
n5 12,2
Como as fileiras têm o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, o
número de plantas considerado por fileira é 12, o que resulta num total de 144 mudas.
b) A menor área possível é a de um terreno quadrado de lado ,, então n2 5 289, sendo n o número
de mudas. Logo:
n2 5 289 → n 5 17 ou n 5 217 (não serve)
Portanto, devemos ter 17 mudas em cada fileira.
Daí, vem:
an 5 1 1 (17 2 1) ? 2,5 → an 5 41
menor área do terreno 5 ,2 5 412 5 1 681 m2
menor perímetro do terreno 5 41 ? 4 5 164 m
Resposta:
a) 144 mudas
b) 1 681 m2 e 164 m
6 (UFPB) Uma escada foi feita com 210 blocos cúbicos iguais, que foram colocados
uns sobre os outros, formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha apenas
1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e assim sucessivamente,
até a última pilha, conforme a figura ao lado.
A quantidade de degraus dessa escada é:
a) 50
c) 30
e) 10
b) 40
d) 20
Resolução:
A progressão aritmética que representa os blocos é:
PA (1, 2, 3, 4, ..., n, ...)
an 5 a1 1 (n 2 1) r → an 5 1 1 (n 2 1) ? 1 → an 5 n
(a 1 a n)n
(1 1 n)n
Sn 5 1
→ 210 5
2
2
n 5 20
n 2 1 n 2 420 5 0
n 5 2 21 (não serve)
O número de degraus é 20.
7 (UFMT) Em uma clínica ortodôntica são atendidos 30 clientes diários de segunda a sexta-feira. Para
redimensionar a estrutura física, a clínica passará a atender da seguinte maneira: dois clientes no primeiro
dia do mês, quatro no segundo, seis no terceiro, oito no quarto e assim sucessivamente. Considerando que
essa clínica atende 20 dias por mês, o número de clientes atendidos, em um mês, será reduzido em:
a) 35%
c) 40%
e) 70%
b) 30%
d) 25%
Resolução:
No primeiro caso, temos:
30 ? 20 5 600 clientes
No redimensionamento, temos:
2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 ...
No 20o dia, o número de clientes será:
a20 5 a1 1 19r → a20 5 2 1 19 ? 2
a20 5 40 clientes
Logo:
1 a 20 ) n
(2 1 40) ? 20
→ S 20 5
2
2
S 20 5 420 clientes
A redução é de:
600 2 420
5 180 5 0,30 5 30%
600
600
S 20 5
(a1
8 (UFBA) As medidas dos lados de um triângulo ABC formam uma PA de razão igual a 1.
^
3
Determine a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB, sabendo que AC , AB , BC e cos(ABC) 5 .
5
12
Resolução:
B
n�1
n�2
D
h
x
A
C
n
Considerando n, n 1 1 e n 1 2 as medidas dos lados AC, AB e BC, respectivamente, do triângulo
ABC e usando a lei dos cossenos nesse triângulo, tem-se:
n 5 13
n 2 5 (n 1 1)2 1 (n 1 2)2 2 2(n 1 1)(n 1 2) ? 3 → n 2 2 12n 2 13 5 0
5
n 5 21
Sendo n a medida do lado AC do triângulo ABC, o valor a ser considerado é 13.
Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos DAC e BDC e considerando a medida de
DC igual a h, tem-se o sistema:
h 2 1 x 2 5 132
 2
2
2
h 1 (14 2 x) 5 15
Subtraindo as duas equações, tem-se: x2 2 (14 2 x)2 5 169 2 225 → x 5 5.
Substituindo-se o valor de x na equação h2 1 x2 5 132, obtém-se h2 5 169 2 25 5 144.
Logo, h 5 12u.c.
