Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN)
Campo Magnético, Lei de Ampére
8ª Semana


Probl. 1) Uma correia de transporte muito longa e fina, de largura ℓ , desloca-se com velocidade v = vx ex constante.
Assumindo que existe carga estática com densidade superficial σv uniformemente distribuída sobre a correia,
determine:
a) A corrente I e a densidade de corrente superficial Js transportada na correia.
b) Usando a lei de Ampére, qual é o campo magnético B a uma altura h ≪ ℓ acima e ao longo da linha média da
correia.
c) Usando a lei de Ampére, qual é o campo magnético B num ponto P do plano da correia, mas fora desta e à

distância b do seu bordo na direção e y .
Respostas:
R. 1-b)

I = σc ℓ v x ; J c = σ c v
μ σ v 

B (h ez ) = - o c x e y
R. 1-c)
μ I

B b e y  = o log b+ℓ  e z
R. 1-a)
2
2πℓ
b
Probl. 2) Uma linha bifilar, percorrida por uma corrente estacionária I = 2 A, é terminada por uma semi-circunferência de
centro O e diâmetro a = 0.2 m, como se mostra na figura. Sabendo que a magnitude do campo magnético criado
por um fio infinito transportando um corrente I num ponto à distância r do fio é dado por B (r) =
μo I
,
2π r
calcule
o campo magnético B no ponto O.
⊙
ez
a
I
I
O
Resposta:

R. B (O) = -10-5 ez
B1 (0) + B2 (0) =
B3 (0) =
B (0) =
μo

I
2 π a/2
1º Semestre 2014-2015
2 π a/2

(-ez )


-I ⅆ l  × -l 
μo
4π
I
μo
ℓ3
1+
=
μo
4π
I
a
3 π/2  2
π/2
a 

ⅆ θ eθ  ×  er 
2
a 3
 
2
=
μo I π
4 π a/2

(-ez )
2
π



(-ez ) = 2 × 10-7 ×
1+
(-ez ) = -1.02832 × 10-5 ez (T )
-1
2
10
2
π
-1-
ARS
Probl. 3) Uma bobina de Helmholtz é uma forma simples de obter um campo magnético aproximadamente homogéneo
numa região do espaço. Consiste em duas bobinas finas com n espiras circulares de raio igual a, formando anéis
finos coaxiais em planos paralelos separados de uma distância a.
a) Se cada anel for percorrido por correntes I no mesmo sentido, determine o campo magnético B(z) no eixo dos
anéis, à distância z do ponto O equidistante dos centros dos anéis.
b) Mostre que em O a primeira, segunda e terceira derivadas de Bz (z) são nulas. Que conclusão retira deste facto?
c) Se as correntes nos anéis circularem em sentidos opostos obtém-se uma bobina anti-Helmholtz. Como se
comporta o campo em O neste caso?

Probl. 4) Dois condutores cilíndricos semi-infinitos e paralelos a e z , de raio a e separados por uma distância d ≫ a, estão
ligados nas extremidades por um fio condutor de comprimento d.
a) Se se estabelecer uma corrente I através dos condutores, determine a expressão para a força que actua sobre o fio.
b) Para a = 0.5 cm, d = 50 cm, determine a magnitude da força sobre o fio se se impuser súbitamente uma corrente
de I = 5000 A no circuito.
Resposta
R. 4-a)
B1 (r) =
B2 (r) =
μo 2

I log d-a  ez
a
2π
F=
μo I
4π r
μo I
sin
π

- sin(0) eθ
2
sin
π

- sin(0) eθ
4π d -r
2

F (r) =  I ⅆ l × B1 (r) + B2 (r) =
μo
1
μo
d-a 
d-a 1
a


ⅆr -
ⅆ r ez =
ez
I2 
I 2 log
ⅆ (d - r) ez =
a
a
d-a (d - r)
r d -r
r
a
4π
4π
2π

ⅆ F 1 (r) = I ⅆ l × B1 (r)
B1 (r) = B2 (d - r) ⟹

ⅆ F 2 (d - r) = I ⅆ l × B2 (d - r) = ⅆ F 1 (r)
μo
I2 
d-a
1
1
+
F (r) =  ⅆ F 1 (r) +  ⅆ F 2 (d - r) = 2  ⅆ F 1 (r) = 
d-a
a
μo I 
μo
d-a 

eθ =
I ⅆl×
ez
I 2 log
a
2π r
2π
F = 23 N
R. 4-b)
Probl. 5) Um solenóide recto tem 20 cm de comprimento, 2 cm de diâmetro, e o fio condutor está enrolado em várias
camadas de modo a ter um numero total de 4000 espiras. O fio é percorrido por uma corrente de 30 A.
a) Qual é o valor do campo magnético no centro do solenóide?
b) Qual é o valor aproximado do campo magnético nas extremidades do solenóide?
Resposta:
R. 5-a)
B (O) =
R. 5-b)

