Matemática 4
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
aula 1
PARA
4.
É dada a figura:
I.
SALA
1.
II. ΔBCD
Resposta correta: D
2.
α + β = 90°
tg α = cotg β
Precisamos encontrar o valor da cotg β.
III. ΔABC
Temos:
122 = 62 + AB2 → AB2 = 108 → AB = 6 3
6
1
=
→ θ = 60°
Temos também cosθ =
12 2
Com 02A = 02C = 9 e θ = 60° → AC = 9
θ
α = = 30° (ângulo de seguimento)
2
AC. AB
9 . 6 3 1 27 3
sen α =
. =
[ABC] =
2
2
2
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
62 = x2 + 22 → x = 4 2 .
Assim: tg β =
Resposta correta: B
x
4 2
=
=2 2;
2
2
tg β = 2 2
3.
IV. Substituindo (III) em (II) temos:
tg 2 = cotg β =
1
1
.
=
tg β
2 2
2
2
=
2
4
Resposta correta: A
5.
CH = 1,5
AH
1,5 3
tg30° =
→ AH =
1,5
3
Mas HM = 2,5 – 2 = 0,5 e AM2 = AH2 + MH2 →
2
⎛ 3 3 ⎞ ⎛ 1⎞
9 .3 1
→ ⎜
⎟ + ⎜ ⎟ = 36 + 4 = 1 → AM = 1cm
⎝ 6 ⎠ ⎝ 2⎠
4
2
Resposta correta: A
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
1
III. Por fim, quanto ao triângulo ABC:
Traçando a rota BD , temos que o ΔBCD é retângulo e
α é:
3
→ α = 60° → ângulo AB̂D = 90° e que, por Pi1
tágoras, BD = 2
tg α =
No ΔABD , temos:
1+ 3
w
1+ 3
2
→
=
→ w = 1+ 3
cos60° =
2
w
2
Assim x 2 = 22 + 3
2
Resposta correta: C
x= 7
Resposta correta:
7
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
6.
Podemos representar o enunciado da questão pela
figura abaixo:
Destacando o triângulo hachurado na figura, temos:
I. Quanto ao triângulo BDE, temos:
senθ =
R−r
R+r
(R + r) . senθ = R – r
R . senθ + r . senθ = R – r
sen30° =
x
1
→
=x
1
2
cos30° =
3
y
=y
→
2
1
r senθ + r = R – R senθ
r(senθ + 1) = R(1 – senθ)
r=
R (1 − senθ)
1 + senθ
Resposta correta: A
II. Agora, quanto ao triângulo ADE:
2.
z=
2
1
2
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
Destacando um degrau, temos:
I.
Se tg α =
I.
x
5
5
5y
=
→
→x=
y
12
12
12
tg α =
II. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
(0,65)2 = x2 + y2
F 5y I
0,4225 = G J
H 12 K
ΔABD
H
→ H = d . tg α + x . tg α
d+ x
II. ΔACD
2
2
+y
2
25 y
+ y2
144
169y2 = 60,84
0,4225 =
60,84
→ y = 0,6
169
y=
tg β =
III. Igualando as expressões (I e II), temos:
5 . 0,6
3
=
= 0,25
12
12
III. x =
H
→ H = x . tg β
x
d . tgα + x . tgα = x . tgβ
x . tgβ – x . tgα = d . tgα
Resposta correta: B
x=
3.
d . tgα
tgβ − tgα
Se x =
d . tg α
, então:
tg β − tg α
H = x . tg β =
H=
2
d . tg α . tg β
tg β − tg α
Resposta correta: H =
Lei dos cossenos em ABC:
(10 2 )
d . tg α . tg β
tg β − tg α
= 152 + 102 – 2 . 15 . 10cosθ →
→ cosθ =
200 − 225 − 100
−125
→ cos θ =
→
−2 . 5 . 10
−2 . 15 . 10
5.
25
5
MT
5 15
=
=
→ MT =
.
→
60 12 MC
12 2
25
25π
→ MT =
→ 2πMT =
8
4
d . tg α .tg β
tg β − tg α
Seja o triângulo retângulo abaixo:
→ cos θ =
∗
Resposta correta: B
4.
x + y
=
x
3 +1
x+y=x.
Representando a figura da questão pela figura abaixo,
temos:
3 +x
y=x 3
∗
tg α =
x 3
y
=
=
x
x
tg α =
3
3
∗
α = 60° (tem que ser um ângulo agudo).
∗
α + β = 90° → β = 30°
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
3
6.
A1 =
II.
A partir do ΔABH, temos:
∗
a) I. tgα =
hA
hA
→ AB =
cos α
AB
β = 30°
Atribuindo-se x para CM , temos:
1− x 1
III. senβ =
=
x
2
x = 2 – 2x
3x = 2
2
x=
3
∗
Assim: DB + AD = 3 → DB =
cosβ =
hA
hA
→ AC =
AC
cos β
III. Substituindo AB e AC nas áreas A1 e A2, respectivamente, temos:
hA
. hA . sen α
2
h . tg α
cos α
A1 =
= A
⇒
2
2
IV. Atribuindo-se y para AD , temos:
y
3
y
3
3
⇒
=
⇒ y=
cosβ = =
2
x
2
2
3
3
hA . tg α
2
hA
. hA . sen β
2
h . tg β
cos β
= A
⇒
A2 =
2
2
2
A1 =
2 3
3
V. No ΔNDB, temos:
hA . tg β
2
2
2
A2 =
3 ND
2 3
2
tg30° =
=
⇒ ND =
=
3
3.3 3
2 3
3
2
ND = CN = CM =
3
hA . tg α
h . tg β
+ A
⇒
2
2
2
Atotal = A1 + A2 =
2
hA (tg α + tg β)
2
2
Atotal =
b) Área
1
A = . CM . CN . senα
2
A=
cosα =
A partir do ΔACH, temos:
3
⇒ α = 60°
1
II. Assim α + β = 90° ⇒
AB . hA . sen α
AC . hA . sen β
; A2 =
2
2
I.
Resposta correta: C
8.
3
3
1 2 2
. . .
=
9
2 3 3 2
Atenção!
I.
7.
“α” é um ângulo externo; logo, podemos escrever:
α = x + y.
II.
Observe que podemos encontrar a área do triângulo
ABC (total) somando os valores das áreas dos triângulos
ABH (A1) e ACH (A2). Encontraremos as áreas “A1 e A2”
pela fórmula trigonométrica da área:
a . b . senC
A=
, onde a e b são lados que formam o
2
.
ângulo C
4
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
“a e b” na figura são congruentes, pois o triângulo
é isósceles e eles são chamados de ângulos da base.
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
Observe a figura:
IV. Se y – x = 4 3 , então:
3x – x = 4 3 → 2x = 4 3 →
x= 2 3
y= 6 3
V. Assim x + y = 6 3 + 2 3 = 8 3
Resposta correta: 8 3
10.
I. Ligando “O” ao “B” temos também um raio, isso
nos garante que o ΔABO é isósceles, assim o ângulo
é igual a 15°.
ABO
Vimos que se α + β = 90°, então:
senα = cosβ
cosα = senβ
tgα . tgβ = 1
II. O ângulo CÔB é externo do ΔABO, logo o ângulo
mede 30° (15° + 15°).
III. Destacando o triângulo hachurado, temos:
x
1
→
=x
1
2
sen30° =
Pela figura, temos que a + b + c + d = 90°. Pela igualdade, podemos ainda escrever:
(a + c) + (b + d) = 90° e (a + d) + (b + c) = 90°.
Resposta correta: B
9.
Assim: sen(a + c) = cos(b + d)
sen(b + c) = cos(a + d)
Dada a figura abaixo:
Substituindo na expressão
sen (a + c )
sen (b + c )
+
cos (b + d)
cos (a + d)
os valores encontrados acima temos:
cos (b + d)
cos (a + d)
+
=2
cos (b + d)
cos (a + d)
Chamando o lado BC (que é comum aos dois triângulos) de “a”, temos:
I.
tg60° =
a=
Resposta correta: B
11. Seja o triângulo:
y
a
y
3
II.
tg30° =
3
3x
x
x
=
→
→a=
3
a
a
3
Chamando BH de a e HC de b, temos que:
a + b = 46,8.
17
10
I.
cotgγ = 1,7 =
→ tgγ =
10
17
III. Igualando as expressões (I e II), temos:
y
3x
=
3
3
II.
cotgβ = 0,9 =
y = 3x
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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9
10
→ tgβ =
10
9
MATEMÁTICA 4
5
III.
