TRIGONOMETRIA (RESUMO TEÓRICO)
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c)
TRIGONOMETRIA
I. Razões
trigonométricas
triângulo retângulo
1
c.o.
.
→ cos sec α =
sen α
h
1
c.a.
cos α =
.
→ sec α =
cos α
h
c.o.
1
tgα =
.
→ cot gα =
c.a.
tgα
IV. Funções circulares
TANGENTE
a) FUNÇÃO SENO
no
y = senx
sen α =
d) ESTUDO DO SINAL
senα
cosα
tgα
1 o e 2o
1o e 4o
1o e 3o
Quadrantes Quadrantes Quadrantes
(+)
OBSERVAÇÕES:
9
9
Para reduzir um arco do 2o , 3o ou 4o quadrante,
a um correspondente no 1o quadrante, deve-se:
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIAIS
a) Identificar o quadrante em que está o arco
a ser reduzido.
30o
1
2
45o
60o
2
2
b) Verificar o sinal da razão trigonométrica no
referido quadrante.
cosα
3
2
2
2
3
2
1
2
tgα
3
3
1
senα
Imagem
-1≤ senx ≤1
Im = [-1, 1]
Cresce
1o e 4o
Q
Decresce
2o e 3o
Q
III. Redução ao primeiro quadrante
c.o.
sen α
c.o.
= h =
= tgα .
c.a. c.a.
cosα
h
Ângulo (α)
Domínio
Todo arco real
possui seno
.D=ℜ
(+)
(-)
1o e 2o
3o e 4o
Q
Q
b) FUNÇÃO COSSENO
y = cosx
c) Efetuar a redução conforme indicado
abaixo:
3
II. Ciclo trigonométrico
a) CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Domínio
Imagem
Todo arco real
possui cosseno
.D=ℜ
(+)
(-)
2o e 3o
1o e 4o
Q
Q
-1≤ cosx ≤1
Im = [-1, 1]
Cresce
3o e 4o
Q
Decresce
1o e 2o
Q
c) FUNÇÃO TANGENTE
y = tgx
b) SENO E COSSENO
Exemplos:
o
o
sen150
{ = + sen 30 =
2o Q
1
.
2
o
o
cos225
1
23 = − cos 45 = −
3o Q
2
.
2
o
o
tg 300
1
2
3 = −tg 60 = − 3 .
2o Q
sen 2 x + cos 2 x = 1
(relação trigonométrica fundamental)
Prof. Márcio Queiroz
1
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V. Domínio e período
Exemplo:
1
sen x =
2
VI. Transformações
a) FÓRMULAS DA ADIÇÃO
DOMÍNIO
cos(a ± b) = cos a ⋅ cos b m sen a ⋅ sen b.
sen(a ± b) = sen a ⋅ cos b ± sen b ⋅ cos a.
tg (a ± b) =
tga ± tgb
.
1 m tga ⋅ tgb
b) FÓRMULAS DA MULTIPLICAÇÃO
sen 2a = 2 ⋅ sen a ⋅ cos a
cos 2a = cos 2 a − sen 2 a
tg 2a =
Como senx > 0, então x ∈ 1o ou 2o
quadrante.
9
O arco correspondente, no 1o quadrante,
1
para sen x =
é 30o .
2
9
No 2o quadrante, o arco correspondente é
150o .
9
Em [0, 360o] o conjunto solução é
S = {30o, 150o}.
2 ⋅ tga
1 − tg 2a
VIII.
sen
a
1 − cos a
=±
2
2
cos
a
1 + cos a
=±
2
2
Funções inversas
a) FUNÇÃO ARCO SENO
c) Fórmulas da divisão
tg
9
⎧
⎡ π π⎤
⎪ y ∈ ⎢− , ⎥.
⎣ 2 2⎦
⎪
⎪
y = arcsenx, com ⎨
e
⎪ − 1 ≤ x ≤ 1.
⎪
⎪⎩
a
1 − cos a
=±
2
1 + cos a
b) FUNÇÃO ARCO COSSENO
⎧ y ∈ [0, π ].
⎪
y = ar cos x, com ⎨
e
⎪ − 1 ≤ x ≤ 1.
⎩
VII. Equações
c) FUNÇÃO ARCO TANGENTE
(Figura I – Simetria)
Para resolver equações trigonométricas,
de um modo simples, adotaremos o seguinte
procedimento:
PERÍODO
9
⎧ y = tgwx
⎨
⎩ y = cot gwx
9
⎧y
⎪
⎪y
⎨
⎪y
⎪y
⎩
P=
π
| w|
.
= sen wx
= cos wx
= sec wx
= cos sec wx
P=
2π
.
| w|
⎧
⎡ π π⎤
⎪ y ∈ ⎢ − , ⎥.
⎣ 2 2⎦
⎪
⎪
y = arctgx, com ⎨
e
⎪ x ∈ ℜ.
⎪
⎪⎩
1) Reduzir a equação dada, através das
relações trigonométricas, a equações
básicas (senx = a, cosx = a e tgx = a).
2) Identificar
solução.
os
quadrantes
onde
existe
3) Obter o arco correspondente no 1o
quadrante, mesmo que nele não exista
solução.
4) Transferir o arco correspondente aos
quadrantes onde existe solução, usando a
figura I.
Prof. Márcio Queiroz
2