B = 0.75 ez (T )
μo
L/2
4π

I R2 2 π
-L/2 R2
+
z2 3/2
N
L
μo N I
ⅆz =
2

ez
L 2
2
  + R2

B = 0.37 ez (T )
μo N I
B (P) =
2

ez
L2 + R 2
Probl. 6) A catenária de um eléctrico está suspensa a uma altura de 10 m acima do pavimento. Num troço rectilínio EsteOeste o fio é percorrido por uma corrente de 100 A na direcção Oeste. Descreva o campo magnético gerado pela
corrente e determine o seu valor junto ao pavimento, debaixo do fio. Compare esse valor com o do campo
magnético terrestre médio de ≈ 0.5 Gauss.
ARS
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1º Semestre 2014-2015
Probl. 7) Um cilindro condutor de raio R é percorrido por uma corrente uniforme I.
a) Calcule o campo magnético B dentro e fora do cilindro em função da distância r ao seu eixo.
b) Suponha agora que existe uma cavidade cilíndrica de raio
R
2
ao longo de todo o condutor, com eixo à distância
R
2
do eixo do cilindro inicial. Determine o campo B na cavidade assumindo que a densidade de corrente J não se
altera.
Respostas:
R. 7-a)
Use a Lei de Ampére.
Dentro do cilindro, aplicando a Lei de Ampére com J =
I
π R2


ez , obtém-se para um ponto em r
μo I 

Bo (r) =
r eθ (θ)
2 π R2
enquanto fora do cilindro
μo I 

eθ (θ)
Bo (r) =
2π r
R. 7-b)
μ I 
R 


B (r) = - o ex se pusermos o eixo da cavidade segundo ez e passando por Ro = e y .
4π R
2
O campo do cilindro com a cavidade e a mesma densidade de corrente J pode ser visto como o campo
do cilindro da alínea a) sobreposto ao campo de um outro cilindro com densidade de corrente J1 = -J ,
R
R 

de raio 2 , com eixo segundo ez passando por Ro = 2 e y . O campo deste segundo cilindro é idêntico ao
R
′ 
do primeiro excepto que relativo a posições r = r - Ro , ou seja para r ′ ≤ 2
μo I r ′  ′
′
B1 (r ) = eθ
2 π R2
 ′   ′  r ′
onde eθ = ez ×er = ez × r′ é o vector tangente a circulos centrados no seu eixo. Substituindo
 ′ ′


expressão de r e eθ em termos de r , Ro e eθ obtemos

r er (θ) μo I r ′ 

B1 (r) = ez ×
2 π R2
r′
R
2

ey
=-
μo I
2π
R2
aqui a
R

r eθ (θ) + ex
2
O campo total na cavidade é a soma dos dois campos interiores dos cilindros, ou seja
μo I 



ex
B (r) = Bo (r) + B1 (r) = 4π R
1º Semestre 2014-2015
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ARS
Probl. 8) Uma espira plana, horizontal, tem uma forma rectangular de 30 cm por 20 cm. A espira é percorrida por uma
corrente de 1.0 A e está na presença de um campo magnético vertical de 0.10 T .
a) Determine a força em cada um dos lados da espira. Qual é a força total?
b) Calcular o momento de força N na espira em relação ao seu centro.
c) Repetir para o caso em que o campo magnético é horizontal, paralelo ao lado com 20 cm.
Probl. 9) Um fio de 4 m de comprimento e 100 g de massa é usado para fazer uma bobina estreita quadrada de 10 cm de
lado. A bobina pode oscilar em torno de um lado horizontal e quando é percorrida por uma corrente de 3.4 A é
colocada num campo magnético vertical de 100 Gauss.
a) Determine o momento magnético m da bobine quando o plano da bobina está a fazer um ângulo θ com o plano
horizontal.
b) Determine o momento de força N exercido pelo campo sobre a bobina.
c) Determine para que ângulo θ é que a bobina fica em equilíbrio.
Respostas:
R. 9-a)


m = N I L2 n = 0.34 sin(θ) e y + cos(θ) ez 
O número de espiras é N =
4
4L
onde L = 10-1 m é o lado de cada espira.
R. 9-b)

N = m × B = 0.0034 sin(θ) ex
R. 9-c)
θ = 86 °
No equilíbrio:
L
2
m g = N I L2 B tan(θ)
Probl. 10) Uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I é colocada horizontalmente a uma distância z

sobre um polo de um magnete permanente vertical, centrada no seu eixo e z . Sabendo que o campo magnético
B do magnete faz um ângulo θ com a vertical em qualquer ponto do anel, determine:
a) O momento magnético m do anel em função da direção da corrente I .
b) A força magnética F m que actua sobre o anel em função da direção da corrente I .
c) O momento de força N que o anel sente em relação ao seu centro.
Respostas:
R. 10-a)

m = π R2 I e z

F m =-2 π R sin(θ) B I ez


Somando ⅆ F m = I ⅆ l ×B(l ) ao longo da espira só a componente
R. 10-b)
R. 10-c)
ARS

segundo ez existe.
N =0
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1º Semestre 2014-2015