9 (MACK-SP) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem capacidade para 25 000 litros, contém, em
determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros
no dia seguinte, 800 litros no próximo, e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de
cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é:
a) 11
c) 14
e) 10
b) 13
d) 12
Resolução:
Sendo V o volume em litros que falta para a caixa atingir a capacidade total antes de se contratar a
empresa, do enunciado temos:
V 5 25 000 2 9 600 [ V 5 15 400
Seja n a quantidade de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total. Devemos ter:
400 1 600 1 800 1 ... 1 an 5 15 400 (I)
Ainda, an 5 400 1 (n 2 1) ? 200 [ an 5 200n 1 200 (II)
De (I) e (II), vem:
(400 1 200n 1 200) ? n
5 15 400
2
n 5 11
n 2 1 3n 2 154 5 0
n 5 214 (não convém)
[
n 5 11
10 (Unifor-CE) As distâncias que seis trabalhadores percorrem diariamente para ir de suas casas à
fábrica onde trabalham são numericamente iguais aos termos de uma PA. Se a casa mais próxima da fábrica
fica a 1 km dela e a mais distante, a 8,5 km, a soma das distâncias que os seis percorrem diariamente para ir
de suas casas até a fábrica, em quilômetros, é igual a:
a) 20
c) 25
e) 30
b) 22,5
d) 28,5
Resolução:
Do enunciado, temos a seguinte PA
de seis termos:
1; ___; ___; ___; ___; 8,5
Daí, vem:
an 5 a1 1 (n 2 1) r → 8,5 5 1 1 (6 2 1) ? r
7,5 5 5r
r 5 1,5
A soma dos termos dessa PA é igual a:
(a 1 a n ) n
(1 1 8,5)6
Sn 5 1
→ S6 5
→
2
2
→ S6 5 28,5 km
Em questões como a 11, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
11 (UFPR) Uma empresa de autopeças vem sofrendo sucessivas quedas em suas vendas a partir de
julho de 2002. Naquele mês, ela vendeu 100 000 peças e, desde então, a cada mês tem vendido 2 000 peças
a menos. Para reverter essa tendência, o departamento de marketing da empresa resolveu lançar uma
campanha cuja meta é aumentar o volume de vendas à razão de 10% a.m. nos próximos seis meses, a partir
de janeiro de 2004. A respeito das vendas dessa empresa, é correto afirmar:
(01) Neste mês de dezembro, se for confirmada a tendência de queda, serão vendidas 66 000 peças.
(02) O total de peças vendidas nos últimos 12 meses, até novembro de 2003, inclusive, é de 900 000 peças.
(04) Se a meta da campanha for atingida, os números de peças vendidas mês a mês, a partir do seu
lançamento, formarão uma PA de razão 10.
(08) Se a meta da campanha for atingida, o número de peças a serem vendidas no mês de março de 2004
será superior a 80 000.
(16) Se a campanha não for lançada e as vendas continuarem na mesma tendência de queda, daqui a 24
meses a empresa não estará mais vendendo peça alguma. 1 1 8 5 9
Resposta:
01. (Verdadeira)
Pelos dados, temos a PA (100 000, 98 000, 96 000, ...),
com a1 5 julho de 2002 (100 000) e
a18 5 dezembro de 2003.
Logo, an 5 a1 1 (n 2 1) ? r
a18 5 an 5 100 000 1 (18 2 1) ? 22 000
a18 5 66 000 peças
02. (Falsa)
a6 5 novembro de 2002 → a6 5 a1 1 (6 2 1) ? r
a6 5 100 000 1 5 ? 22 000
a6 5 90 000 peças
a17 5 novembro de 2003 → a17 5 100 000 1 (17 2 1) ? 22 000
a17 5 68 000 peças
(a 1 a n ) ? n
(90 000 1 68 000) ? 12
Sn 5 1
→ S5
2
2
S 5 948 000 peças
04. (Falsa)
A proposição é falsa, pois a PG
será de razão 1,1.
08. (Verdadeira)
an 5 a1 ? qn 2 1, em que
a1 5 66 000, q 5 1,1 e n 5 3.
Logo, a3 5 66 000 ? (1,1)3
a3 5 66 000 ? 1,331
a3 5 87 846 peças
16.