Aplicando a definição de tangente no triângulo
dado, temos:
10 h
10 b
h
→
= →h=
17 b
17
b
10 h
10 a
h
= →h=
tg β = →
9
9
a
a
14.
tg γ =
igualando...
10 b 10 a
17 a
=
→b=
17
9
9
IV.
Se a + b = 46,8 e b =
17 a
17 a
, temos:
+ a = 46,8.
9
9
MB = a – x → NB =
Resolvendo a equação, temos que a = 16,2 e
b = 30,6. Substituindo qualquer um (a ou b) na equação correspondente, encontraremos h = 18.
a−x
⎛ a − x⎞
→ NC = a − ⎜
→
⎝ 2 ⎟⎠
2
a+ x
a+ x
⎛ a + x⎞
→
→ PC =
→ AP = a − ⎜
⎝ 4 ⎟⎠
2
4
3a − x
3a − x
, como QM = AM – AQ →
→ AP =
→ AQ =
4
8
⎛ 3a − x ⎞ 9x − 3a
→ QM = x − ⎜
=
⎝ 8 ⎟⎠
8
→ NC =
Resposta correta: 18
12. Considere a figura:
OBS.: Em um triângulo retângulo com um ângulo 30°,
vale:
simplesmente pelo seno.
I. Observe que o ΔABC é isósceles, o ângulo B é 30°
e AB ≡ BC. Traçando uma perpendicular a partir de
é 60°.
“B”, o ângulo CBD
II. cos60° =
Resposta correta: D
15. Observe a primeira figura:
I.
x
1
x
→
=
→ x = 50
100
2
100
Resposta correta: B
13.
∗
≡ C
≡ 30°.
Triângulo isósceles, logo A
∗
Traçando a altura do triângulo BH :
BH
BH
1
sen 30° =
→
=
→ BH = 2 3
2
4 3
4 3
cos 30° =
x
= tgθ → x = ( tgθ) . A
A
y
II. tgθ = → y = ( tg2θ ) . A
x
x . (A + y) A
= . tgθ ⎡⎣ A ( tg2θ + 1) ⎤⎦ →
III. [ ABC] =
2
2
A2
2
→ [ ABC ] = tgθ sec θ
2
HC
4 3
→
3
HC
=
→ HC = 6
2
4 3
I.
Observe a segunda figura:
II.
Resposta correta: B
6
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
Observe que HC ≡ AH, pois o triângulo ABC é isósceles, então AC = AD + DC. Pela figura 2, temos que
AC = 4x. Pela figura 1 HC = 6, assim AC = 12. Igualando as duas expressões: 4x = 12 → x = 3.
17.
Observe a figura 3:
0C = 3x e PC = x
(4x)2 = (2x)2 + AB2 → AB2 = 12x2 → AB = 2x 3
Teorema do Bico:
AM = CM = MB,
daí MB = x 3
Destacando o triângulo hachurado, temos:
MP2 = PB2 + MB2 = 3x2 + x2 → MP2 = 4x2 → MP = 2x
cos
x x 3
3
=
=
2
2x
2
Resposta correta: E
18.
a2 = ( 2 3 )2 + 32 → a =
L 3
3
⇒ h1 =
2
2
2 3
h2 =
⇒ h2 = 3
2
h1 =
21
Resposta correta: E
16.
⇒ h1h2 =
3
3
. 3=
2
2
Resposta correta: D
19.
⇒ Nos Δ's CGH e BID, temos:
cos 30° =
CG BD
A
A
3
=
⇒
=
=
GH DI
2
GH
DI
∗
2A 3
GH = DI =
3
tg 30° =
∗
, pois BC ≡ BF , CE ≡ EF e BE são
do ângulo EBF
comuns aos dois triângulos (ΔBCE e ΔBEF), logo os
triângulos são congruentes pelo caso L.L.L.
CH BI
CH BI
3
=
⇒
=
=
CG BD
A
A
3
A 3
3
No ΔAHI, temos:
BI = CH =
AH = HI = AI = Ρ –
∗
A 3
3
∗
3
, usaremos para o “θ” um valor agudo.
2
Logo, θ = 30°.
ΔABF
Se cosθ =
cos 30° =
Assim: DG = DI + IH + HG
DG =
Colocando o ponto “F” sobre “C”, teremos o retângulo original.
(θ) tem a mesma medida
Observe que o ângulo CBE
2A 3
A 3 2A 3
+A−
+
3
3
3
∗
DG = A + A 3
ΔBEF
cos 30° =
Resposta correta: C
3
6
6
=
→
→ BF = 4 3
2
BF
BF
3
4 3
BF
=
→ BE = 8
→
2
BE
BE
Resposta correta: 08 (Retificação do gabarito)
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
7
20.
Somando (II) e (III):
sen2 x = b2 + 4a2
cos2 x = 4b2 + a2
sen2 x + cos2 x = 5a2 + 5b2
= 5 (a2 + b2 )
1
1
5
a2 + b2 =
1
em ( I ):
5
IV. Substituindo a2 + b2 =
(
x2 = 52 + 5 3
)
2
= 25 + 25 . 3 → x2 = 100 → x = 10
3
1
3 5
→x=
→x=
5
5
5
x2 = 9 .
Teorema da Bissetriz Interna:
Resposta correta: C
x 5 3 −b
=
→ 10b = 25 3 − 5b →
5
b
5 3
→ 15b = 25 3 → b =
3
2.
•
•
É dada a expressão:
1
1
1
1
F=
+
+
+
2
2
2
1+ sen x 1+ cos x 2 + tg x 2 + cotg2 x
Resposta correta: A
aula 2
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
1 + tg2x = sec2x
1 + cotg2x = cossec2x
*
*
SALA
1
2 + tg2 x
Observe o desenho correto:
=
1
1
cos2 x
1
1+1+ tg2 x
=
1
=
1+ sec2 x
=
=®
cos2 x
cos x + 1 1 + cos2 x
cos2 x
1
1
1
=
=
=→
**
2
2
2 + cot g x 1 + 1 + cot g x 1 + cos sec2 x
1+
1
1+
1
sen2 x
=
2
**
1
1
sen2 x +1
sen2 x
=
sen2 x
1+ sen2 x
Substituindo os valores encontrados em E, temos:
E=
I. x2 = (3a)2 + (3b)2
x2 = 9a2 + 9b2
x2 = 9(a2 + b2)
E=
1
1 + sen2 x
1 + cos2 x
2
1 + cos x
E=1+1
E=2
II. ΔCDF
+
+
1
1 + cos2 x
1
2
1 + sen x
+
+
cos2 x
1 + cos2 x
+
sen2 x
1 + sen2 x
sen2 x
1 + sen2 x
Resposta correta: C
2
2
4.
2
sen x = b + 4a
⎧⎪4 sec2 ax 2 + 9tg2ay2 = 4 cos2 a − 2 . 2 sec a3yaxy
⎨
⎪⎩4 tg2ax 2 + 9 sec2 ay = − 2 . 2 tga . 3 sec axy
4x2(sec2 a – tg2 a) + 9y2(tg2 a – sec2 a) = 4 cos2 a
4x2 – 9y2 = 4 cos2 a
III. ΔCEG
2
2
4x 2
4
− y 2 = cos2 a
9
9
2
cos x = 4b + a
2
4 cos2 a
⎛2 ⎞
2
⎜ x⎟ − y =
9
⎝3 ⎠
Resposta correta: B
8
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
–
5.
f(x) = x2 – 2 secθ . x + 1
cossecx – senx + senx + cossecx =
x1 + x2 = 2secθ → x1 + 2x1x2 + x2 = 4 sec θ
2 cossecx
x1 . x2 = 1
Resposta correta: A
2
2
2
→ x12 + x 22 = 4 sec 2 θ − 2
3.
(x1 – x2)2 = x12 + x22 – 2x1x2 = 4 sec2θ – 4 = 4 tg2θ
→ x1 − x 2 = 2 tg θ
ƒ(α) =
sec α + cos sec α . Porém, temos:
2
2
I. sec2α = 1 + tg2α = 1 +
Resposta correta: D
6.
A questão quer, na verdade, ƒ(α) e não ƒ(x). Assim:
cos θ senθ
+
=8→
senθ cos θ
cos2 θ + sen2θ
1
→
= 8 → senθ .cos θ =
senθ .cos θ
8
cotgθ + tgθ = 8 →
2
= 1+
a
2
b
FG b IJ
H aK
= 1+
2
2
b
2
a
Substituindo os valores, temos:
2
ƒ(α) =
ƒ(α) =
Resposta correta: C
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
2
a
b
+ 1+ 2
2
b
a
1+
a2
b2
2+ 2 + 2
ba
trinômio quadrado
perfeito
sen2x = 1 – cos2x
cos2x = 1 – sen2x
sen2x + cos2x = 1
2
II. cossec2α = 1 + cotg2α = 1 +
(senθ + cosθ)2 = sen2θ + cos2θ + 2 senθ . cosθ =
1 5
= 1+ =
4 4
1.
