Capítulo 11
RESPOSTAS
11.1 Capítulo 1
[1] a) (−1, 0)∪(0, 1) b) (−∞, −1]∪[2, +∞) c) (−∞, −2)∪(1, +∞) d) (−∞, −10]∪{5} e) (−3, −1) f ) (2, +∞)
g) (−3, 21 ) h) (0, 4) i) (−∞, −2)∪(9, +∞) j) (−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞) k) [−2, 1] l) (− 41 , 13 ) m) ( 28
5 , +∞)
√
√
8
5
1 1
1− 13 1+ 13
n) ( 2 , 2 ) o) (0, 5 ) ∪ ( 2 , +∞) p) R q) (− 6 , 2 ) r) (−2, 0) [2] a) [0, +∞) b) [1, +∞) c) (−∞, 1]
√
d) R e) x = 0 f ) x = 2 ± 2; x = 0 g) x = − 72 h) x = 0; x = 4 [3] a) Falso x = y = 1 e z = −1 b)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Falso x = 0, y = 1. [4] a) 2 41 b) 3 17 c) 3 5 d) 97 e) 2 f ) 18 + 2π 2 g) 337 h) 265 i) 4, j) 3 − 3
[8] Os pontos situados sobre a reta x + y = 4, por exemplo (3, 1), (0, 4), etc. [10] As retas são paralelas,
d = 10. [11] a) 2y − x + 1 = 0 b) y − 2x − 1 = 0 c) 5y − x − 20 = 0 d) x + y = 0 e) y − 2x + 1 =
0 f ) y − x = 0. [12] 3y + 2x − 4 = 0, [13] 2y − 5x + 3 = 0, [15]√a), d) parábola,
b), f ), j)
√
√ hipérbole,
c), h), k), m), n) círculo, e), i), g) elipse, l) um ponto. [17] a) − 3 2 < k < 3 2, b) k√= ±3√2, [18] k =
± 34 , [19] a) cos(θ) b) − sen(θ) c) sec(θ) d) sen(θ) e) cos(θ) f ) − sen(θ) cos(φ) [24] a) 15
2 b) 54 2 c) 54 d) 10
2
√
√
[25] a) y − x− 3 = 0 b) y + x− 7 = 0 c) x− x0 = 0 d) y − y0 = 0 e) 3y = 3(x− 1) f ) y = x+ 1 g) y − 3x = 0
2π
5π
π
7π
23π
9π
h) y = 1 [26] a) π6 ≤ α ≤ 5π
6 b) 3 ≤ α ≤ 6 [27] a) 4 + 2kπ ≤ x 12 + 2kπ e 12 + 2kπ ≤ x 4 + 2kπ b)
π
π
π
2π
π
5π
7π
11π
e 2 + kπ ≤ x 3 + kπ c) 6 + 2kπ ≤ x 6 + 2kπ e 6 + 2kπ ≤ x 6 + 2kπ d) π4 ≤ x ≤ 3π
3 + kπ ≤ x 2 + kπ √
4
π
1
[28] 4 [29] 4 [30] 3 2 milhas
11.2
Capítulo 2
3
3
[1] a) x2 b) 4x3 π c) x3 π d) 10x3 π [2] a) R, [0, +∞) b) e), p) R, R c) R − {4}, R − {0} d) [0, +∞), (0, 1]
e) R, [−1, 1] f ) [0, 1], [0, 1] g) (−∞, 1] ∪ [3, +∞), [0, +∞) h) [1, +∞), [0, +∞)
i) (−∞, −2) ∪ [3, +∞), [0, +∞) j) R, [0, 1] l) R − { 32 }, R − {4} k) (−∞, −2) ∪ (1, +∞), (0, +∞) m) (1, 5) ∪
(5, +∞), R n) [−2, 0) ∪ (0, 2], R
1−x
, 2+7x
o) (−∞, 4) ∪ (9, +∞), [0, 1) ∪ (1, +∞) p) R, R [3] R, f (1) = −1 e f (− 32 ) = 2. [4] R − {− 27 }, 2+7x
x−1 [5]
x
2
a) x + 1 b) x2 − 2x + 4 c) x d) − x1 e) 2 f ) − x+2
4x2 g) x + 2x + 5 h) −
2
+3x+9
27x3
2
i)
1
2
a) x + a b) x2 − ax + a2 c) x + a + 1 d) − ax
e) 2 f ) − ax+a
2 x2 g) x + ax + a + 1
j) −
(x+a)(x2 +a2 )
a4 x4
[7]
1.4
2
√
2
+16)
x+1− 3 2
j) − (x+4)(x
x−1
256x4 √ [6]
√
3
3
2
2
1+x
h) − x +ax+a
i) a+1−
a3 x3
a−x
√
3
1.2
1
1.2
1.5
1
1
0.5
0.8
0.8
0.6
1
0.6
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
b)
0.5
1
1.5
2
c)
-2
-1.5
1
-1
d)
-0.5
1.25
1
1
1
-1
-0.25
-0.75
-1
1
2
3
0.75
0.5
0.5
-0.5
e)
-1
1.5
1.5
1
0.5
1.5
1.75
0.5
-0.5
1
2
2
0.25
-1
0.5
-0.5
2
0.75
-0.5
0.2
0.2
a)
-1
0.4
0.4
0.5
-1
0.25
f)
-2
g)
395
-2
-1
1
2
h)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
396
2
4
1.75
3
1.5
2
1.25
1
1.5
1
0.8
1
0.6
0.5
1
-1
0.4
1
0.75
1
1.5
j)
2
-2
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
0.25
0.5
3
-2
0.2
i)
2
-1
0.5
-1
1
2
-3
k)
3
l)
-4
-1
2
1
1.5
1
0.5
0.5
-2
-1
1
2
3
4
-2
-1
1
2
-0.5
-1
-0.5
-1.5
m)
n)
-2
-1
[8] Não, Dom(f ) = R − {0} [9]
2
2
1
1
1.75
1.75
0.75
0.75
1.5
1.5
0.5
0.5
1.25
1.25
1
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
1
0.25
a)
-2
0.25
-1
1
b)
2
-2
-1
1
2
c)
2
3
4
5
6
1
-0.25
-0.25
-0.5
-0.5
-0.75
d)
-1
2x
x2 +2 b) 3x − 2 + |x + 2|,
3x−2
1
−1+x
1+x3 1−x3
8
2|, |x+2|
se x 6= −2 e) 1+x
x4 ,
x4 , 1, x f )
x ,
x , x, x3 se x 6= 0
4
4
1+x
1−x
1
10
2
x3 , x+1
x6 , x (x + 1) se x 6= 0 h)
x ,
x , 1, x4 se x 6= 0 [11] a) x
p
3
3
d) 3 sen(x) [12] a = 3, b = − 4 , a = −3, b = 2
4
[10] a) 2 + 2x + x2 , 2x − x2 − 2, 2x(2 + x2 ),
8
8
2
3
4
5
6
-0.75
-1
3x − 2 − |x + 2|, (3x − 2)|x +
1
x8
g)
+ x2 + x3 , − x18 + x2 +
± (x2 − 3x + 5)
b) bx c)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
[13]
√1
;
2 x−4
0.5
(4, +∞)
2
4
6
8
√
2
2
− 17 + 18x − 4x2 e) x−1
se x 6= 1 f ) − 1 − 2x [15]
[14] a) 3x + 7 b)
x2 + 2 c) xx2 +4
+1 d)
√
2
4
2
−2
a) f (x) = x + 1, g(x) = x b) f (x) = x − 9, g(x) = x c) f (x) = 3x + 5, g(x) = 4 x d) f (x) =