(Falsa)
a24 5 a1 1 (24 2 1) ? r
a24 5 100 000 1 23 ? (22 000)
a24 5 100 000 2 46 000 5 54 000
12 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):
(01) Se f(x) 5 3x 1 a e a função inversa
x
de f é g(x) 5 1 1, então a 5 23.
3
(02) Se (an) e (bn) são duas progressões
(08)
43 1 x 2 4x 2 3
5 64 para todo x real.
4x 1 4x 2 3
(16) n2 2 1
5 n 2 1 para todo número inteiro n.
n 11
1121457
aritméticas, então (an 1 bn) é uma PA.
(04) A equação
x 2 1 1 5 x 2 1 não tem
solução real.
Resolução:
01. (Verdadeira)
04. (Verdadeira)
x2a
3
x a
y5 2
3 3
x a
f 21 (x) 5 2
3 3
(
y 5 3x 1 a → x 5 3y 1 a → y 5
x2 1 1 5 x 2 1 →
x 2 1 1 ) 5 (x 2 1)2 →
2
→ x 2 1 1 5 x 2 2 2x 1 1 →
→ 2 2x 5 0 → x 5 0
Verificação:
02 1 1 5 0 2 1
1 5 21
1  21
x a x
f (x) 5 g(x) → 2 5 1 1
3 3 3
a
2 51
3
a 52 3
[ S 5 
08. (Falsa)
43 1 x 2 4x 2 3
4 3 ? 4 x 2 4 x ? 423
5
5
4x 1 4x 2 3
4 x 1 4 x ? 423
x
4 096 ? 4 x 2 4 x
64 ? 4 x 2 4
64
64 5
5
5
x
x
x
4
64
?
4
1
4
x
4 1
64
64
x
4 (44 096 2 1)
4 095
5
5
5 63 para todo x real.
x
65
4 (64 1 1)
21
02. (Verdadeira)
Sejam:
an → a1, a2, a3, a4, ... 5
5 a1, a1 1 r1, a1 1 2r1, a1 1 3r1, ...
bn → b1, b2, b3, b4, ... 5
5 b1, b1 1 r2, b1 1 2r2, b1 1 3r2, ...
an 1 bn 5 a1 1 b1 1 a1 1 b1 1 r1 1 r2 1
1 a1 1 b1 1 2r1 1 2r2, a1 1 b1 1 3r1 1 3r2, ...
16. (Falsa)
an 1 bn 5 (a1 1 b1) 1 (a1 1 b1 1 r) 1
1 (a1 1 b1 1 2r) 1 (a1 1 b1 1 3r), ...
A seqüência é uma PA de 1o termo
(a1 1 b1) e razão r 5 r1 1 r2
n2 2 1
5 n 2 1 não se define para n 5 21.
n 11
p. 54
 1
1

1
13 (Unifor-CE) O número de termos da progressão 
,
, , ..., 3 125 é:
 125 25 5

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Resolução:
1
1
a1 5
; a 5 3 125; q 5 25 5 5
1
125 n
125
a n 5 a 1 ? qn 2 1 → 3 125 5
→ 55 5 523 ? 5n 2 1
n 59
1
? 5n 2 1 →
125
14 Os números x, x e log 2 (10x) são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão
geométrica. Calcule:
a) o 1o termo x x 5
1
5
b) o 5o termo 5
Resolução:
a)
log 2 (10x)
x
5
, onde x . 0 [ log 2 (10x) 5 1
x
x
1
x 5
5
b) a 1 5
1
5
;a 5
; a3 5 1 [ q 5
5 2
5
a4 5 1 ?
5 5
5
a5 5
5
5 ?