FG a IJ
H bK
FG a + b IJ
H b aK
ƒ(α) =
2
=
a
b
+
b
a
Seja a expressão:
1 – 2sen2x + sen4x + sen2x . cos2x →
1 + sen2x ( − 2 + sen x + cos x ) →
2
a +b
ab
2
ƒ(α) =
2
1
2
Resposta correta: D
1+ sen x (– 1) = 1 – sen2x → cos2 x
2
4.
Resposta correta: E
(sec2x)2 – tg4x – 1 = (1 + tg2x)2 – tg4x – 1 =
2.
∗
∗
∗
∗
1 + 2tg2x + tg4x – tg4x – 1 = 2 . tg2x
tg2x + 1 = sec2x
1
= cossecx
senx
1
= secx
cos x
1
cos x
= cotgx =
senx
tgx
Resposta correta: D
5.
Seja a expressão:
cos x
sec x
1
+
+ senx +
1 + tg2 x –
tgx
cos x
senx
sec 2 x
1
1
+ cosx .
sec2x – secx .
+ senx + cossecx =
tgx
cos x
sec2x – secx . secx + cosx .
B
A .B
A = Aog cossec2x + Aog(1 + cosx)(1 – cosx)
FG 1 IJ + Aog (1 – cos x)
H sen x K
F 1 IJ + Aog sen x
A = Aog G
H sen xK
A = Aog
cos x
+ senx + cossecx =
senx
2
2
2
2
cos x
+ senx + cossecx =
senx
A = Aog
1 − sen x
+ senx + cossecx =
senx
2
1
. sen2x → Aog 1
sen2 x
Resposta correta: C
2
sen x
1
−
+ senx + cossecx =
senx
senx
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
A
Aogx + Aogx = Aogx ; existem outras propriedades
de logaritmos, mas para a questão, nos limitaremos a
essa. Seja:
A = Aog (1 + cot g2 x ) + Aog(1 + cosx) + Aog(1 – cosx)
cossec 2 x
2
sec2x – sec2x +
Desenvolvendo a expressão sec4x – tg4x – 1, temos:
|
VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
9
6.
Desenvolvendo a expressão abaixo, temos:
sec2x
1
2
2
(sen x + cos x ) [(sen2x)2 – sen2x cos2x + (cos2x)2 ]
( senx + cos x )2 . ⎡⎣cos2 x + (1 + tg2 x ) .cos2 x − cotg2 x.sen2 x ⎤⎦
1 + sen ( 2x )
sen4x + cos4x – sen2x . cos2x =
(sen x ) + (cos x ) – sen2x . cos2x =
2
1
2
2
2
atenção!
(sen x + cos x ) − 2 sen x . cos x – sen2x . cos2x =
2
(
⎡
⎤
cos2 x
sen x + 2.senx.cos x + cos x . ⎢cos2 x + sec2 x.cos2 x −
. sen2 x ⎥
2
⎢⎣
⎥⎦
sen x
1.sen ( 2x )
2
2
⎡
)
⎢⎣
1 3
.
1+
2 2
=
3
1+
1+
2
1–3
4
=1–3.
1
1
1
=1– =
6
2
2
10. Seja a PG infinita (a1, a2, a3, ...) de razão “q”. A soma de
a1
todos os termos da PG é: SM =
, onde a1 é o pri1− q
meiro termo e “q” a razão.
A PG é (cotgθ, cotgθ . sen2θ, ...). A soma dos termos será:
a1
cot gθ
cot gθ
=
=→
=
SM =
2
2
1− q
1 − sen θ
cos θ
Seja a expressão:
4
FG 1 IJ
H 6K
Resposta correta: C (Retificação do gabarito)
3
2 =1
3
2
(2.sen 20° − 2.cos
2
2
2
1
Resposta correta: A (Retificação do gabarito)
7.
2
(1) – 3sen x . cos2x = 1 – 3 (senx . cosx)2 =
(1 + 2.senx.cos x ) .[ 1 ]
, como x = 30°, temos que 2x = 60°.
1 + sen ( 2x )
1+ 2 .
2
atenção!
2
⎤
. cos2 x − cos2 x ⎥
2
⎥⎦
cos x
1 + sen ( 2x )
(1+ 2senx.cos x ) . ⎢ cos2 x +
2
)
20° . cossec 4 20°
3 − 3cotg4 20°
cos θ
1
1
→
.
=
2
senθ cos2 θ
cos θ
1
1
SM =
.
→
senθ cos θ
SM = cossecθ . secθ
cotgθ .
=
2.sen4 20° . cossec 4 20° − 2 . cos4 20° . cossec 4 20°
(
3 . 1 − cotg4 20°
)
Resposta correta: C (Retificação do gabarito)
cos 20
sen4 20
3 . 1 − cotg4 20°
2−2 .
→ cotg 20°
4
4
(
1
1
→ (sen2α)2 – (cos2α)2 =
→
4
4
1
2
2
(sen α + cos α ) (sen2α – cos2α) =
→
4
1
∗ Como cos2α = 1 – sen2α, temos:
1
1
sen2α – cos2α =
→ sen2α – (1 – sen2α) =
→
4
4
11. sen4α – cos4α =
)
(
) =2
4
3 . (1 − cotg 20° ) 3
2 1 − cotg4 20°
Resposta correta: B (Retificação do gabarito)
8.
2 sen2α – 1 =
2tg2x = 2 + P(2 – sec2x); – sec2x = –tg2x – 1
→ 2tg2x = 2 + P(2 – tg2x – 1) →
→ 2(tg2x – 1) = P(1 – tg2x) → P = −2
Resposta correta: E
∗
9.
∗
Para essa questão, usaremos a seguinte igualdade:
a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
∗
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
tgα =
5
8 =
3
8
1
5
→ sen2α =
4
8
3
2
cos α =
8
5
; tgα =
3
5
3
Resposta correta: B
sen6x + cos6x = (sen2x)3 + (cos2x)3 =
10
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
12. x2 + x + k + 1 = 0
sen22 + 2senαcosα + cos2α = (senα + cosα)2 = (–1)2 →
→ 1 + 2senαcosα = 1 → senαcosα = 0.
Mas senα . cosα = k + 1 = 0 → k = −1
17. Seja y =
e x − ex . tg4 x
sec x − tg2 x . sec x
Desenvolvendo, temos:
ex − ex . (tg2 x )2
e x (1 − (tg2 )2 )
=
=
2
sec x (1 − tg x )
sec x (1 − tg2 x )
Resposta correta: B
13. (x – 1)2 + y2 = 1 → (senα – 1)2 + cos2α = 1 →
→ sen2α – 2senα + 1 + cos2α = 1 →
1
→ 2 – 2senα = 1 → senα = → α = 30°
2
3
.
Daí, tgα =
3
2
sec
x
x
2
2
x
e (1 + tg x )(1 − tg x )
e (1 + tg2 x )
=
=
2
sec x
sec x (1 − tg x )
ex . sec 2 x
ex
x
= e . secx =
sec x
cos x
Resposta correta: B
Resposta correta: C
÷ 5
14. senx + 2 cosx = 1
2
2
sen x + 4 senx cosx + 4 . cos x = 1
2
4 senx cosx + 3 cos x = 0
cosx (4 senx + 3 cosx) = 0
cosx = 0
ou
4 senx + 3 cosx = 0
não convém
4 senx = –3 cosx
sen x
−3
=
= tg x
cos x
4
temos:
sen2 x + (1 + cos x )
sen2 x + 1 + 2cos x + cos2 x
=
=
(1 + cos x ) .senx
(1 + cos x ) .senx
2
2 (1 + cos x )
2 + 2cos x
=
=
(1 + cos x ) .senx (1 + cos x ) .senx
Resposta correta: C
15.
2.
⎧ x = r sen φ cos θ
⎪
⎨ y = r sen φ sen θ
⎪z = r cos θ
⎩
2
2
1
= 2.cossec x
senx
Resposta correta: C
⇒ x + y + z = r sen φ cos2 θ + r sen φ sen θ + r
2
2
2
2
2
2
2
cos φ = r sen φ (cos θ + sen θ ) + r cos φ = r2 sen2 φ +
2
2
2
+ r cos φ = r
2
senx
1 + cos x
, desenvolvendo,
+
1 + cos x
senx
18. Dada a expressão
2
2
2
2
2
2
19.
