ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
Ficha de trabalho – 12º ano – Matemática B – 2007/2008
Progressões aritméticas e geométricas
1. É dada uma “progressão aritmética” de 10 termos, cuja razão é 5 e em que o primeiro termo é 2.
1.1 Escreve a expressão que nos dá o termo geral da progressão.
1.2 Calcula a soma dos termos da progressão;
2. É dada uma progressão aritmética de razão 4, cujo primeiro termo é 10. Sabendo que a soma de n
termos da progressão é igual a 570.
2.1. Escreve a expressão do termo
2.2. Calcula n;
3. É dada uma “progressão aritmética” de 11 termos cujo termo geral é dado pela fórmula
U n = 4 + ( n − 1) × 5 . Calcula a soma dos termos da progressão.
4. É dada uma “progressão aritmética” de 51 termos. Sabendo que o primeiro termo da progressão é
100 e o último é 1100
4.1 Calcula a razão da progressão;
4.2 A expressão que nos dá o termo geral
da progressão;
4.3 A soma dos 51 termos da progressão.
5. É dada uma progressão aritmética. Sabendo que o quarto termo é igual a 30 e que o sexto termo é
igual a 50, calcula:
5.1. A razão da progressão;
5.2. O primeiro termo da progressão;
5.3. A soma de 14 termos da progressão a partir do 5º.
6. Sabendo que a soma de dez termos de uma progressão aritmética é igual a 300, e que o primeiro
termo é 10, calcula a razão da progressão e escreve a expressão do termo geral.
7. De uma progressão geométrica sabe-se que a razão é 10 e que o primeiro termo é 2:
7.1. Escreve a expressão que nos dá o termo geral da progressão
7.2. Calcula a soma dos dez primeiros termos da progressão;
8. É dada uma “progressão geométrica” de 20 termos, cuja razão é 2 e cujo primeiro termo é 1.
Calcula:
8.1. O quinto e o sexto termo;
8.2. A soma dos 20 primeiros termos da progressão.
9. De uma progressão geométrica crescente sabe-se que o terceiro termo é 15 e o quinto 375.
Determina:
9.1. O termo geral da progressão;
9.2. A soma de todos os termos consecutivos entre o 5º e o 12º (inclusive).
10. Um mentiroso conta uma mentira a três amigos. Ao fim de 10 minutos cada um deles conta-a a
outros três que, por sua vez, a contam em 10 minutos a outros três (cada um).
Quantas pessoas conhecem a mentira ao fim de uma hora?
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11. Considera a figura ao lado:
O lado do quadrado inicial é 4 unidades de
comprimento, o lado de cada quadrado é metade
do quadrado anterior. Considera as sucessões
an e bn em que :
• an é a sucessão cujo termo geral é dado pelos
perímetros de cada um dos quadrados que se
obtêm;
• bn é a sucessão cujo termo geral é dado pelas
áreas de cada um dos quadrados que se obtêm.
11.1 Mostra que (an) e (bn) são progressões
geométricas
11.3 Determina a soma dos perímetros dos
10 primeiros quadrados.
11.2 Escreve o termo geral de cada uma das
progressões
11.4 Calcula a soma das áreas de todos os
quadrados.
12. A curva ao lado é formada por uma
sucessão de arcos que são
semicircunferências alternadamente
acima e abaixo de AB , sendo o raio
de cada uma delas metade do
anterior . Sabendo que o raio do
primeiro arco é 1 e designando por
Sn o comprimento total dos n
primeiros arcos, determina o valor de
lim Sn .
13. A Joana e o Carlos resolveram comparar dois planos de poupanças.
• Plano da Joana: 0,25 € no 1º mês, 0,50 € no 2º mês, 0,75 € no 3º, 1,0 € no 4º, etc.
• Plano do Carlos: 0,025 € no 1º mês, 0,05 € no 2º mês, 0,10 € no 3º, 0,20 no 4º, etc.
Qual é o melhor plano de poupança?
Será que vão conseguir manter o plano de poupança?
14. Uma das províncias da Sildávia tem uma população de 50 000 habitantes e uma taxa de
crescimento de 20% por década. Outra província tem 100 000 habitantes e uma taxa de
crescimento de 10%. Se estas taxas se mantiverem, daqui a quantas décadas a primeira
província vai ter mais habitantes do que a segunda?
SOLUÇÕES
1.1. U n = 2n 1.2. 110
2.1. U n = 4n + 6
4.2. U n = 20n + 80
4.3. 30600
5.1. 10
7.2 2222222222
8.1 32
7.1. U n = 2 × 5
n
9.2 36621000
12. 2π
n −1
10. 729 11.2 an = 2
5− n
2.2. 15
5.2. 0
64
bn = 26− 2 n
3. 319
5.3. 1470
8.2 1048575
11.3 31,96875
6.
4.1. 20
Un =
9.1
40n + 50
9
Un = 3× 5n−2
11.4 21,33331299
1.4 9
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