5 55
15 (Unitau-SP) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (3x 1 1, 34 2 x, 33x 1 1) seja uma progressão
geométrica. 1
Resolução:
34 2 x
33x 1 1
5
→ 8 2 2x 5 4x 1 2 → x 5 1
3x 1 1
34 2 x
16 (UFOP-MG) Numa progressão geométrica, a1 5 1 e a2 5 9. Determine n, sabendo que an 5 6 561. 5
Resolução:
9
59
1
→ 6 561 5 1 ? 9n 2 1
a 1 5 1; a 2 5 9 → q 5
a n 5 a 1 ? qn 2 1
38 5 32(n 2 1) → 8 5 2n 2 2 → n 5 5
17 (UFRGS) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês,
passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, será lançado
juro de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em reais, será:
e) (1,1)12x
a) zero
c) (0,88)12x
x
b)
d) (0,92)12x
12
Resolução:
Sendo x o saldo devedor, a cada mês serão acrescidos a esse saldo 10% de juros e, em seguida,
descontados 20% a título de pagamento, gerando um novo saldo devedor de x ? 1,1 ? 0,8 5 0,88 x.
Como a cada mês o procedimento se repete, cada novo saldo devedor corresponderá ao anterior
multiplicado por 0,88, gerando uma seqüência do tipo x; 0,88x; (0,88)2x; (0,88)3x; ..., que é uma PG
de 1o termo x e razão 0,88, na qual cada novo saldo devedor é dado por (0,88)n 2 1x, sendo n o no de
termos da seqüência.
Após 12 pagamentos, estaremos no 13o termo da seqüência, ou seja, A13 5 (0,88)13 2 1 x 5 (0,88)12x.
18 (UEM-PR) Os números x, y e z formam uma PA crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8
unidades a z, a nova seqüência passa a formar uma PG. Calcule o valor de z. 24
Resolução:
Considerando as duas afirmações:
a) (x, y, z) é uma PA crescente de soma 48; logo:
( x 1 z) ? 3
S3 5
5 48 → x 1 z 5 32 → x 2 32 5 z
2
x 1 z
32
5 y → y 5
→ y 5 16
2
2
b) (x, y, z 1 8) é uma PG, daí:
y 2 5 x ? (z 1 8) → 162 5 x ? (32 2 x 1 8) → 256 5 40x 2 x 2 → x 2 2 40x 1 256 5 0
 5 1 600 2 1 024
 5 576
x 5
40  24
5
2
x 5 32
x 5 8
Como a PA é crescente, x 5 8: (8, 16, 24)
[ z 5 24
19 (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em PA. Somando-se, respectivamente, 4,
24 e 29 ao 1o, 2o e 3o termos dessa PA, obtemos três números em PG. Então, um dos termos da PA é:
a) 9
c) 12
e) 15
b) 11
c) 13
Resolução:
Seja (x 2 r, x, x 1 r) a PA.
Se a soma dos termos é igual a 30, temos: x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 30 → 3x 5 30 → x 5 10
Somando-se 4, 24 e 29, nessa ordem, aos termos da PA, temos a PG (10 2 r 1 4, 10 2 4, 10 1 r 2 9),
ou ainda (14 2 r, 6, 1 1 r).
Na PG, teremos: 62 5 (14 2 r) ? (1 1 r) → 36 5 14 1 14r 2 r 2 r 2 →
r 2 2 13r 1 22 5 0
 5 169 2 88 5 81
r 5 11 (não convém)
13  9
r 5
5
2
r 5 2
[ r 5 2 e a PA procurada é (8, 10, 12).
20 (UENF-RJ) Numa reserva florestal foram computados 3 645 coelhos. Uma determinada infecção
alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número
total de coelhos infectados triplica.
a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21o dia. 405 coelhos
b) Calcule o número mínimo de dias necessários para que toda a população de coelhos esteja infectada.