2
2
1 + tg x = sec x
Resposta correta: A
Seja:
16. Da equação 2 . senθ = 3 . tg2θ, temos:
2
sen θ
3 . senθ
→2=
→ 2cos2θ = 3senθ →
2 . senθ = 3 .
2
2
cos θ
cos θ
(2 cos2θ)2 = (3 . senθ)2 → 4 cos4θ = 9 sen2θ →
4 cos4θ = 9 . (1 – cos2θ) → 4 cos4θ = 9 – 9 cos2θ →
4 cos4θ + 9 cos2θ – 9 = 0
2
y = 1 + tg2 x +( tg x)
2
2
2
2
2
4
4
Resposta correta: A
LM
N
3
2
2
y = 1 – sec x + sec x
3
π
3
→ cosθ = −
(F), pois θ ∈ 0 ;
cos2θ =
4
2
4
cosθ =
2
y = sec x + 1 – 2sec x + sec x →
Substituindo o valor de “a” em cos2θ = a, temos:
3
4
2
y = sec x + (–1 + sec x) →
Fazendo cos2θ = a, temos:
4a2 + 9a – 9 = 0
3
e a’’= – 3 (F, pois é negativo).
a’ =
4
cosθ =
4
y = 1 + tg x + tg x
20. Aplicando as relações trigonométricas para uma mudança
de variável, temos:
OP ou
Q
(
) (
) + ( cossec x )
ƒ ( tg x + cotg x ) = (1 + tg x ) + (1 + cotg x )
ƒ ( tg x + cotg x ) = 1 + 2 . tg x + tg x + 1 + 2 . cotg x + cotg x
ƒ ( tg x + cotg x ) = 2 . tg x + 2 . cotg x + tg x + 2 + cotg x
ƒ tg2 x + cotg2 x = sec 2 x
2
2
2
2
2
2
(
Resposta correta: B
2
2
2
2
2
2
4
2
) (
2
2
) (
4
ƒ tg2 x + cotg2 x = 2 tg2 x + cotg2 x + tg2 x + cotg2 x
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
4
4
)
2
11
Fazendo tg²x + cotg²x = k, temos:
ƒ (k ) = 2k + k², assim :
ƒ ( 2) = 2 . ( 2) + ( 2)
3.
2
ƒ ( 2) = 8
ƒ ( 2) + ƒ ( 3) = 23
ƒ ( 3) = 2 . ( 3) + ( 3)
2
ƒ ( 3) = 6 + 9
BC2 = 162 + 122 → BC = 20
ƒ ( 3) = 15
πR2
= 50π ≅ 155m2
2
16 . 12
= 96m2
[ ABC] =
2
S = 251m2
Resposta correta: D
aula 3
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
SALA
Resposta correta: B
2πr1 . 60°
360°
2πr2 . 40°
ARCO 2
L =
360°
2πr1 . 60° 2πr2 . 40°
L =
=
⇒ 3r1 = 2r2 ⇒
360°
360°
r2
4
⇒ (3r1 )2 = (2r2 )2 ⇒ 9r12 = 4r22 ⇒ 12 =
r2
9
ARCO 1
L =
4.
A1
πr 2
4
= 12 =
A2
9
πr2
2.
Resposta correta: B
Ligando-se o centro O aos vértices D e E do trapézio
ADEB, temos três Δ equiláteros.
Seja a figura:
Calculando α :
Pela fórmula, temos:
α=
60h − 11m
2
9 . 60 − 11. 25
= 132,5°
2
O ΔCOB é isósceles e α + θ = 180° . Assim θ = 47,5°
α=
ˆ = β − 60°
Assim como OB̂E = 60° → OBC
ˆ , temos:
Logo, no ΔCOB
∗
∗
∗
β − 60° + β + 60° + 47,5° = 180°
O triângulo ABO é equilátero.
π = 3 (falta o dado na questão)
5π
α = 300° =
rad.
3
V = 20km/h → V =
2β = 300 − 47,5°
β = 126,25°
Resposta correta: C
20
m/s.
3,6
5.
I. O comprimento do arco:
5π
AB = α . R → AB =
. 20 →
3
5.3
AB =
. 20 → AB = 100m
3
20
Δs
100
II. V =
→
=
→ Δt = 18s
3,6
Δt
ΔT
Resposta correta: B
12
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
∗
1
→ θ = 30°
3
Assim, AB = 20cm.
α (ângulo central) α = 2θ = 60°
Daí, OA = 20cm → OC = 10cm
a) tgθ =
b) Comprimento total 20π
20π → 360°
x → 60°
20π
→ x=
cm
6
Todos os comprimentos a serem encontrados são
semicircunferências, então acharemos os comprimentos da seguinte forma:
2πr
C’ =
= πr;
2
C’ = πr → comprimento da semicircunferência
I. Para o arco Po P1 o diâmetro é 10, logo o raio (r) é
igual a 5:
C’1 = πr = π . 5 → C’1 = 5π
II. Para o arco P1 P2 , o raio é 2,5:
C’2 = πr = π . 2,5 → C’2 = 2,5π
6.
II. Para o arco P2 P3 , o raio é 1,25:
C’3 = πr = π . 1,25 → C’3 = 1,25π
IV. Observe que como os arcos são infinitos, teremos
uma infinidade de comprimentos. Esses comprimentos
formam a seguinte sequência (5π; 2,5π; 1,25π; ...), também conhecida como P.G. Como a questão quer o
número inteiro mais próximo do comprimento do
espiral (comprimento total), então deveremos encontrar a soma dos termos da PG que é dada pela
a1
fórmula SM =
, onde “a1” é o primeiro termo e
1 −q
42° → x (graus rodados pelo ponteiro grande)
30° → 360°
42 . 360
→ x=
→ x = 42 . 12 = 504°
30
42º (pequeno) → 13h
504 – 360 → y (minutos)
→ 60
360
60 . 144
→ y=
→ y = 24
6 360
“q” a razão.
V. a1 = 5π
an
q=
, a partir do 2º termo
an − 1
Horário 13h24min.
2,5π
1
1
=
→q=
5π
2
2
5π
5π
Sn =
=
= 10π →
1
1
1−
2
2
Sn = 10π
q=
Resposta correta: C
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
1 rad (um radiano) é a medida de um arco quando sua
medida é igual ao raio da circunferência que ele faz parte. Sabendo disso e também que o raio da circunferência é 25m (já que o diâmetro é 50m), serão necessárias
10 voltas (10 x 2,5 = 25m).
Como sabemos que π mede em unidades de comprimento 3,14 (aproximado), então:
Sn = 10 . 3,14 = 31,4 → Sn = 31,4.
Resposta correta: C
2.
L → 2πR1 →
R1 =
Assim o número inteiro mais próximo de 31,4 é 31.
2πR2 . 30°
360°
Resposta correta: 31
4.
R2
⇒ R2 = 12R1
12
A1 = πR12 = 2
12h
A 2 = π(R2 ) = πR2 = π . (12R1 ) = π . 144 . R
2
Sabemos que os ponteiros das horas, ao percorrerem
12h, percorrem 360°. Assim, pela regra de três, temos:
2
2
2
1
360°
130° → x =
x
A 2 = 144 . πR12 . 144 . 2 = 288
12 . 130
=
360
4,333 ... h
DÍZIMA (4,3)
Observe que:
Resposta correta: A
4, 3 h = 4h + 0, 3 h = 4h +
3.
1
h = 4h 20min
3
↓
1h
60 min
1
y
3
y = 20min
Resposta correta: 4h 20min
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
13
5.
Sabemos que o movimento dos ponteiros de um relógio
é circular (com o raio igual ao tamanho do ponteiro), então ao percorrer 20 min o ponteiro descreveu um arco
de 120°. Veja:
60 min
2
R
6
20 . 360
→ x = 120°
x=
60
A medida desse arco em unidades de comprimento será:
360°
x
120°
Resposta correta: B
tamanho do ponteiro
360°
2π . 12
x
120°
x=
10.
I. Observe que o relógio já marca 6h.
II. Pela regra de três, encontramos em horas o equivalente a 72°.
12h ⎯ 360°
x ⎯ 72°
24 . 3,14 . 120°
→ x = 25,12
360°
Resposta correta: B
6.
πR α
→ α = 2rad
2π
Seja r = 40cm → r = 0,4m (mesma unidade de distância
total).