ln(x), g(x) = tg(x) e) f (x) = x1 , g(x) = ex f ) f (x) = x12 , g(x) = ln(x) [16] x + 3n + 3 [17]
1
6
1
4
0.75
4
0.5
0.5
2
2
-2
-1
1
2
-3
-2
-1
1
2
1
-6
-0.5
a)
-4
-2
-2
b)
-1
0.25
3
2
-2
c)
-4
2
3
4
5
6
-0.25
-0.5
d)
-4
-0.75
-1
1
4
0.8
2
0.6
-6
-4
-2
2
4
6
0.4
-2
0.2
e)
f)
-4
-2
-1
1
2
[18] a) {x ∈ R/x 6= π2 + n π, n ∈ N} b) [1, +∞) c), d) R − {0} e) {x ∈ R/ x1 6= π2 + n π, n ∈ N; x 6= 0}
√
√
√
√
√
f ) [−1, 1] g) [− 41 , 21 ] h) R i) j) [−1, 1] k) R − {0} k) (− 3, − 2) ∪ (0, 2) ∪ ( 3, +∞) [19] a) x1 b) x−2
c) 4 x
1−x
q
√
√
2x
x
x+2
3
x
x−1
h) 2x−1
, f ) 2 + 1 + x g) √1−x
i) 1−x
j) 4x−5
l) aa2x +1
d) 1 + x + 1 e) − 1 + x−2
2
3x+3 , k) a
−1 [23]
2
2
2
2
1.75
1.75
1.75
1.75
1.5
1.5
1.5
1.5
1.25
1.25
1.25
1.25
1
1
1
1
0.75
0.75
0.75
0.75
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
a)
-1
-0.5
0.25
0.5
1
b)
-1
-0.5
0.25
0.5
1
c)
-1
-0.5
0.25
0.5
1
d)
-1
-0.5
0.5
1
11.3. CAPÍTULO 3
397
[25]
1
1
1
0.5
0.5
0.5
1
0.75
0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
-2
-1
1
0.5
2
1
1.5
0.25
2
0.5
-0.5
1
1.5
2
-0.5
-0.5
-0.25
a)
b)
-1
c)
-1
d)
-1
-0.5
1
1
0.8
0.5
0.6
-2
-1
1
2
0.4
-0.5
0.2
e)
0.5
1
1.5
f)
2
-1
0 [29] a) argsenh(x) é a função inversa da função senh(x); y = argsenh(x) se e
[27] a) 0 b)
y
−y
somente se x = senh(y); então: x = e −e
, que é equivalente a: e2y − 2ey x − 1 = 0 equação quadrática
2
√
√
√
y
y
em e , cujas soluções são: e = x ± x2 + 1. Mas ey > 0; então ey = x + x2 + 1 e y = ln(x + x2 + 1);
analogamente obtem-se as outras funções hiperbólicas inversas. Os respectivos gráficos são:
π π
2, 3,
2
2
1.5
1
1.5
0.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-0.5
-0.5
-1.5
a)
0.5
b)
-2
1
2
3
4
1
-2
2
-0.5
-1
-1
-1.5
c)
-4
-0.5
0.5
-1
d)
-2
4
-1.5
-2
3
3
2.5
2
2
1
1.5
-1
1
e)
-0.5
0.5
1
-1
0.5
-2
0.2
[30] f ◦f é a identidade [31] f (x) = a x;
0.4
0.6
0.8
1
f)
-3
a), b), c) não. [32] f −1 (x) =
b−dx
cx−a
[34] Dom(f ) = R, Im(f ) = Z
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
[35]
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
a)
-2
b)
c)
2 tgh(x)
ex [37] a) (2, 1) b) (4, −4) c) ( 14 , − 89 ) [38] f (x) = −6x + 8 e
[36] a) x2 − 21x b) 1+tgh
2 (x) c)
3
g(x) = 2x2 − 7x + 4 [41] [− 32 , 0] [42] (0, 9]; f (9) = 0 [43] c = 11
[46] Sim, periódica de periódo a ∈ Q,
a 6= 0. [52] 120 mg [53] Aprox. 13412 anos. [54] Q(t) = 100e−0.049t , 70.6 g [55] 23.3 dias [66] 19.035
anos [57] 15385.23, 15529.69 e 15656.81 [58] a) 739.52 doentes, 38447.54 doentes, b) 11.03 dias. [60] 8.25,
1122.018 × 1012 J
11.3 Capítulo 3
√
1
5
h) 4 i) 9 j) 1 k) 0 l) 2 [2] a) k = 106
b) k = 2, 3 c) k = 70 d) k = 0
[1] a) − 5 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 f ) 4 g) − 1000
15
[3] a) Não, os domínios são diferentes. b) Sim. [4] a) 4 b) 11 c) 2 d) 1 e) − 1, f ) − 1 g) 2 h) 2 t i) 2 j) − 6 k) 1
√
√
1
o) 2m p) 3 q) 0 r) 2 + 1 s) 0 t) √12a u) 19 v) 0 [5] a) ± 2 b) não existe c) − 1, 0 [6] a) não
l) 65 m) 14 n) − 56
|b|
5
1
1
1
existe b) existe 0 c) existe −1 d) 21
5 e) − 13 f ) 12 g) 1 h) − 1 i) a j) 0 [7] a) 0 b) 3 c) 3 d) 0 e) 3 f ) − 3 g) 0 h) 0
CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
398
i) 0 j) 1 k) 0 l) 0 m) 1 n) 0 o) 0 p) 0 q) 0 r) 1 s) 0 t) 3 u) 0 v) 1 w) 2 x) 0 [8] a), b), c), f ), h) i), k), l), p), r) +
11
1
∞ d), e), g), j), m), n), o), q) −∞ s) −∞ t) −∞ u) 0v) −∞ [9] a) − 13
c) 13 d) 12 e) 12
f ) 4 g) −4 h) −
6 b) 6 √
1
85
3
2
2
e
j)
e
k)
2
l)
0
m) ln(5) n) +
i)
−
j)
0
k)
1
l)
0
m)
0
n)
0
[10]
a)
3
b)
0
c)
d)
0
e)
−
1
f
)
1
g)
0
h)
e
i)
6
4
4
∞ o) 1 p) 0 q) 1 r) e−4 s) e−1 [11] Ambos os limites são iguais: a), b), d) 4 c), f ) − 1 g) 0 e) 21 h) − 4 i) 1 j) 2
[15] a) 3644.24 e 40171.1 b) 4931.94 [16] a) 100000 [17]
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
-1.5
-1
1
-0.5
0.5
1
1.5
-1.5
1
-0.5
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
1
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-3
a)
-1
-1
-3
b)
-4
-3
c)
-4
1.5
-3
d)
-4
1
-4
1
4
0.75
0.5
2
0.25
-4
-2
2
-4
4
-2
2
4
-0.25
-2
-0.5
-0.75
e)
-4
f)
-1
[18] a) − 1 b) √35 c) e d) π4 e) sen(sen(1)) f ) ln(2)
[19] a), b), c) d), h) contínuas e), f ), g) descontínuas.