31 dias
Resolução:
b) Sendo an 5 3 645, temos:
a) an 5 no de coelhos infectados na n-ésima etapa
3 645 5 5 ? 3n 2 1 → 3n 2 1 5 729
bn 5 dia em que ocorre an
n21
3n 2 1 5 36
an 5 5 ? 3
e bn 5 1 1 (n 2 1) ? 5
n 5 7
Sendo bn 5 21, temos:
Portanto:
21 5 1 1 (n 2 1) ? 5 → n 5 5
b7 5 1 1 (7 2 1) ? 5 → b7 5 31 dias
Portanto:
a5 5 5 ? 35 2 1 → a5 5 405 coelhos
21 (UFPB) Socorro, apaixonada por Matemática, propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem
de presente, no final do ano, se suas notas, em todas as disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade
de termos comuns nas progressões geométricas (1, 2, 4, ..., 4 096) e (1, 4, 16, ..., 4 096)”. De acordo com a
proposta, João ganhará a viagem se não tiver nota inferior a:
a) 6
c) 8
e) 10
b) 7
d) 9
Resolução:
PG (1, 2, 4, 8, 16, ..., 4 096)
PG (1, 4, 16, ..., 4 096)
Os termos iguais são os termos da PG
(1, 4, 16, ..., 4 096). Logo:
an 5 a1 ? qn 2 1
4 096 5 1 ? 4n 2 1
212 5 4n 2 1
212 5 22(n 2 1)
212 5 22n 2 2
12 5 2n 2 2
2n 5 14
n57
A nota deverá ser maior ou igual a 7.
22 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):
(01) O 20o termo da PA (x, x 1 10, x2, ...)
com x , 0 é 186.
(02) A soma dos n primeiros números
naturais ímpares é n2 1 1.
1
(04) O termo
encontra-se na
1 024
1 

12_a posição na PG  2, 1, , ... .

2 
Resolução:
01. (Verdadeira)
x 1 10 2 x 5 x2 2 (x 1 10) →
→ 10 5 x2 2 x 2 10
x2 2 x 2 20 5 0 → x 5 5 (não serve)
ou
x 5 24
A progressão aritmética é (24, 6, 16, ...).
Logo: a20 5 a1 1 19r →
a20 5 24 1 19 ? 10 5 186
02.
(Falsa)
Os números ímpares são (1, 3, 5, 7, ...).
an 5 a1 1 (n 2 1)r →
an 5 1 1 (n 2 1) ? 2 → an 5 2n 2 1
(a 1 a n )n
Logo: Sn 5 1
→
2
(1 1 2n 2 1)n
→ Sn 5
5 n2
2
04. (Verdadeira)
11
 1
11
a 12 5 a 1q → a 12 5 2 ?   →
 2
1
1
→ a 12 5 2 ?
5
2 048
1 024
(08) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA
crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG
crescente, então xy 5 12.
x x
(16) O valor de x na igualdade x 1 1 1 ... 5 12,
3 9
na qual o 1o membro é a soma dos termos de
uma PG infinita, é 10. 1 1 4 1 8 5 13
08. (Verdadeira)
(x, y, 10) é uma PA [ 10 2 y 5 y 2 x →
→ x 5 y 1 y 2 10 → x 5 2y 2 10 (I)
y 18
y2
(x, y, 18) é uma PG [ 5 → y 2 5 18x → x 5
x
y
18
Fazendo (I) 5 (II), teremos:
y2
5 2y 2 10 → y 2 5 36y 2 180 →
18
→ y 2 2 36y 1 180 5 0
 5 576
y5 30
36  576 36  24
5
5
2
2
y 5 6
Se y 5 6, então x 5 2 ? 6 2 10 5 2
Se y 5 30, então x 5 2 ? 30 2 10 5 50
y5
Como a PA e a PG são crescentes, teremos
x 5 2 e y 5 6, conseqüentemente, x ? y 5 2 ? 6 5 12.
16. (Falsa)
x
x
x 1 1 1 ... 5
3
9
10
5
x
1
12
3
5
x
x
5
5
3 21
2
3
3
3x
3x
→
5 12 → 3x 5 24 → x 5 8
2
2
(II)
Em questões como a 23, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I, e as falsas, na II.