I. C = 2πr
C = 2 . 3,14 . 04
C = 2,512 (1 volta)
1000m (1km))
II. Nº de voltas =
= 398,08
2,512
9.
x
2πr
=
Resposta correta: B
360°
20 min
2
12 . 72
= 2,4h = 2h24min
360
III. Bem, como o relógio marcava 6h e o ponteiro "andou" 2h24min, então, a hora exata é 8h24min.
x=
Voltas inteiras
C = 2πR1 . n1 = 2π R2 . n2
n1 . 55 = 35 . n2
11 . n1 = 7 . n2
Resposta correta: D
Assim, os mínimos seriam:
n1 = 7 para a menor e
n2 = 11 para a roda maior.
11.
Resposta correta: B
7.
Para resolver a questão, precisamos encontrar o comprimento (em cm) dos dois arcos ( AB ; A'B' ).
I.
AB
r = 10
α = 110°
2πr
360°
110 ⇒ x =
x
110 . 2π . 10
360
A figura acima representa a situação abordada na questão. Observe que, para descobrir x (ponteiro das horas),
é necessário primeiramente encontrar α, que encontra60 . H − 11 . m
, onde “H” é
remos pela fórmula α =
2
horas e “m” minutos.
II. A'B'
r’ = 5
α´ = 60°
2πr’
360°
x’
60° ⇒ x’ =
60 . 2π . 5
360°
60 . 3 − 11 . 10
2
α = 35°
I. α =
110 . 2π . 10
110 . 2π . 10
x
110
11
360°
=
=
=
=
III.
60 . 2π . 5
x′
30
3
60 . 2π . 5
360
=
180 − 110
2
x
x
→ cos 35° = , porém sabemos que:
8
8
35° + 55° = 90°, logo cos 35° = sen 55° = 0,8.
II. cos α =
Resposta correta: C
8.
Assim temos:
x
x
→ 0,8 =
→ x = 6,4
sen 55° =
8
8
Resposta correta: 6,4
14
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
= 35° →
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
12.
•
2πr
360°
x
60°
É um arco do hexágono regular,
veja:
Destacando o triângulo hachurado, temos:
2 π . 5 . 60°
10π
5π
=
=
°
6
3
3606
5π
x=
. 18 = 30π
3
x=
Resposta correta: B
15. Observe que todos os arcos têm o mesmo ângulo, que
chamaremos “α”.
5
5 1
cos θ = 2 ⇒ cos θ = .
5
2 5
1
⇒ cos θ = ⇒ θ = 60º
2
II. Assim, o arco correspondente ao percurso de João
tem 120º ⇒ 60º +α = 180º .
III. A = α . r ⇒ A =
2π
10π
.5⇒ A =
3
3
Resposta correta: A
13. Na figura a seguir, temos duas circunferências menores
(iguais) de raio 2 e uma circunferência maior de raio 4.
Observe que, as setas percorrem metade da primeira
circunferência, metade da segunda e um quarto da terceira (maior) circunferência. Como as menores são iguais
(mesmo comprimento), então as duas metades nos dão
exatamente uma completa. Veja:
I. Comprimento total (raio 5x)
C = 2πR
C = 2π . 5x
C = 10xπ
C1 = 2πr (as menores)
C1 = 2π . 2
C1 = 4π
II. 1° comprimento (C1; raio x)
360°
2πx
α
C1
2πr
C2 =
(maior)
4
π.4
C2 =
2
C2 = 2π
2πx . α
C1 =
360°
III. 2° comprimento (C2; raio 2x)
2π . 2x
O comprimento total é C1 + C2 = 6π
C2
Resposta correta: D
C2 =
14. A, B, C, D, E e F é um hexágono regular, isso significa que
todos os arcos são congruentes. São 12 os arcos que formam “a rosa” interna da circunferência, mais os arcos
AB , BC , CD , DE , EF e FA . Como todos são congruentes, então nos dá um total de 18 arcos. Encontraremos a
medida de um e multiplicaremos por 18.
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
360°
α
4πx . α
360°
IV. Pelo mesmo raciocínio, temos:
6πx . α
C3 =
360°
8πx . α
C4 =
360°
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
15
C5 =
Assim, o senα = 1 e cosα = 0. Veja!
10πx . α
360°
V. C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5
10xπ =
30xπ . α
360°
3α = 360° → α = 120°
Substituindo senα = 1 e cosα = 0 na expressão:
x2 . senα + (cos2α + 1) . x + (cossec2 – 1) = 0, temos:
x2 + x = 0
x(x + 1) = 0 → x = 0 ou x = –1
Resposta correta: A
16.
Resposta correta: C
2.
1
sen2x ≤ 1 → sen2x ≥ 0 ok!
2
Para senx = 0
1
1
→ sen2x ≤ 1 ok!
1 − sen2x ≥
2
2
Para senx = 1.
ƒ(x) = 1 –
Resposta correta: C
3.
5(2π . 200) – 5(2π . 195) = 5 . 2π(200 – 195) = 50πm
f(x) = sen2x + cosx
Resposta correta: x
Resposta correta: Não há resposta
4.
17.
Se –x2 + (x – 2) . cosy + 4 = 0 →
(x – 2) . cosy = x2 – 4 →
(x – 2) . cosy = (x + 2) (x – 2) →
cosy = x + 2.
Como –1 ≤ cosy 1 → –1 ≤ x + 2 ≤ 1 → –3 ≤ x ≤ –1
Então, x ∈ {–3, –2, –1}, somando temos –6.
Resposta correta: E
5.
ƒ(y) =
1 − y 2 ; g(x) = cosx
ƒ . g(x) =
→ x=
1 − cos2 x = ± senx = 1 →
π
+ kπ
2
Resposta correta: A
y
3
→y=
2
3
x
3
cos30° =
→x=
2
3
6.
sen30° =
Resolvendo a equação 2sen2x – senx – 1 = 0, temos:
1
senx = 1 ou senx = − .
2
II. Localizando os valores no círculo trigonométrico,
temos:
I.
Resposta correta: D
aula 4
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
16
PARA
SALA
III. A variação de uma resposta (x) para outra é 120°.
Assim, podemos representá-las pela fórmula:
π 2π
x= +
.k
2 3
π π
Resposta correta:
+ .k
2 3
π
Se EG = + 2kπ, então:
2
π
α = + 2kπ.
2
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
⇒ –1 < –cosx < 1
+3
+3 +3
2 < 3 – cos x < 4
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Pelas condições de existência do seno e do cosseno,
temos:
I. senx = a → –1 ≤ senx ≤ 1 → –1 ≤ a ≤ 1
II. cosx = 2 a − 1 → – 1 ≤ cosx ≤ 1 →
Assim, o mínimo é S =
–1 ≤ 2 a − 1 ≤ 1 →
Resposta correta: A
–1 + 1 ≤ 2 a − 1 +1 ≤ 1 +1
4.
0 ≤ 2 a ≤ 2 (÷2)
0≤
2 a 2
≤
2
2
0≤
a ≤1
(0)2 ≤
( a)
2
1
1
e o máximo é S = .
4
2
Temos que:
–1425° = → –1080° – 345° ≡ – 345°. Veja!
3 voltas
completas
≤ (1)
2
0≤a≤1
Veja:
I.
Resposta correta: E
II.
III.
5.
I. Encontraremos a 1ª determinação positiva.
Para satisfazer às condições necessárias para o seno e
cosseno, a ∈ [0; 1]. Assim, o único valor das opções é 1.
14 π 12π 2π
2π
=
+
= 4π +
→
3
3
3
3
↓
Resposta correta: D
2.
Desenvolvendo a expressão:
(
) (
2
2
1ª determinação positiva
(2 voltas)
2
cos x − sen x
cos4 x − sen4 x
=
2 − sec x
2 − sec x
)
2
II. Localizaremos a 1ª determinação positiva e todos os
seus arcos côngruos.
=
1
(cos2 x + sen2x )(cos2 x − sen2x ) = cos2 x − sen2x =
2 − sec x
(2cos
2
)(
x −1
2 + sec x
2
2 − sec x
(2cos2 x − 1) (
2 + sec x
2
2cos x − 1
cos2 x
(2cos
2
cos2 x
(
)(
x −1 .
) = (2cos
2
)=
)
2 + sec x .
2 + sec x
)
2 − sec x
)(
x −1
2 + sec x
1
2−
cos2 x
cos2 x
(2cos2 x − 1)
)=
Observe:
2π 2 π
=
+2.0.π
3
3
8 π 2π
=
+ 2 . 1. π
3
3
14 π 2π
=
+2.2.π
3
3
=
Resposta correta: C
3.
S=
1
3 − cos x
Lembramos que:
⇒ –1 < cos x < 1
De modo geral, temos:
2π
+2.k . π
3
Resposta correta: B
(–1)
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
17
6.