2
Desenhos correspondentes:
4
1
1
1
0.75
3
0.8
0.5
0.5
2
0.25
1
-4
-2
2
4
-6
-4
-2
2
4
-2
6
1
2
0.4
-0.25
-1
-0.5
-2
-3
a)
0.6
-1
b)
-4
-0.5
-0.75
c)
-1
0.2
d)
-1
8
-6
-4
-2
2
4
6
2
20
6
4
1
10
2
0.5
1
1.5
2
2.5
-3
3
-2
-1
1
2
3
-1
1
2
3
-2
-10
-1
-4
e)
-6
-20
f)
-8
g)
-2
[21] a) − 1 b) 6 c), e) 1 d) 2 f ) 5. [22] a), b), c), e), f ), g) não d) sim [23] a), c), e) R b), d) R − {0}
f ) (−∞, 0) ∪ [1, +∞) [24] a), b) c), e) f ) sim. [25] f (0) = 1. [26] f (2) = π2 [27] a) f (0) = 21 b) f (0) =
2
0 c) f (0) = 1 [28] g é contínua pois g(x) = |x| [29] Por exemplo: x1 e x x−1 [31] Sim, considere a função
g(x) = f (x) − 37 [33]
2
1
14
12
0.8
1.5
10
0.6
8
1
6
0.4
4
0.5
0.2
2
a) f = f (t)
-4
-2
2
4
g = g(t)
-4
-2
2
4
b)
-4
-2
2
4
[35] Tome g(x) = f (x) − x e aplique o TVI a g. [36] Tome h(x) = f (x) − g(x) e aplique o TVI a h.
11.4 Capítulo 4
[1] a) y + 6x − 10 = 0 b) 2x + y + 1 = 0 c)
√ y − 5x + 4 = 0 d) 2x − y − 6 = 0 e) y + x = 0 f ) y − 4x = 0
g) 4y − x − 3 = 0 h) 2y + x − 5 = 0 i) 3y − 2x − 1 = 0 j) y +√1 = 0 k) y − 2x + 2 = 0 l) y − x −
1 = 0 m) y + πx = 0 n) 3y − x − 3 = 0 o) 4y + x − 3 = 0 p) 2 2y + x − 3 = 0 q) 2y − x + 1 = 0
r) 2y + 4x − 5 = 0 [2] b = ±6. [3] y − 6x + 9 = 0, y + 6x + 9 = 0. [4] x = −4, y − 48x − 128 = 0
[5] a) y + 2x − 2 = 0, 2y − x + 1 = 0, b) y − ex − 2e = 0, ey + x − e2 + 1 = 0, c) y − 1 = 0, x = 0,
d) y + 2x − π2 = 0, 2y − x − π = 0 e) 2y − x − 1 = 0, y + 2x − 3 = 0 f ) y + πx − πln(π) = 0, πy − x + ln(π) =
0 g) y − x + 1 − ln(2) = 0, y + x − 1 − ln(2) = 0 h) y − 8x + 8 = 0, 8y + x − 1 = 0 [6] Uma reta
passando pela origem é da forma y = k x; use o fato que xy ′ − y = 0. (−1, 16), ( 32 , 154
9 ), (−2, 34). [7]
y − 4x + 1 = 0, y − 4x + 4 = 0. [8] g ′ (0) = 4. [9] g ′ (x) = f (x2 ) + 2x2 f ′ (x2 ). [10] a) g ′ (0) = 11 b) F ′ (3) = 28.
11.4. CAPÍTULO 4
399
′
′
′
−uw )
[11] a) v w u′ +u w v ′ +u v w′ b) v12 (v w u′ −u w v ′ +u v w′ ) c) −uwv +v(wu
[12] a) (1+x)(1+5x+10x2 +
v2 w2
5x8 −8x7 −21x6 +38x5 −x4 −12x3 +9x2 −2x
6x3 +9x2 +4x−10
3
4
5
2
2
5
3
2
d)
14x + 11x + 7x ) b) 3x (5x + 3)(x + x + 1) c)
(3x+1)2
(x2 −3)2
2
6−6x−3x
[13] a) 150(3x + 5)49 b) 7(12x2 + 3)(4x3 + 3x − 1)6 c) − 24(6 − 3x)7 d) 30x(3x2 + 4)4 e) (4−6x+3x
2 +x3 )2
f ) (x2 + 1)(x3 − 2x)(2(x2 + 1)(3x2 − 2) + 4x(x3 − 2x)) g) 18x2 (x3 − 6)2 sec2 ((x3 − 6)3 )tg((x3 − 6)3 )
56 (3x−2)7
x25 (x+1)2 (x4 +1)3
x+3
1+2x
h) ( 3x−6
)( x−7
(182 + 257x + 63x2 + 2x3 + 299x4 + 417x5 +
x−2 ) i) (2x+1)9 j) − x2 (x+1)2 k)
(x3 +3x+7)9
2
111x6 + 18x7 + 21x8 ) [14] a) 5x−1 ln(5) b) 21−2x 5−2x ln(10)(10x − 1)(10x + 1)(102x + 1) c) xln(5)
d)
1
1
1
e) x+x2 f ) tgh(x) g) ln(10) h) xln(x) i) ex cos(ex ) j) x (ex cos(ln(x)) + xsen(ln(x)))
5
2
x
(x+4)
x−2
b) 18 (x+7)
(xln(x) + x − 1) d) x1 3ln(x) ln(3) e) xe
[15] a) 2√3x
7 c) x
x3 +2
g) xx
2
+1
x
(x+2)(2x2 +2x−1)
3
(2x+1) 2
1+ln( x
4)
ln(4)
f ) (x2 )x (2 + ln(x2 ))
1
(1 + ln(x2 )) h) x x −2 (1 − ln(x)) i) senx−1 (x)(xcos(x) + ln(sen(x))sen(x))
j) xe −1 ex (1 + xln(x)) k) cossen(x)−1 (x)(cos2 (x)ln(cos(x)) − sen2 (x)) l) (ln(x))
x
cos( x
cos(x)sen(x)
sec2 (x)tg(x)
3)
√
√
b)
c)
2sec(2x)tg(2x)
d)
3
2
2
1−tg (x)
ln(x)
(1 + ln(ln(x))) [16] a) −
2−cos (x)
x
4 x
5 x
3
2
2
e) cotg(2x) − 2x cosec2 (2x) f ) 10
3 cos ( 3 )sen( 3 )(cos ( 3 ) − 1) g) 12x sec (2x )tg(2x )
√
2
( 1−x
h) − x sec√1−x
2
2tcos(t2 )
l)
m) −
2
3sen 3 (t2 )
o) −
2)
√
i) 2(cotg(x) − cosec(2x))(2cotg(2x)cosec(2x) − cosec2 (x)) j) − 2√1 x sen(2 x) k) sec2 (x)
2
1
x3 cos( x2 )
1
4
2 1
x3 sec ( x2 ) tg( x2 )
n) 2x sec(x2 )sec2 (sec(x2 ))tg(x2 )
1
1
r) xln(x)
[18] a) −