23 (UFSE) Verifique a veracidade das afirmações que seguem:
V – F
0 – 0 Os termos da seqüência (a1, a2, a3, ..., an 2 1, an, an 1 1, ...), em que a1 5 a2 5 1 e an 1 1 5 an 1 an 2 1,
1
2
3
4
–
–
–
–
1
2
3
4
; n  IN e n . 1, são chamados números de Fibonacci. Assim sendo, o 8o número de Fibonacci é 21.
A seqüência (22x, 22x 1 1, 3 ? 22x, 22x 1 2, ...) é uma PA de razão 4x.
A soma de todos os números pares compreendidos entre 57 e 217 é 10 980.
Podem ser inseridos cinco meios geométricos reais entre os números 23 e 96.
5 115
Se a seqüência (40, a, b, 5,...) é uma PG, então a soma de seus dez primeiros termos é igual a
.
64
Resolução:
33. (Falsa)
00. (Verdadeira)
a7 5 a1 q6 → 96 5 23 ? q6 → q6 5 232 → ∃⁄ raiz real
n 5 2 → a3 5 a2 1 a1 → a3 5 2
n 5 3 → a4 5 a3 1 a2 → a4 5 3
44. (Verdadeira)
n 5 4 → a5 5 a4 1 a3 → a5 5 5
(40, a, b, 5, ...) é uma PG; portanto,
n 5 5 → a6 5 a5 1 a4 → a6 5 8
5 1
a 4 5 a 1 ? q3 , ou seja, 5 5 40 ? q3 → q3 5 5 →
n 5 6 → a7 5 a6 1 a5 → a7 5 13
40 8
n 5 7 → a8 5 a7 1 a6 → a8 5 21
1
1
→ q 5 3
→ q 5 .
11. (Verdadeira)
8
2
22x, 2 ? 22x, 3 ? 22x, 4 ? 22x, ...
10
 1

A razão é:
40 ?    2 1 40 ?  1 2 1 024 
 1 024  5 115
  2

r 5 2 ? 22x 2 22x 5 1 ? 22x 5 (22)x 5 4x
S10 5
5
5
22. (Falsa)
1
12 2
64
21
A seqüência é (58, 60, 62, ..., 216)
2
2
an 5 a1 1 (n 2 1) r → 216 5
5 58 1 (n 2 1) ? 2 → n 5 80
(a 1 1 a n )n
→
2
(58 1 216) ? 80
→ Sn 5
→
2
→ Sn 5 10 960
Sn 5
24 (UFSC) Se a, b, c são termos consecutivos de uma PA de razão 5 e (a 1 2), b, (c 2 1) são termos
consecutivos de uma PG, qual o valor de a 1 b 1 c? 36
Resolução:
(a, b, c): PA com r 5 5
(I)
b 5 a 1 5

c 5 a 1 10 (II)
(a 1 2, b, c 2 1): PG
 b
c 21
5
(III)

b
a 1 2
Substituindo as expressões (I) e (II) na expressão (III):
a 15
a 1 10 2 1
5
→ a 5 7 [ b 5 12; c 5 17
a 12
a 15
Logo, a 1 b 1 c 5 7 1 12 1 17
a 1 b 1 c 5 36
11
25 (UFPA) A soma da série infinita 1 1
6
5
7
b)
5
a)
c)
1
1
1
1
1
1 ... é:
5
25
125
5
4
e)
7
4
d) 2
Resolução:
1
1
→ q 5
5
5
a1
1
5
Sn 5
→ Sn 5
5
1
12q
4
12
5
a 1 5 1; a 2 5
26 (UFPel-RS) O lado de um quadrado mede , unidades de comprimento. Unindo-se os pontos médios
dos lados opostos, obtêm-se quatro novos quadrados. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos
novos quadrados cada vez menores, conforme a figura, que mostra parte de uma seqüência infinita.
Determine a soma dos perímetros de todos os quadrados coloridos dessa seqüência. 8 ,
�
�
2
�
4
Resolução:
4,
4,
1
; a3 5
→ q 5
2
4
2
a1
4,
Sn 5
→ Sn 5
5 8,
1
12q
12
2
a 1 5 4 ,; a 2 5
12
�
8