⎤ 3π ⎡
Se x ∈ ⎥ π;
então x está no 3º quadrante. A variação
2 ⎢⎣
⎦
do cosseno no 3º quadrante é –1 < cosx < 0.
Assim, temos:
–1 < 2k – 1 < 0
–1
+1
< 2k – 1
0 < 2k < 1 (÷2)
1
0 < k < →k∈
2
+1
<0
11.
I. Observe:
3
senx 3
3.cos x
tgx →
= → senx =
4
cos x 4
4
II. Pela relação fundamental, temos:
sen2x + cos2x = 1
2
+1
⎛ 3cosx ⎞
2
⎜⎝
⎟ + cos x = 1 →
4 ⎠
9cos2 x
+ cos2 x = 1 →
16
25cos2 x = 16 →
16
cos2 x =
→
25
4
⎧
cos x =
(F, pois x ∈ 3º quadrante)
4 ⎪⎪
5
cos x = ± ⎨
4
5⎪
cos x = −
⎪⎩
5
3
III. senx = x = −
5
4 ⎛ 3⎞
4 3
1
IV. cosx – senx = − − ⎜ − ⎟ = − + = −
5 ⎝ 5⎠
5 5
5
Atenção!
A questão 11 também poderia ser resolvida desta forma:
⎤ 1⎡
⎥⎦ 0; 2 ⎢⎣
Resposta correta: C
7.
I.
Encontraremos a 1ª determinação positiva.
II. tg 985° = tg265° = tg85° = cotg5°
Observe: 85 + 5 = 90, então tg85° =
1
= cotg5°
tg5°
Resposta correta: D
8.
I.
Se cosx = 3 – 2x e – 1 ≤ cosx ≤ 1, então temos:
–1 ≤ 3 – 2x ≤ 1 → –1 – 3 ≤ 3 – 3 – 2x ≤ 1 – 3
–4 ≤ – 2x ≤ – 2 . (–1)
4 ≥ 2x ≥ 2 → 2 ≤ 2x ≤ 4 (÷2)
1≤x≤2
II. Comparando 1 ≤ x ≤ 2 com a ≤ b ≤ b, temos que:
a = 1 e b = 2. Assim a + b = 3.
Resposta correta: C
9.
sen1200° = sen120° = sen60° =
Resposta correta: E
3
2
12. Como 0 < x < 90° (1º quadrante) tgx > 0; assim temos:
m+1
>0
m2 − 4
I. m + 1 = 0
m = –1
completas
3
3
e cos30° =
2
2
Então, sen1200° = cos30°
sen1200 =
II. m2 – 4 = 0
m=±2
Resposta correta: C
(I)
π
10.
<α≤π
x2
2
π < 2α ≤ 2π
( II )
(I)
( II )
⇒ sen 2α ⇒ − 1 < sen 2α ≤ 0
⇒ cos α ⇒ − 1 ≤ cos α < 0
⇒ sec α ⇒ sec α < 0
–2 < m < – 1 ou m > 2.
Resposta correta: C
Resposta correta: B
18
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
13. I. x = 0
1 + cos0 + cos20 + cos30 + ... + cos160 + cos170 =
1 + 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 18
II. x =
17.
I. Dividindo o círculo completo em 10 partes, temos:
2π π
=
10 5
p tem 4 partes, assim am
p = 4π
II. O arco am
5
π
2
1 + cos
π
π
π
π
+ cos2 + ... + cos16 + cos17 =
2
2
2
2
Resposta correta: E
1 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 = 1
18. A variação de "M" + "M1" é 180° (π)
III. x = π
1 + cosπ + cos2π + cos3π + ... cos16π + cos17π =
1 + (–1) + (–1)2 + (–1)3 + ... + (–1)16 + (–1)17 = 0
Resposta correta: A
14. Substituindo os valores, temos:
⎛ 1+ 1 ⎞
x1 = sen ⎜
π ⎟ = senπ = 0
⎝ 2 ⎠
3π
⎛ 2 +1 ⎞
π ⎟ = sen
= −1
x2 = sen ⎜
2
⎝ 2 ⎠
⎛ 3 +1 ⎞
π ⎟ = sen2π = 0
x3 = sen ⎜
⎝ 2 ⎠
Assim, a expressão geral é: −
π
+ kπ
4
Resposta correta: A
5π
π
⎛ 4 +1 ⎞
π ⎟ = sen
= sen = +1
x4 = sen ⎜
2
2
2
⎝
⎠
19. Observe o desenho (círculo trigonométrico):
Resposta correta: D
15.
Observe que a variação de um "M" para o outro é sem⎛π⎞
pre 90° ⎜ ⎟ , e o primeiro ângulo que temos (M1) é
⎝2⎠
π
π
π
( 60° ) . Assim, a expressão geral é + k . .
3
3
2
Teorema de Pitágoras: x2 = 12 + tg2θ
x2 = sec2θ
x = sec 2 θ
x = |secθ|
Resposta correta: E
Atenção!
A hipotenusa não pode ser negativa, pois representa a
medida de um segmento.
20. De modo análogo à questão anterior, temos que a variação de M1 para M2 e vice-versa é 180° (π). Como o pri3π
⎛ 3π ⎞
meiro ângulo é 135° ⎜ ⎟ , a expressão é
+ kπ .
⎝ 4⎠
4
Resposta correta: A
16. 0 < α <
π
2
Resposta correta: B
(–1)
π
< −α <0
2
7π 7π 7π
⇒ +
+
+
2
2
2
21. Dada a expressão
⇒ −
385 + x + y
temos:
sen ( 425 − x − y )
I. Calculando a primeira determinação positiva dos
ângulos, temos:
385 + x + y ≡ 25° + x + y
425 – x – y ≡ 65 – x – y
7π
7π
−α <
2
2
3o Quadrante
3π <
II. Somando agora as determinações positivas:
(25 + x + y) + (65 – x – y) temos 90°, ou seja, são
complementares.
Resposta correta: C
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MATEMÁTICA 4
19
Com isso,
sen(25 + x + y) = cos(65 – x – y), cos(25 + x + y) =
sen(65 – x – y) e tg(25 + x + y) . tg(65 – x – y) = 1
10cos2α = 1 → cos2α =
1
10
1
.
→ cosα = −
→
10
10
10
− 10
10
Como temos:
cosα =
III. Sabendo disso, observe:
− cos ( 385 + x + y ) − cos ( 25 + x + y )
=
= −1
sen ( 425 − x − y )
sen ( 65 − x − y )
2
⎛ − 10 ⎞
sen α + cos α = 1 → sen α + ⎜⎜
⎟⎟ = 1
⎝ 10 ⎠
10
10
sen2α =
= 1 → sen2α = 1 −
→
100
100
2
Resposta correta: C
22. Perceba que encontrar o limite da soma sen2a + sen4a +
... + sen2na + ..., é o mesmo que encontrar a soma dos
termos da PG (sen2a; sen4a; ...; sen2na; ...). Assim, temos:
a1
sen2a
sen2a
=
=
= tg2a
q = sen2a; sn =
2
1 − q 1 − sen a cos2 a
sen2α =
2
2
90
−3 10
→ senα =
100
10
Resposta correta: C (Retificação de gabarito)
Resposta correta: E
25.
23. Já sabemos que se α + β = 90°, então:
• senα = cosβ
• cosα = senβ
• tgα . tgβ = 1
Podemos também encontrar uma relação para as cotangentes. Veja!
1
1
1
1
1
cot gα . cotgβ =
.
.
=
=
=1
1
tg
β
tgα tgβ
tgβ
tgβ
tgβ
Logo: cotgα . cotgβ = 1
Seja a expressão:
Aog cotg39° + Aog cotg41° + Aog cotg43° + ... + Aogcotg51°
sen1° + cos 2° + sen3° + cos 4° + ... + sen89°
Primeiramente, vamos desenvolver o numerador aplicando as propriedades necessárias de logaritmo.
I. Aplicando a propriedade do produto, no numerador, temos:
Aog(cotg39° . cotg41° . cotg43° ... cotg49° . cotg51°
x
θ 2
θ x
θ
sen =
⇒ sen = ⇒ x = 2 sen
2 1
2 2
2
Resposta correta: C
90°
•
26. Observe o círculo trigonométrico abaixo:
90°
A soma dos extremos e dos equidistantes aos extremos é 90°, então o que dissemos anteriormente Aog1 = 0
II. A soma do denominador é diferente de zero, pois os
ângulos são menores que 90° e maiores que 0° (1º
quadrante).
