Pensando em Progressão
Aritmética
Série Cultura
Objetivos
1. Desenvolver a proposta de
interdisciplinaridade, relacionando
conteúdos matemáticos a referências
literárias;
2. Elaborar uma situação que propicie o
estudo de progressões aritméticas.
Pensando em
Progressão
Aritmética
Série
Cultura
Conteúdos
Progressão aritmética.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Desenvolver a proposta de
interdisciplinaridade,
relacionando conteúdos
matemáticos a referências
literárias;
2. Elaborar uma situação que
propicie o estudo de
progressões aritméticas.
Sinopse
Esta é a história em que a jovem
Alice faz amizade com um hippie
chamado Tejaire. O encontro
acontece quando Alice ouve uma
música de Tejaire cuja letra diz
respeito a outra Alice, mas muito
parecida com a Alice da nossa
ficção.
Material relacionado
Áudios: Pensando em progressão
geométrica.
Experimentos: Corrida ao 100,
Quadrado mágico aditivo.
Introdução
Sobre a série
A série Cultura foi concebida com o objetivo de proporcionar aos
alunos a oportunidade de fazer paralelos significativos entre
Literatura, Cultura Geral e Matemática. Além de poder observar
resoluções de problemas de matemática, consideramos importante
que o aluno se sinta estimulado a buscar as referências literárias e
expandir seu conhecimento em diversas áreas. Por conta disso,
sugerimos que seja feita uma indicação explícita das referências que
aparecem no roteiro.
Sobre o programa
Este áudio apresenta ao aluno a ideia de progressão aritmética através
de uma história livremente inspirada no livro Alice no País das
Maravilhas, de Lewis Carroll.
A história narra o primeiro encontro da personagem Alice com Tejaire.
Hippie, de idade avançada, Tejaire estava cantando numa praça uma
música que também falava de uma Alice – foi isso o que chamou a
atenção da Alice da nossa história. A música que Tejaire cantava
remetia à Alice do livro de Lewis Carrol, pois era uma música que
contava o desafio da menina de atravessar uma porta bem
pequenininha a fim de perseguir um coelho muito apressado. Além de
ser uma música, também trata-se de uma charada matemática já que
pergunta quanto Alice deve diminuir para conseguir atravessar a porta,
tendo apenas uma bebida com um exótico poder: a cada gole, Alice
conseguia diminuir o se tamanho um pouco mais. Assim, na música, a
garrafa preenchida por um líquido estranho tinha um rótulo ainda
mais esquisito que dizia: "Beba-me." A charada
“Cada gole tem o efeito, ou defeito, se não for direito, de te deixar mais
perto do chão.”
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descrevia justamente o efeito deste líquido nas pessoas que o bebiam,
que era o de diminuir o tamanho delas de acordo com uma progressão
aritmética. O problema era, então, determinar quanto daquele líquido
mágico Alice deveria beber para atravessar a portinha que dava acesso
ao novo mundo.
Sobre as referências culturais
Alice no País das Maravilhas é uma história escrita pelo romancista e
matemático britânico Charles Lutwidge Dodgson, sob o pseudônimo
de Lewis Carrol, em 1865. Três anos antes, Lewis Carrol contava, de
improviso, às três filhas do reitor da universidade na qual trabalhava
uma história sobre uma menina chamada Alice que ia parar em um
mundo fantástico após cair numa toca de um coelho: foi a sua
inspiração. Esta obra se tornou rapidamente um grande sucesso e
contou com uma continuação em Alice através do Espelho e o que ela
encontrou por lá, que foi publicada em 1871.
Em ambas as histórias, o autor preocupou-se em incluir referências a
conceitos matemáticos e lógicos, tais como as ideias de limite de uma
função, a representação de números em diferentes bases numéricas e
a diferença semântica entre uma determinada frase e a frase contendo
uma afirmação inversa a ela.
O personagem principal de Alice no País das Maravilhas
evidentemente é a própria Alice, uma menininha de 7 anos, bastante
curiosa, e por vezes também petulante. Alguns dos marcantes
personagens com quem ela faz amizade em meio as suas aventuras
pelo País das Maravilhas são o Coelho Branco, o Gato Risonho e o
Chapeleiro Maluco, todos eles um pouco, ou muito, loucos.
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Figura 1. Uma ilustração de Alice, por John Tenniel.
Sobre o conteúdo
Uma progressão aritmética é uma sequência de números
(a1, a2, a3, a4, ...)
tais que a diferença entre quaisquer dois números consecutivos desta
sequência é uma constante. Por esta razão, qualquer um de seus
termos pode ser escrito na forma
an = a1 + (n-1)⋅r,
em que r é esta referida constante, também denominada de razão da
progressão aritmética, ou, alternativamente,
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an = am + (n-m)⋅r.