p) − 2x cosec2 (sec(x2 ))sec(x2 )tg(x2 ) q) xln(a)ln(x)
1
x2 +1
1
√
b) 2 arcsen(x)
c) x42x
+1 d) − x2 +1
1−x2
e) x21+1 f ) − x52 cosh( x5 ) g) 6(cosh(3x)senh(3x) − cos(3x)sen(3x)) h) 16x(4x2 − 3)sech2 ((4x2 − 3)2 ) i) −
2(x2 −1)
(x2 +1)2
x
n)
2x argcosh(x
4x
2x
√
j) argcosh(x) k) 4−x
4 l) 1−x4 m)
x4 −1
3
(1+x2 ) 2
2
)
2
1
1
)cotgh( √1+x
) [19] a) − x2 y −2 , b) − 3xx2+2xy
cosech( √1+x
2
2
+2y , c) −
2
2
2
2
py
x
d) 2x+3x2 y22y
+6xy 3 +3y 4 e) −
2x+y
x(2x −2y −1)
cos(y)−y cos(xy)
1+2x +2xy
y
y
y
1
e
1 f ) − x−sec
2 (y) g) ey −1 h) y(3y 3 +3xy−2) i) − x j) y+2x2 y−2y 3 k) x(cos(xy)+sen(y)) l) x m) − 2 −
y
x
o)
y
x
p) −
2y
x
q)
y−y 2
2xy+3sec2 (y)−x
r) −
1+y 2 y+(1+x2 )arctg(y)
1+x2 ( x+(1+y 2 )arctg(x) )
[20] (−2, 1), (2, −1), (0, −1) e (0, 1)
√
√
√
1
[21] ( 18 , − 16
). [22] a = 1 ou a = 3 [23] yx0 + xy0 = 2a. [24] y 3 x0 + x 3 y0 = 3 x0 y0 ,
[26] a)
f) −
−
1
(x+1)3
5
11
x
n) −
d(A, B) = 1
b) x307 c) 2(cos(x2 ) − 2x2 sen(x2 )) d) 2sec2 (x)(sec2 (x) + 2tg 2 (x)) e) 2 cos(2x) − cos(x)
36x 6
g) 6+4x
x4
h)
x
3x
5
(x2 −1) 2
i) xe 3 (2 − 2x + x2 )
2
2
sen(x) (1+2cos (x)+sen
j) − cos2 (x)cos(sen(x)) + sen(x)sen(sen(x)) k) − ( xln(x)+1
2 lg 2 (x) ) l) − (
(1+sen2 (x))2
√
4
√
√
√
√
√
2(1−3x )
sec( x)
2
2
( xsec ( x) − tg( x) + x tg ( x)) n) 2 4
m)
3
3
4x 2
3
+1)
o) x6(2x
2 (2+x3 )2 [27] a) 0 b) 72 c) −
9x
x (x −1) 2
5
(3−x2 ) 2
24
2x+1
f) −
d) (x−1)
5 e) 8e
2
2
)
1
sen( x2 ) h) − a7 cos(ax) i) −
g) 16
48(5x4 +10x2 +1)
(x2 −1)5
ex (1−10e2x +4e4x )
j) (x + 7)ex k) Antes de derivar simplique a expressão.
m) cosh6 (x)senh(x)(225cosh2 (x) + 504senh2(x)) n)
6
x4
(x))
4
2
x3
2
+11)
l) − ( 24x(x(x+20x
)
2 −1)5
7
(e2x +1) 2
2
o) − 8sech (x)tgh(x)(2sech (x) − tgh (x))
p) senh(x) cosh(x)(cosh(x) cosh(cosh(x)) + 3senh(cosh(x)))
2
(x)
q) − x22 (sen(ln(x)) + cos(ln(x))) r) 2(2−cos
[28] 4e2x (f ′ (e2x ) + e2x f ′′ (e2x )). [32] α = ±2
cos3 (x)
2
′2
′2
+yy ′ (4x+3y ′ )+y 2 (1+6y ′2 )
1+6y ′ +y ′2
3
2
2 ′2
c) − 2(x −1)y
d) 6x(1−x)−y
y 3 (x + y y ) b) −
3x+y
4y 3 +3y 2 +2(x2 −1)y−1
y
′
2
−sen(y)y ′2 −sen(xy)(y+xy ′ )2 )
49
e) − (−sen(x)+2cos(xy)y
f ) cosec(y)(sen(x) − cos(y)y ′ ) [35] 5493
cos(y)+x
cos(xy)
256 [36] − 32 [37]
√
√
a) x, b) 1, c) x, d) 3 + 63 x, e) 1 − 2x,
f ) x3 + 1, g) x, h) ln(5) + x, i) 21x − 1 [38] a) 0.5013, b) 2.03, c) 0.874, d) 1.00772, e) 15.5269, f ) 4.0055 [40]
1030√cm3 [41] i) −8t−3 + 1, 24t−4 ii) t = 2 [42] Aprox. 600 /h [43] 8000 l/m [44] gt, g [45] 29.4 m/seg [46]
√
a k 23 cm2 /h [47] 2 2 cm/seg. [48] Aprox. 16.75 cm/seg. [49] (25 π)−1 cm/seg [51] 21.71, 5.56, 1.12 e
[34] a) −
0.16 [52] −1 Km/h
CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
400
11.5 Capítulo 5
[1] a)
7
2 √b)
4+ 76
6
√
5±2 19
3
c) 27
2 c)
d)
π
4
π 3π
4, 4
[2] a)
b) 0
d)
[3] a) Não existe, b) 23 , c) 1, d) −1, e) 0, f) Não existe, g) 0, −3, h) π2 + kπ, i) kπ, j)
ma
Não existe , n) Não existe. o) x = 1, x = − 41 , x = 38 p) x = 0, x = a e x = m+n
3π
4
+ kπ, k) 0, l) 0, m)
[4] a) Cres. em (−1, 32 ) ∪ (2, +∞), decres. em (−∞, −1) ∪ ( 32 , 2), b) Cres. em (−∞, − 21 ∪ ( 12 , +∞), decres.
em (− 12 , 12 ), c) Cres. em (0, +∞), decres. em (−∞, 0), d) Cres. em (0, +∞), decres. em (−∞, 0), e)
Cres. em ( √1e , +∞), decres. em (0, √1e ), f) Cres. em (−∞, 0), decres. em (0, +∞], g) Cres. em R, h)
Decres. em R, i) Cres. em (−1, +∞), decres. em (−∞, −1), j) Cres. em (−∞, −2) ∪ ( 23 , +∞), decres.
q
q
q q
2π
em (−2, 23 ), k) Cres. em (−∞, − 73 ] ∪ [ 73 , +∞), decres. em (− 73 , 73 ), l) Cres. em (− 2π
3 , 3 ), decres
2π
(−∞, − 2π
3 ) ∪ ( 3 , +∞) m) Cres. em R, n) Dres. em R o) Cres. (−∞, 1), decres. (1, +∞), p) Cres.