III. Substituindo os valores, temos que a fração fica:
0
=0
dif. de zero
Perceba que todos esses ângulos têm senos iguais a zero:
Resposta correta: zero
Resposta correta: A
27. Observe o círculo abaixo:
⎡ 3π ⎤
24. Observe que "α" ∈ ⎢ π; ⎥ , ou seja, 3° quadrante. Com
⎣ 2⎦
isso sen, cos, cossec e sec são negativos.
Seja a expressão senα = 3cosα. Aplicando o princípio da
igualdade temos: (senα)2 = (3cos)2 →
sen2α = 9 cos2α → 1 – cos2α = 9 cos2 →
(1 – cos2α)
20
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
Seja: E = cosπ + cos2π + cos3π + ... + cos14π + cos15π
3.
E = –1 + 1 + (–1) + ... + 1 + (–1)
E = –1
Resposta correta: –1
2
. Colocando os valores no triângu2
lo retângulo abaixo e sabendo que x ∈ 3º quadrante,
temos:
28. Temos que tgx =
Pegamos a sequência de uma volta para mostrarmos
que a soma dos senos dos ângulos destacados é igual a
zero. Ocorre também com os ângulos côngruos. Assim,
24π
como é até
, ou seja 8π, que corresponde a 4 voltas
3
completas, a soma é zero
a2 = 2 + 4
a= 6
Assim, temos que:
senx =
senx = −
cosx =
Resposta correta: 0
2
1
=
.
6
3
4.
3
→
3
I.
3
3
2
.
6
⎝
6 2 6
6
=
→ cosx = −
6
3
6
tg(π – α) = –tgα =
PARA
M=
SALA
2
2
1 − a2
Substituindo, temos:
π
π
π
S = sen(α – x) . cos ⎛⎜ − x⎞⎟ + tg ⎛⎜ x − ⎞⎟ . cos ⎛⎜ + x⎞⎟ . cos(2π – x)
2⎠
→
cos x
a
+
senx
1 − a2
cos x = 1 – a → cosx =
M=
⎝
a
1 − a2
Veja!
2
2
2
2
senx = a → sen x = a → 1 – cos x = a →
Resposta correta: A
⎠
⎠
M = senx – senx + cotgx +
− senα
−a
=
cos α
1 − a2
⎝2
⎝2
Assim:
3
6
e cos x = −
3
3
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
2⎠
⎛ 3π
⎞
⎛π
⎞
− x ⎟ = tg ⎜ − x ⎟ = cotgx
III. tg ⎜
⎝ 2
⎠
⎝2
⎠
aula 5
2.
3π ⎞
⎛
⎛π
⎞
cos ⎜ x +
⎟⎠ = cos ⎜⎝ − x ⎟⎠ = senx
⎝
2
2
π
π
II. cos ⎛⎜ x − ⎞⎟ = cos ⎛⎜ − x⎞⎟ = senx
Resposta correta: senx = −
1.
Veja!
⎝2
M=
⎠
Veja!
I. sen(π – x) = senx
1 − a2
a
+
→
a
1 − a2
1
a 1 − a2
Resposta correta: C
π
II. cos ⎛⎜ − x⎞⎟ = senx
⎝2
⎠
5.
π⎞
⎡ ⎛π
⎛
⎞⎤
⎛π
⎞
III. tg ⎜ x − ⎟ = tg ⎢ − ⎜ − x ⎟ ⎥ = − tg ⎜ − x ⎟ = cotg
⎝
⎠⎦
⎝2
⎠
2⎠
⎣ ⎝2
⎛π
⎞
⎛π
⎞
IV. cos ⎜ + x ⎟ = − cos ⎜ − x ⎟ = − senx
⎝2
⎠
⎝2
⎠
V. cos(2π – x) = cosx
Substituindo os valores, temos:
S = senx . senx – cotgx . (– senx) . cosx
cos x
S = sen2x +
. senx . cos x
senx
2
2
S = sen x + cos x
S=1
sen210 = –sen30 = –
cos210 = –cos30 = –
tg210 =
Resposta correta: D
1
2
3
2
3
= tg30
3
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
21
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Sabemos que:
I. cos(2π – x)) = cosx
II. cos(π – x) = –cosx
III. sen(π + x) = –senx
⎛π
⎞
IV. senx ⎜ − x ⎟ = cos x
⎝2
⎠
II. A =
Resposta correta: E
Resposta correta: B
5.
0° < y < 30°
1
1
0 < sen y < ⇒ 0 < sen2 y <
2
4
1
1
< cos y < 1 ⇒ < cos2 y < 1
2
4
1
0 < sen y cos y <
2
É dada a expressão:
⎛π
⎞
⎛ 15π
⎞
sen ( π + x ) .cos ⎜ − x ⎟ . tg ⎜
+ x⎟
⎝2
⎠
⎝ 2
⎠
.
⎛ 7π
⎞
cos ( 5π + x ) . sen ⎜
+ x ⎟ . tg ( 4π − x )
⎝ 2
⎠
=
Primeiramente, vamos transformar cada um dos termos
acima:
I. sen(π + x) = –senx
π
⎝2
⎛ π 2nπ ⎞
⎛ π 2nπ ⎞
Vn = cos ⎜ +
⎟ + sen ⎜⎝ +
⎟
⎝3
3 ⎠
3
3 ⎠
⎛π⎞
⎛π⎞
V0 = cos ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟
3
⎝ ⎠
⎝ 3⎠
⎛ π 4π ⎞
⎛ π 4π ⎞
V2 = cos ⎜ +
⎟
⎟ + sen ⎜ +
3 ⎠
3 ⎠
⎝3
⎝3
π
π
V0 = cos + sen
3
3
+
5π
5π
+ sen
V2 = cos
3
3
π
5π
π
5π
+ sen + sen
V0 + V2 = cos + cos
3
3
3
3
Resposta correta: B
3.
2h
x 3
→A=
. → A= 3
3
3 2
⎛ 1 3⎞
⎛ 1 − 3⎞
B(–1, 0); A ⎜ ,
⎟ ; C⎜2, 2 ⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Substituindo os valores, temos:
cos x . ( − cos x ) cos x
=
= cotg x
y=
−senx . cos x
senx
2.
0C 1
1
=
→ 0C =
B0 2
2
I.
1 1
3
3
+ +
−
=1
2 2
2
2
Resposta correta: C
II. cos ⎛⎜ − x ⎞⎟ = senx
6.
⎠
15π
cos x
⎞
⎛ 3π
⎞
⎛π
⎞
+ x ⎟ = tg ⎜
+ x ⎟ = −tg ⎜ − x ⎟ = − cot gx = −
senx
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
⎝2
⎠
III. tg ⎛⎜
Observe:
cos
99π
⎛
= cos ⎜
⎝
4
96π
4
IV. cos(5π + x) = cos(π + x) = – cosx
+
3π ⎞
3π
=
⎟ = cos
4⎠
4
↓
7π
3π
π
V. sen ⎛⎜ + x ⎞⎟ = sen ⎛⎜ + x ⎞⎟ = −sen ⎛⎜ − x ⎞⎟ = − cos x
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
⎝2
⎠
senx
VI. tg(4π – x) = tg(–x) = –tgx = −
cos x
12 voltas
–cos
Substituindo cada um dos valores nos seus respectivos
lugares, temos:
cos x ⎞
( −senx ) . ( senx ) . ⎛⎜⎝ −
⎟
senx ⎠
= −1
senx ⎞
( − cos x ) . ( − cos x ) . ⎛⎜⎝ −
⎟
cos x ⎠
π
2
=−
4
2
12π
4π ⎞
⎛ 16π ⎞
⎛
⎛ 4π ⎞
= tg ⎜ −
−
tg ⎜ −
⎟ = tg ⎜⎝ − ⎟⎠ =
⎝ 3 ⎟⎠
⎝
3
3⎠
3
↓
2 voltas no sentido negativo
Resposta correta: B
4.
tg
2π
π
= − tg = − 3
3
3
Substituindo os valores temos:
−
⎛ 2
⎞
2
− 3 = −⎜
+ 3⎟
2
⎝ 2
⎠
Resposta correta: E
22
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
7.
A solução desta questão depende diretamente da compreensão do círculo trigonométrico. Observe:
I. cos225° < cos215° (F)
8.
Transformando os arcos para arcos do 1º quadrante:
• cos(90° + x) = –cos(90° – x) = –senx
• cos(180° – x) = –cosx
• cos(360° – x) = cosx
• cos(90° – x) = senx
• sen(270° + x) = –sen(90° – x) = –cosx
• sen(90° + x) = sen(90° – x) = cosx
• cos(90° – x) = senx
• sen(180° – x) = senx
Substituindo os valores das reduções na expressão original, temos:
( −senx ) + ( − cos x ) + cos x + 3senx
( − cos x ) − cos x − senx + senx
=
2senx
= − tgx
−2cos x
Resposta correta: –tgx
Como o cos225° está à direita do cos215° e o sentido de crescimento do eixo cos é da esquerda para
direita, então o correto é coss225° > cos215°.