Por exemplo, a sequência dos números pares
(2n)n ∈ IN = (2, 4, 6, 8, 10, ...)
é uma progressão aritmética de razão 2, já que 2n = 2 + (n-1)⋅2,
qualquer que seja o número natural n.
Muito frequentemente é interessante somar um número finito e
consecutivo de termos de uma tal progressão, o que pode facilmente
ser feito pela aplicação da fórmula
Sm,n = (am+an)(n-m+1)/2,
que indica qual é o resultado da soma do m-ésimo ao n-ésimo termo
da sequência, com n ≥ m. Essa expressão é comumente substituída
nos livros didáticos de matemática por uma versão mais simplificada,
S1 = (a1+an)⋅n/2,
que apenas nos mostra como somar os n primeiros termos de uma
progressão aritmética. No entanto, a fórmula geral não é difícil de ser
deduzida, notando-se que
Sm,n = am + am+1 + am+2 + ... + an-1 + an
dasdsadssadas
= am + (am+r) + (am+2r) + ... + (am+(n-2)⋅r) + (am+(n-1)⋅r)
e, também, que
Sm,n = an + an-1 + an-2 + ... + am-1 + am
dasdsadssadas
= an + (an-r) + (an-2r) + ... + (an-(n-2)⋅r) + (an-(n-1)⋅r),
de modo que, somando ambas as expressões, chegamos a
2Sm,n = (am+an)(n-m+1).
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Curiosamente, a versão mais simples desta fórmula já era conhecida
pelos matemáticos e astrônomos indianos do início do século VI.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Antes de exibir este áudio aos seus alunos, explique a eles o que é
uma sequência de números em progressão aritmética, exibindo
diversos exemplos de tais sequências, tais como a sequência dos
números inteiros pares,
(..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...),
a sequência dos números naturais ímpares,
(1, 3, 5, 7, 9, ...),
a sequência dos múltiplos positivos de 4,
(4, 8, 12, 16, 20, ...),
e assim por diante, ressaltando qual é a razão e o primeiro termo em
cada progressão. É também interessante demonstrar a eles como obter
a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão
aritmética e, depois da execução deste áudio, pedir que tentem
demonstrar o caso geral. Como o raciocínio nos dois casos é análogo,
eles não devem encontrar dificuldades para fazer isso.
Depois da execução
Agora é o momento de resolver alguns bons exercícios de progressões
aritméticas com seus alunos. Temos algumas sugestões bastante
abrangentes, que abordam desde a aplicação de fórmulas já discutidas
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ou a demonstração delas até uma elaborada discussão sobre uma
recente descoberta acerca de uma propriedade das progressões
aritméticas que certamente vai instigar seus alunos em seus estudos.
Exercício 1. Se, ao invés de 30cm, como é contado na história, a Alice
diminuísse 20cm a cada vez que bebesse da poção mágica, quantos
goles desta poção ela precisaria tomar para que pudesse atravessar
uma porta de 45cm, tendo 1,60m de altura?
Solução: Se a cada gole da poção que Alice beber ela diminuir 20cm,
então, após n goles, ela terá diminuído 20n cm. Como sua estatura
inicial é de 1,60m, ou ainda, de 160 cm, sua estatura final será então
uma função de n, a saber: (160 - 20n) cm. Vemos daí que a sucessão
de alturas atingidas pela Alice após tomar da referida poção compõem
a seguinte progressão aritmética
(160cm, 140cm, 120cm, 100cm, ...),
de primeiro termo 160cm e razão -20cm. Para que Alice consiga
atravessar a porta, sua altura não deve ultrapassá-la. Assim, após n
goles, sua estatura deve ser tal que
160 - 20n ≤ 45.
Descobrimos daí que n ≥ 5,75, ou seja, a Alice da história do Tejaire
deve tomar 6 goles da poção mágica por ela encontrada para
conseguir atravessar a porta do enunciado desta questão.
Exercício 2. Ainda supondo que a altura da porta que Alice quer
atravessar seja de 45cm e que a Alice tenha 1,60m de altura, quanto
ela teria de diminuir a cada gole tomado da poção mágica para que ela
alcançasse exatamente a altura da porta em cinco goles?
Solução: A diferença entre as alturas da Alice e da porta é de 115cm.
Para que 115cm sejam subtraídos da altura de Alice em exatamente
cinco goles, sendo que em cada gole ela diminui uma mesma
quantidade, é necessário que cada gole da poção mágica a faça perder
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115/5 cm, ou seja 23cm. Neste caso, teríamos uma progressão
aritmética
(160cm, 137cm, 114cm, 91cm, ...),
de primeiro termo 160cm e razão -23cm.