(−∞, 0) ∪ (2, +∞) decres. (0, 1) ∪ (1, 2).
[5] a) Mín. 73 , não existe máx. b) Máx 2, não existe mín. c) Mín. 1. máx. −7, d) Mín 0, não existe máx. e)
Máx 92 , f) Não existem, g) Mín. − 23 h) Mín. −2, máx 2, i) Não existem, j) Mín. − 54 , máx. −2, k) Mín. 0,
√
√
√
2 − 1, máx − 2 − 1, n) Mín. 0, máx ± 2, o) Mín. 0, máx −4 p) Máx 2, não
máx 64
5 , l) Mín. 0. m) Mín.
existe mín. q) Mín. −1, não existe máx. r) Mín. ±1, não existe máx.
[6] a) Inf. 35 , côncava para cima em (−∞, 53 ), côncava para baixo em ( 35 , +∞). b) Inf. − 13 , 2, côncava
para cima em (−∞, − 31 ), (2, +∞), côncava para baixo em (− 31 , 2). c) Não existem; côncava para cima
em (−4, +∞), côncava para baixo em (−∞, −4). d) Inf. 32 , côncava para cima em ( 23 , +∞), côncava
para baixo em (−∞, − 32 ). e) Inf. ±1, côncava para cima em (−∞, −1) ∪ (1, +∞), côncava para baixo
em (−∞, −1) ∪ (−1,√+∞). f) Inf. −6, côncava para cima
em (−6,
−3) ∪ (3, +∞), côncava para baixo
em
√
√
√
√
2
2
2
2
(−∞, −6). g) Inf. ± 2 , concava para cima em (−∞, − 2 )∪( 2 , +∞) ;côncava para baixo em (− 2 , 22 )
h) Inf. −6, côncava para cima em (−6, +∞), côncava para baixo em (−∞, −6). i)qNão possui pontos de
inf. côncava para cima em (0, +∞), côncava para baixo em (−∞, 0). j) Inf. 0 e ± 32 , côncava para cima
em (−1, 0), côncava para baixo em (0, 1). k) Inf. k ∈ Z, côncava para cima em (2k − 1, 2k), côncava para
baixo em (2k, 2k +1). l) Inf. 0 e 2. côncava para cima em (0, 2); côncava para baixo em (−∞, 0)∪(2, +∞).
m) Inf. k + 12 com k ∈ Z, côncava para cima em (2k − 23 , 2k − 21 ); côncava para baixo em (2k − 52 , 2k − 23 ).
n) Não possui pontos de inf. côncava para cima em todo R.
[7]
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1
3
1.5
2
-2
4
0.5
1
3
-6
-4
-2
2
-4
4
6
-1
1
2
2
3
4
1
2
3
1
1.2
5
6
-2
-6
b)
-4
c)
-8
d)
-5
1
0.4
0.8
0.3
0.6
0.2
-10
-5
5
10
g)
-1
0.4
5
4
0.3
3
0.2
0.1
0.4
-0.5
1
-3
2
-1
0.2
-0.5
0.5
0.1
1
1
-0.1
-6
-4
-2
2
4
-1
6
-0.5
1
-0.2
-2
-0.2
j)
0.5
l)
-0.4
4
-1
n)
-0.2
1.5
4
-1
-0.1
-0.3
k)
-0.4
-2
1
4
1.25
0.8
2
2
1
0.6
-2
-1
1
2
0.75
3
-4
-2
2
4
0.4
0.5
-2
-2
p)
-4
q)
-4
0.2
0.25
s)
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
t)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.4
11.6. CAPÍTULO 6
401
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
-4
-3
u)
-2
-1
1
2
-2
3
-0.5
2
4
-0.5
v)
0.4
0.2
0.35
0.175
0.3
0.15
0.25
0.125
0.2
0.1
0.15
0.075
0.1
0.05
0.025
0.05
w)
-1
-3
-2
-1
1
2
3
x)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.2
0.2
1
0.8
0.1
0.6
-1
-0.5
0.5
0.4
1
0.2
-0.1
y)
z)
-0.2
0.5
1
1.5
2
-0.2
b
[8] k = −3, [9] a) x0 = − 3a
.
[11]
1
0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Exercicios de Otimização
q
√
3
3
2πh
4 3
3
√
[1] 32 u.a., [2] Cubo de volume A
63 , [3] 4 u.a., [5] V = 9 3 [6] (1, 0), [7] 9 πr , [8] r = 5 m e h = 5 m,
√
√
[9] 23 3, [10] ( 14 , 0), [11] Quadrado de lados a, [12] Comprimento de cada cateto √h2 , [13] h = r =
√
√
√
2a 3
2a
2
12
4√
√ 2 [18] largura
, altura
π+4 m, [14] 1, [15] tg(α) = 2 , [16] r = h = 1. [17]largura
3 , altura
3
6− 3
√
2
2
x
y
+x
y
+.........+x
y
70
2b
2a
19x
6−2√ 3
[19] 10 e −10, [20] 4 e 7, [21] √a2 +b2 e √a2 +b2 [22] a) m = 1 x1 2 +x2 22+.........+x2n n b) y = 30 . [23]
6− 3
n
1
2
L = B. [24] Aprox. aos 20 anos. [25] x = π2 e r = 2a
π [26] a) ln(3) − ln(2), b) a droga é completamente
eliminada. [27] 18.22 m
[28]
L’Hôpital:
1) −1, 2) 0, 3)] 0, 4) 0, 5) 0, 6) 1, 7) +∞, 8) 1, 9) 0, 10) 1, 11) 0, 12) 1, 13) e2 , 14) 1, 15) e2 , 16) 0, 17) +∞, 18)
2
1
+∞, 19) e2 , 20) e− 3 , 21) 12 , 22) 0, 23) 0, 24) −2, 25) − 32 , 26) 0, 27) 0, 28) n 2+n .