5π
5π
(V)
> sen
II. tg
12
12
9.
Correção da expressão:
(triplo)
⎛π
⎞
⎛π
⎞
tgx . tg ⎜ − x ⎟ . tg ⎜ + x ⎟ = tg ( 3x )
⎝3
⎠
⎝3
⎠
Que também podemos escrever:
tgx . tg(60° – x) . tg(60° + x) = tg(3x).
O que queremos encontrar é tg20° . tg40° . tg80°, mas
podemos escrevê-la da mesma forma que a original, veja: tg20° . tg(60° – 20°) . tg(60° + 20°). Como foi visto
acima, o resultado da expressão é tg(3x), ou seja, tangente do triplo do primeiro ângulo. Sabendo disso:
tg20° . tg40° . tg80° =
tg20° . tg(60 – 20°) . tg(60 + 20°) =
tg(3 . 20°) = tg60° = 3
O sentido de crescimento do eixo tangente no lado
direito (1º e 4º quadrantes) é de baixo para cima, ou
seja, quanto mais alto maior o número. Na figura,
Resposta correta: D
5π
5π
está acima de sen , isto
12
12
5π
5π
> tg .
nos diz que tg
12
12
observamos que tg
10. I. (V) Pois
11π
8π
3π 3 π
=
+
≡
(2º quad)
4
4
4
4
↓
1 volta
III. sen160° > sen172° (V)
II. (F) Pois 1500° = 1440°
+ 60° ≡ 60° (1º quad)
↓
4 voltas
III. (V) Pois −
13π
12π
π 5π
(4º quad)
= −
− ≡
3
3
3 3
↓
2 voltas
Resposta correta: A
11. I. Se a sequência (senx; cosx; 1 – senx; ...) é uma PA,
então é verdade que:
1 – senx – cosx = cosx – senx → 2cosx = 1 →
Observe que o sen160° está acima do sen172°, isto
porque inverte o sentido de crescimento dos ângulos no 2º quadrante em direção ao 1º quadrante. Assim sen160° > sen172°.
cosx =
1
; com x ∈ 1º quadrante.
2
Então, senx =
3
.
2
II. a10 = a1 + 9r
a10 = senx + 9(cosx – senx)
Resposta correta: C
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
23
15. Primeiramente, vamos reduzir os valores para o primeiro
quadrante.
a10 = 9cosx – 8senx;
Substituindo os valores, temos:
a10 = 9 .
I. cos(5π – x) = cos(π – x) = –cosx
1
3
–8.
2
2
II. cos(3π + x) = cos(π + x) = –cosx
9−8 3
2
Resposta correta: D
⎛π
⎞
III. sen ⎜ − x ⎟ = cos x
⎝2
⎠
a10 =
Substituindo cada valor na expressão, temos:
12. Se (a, b, c, 150°) é uma PA, então temos:
I. Podemos escrevê-la como (a; a + r; a + 2r; 150°).
II. Como representam ângulos internos de um quadrilátero, então a soma é 360°.
3a + 3r + 150° = 360° → 3a + 3r = 210
III. Sabemos que a4 = a1 + 3r → a + 3r = 150
A=
−7.cos x − 3. ( − cos x )
4 cos x
1
=−
=−
8.cos x
8 cos x
2
Assim, temos que A = −
1
→ 2A = −1 → 2A + 1 = 0
2
Resposta correta: C
a = 30°
⎧a + 3r = 150
+
=
3a
3r
210
r = 40°
⎩
IV. Resolvendo o sistema ⎨
16. Estudo dos sinais
V. Substituindo o valor de "a" na expressão:
sen ( 3a) + cos ( 2a) + sec ( 3a)
y=
→
⎛ 3a ⎞
1 + tg ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
sen ( 3. 30°) + cos ( 2. 30°) + sec ( 8. 30°)
=
⎛ 3.30° ⎞
1 + tg ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
sen90° + cos 60° + sec 240°
=→
1 + tg45°
1
1
1 + + ( −2) −
1
2
2
=
=−
1+ 1
2
4
(II)
cot g 50° . sen 93° ( + ) . ( + )
=
= (+ )
tg 181°
(+ )
(III)
cos x . cos sec x ( + ) . ( −)
= (+)
=
sec x . cot g x
( + ) ( −)
(IV)
sen x tg x ( + ) . ( −)
=
= ( −)
cos sec x
( +)
Resposta correta: B
1
→ cosα =
3
Como α =
sen 30° . cos 150° ( + ) ( − )
=
= (−)
tg 210°
(+ )
Itens: I e IV
Resposta correta: C
13. senα =
(I)
1−
1
8
=
32
3
17. Para melhor compreensão vamos analisar, primeiramente, a sequência formada pelos ângulos:
(12, 15, 28, ..., 142, 155, 168)
I. A soma dos extremos é exatamente igual à soma de
seus equidistantes, que é igual a 180° (ângulos suplementares).
π
8
1
− β → senβ =
e cos β =
2
3
3
2 8
9
1 8
1
2
2
cos2β = cos β – sen β = − = −
9 9
9
sen(α + 2β) = senαcos2β + sen2βcosα
−1 2 . 8
9
1
=
+
=
=
27 27
27 3
sen2β = 2 . senβcosβ =
II. A sequência é uma PA de r = 13, a1 = 12 e an = 168.
an = a1 + (n – 1) . r
168 = 12 + (n – 1) . 13
n = 13 termos
III. Como a quantidade de termos é ímpar, o termo central é a média aritmética dos extremos.
Resposta correta: B
14. Considere o triângulo:
a1 + a13 12 + 168
=
= 90°
2
2
IV. Vejamos agora a questão:
a7 =
a = cos12° + cos25° + ... + →
cos90° + ... + cos155° + cos168°
Lembre-se de que ângulos suplementares têm cossenos opostos, logo soma igual a zero. Lembre-se
também que cos90° = 0. Assim, a = 0.
V. Substituindo "a", temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(2x)2 = x2 + a2 → a = x 3
sen (– β) = – senβ = −
ƒ(a) = 1 + 2
a
ƒ(0) = 1 + 2 = 1 + 1 = 2
0
x 3
3
sen (– β) = −
2x
2
Resposta correta: B
24
Resposta correta: 2
3ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
18. sen n0 + cos n0 = 0 → sen n0 = –cos n0
n = 135° é solução dessa equação, e aparece no fator.
Logo, P = 0.
21. Substituindo os valores, temos para o item "e":
32π 30π 2π 2π
1
⎛ 2π ⎞
; cos ⎜ ⎟ = −
I. K = 1 → α =
=
+
≡
3
3
3
3
3
2
⎝ ⎠
64π 60π 4π 4π
1
⎛ 4π ⎞
; cos ⎜ ⎟ = −
=
+
≡
II. K = 2 → α =
3
3
3
3
2
⎝ 3 ⎠
Resposta correta: A
19. Primeiramente, devemos encontrar os possíveis valores
2
dos ângulos que têm seno igual a . Os dois possíveis
7
valores só poderão estar nos quadrantes (I e II), pois:
2
2 1
> 0 . Se < , então os intervalos possíveis são:
7
7 2
2
2 1
2 1
>0e <
↔ 0< <
7
7 2
7 2
Resposta correta: E
I.
Para cada volta completa que der, possuem dois valores que satisfazem a condição acima. Podemos então escrever:
1560° =
1440°
+ 120°.
↓
4 voltas completas,
o que nos dá 8 valores
Na última volta, o ângulo percorre somente 120°.
Veja:
II.
Confrontando as figuras (I e II), temos que como na última volta só percorre 120°, então só passa por um dos
valores, já que para passar pelo segundo teria que ser
maior que 150°. Assim, a resposta é: 8 + 1 = 9.
Resposta correta: D
20. A questão correta é:
sen(b + n . π)
I. P/n = 0 ⇒ sen(b + 0) = sen(b)
II. P/n = 1 ⇒ sen(b + π) = –sen(b)
III. P/n = 2 ⇒ sen(b + 2π) = sen(2π + b) = sen(b)
IV. P/n = 3 ⇒ sen(b + 3π) = sen(b + π) = sen(π + b) = –senb
Assim, percebemos que P/"n" par é positivo e P/"n"
n
ímpar é negativo, assim sen(b + nπ) = (–1) . senb.
-23/12/08
Rev.: Giselle
Resposta correta: D
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