Agora, vamos sugerir alguns exercícios mais sofisticados sobre
progressão aritmética que não estão relacionados ao contexto do
áudio.
Exercício 3. Quantos são os múltiplos de 3 e 5 com quatro algarismos?
Solução: Todo múltiplo de 3 e 5 também é um múltiplo de 15 e viceversa. Assim, o menor múltiplo de 3 e 5 que pode ser escrito com
quatro algarismos é o primeiro número a partir de 1000 cuja divisão
por 15 não deixe resto não nulo pela divisão euclidiana, ou seja 1005.
Pelo mesmo raciocínio, 9990 é o maior número de quatro algarismos
divisível por 3 e por 5 simultaneamente. Como estamos interessados
em contar quantos são os múltiplos de 3 e 5 neste intervalo, estamos
trabalhando com a progressão aritmética
(1005, 1020, 1035, 1050, ..., 9975, 9990),
em que o primeiro termo a1 = 1005, o último termo an = 9990 e a
razão r = 15. De acordo com a expressão para o termo geral de uma
progressão aritmética,
an = a1 + (n-1)⋅r,
temos que
9990 = 1005 + (n-1)⋅15,
ou seja, n = 600.
Portanto, são 600 os múltiplos de 3 e 5 escritos com quatro
algarismos.
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Exercício 4. Qual é a soma dos múltiplos positivos de 16 escritos com
três algarismos?
Solução: Os números positivos que podem ser escritos com três
algarismos estão compreendidos entre 100 e 999. Por inspeção,
podemos ver que 112 e 992 são, respectivamente, o primeiro e o
último múltiplo de 16 neste intervalo. Assim, estamos trabalhando
com a progressão aritmética
(112, 128, 144, 160, ..., 976, 992).
Com esta informação, podemos encontrar o número de múltiplos de
16 aí compreendidos através da expressão para o termo geral da
sequência de uma progressão aritmética, a saber:
n = (an-a1)/r + 1 = (992-112)/16 + 1 = 56.
Agora temos condições de somar todos esses termos, aplicando uma
das fórmulas para a soma de termos consecutivos de uma progressão
aritmética:
S56 = (a1+a56)⋅n/2 = (112+992)⋅56/2 = 30912.
Exercício 5. Demonstre a fórmula geral Sm,n = (am+an)(n-m+1)/2, cuja
solução já foi discutida anteriormente neste manual.
Exercício 6. Um número primo positivo p ou, simplesmente, primo
positivo, é um número natural, maior do que 1, cujos únicos divisores
são 1 e p. Os dez menores primos positivos são
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
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Questões acerca das propriedades dos números primos despertam a
curiosidade do homem desde o nascimento da matemática e muitas
delas ainda não têm solução. Foi somente em 2004 que, por exemplo,
uma destas propriedades foi demonstrada como verdadeira:
Teorema (Green-Tao): Para todo número natural k, existe uma
progressão aritmética de k termos, todos primos positivos.
Para alguns poucos casos, não é difícil encontrar uma tal progressão,
como, por exemplo,
(2),
(2, 3),
(3, 5, 7),
(5, 11, 17, 23),
(5, 11, 17, 23, 29),
(7, 37, 67, 97, 127, 157),
(7, 157, 307, 457, 607, 757),
mas exemplos maiores já são bastante mais complexos. É curioso
notar que o teorema de Green e Tao apenas garante a existência de
tais progressões, não exibindo, realmente, nenhum método para
construí-las.
Explique este problema a seus alunos, solicitando a eles que procurem
algumas das progressões aritméticas que acabamos de listar. Então,
comente o resultado encontrado por Green e Tao, ressaltando sua
contemporaneidade. Aproveite e deixe claro para seus estudantes que
a matemática é uma ciência em contínuo desenvolvimento e que
mesmo alguns problemas de fácil entendimento ainda não puderam
ser demonstrados. Pode ser que alguns deles se encoragem nesta
direção.
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O áudio Pensando em Progressão Geométrica explora uma situação
similar a encontrada aqui, com Alice tentando recuperar seu tamanho
normal. É possível dar continuidade aos estudos de progressões dos
seus alunos a partir dele.
Sugestões de leitura
L. Carroll (2010). Alice no País das Maravilhas, Publifolha.
L. Carroll (2010). Alice Através do Espelho, Editora Scipcione.
G. Iezzi e S. Hazzan (2004). Fundamentos da Matemática Elementar:
Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas, vol. 4, Atual Editora.
Ficha técnica
Autor Douglas Mendes
Revisor Leonardo Barichello, Carolina Bonturi
Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva
Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
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