11.6
Capítulo 6
√
4
3
[2] a) 85 (x2 − 1) 5 + c b) 23 ln(x2 + 1) + c c) 23 (x + 5) 2 + c d) − a2 b − ay + c; a 6= 0 e) 14 (2by 2 − ay 4 ) + c
√
2
1
1
1
4 23
+ c; b 6= 0 j) ln 2(x) + 2ln(x) + c k)
f) 38 x3 + 8 + c g) 5−3x
2 + c h) − 2a(b+ay)2 + c; a 6= 0 i) 6b (a + bx )
p
√
3
1
+ c o) 21 1 + x4 + c p) 13 ex + c q)
− 61 cos3 (2x) + c l) sec2 ( x2 ) + c m) a2 b + sen(ax) + c; a 6= 0 n) − ln(x)
1
1
1
1
1
2
−x
arcsen(x)
)+c s) − 2(cos(θ)−5)
+c w)
2 +c t) − 2 ( x2 +6x )+c u) ln(ln(x))+c v) e
4 arcsen (y)+c r) − 4 arctg(4e
√
√
x
2
sen(3 )
1
x
6 3
√
−cos(ln(x)) + c x) 2 sen( x + 1) + c y) 2 (1 + x ) + c z) ln(3) + c [3] a) 2 2 arcsec( 2 ) + c b) x − ln(ex +
p
√
√
√
√
1
2
1
1)+ c c) 32 x + 1(x− 2)+ c d) − 1 − x2 + c e) 2(1 + x)− 2ln( x+ 1)+ c f) 52 1 + x 3 (8 − 4x 3 + 3x 3 )+ c
−t
x
e
+ c d) e (πsen(πt)−cos(πt))
+ c e) 21 x(sen(ln(x)) −
[4] a) ex (x − 1) + c b) 2xsen(x) − (x2 − 2)cos(x) + c c) 1+x
π 2 +1
√
2
x
cos(ln(x))) + c f) − 21 1 − 4x2 + x arccos(2x) + c g) 3 (sen(x)+cos(x)ln(3))
− x2 + c i)
+ c h) (x +1)arctg(x)
1+(ln(3))2
2
1
√
j) −xe−x + c k) exx (x − 1) + c l) − 13 1 − x2 (x2 + 2) + c. Sugestão:
3
6x
faça u = x . m) −x cotg(x) + ln(|sen(x)|) + c n) x sec(x) − ln(|sec(x) + tg(x)|) + c o) cos(5x)( 125
− x5 ) +
2
4
2
6
x
3x
3
3x
3
x 4
3
2
sen(5x)( 3x
25 − 625 ) + c p) sen(2x)( 2 − 2 + 4 ) + cos(2x)(x − 2 ) + c q) e (x − 4x + 12x − 24x + 24) + c
1
−x 5
4
3
2
2
r) −e (x + 5x + 19x + 57x + 115x + 115) + c s) cosh(x) (x + 2) − 2 x senh(x) + c t) 16
((1 +
1
2 (sec(x)tg(x) + ln(|sec(x) + tg(x)|)) + c
2
CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
402
√
√
8x2 )argsenh(2x)−2x 1 + 4x2 )+c u) −e−x (x4 +4x3 +12x2 +24x+24)+c v) x−arcsen(x) 1 − x2 +c w)
3
3
2
x tg(x)+ln(cos(x))+c x) x (ln3 (x)−3ln2 (x)+6ln(x)−6)+c y) 2x9 2 (3ln(x)−2)+c z) 15
(x+1) 2 (3x−2)+c
√
1
1
4
8
4
4
2
[5] a) 2 (x x + 1 + argsenh(x)) + c b) 4 (sen(x )(x − 2) + 2x cos(x )) + c. Sugestão: use t = x4 . c)
√ √
√
√
√
4
2
x
x
( x − 1) + c e) 2(sen( x) − xcos( x)) + c f) ex ( x2 − x2 + 1) + c.
2 (cos(ln(x)) + sen(ln(x))) + c d) 2e
p
7
+c d) −2 cos(x)(1− 25 cos2 (x)+
[6] a) 13 tg 3 (x)+c b) sec840(x) (35cos(4x)−28cos(2x)+57)+c c) x8 − sen(4x)
32
1
1
1
1
4
3
5
9 cos (x)) + c e) cos(x) + ln(|cosec(x) − cotg(x)|) + c f) − 6 cotg (2x) + c g) − 5 cotg (x) + c h) 8a (3ax −
5
5
√
−
3cos(ax)sen(ax) − 2sen3 (ax)cos(ax)) + c; a 6= 0 i) − cos7(y) (sen2 (y) + 25 ) + c j) tg 5(x) [7] a) − 16−x
x
√
√
√
2
x2 −9
5−x
1
3
x
1
x
2
arcsen( 4 )+c b) 18x2 − 54 arctg( √x2 −9 )+c c) − 5x +c d) ln(|x+ x − 7|)+c e) 5 ln(| 5+√25−x2 |)+c f)
√
√
√
2 5
)2
− 32 arcsen(1−x)− 21 (x+3) 2x − x2 +c g) − (16−9x
+c i) x2 x2 + 2+ln(|x+ x2 + 2|)+c j)
+c h) 4√x−2
2
80x5
4x−x
√
√
√
√
√
√
√
2
x2 −4
2
2
1
7 √2x2 +9
2 1
2
√x 2
√1+x +x√2
2 arctg( 1−x2 )+c k) 4 ln(| 1+x2 −x 2 |)+c l)
4x +c m) 8 4x2 +9 +c n) 2 x 1 + x +x + 2 arcsen(x)+
√
√
√
√
2
c o) 2 ex + 1+c p) x2 − 1+ln(|x+ x2 − 1|)+c q) − x4x+4 [8] a) − √ cos(x) 2 +c b) − √ ln(x) 2 +c
25 25−cos (x)
4 (ln(x)) −4
√
√
sen(x)+ sen2 (x)+4
sen(x)
1
1
c) ln(|
|) + c = arcsenh( 2 ) + c [9] a) 2 arcsen(2x − 2) + c b) − 3 3x2 − x + 1 +
2
√
√
√
√
√
3
2
2
√ )) + c d) argsenh( 2x+3
√
) + c e)
(− x7(3x+8)
3x − 63 |) + c c) 49
7 arctg( 3+2x
2 +3x+4 − 6
18 ln(| 3x − x + 1 +
7
√ 11
√
√
9
8x+3
5
2
2
ln(2x−1+2 x − x − 1)+c f) 4 4x + 3x + 1+ 16 argsinh( √7 )+c g) −arcsen(2−x) h) 2 3 + 2x + x2 +
√
√
√ ) + c j)
4 − 3x + x2 + 23 argsenh( 2x−3
x2 + 6x + 34 − argsenh( x+3
argsen( x−1
2 ) + c i)
5 ) + c [10] a)
7
2
√
(x+2)2
x−1
3
1
x−1
1
1
1
2
2
√
24 ln( x2 −2x+4 ) + 12 arctg( 3 ) + c b) ln(| x+1 |) − 2arctg(x) + c c) 2 ln(x + 2) + (x2 +2)2 + c d) 2 ln(x +
√
3
2
−x +x
3
1) − x21+1 + c e) − x1 − arctg(x) + c f) ln( x2 + 1) − 12 arctg(x) − 2(x2x+1) + c g) ln(| x(x+1)
2 |) − x+1 +
x+3
1
√2 arctg( 2x−1
√ )+ c h) − 1 2 − ln(x)+ 1 ln(x2 + 1)+ c i) −
√ x
2x
2
2(x2 +4x+5) − 2 arctg(x+ 2)+ c j) x+ ln(| x2 +1 |)+ c
3
3
√
3x−17
2
√ x+1
√ ) + c m) − 1 5 +
k) 21 ( 5−4x+x
|) + 33 arctg( 2x+1
2 − 15arctg(2 − x)) + ln(5 − 4x + x ) + c l) ln(|
5x
x2 +x+1
3
√
1
x−1
3
5 3
2x−1
1
1
1
2
√
)
+
c
o)
ln|
−
arctg(x)
+
c
n)
ln|x
−
x
+
1|
+
arctg(
|
+
−
−
+
c p)
3x3
x
2
3
x
x−1
2(x−1)2
3
√
4
2
43
2(4+5x)
x2 −1
26
x
1
1
x
1
x
2
9
18
√
4 ln(| x2 +1 |)+c q) ln|x (x +9) |+ 9x − 27 arctg( 3 )+c r) 8 (8x− x2 +2 −5 2 arctg( 2 )+ln( (x2 +2)2 )+c
√
2
x
x+2
1
x +2x+1
2
21
3
2
s) ln| 2
1 |+ 2(x2 +2x+2) +c t) 8 ln| x2 +2x+5 |+c u) 5 ln(|x|)+ 10 ln(|x+5|)− 2 ln(|x+1|)+c v) ln(|(x −
√ (x +2x+2) 4
x
1) x2 + 1|)+arctg(x)+c [11] a) sen(x)(ln(sen(x))−1)+c b) ln52 (5) (x ln(5)−1)+c c) 13 (cos(x3 )+
3
)+c f ) − 2 1 3 +c g) argsenh( x2 +1)+c
x3 sen(x3 )+c d) sec3(x) +c e) 12 (sen(x)+ sen(7x)
7
3(x +4) 2
√
√
t
√ )+
h) 12 (et 9 − e2t + 9 arcsen( e3 ))+ c i) 31 ln(x3 + 3x2 + 4)+ c j) 12 ln(x2 + 2x+ 4)− 4 3 3 arctg( x+1
3
√
√
2
2
1
− 2(x+1)
c k) x2 + ln(| x2x+1 |) + c l)
5 arctg( 55 cos(x)) − cos(x) + c m) x+1
2 + ln(|x + 1|) + c
√
√
1
(ln(2x−1)−ln(2x+7))+c o) ln(x)− 21 ln(x2 +3)+ 2 3 3 arctg( 33 x)+c p) 2 ln(x−1)+ 21 ln(x2 +1)−
n) 16
√ √
√
√
2
3
18+7x2 +3x √5 √x2 +4
(2x2 − 3)(x2 + 1) 3 + c r) 2 x − 2 arctg( x)+ c s) 121√5 ln( −18−7x
3 arctg(x)+ c q) 20
)+ c
2 +3x 5 x2 +4
√
sen(x)
2
t) ln(x − 1) − ln(2x − 1 + x + 2x − 2) + c u) arctg( cos(x)+sen(x) ) + c v) ln(|x + sen(x)|) + c w) ln(|2 +
√
√
√
√
√
√
√
2
)
+
c
[12]
a)
−
sen(2x)|) + c x) − 2 arctg( x−1
2
2 (ln( 2tg(x/2) + 2 + 2) − ln(− 2tg(x/2) − 2 + 2)) + c
√
√
b ln(|s|)
s2
c) 22 arctg( 22 tg(x/2)) + c. [14] y = − cos(2x)
+ sen(x) + 2x + 54 , [15] 2a
+ cs
= t + k.
2
a +
a
11.7 Capítulo 7
[1] Método de substituição:
√
2
1
1
π
√
2 − 1 e) 41 f) 12 ln( e 2+1 ) g) 2+ln(2)
− 1 h) 1 − e−1 i) 2e2 − 2e j) 101
k) ln(3)
l)
a) 26
3 b) 3 c) ln(e + 1) d)
2
2 2
p
2
2
2
1
3
4
π
4 − 2 ln(2) m) 3 n) cos(1) − cos(e) o) 0 p) 3 (e − 1) q) 4 (5 3 − 2 3 ) r) 8 s) 2(1 − ln(2)) t) 2(cos(2) − cos(3))
√
3
u) − a3 v) ln( 43 ) w) 1 − cos(ln(2)) x) 31 ln( 1+2 5 )
[2] Método de integração por partes:
√
1
3π +1
−1
a) 1 − 2e−1 b) 13
(3 − 2eπ ) c) −ln(3)( 1+ln
e) ln(128) − 32 f) 41 (π − 2 ln(2)) g) 23 − 3 8 3
2 (3) ) d) 24 − 65e
√
1 π
3
2
√3−1
− 1 j) 2π
3 + ln( 3+1 ) k) 4ln(2) − 2 l) − 2 (e + 1) m) −1 n) 2e o) 6 − 2e p) π − 2 q)
√
√
√
√
1
π
4
3+1
π
3 − 21 ln( √3−1
w) 23 x) − 15
) t) 0 u) 49 (1 − 2 2 + 2ln(8)) v) 32
4 (π − ln(4)) r) 2 − 1 s)
√
√
5
2
7
1
1
√
[3] a) 2+ln(2)
− 1 b) 5ln(5)−4
ln2 (5) c) − 3 d) 3 e) 0 f) 24 − 75 g) argsinh(2) − argsinh(1) h) 4 (9π − 4 2 −
2 2
h) 41 (π + ln(4)) i)
e
2
11.7. CAPÍTULO 7
403
√
2
√
1
27
ln( 11
)
18arcsin( 13 )) i) ln( 523 ) j) 54 ln( 23 ) − 85 k) 32 + 2ln(2) − ln(5) l) 1 − 5arctg( 55 ) m) − 58 + ln(2) n) 16
√
√
√
3
π
5
3
300
2
1
3
2
o) 2 ln(3) + 9 π p) 2 ln(2) − 3arctg(3) + 3arctg(2) q) 20 (3 − 4) r) 2 − 2 s) 7 t) 2 u) 2 v) 5 − 7ln(5) −
√
√
2
3
π
2 + 1 b) x sen(x) c) x ln(x) d)
x4 + 1 e)
9ln(2) + 16ln(3) w) a4 (π − 2) x) 4√
(π
−
arccos(7))
[4]
a)
x
3
√
√
5
ex 1 + e2x − 1 − x2 f) 2x sen(x4 ) g) 2x + x2 − 3 h) √3x
[5] a = 0, f (x) = 1 [6] Pontos críticos: x = nπ.
1+x9
Se n par nπ é ponto de mínimo; se n ímpar nπé ponto de máximo. [7] a) 21 , b) 2 c) 2ln(2) − 1 d) ln(2)
2 e)
4
2
2
f)
e
−
2
[8]
Use
a)
x
+
1
>
x
[10]
a)
0,
b)
0,
pois
ambos
os
integrandos
são
funções
ímpares.
[12]
π−2
π
2
2
2
2
[14] (2x + 1) 2−x (x+1) − x 2−(x +1) +1 [15] g ′ (x) = x1 , g ′ ( 12 ) = 2 [16] Use o método de substituição. 2
[18]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
-2
2
4
Áreas
0.4
1
0.5
0.8
0.2
0.5
0.6
-1
0.4
[1]
-1
1.5
2
-0.5
0.5
1
-1
0.2
4
3
1
-0.5
-0.5
0.5
1
2
[2]
1
-0.2
3
2
[3]
-0.4
-1.5
-2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.1
0.05
-1
-0.5
0.5
1
0.4
0.4
0.2
0.2
-0.05
[4]
1
6
-0.1
[5] 1
0.5
1
1.5
2
[6] π
2.5
1
6
2
3
4
5
6
3.5
15
3
5
12.5
2.5
4
10
2
3
7.5
2
5
113
12
1
[7] 36
2
4
6
8
10
[8]
1.5
1
√
√
[9] 10( 7 − 2)
2.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5
1
2
3
4
5
6
8
2
5
6
1.5
4
3
4
1
2
[10]
√
1
(17 17 − 1)
12
2
0.5
1
0.5
1
1.5
[11] 20
2
-2
2
4
[12] 2
6
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
15
0.1
12.5
10
-1
-0.5
0.5
1
7.5
-0.1
5
[13]
56
3
2.5
-1
1
2
3
[14]
4
15
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
-0.2
√
9
145
1
32
125
4
64
1
1
[1] 92 [2] 32
3 [3] 2 [4] 6 [5] 2 [6] 3 [7] 6 [8] 72 [9] 1 [10] 15 [11] 3 [12] 6 [13] 18 [14] 3 [15] 2 2 − 2 [16]
√
2 3 − 2 − π6 [17] 16 [18] π4 + 1 [19] 29 [20] 34 [21] 2(e3 − e−3 ) [22] e − e−1 [23] e4 − 5 [24] 128
15 [25] 2 [26]
1
15
π
16
1
−1
(e
+
e
−
2)
[27]
[28]
6
[29]
9
[30]
−
1
[31]
2
[32]
π
−
2
ln(2)
[33]
π
−
2
[34]
[35]
2
4
2
3
15 [36] 2 [37]
√
148
4
27
128
8
−2
e − 23 [38] 31 (4 2 − 5) + e−1 [39] ln(10)−1
[46]
ln(10) [40] 3 [41] 3 [42] 4 [43] 15 [44] 3 [45] c = 2, 1 − 3e
c=
√
2 1
2 , 2 (1
−
√1 )
e
[47] c = e,
1
2
[48]
2π
3
−
√
3
2
[49] 12 [50] 2(π − 32 )
CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
404
Volumes
2
2
π(e −1)
206
2
π
512π
55π
5π
π
π 4
−2
[1] 26
[6] 10π
[11] 32π
)
3 π [2] 15 π [3] 35 π [4] 2 [5] 3
9 [7] 6 [8] 28 [9] √
2 [10]
4√
3 [12] 2 (e − e
2
256
3π
64π
2 5π
16 5π
2π
π
π 4
15π
[13] 8π [14] 2 [15] 5 π [16] 2 [17] 64π [18] 8π [19] 15 [20] 3 [21] 5 [22] 3 [23] 6 [24] 2 (e −
√
64 2π
π
8π
16
5e2 + 4e + 2) [25] 221π
[26]
[27]
[28]
π
[29]
[30] 648π
45
6
3
15
15
5
Comprimento de Arco
√
[1] 4 26 [2]
√
13 13−8
27
53
6
92
9
√
√
√
13 13−8
53
1
3
14
4
38
14
2 2
6 [4] 1 + 2 ln( 2 ) [5] 3 [6] 12 [7] 3 [8] 3 [9] 3 [10] 3 (5 5 − 1) [11]q 27
√
√
√
√
√
√
5+2√6
9
3)
[16]
ln(2
+
2
+
1)
[19]
6
−
2
+
ln(
[14] 31
[15]
ln(
[18]
ln(
3)
[17]
)
6
8
3+2 2
[3]
[13]
√
ln(e + e2 − 1)
[12]
[20]
Logarítmos
[2] Sugestão: Escreva
1
u+1
= 1 − u + u2 −
u3
u+1 .
[5] ln(1.2) ≃ 0.1826 e E(1.2) ≤ 0.0004. [7] x = 1.
Trabalho
3
b) 24 c) 20
d) 311
e) π − 2 f ) 2 g) 21 (1 − e−50π ) [2] 4 J. [3] 50
[1] a) 197
12
30
3 J [4] 1 J [5]
11 49
252 J [6] 2 J [8] Da segunda lei de Coulomb f (x) = ex1 e22 então 1.8 × 104 erg [10] a) ( 12 , 25 ) b) ( 13
, 13 ) c)
π
(0, 8 ).
11.8 Capítulo 8
[1] a) 2 b)
π
12
c) ln(2) d)
1
2
1
e) 1 f) +∞, diverge. g) ∞, diverge. h) − 2ln(5)
i) −∞, diverge. j) +∞, diverge.
π
1
k) π l) 1+π
2 m) 2 n) diverge o)
1
+∞, diverge. x) ln(2)
[2] a)
√
3
4
π
2
π
2
b) 1 −
1
2e2
c)
π
√
2
π
2
p)
ln(2)
2
q)
1
2
r)
1
4
s) +∞, diverge. t)
1
8
u) o limite não existe. v)
π
2
w)
5
π
2
7
5
7
2 d) 2 − e2 e) 5 (ln(2)) f) diverge. g) diverge. h) π i) 3 j)
p
− π3 q) diverge. r) 2 ln(2) s) π + 2 t) diverge. u) diverge. v)
[3] a) 4 b) 3sen(1) c)
k) l) diverge. m) diverge. n) π o)
diverge.
51
7
p)
2sen2 ( x )
= x2 xs−22 .
[4] a) s > 0 b) Para todo s > 0 c) s > 1 d) s > 0 e) s > 1 f) s > 1 g) Sugestão: Faça 1−cos(x)
xs
Utilize limites fundamentais e o teorema de comparação de integrais imprópias. s < 3.
R π2
Rπ
Rπ
dx
dx
dx
+ π (sen(x))
h) Sugestão: Faça 0 (sen(x))
5 =
5 e na segunda integral faça x = π − t. Utilize
0 (sen(x))5
2
limites fundamentais para aplicar o teorema de comparação de integrais imprópias. s < 1
R +∞
1
[6] a = 18
[7] Utilize que a função f (t) = ek|t| é par. k = −2 [9] P (x > a) = a f (x) dx, P (x < a) =
Ra
−∞ f (x) dx [10] a) 69% b) 30%