GABARITO
Matemática B – Extensivo – v.2
Exercícios
01)A
Se cos α = 3/5, então , a representação em um triângulo
retângulo será:
5
5
Pitágoras
4
Como o arco x tem extremidades no segundo quadrante,
0 seno é positivo e tangente é negativa, logo:
−4
4
sen x = tg x =
3
5
2

 −4 
4
5 sen2 x – 3 tg x = 5.  − 3   =
 5 
 3 
16 12 16
36
5. +
=
+4 =
25 3
5
5
04)E
3
tg α =
3
y
c.o 4
=
c.a 3
P
B
02)E
4555 360
360 12
955
720
235
A
O
x
235° está no 3º quadrante.
K
4195 360
360 11
595
360
235
A primeira determinação positiva de 4555° e 4195° é
235°, logo, eles são côngruos.
03)E
sec x =
3
1
5
= – ⇒ cos x = –
5
cos x
3
No triângulo Δ OBP temos:
(BP)2 + (OB)2 = (OP)2, mas BP = OA
OA2 + OB2 = 12 (I)
Também temos que BÔP = 30°, logo:
BP OA
3 OA
tg 30° =
=
⇒
=
⇒ 3OA = 3 . OB (II)
3
OB OB
OB
Substituindo (II) em (I) temos:
2
 3 . OB 
2
2

 + OB = 1 ⇒ 3 OB + OB = 1 ⇒



3
9
2
5
Pitágoras
5
4
x
3
3
9
3
2
12 OB
= ⇒ OB =
= 1 ⇒ OB =
2
12 4
9
OA =
3
3
3
3.
3 . OB
2 = 2 =3. 1= 1
=
3 2 3 2
3
3
OA . OB =
Matemática B
3
1
3
=
.
2 2
4
1
GABARITO
05)D
(cos x + sen x . tg x)
=
cos x =
cos x
cos x + sen x.
sen x
cos x
cos x
=
1
1
1
.
.
= sec2 x
cos x cos x cos x
tg 20° = – tg 160°
tg 20° = tg 200°
tg 20° = – tg 340°
06)A
cos2 x = m2 e tg2 x = 6 m2 ⇒
sen2 x
= 6 m4
cos 2 x
tg 160° + tg 340° = (−a) + (−a) = −2a = –2
a
a
tg 200°
sen2 x
= 6 m2 ⇒ sen2 x = 6 m
m2
sen2 x + cos2 x = 1
6 m4 + m2 = 1
6 m4 + m2 – 1 = 0 → m2 = y
6 y2 + y – 1 = 0
⇒
09)D
1
1
y' = → m2 =
−1± 5 −
1
±
1
+
24
3
3
=
y=
12 12
y" → m2 = − 1
2
tg2 x + sen2 x
sec2 x –1 + sen2 x
sec2 x –1 + sen2 x
sec2 x – cos2 x
10)D
07)A
 1

 1


 =
 cos (x ) − tg (x ) cos (x ) + tg (x )
2
(sen x + cos x ) − 1
2(1 − sen x ). (sen x + cos 2 x )
2
2
 1
s en (x ) 
s en (x )  1


=
 cos (x ) − cos (x )  cos (x ) + cos (x ) 
=
sen2 x + 2sen x . cos x + cos2 x − 1
=
2(1 − sen2 x ). (sen2 x + cos2 x )
1− s en (x ) 1+ s en (x ) 

=

 cos (x )  cos (x ) 
1+ 2sen x . cos x − 1
=
2 cos2 x
2sen x . cos x + cos2 x − 1 sen x . cos x
=
cos x
2 cos 2 x
1− s en2 (x ) cos 2 (x )
=
=1
cos 2 (x )
cos 2 (x )
11)C
08)E
sen α =
12
13
13
160°
20°
200°
340°
12
13
pitágoras
12
5
cos α =
2
Matemática B
−5
(negativo, pois está no 2º quadrante)
13
GABARITO
12)B
F(x) = (sen x + cos x)2 + (sen x – cos x)2 =
F(x) = (sen2 x + 2 sen x . cos x + cos2 x) + (sen2 x – 2 sen x . cos x + cos2 x)
F(x) = 2sen2 x + 2cos2 x
F(x) = 2(sen2 x + 2cos2 x) ⇒ F(x) = 2 . (1) ⇒ F(x) = 2
O gráfico é uma reta paralela ao eixo, que intercepta o eixo y no ponto 2.
13)B
2sen2 x + 2cos2 x – 5 ⇒ 2(sen2 x + cos2 x) – 5 ⇒ 2(1) – 5 = 3
14)D
s en x + cos x .cos x
1
cos x
+
(s en x + cos2 x ) . (cos x )
1
1 4
sec x + cotg x cos x s en x
cos x .s en x
=
= =
=
=
y = =
2
3 3
sen x
cos x .cos x + s en x
sen
x
cos x + tg x
+
cos
x
.s
en
x
.(cos
x
s
en
x
)
(
)
cos x +
4
cos x
cos x
15)B
2
m −1
⇒ sec x =
m −1
2
tg x = m − 2
tg2 x +1 = sec2 x
4m – 4 = m2 – 2m + 1
m2 – 6m + 5 = 0
s = 6 p = 5
m1 = 1 m2 = 5
cos x = ( m − 2)2 +1 = ( m −1)2 ⇒ m – 2 + 1 =
2
m2 − 2m + 1
4
Como m = 1 não satisfaz as condições de existência,
então m = 5.
16)0
log [tg (π/5)] + log [3π/10)] = log[tg 36°] + log [tg 54°] = log (tg 36° . tg 54°) =
 sen 36° sen 54° 
.
 mas, como 36° e 54° são complementares, sen 54° = cos 36° e cos 54° = sen 36o. Logo:
= log 
 cos 54° cos 36° 


log  sen 36° . sen 54°  = log 1 = 0
 cos 36° cos 54° 
17)A
y
1
2
P
α e β são replementares, ou seja, α + β = 360° = 2π rad.
O
1
2
Q
Matemática B
3
GABARITO
19)B
18)a)A = 2sen 2θ; P = 4(senθ + cosθ)
π
b)
θ = rad
4
π
c)
θ = rad
4
1
sen α = e α ∈ 2º quadrante.
2
y
a)
cos cos B
150°
sen sen 30°
1
2
x
D
sen sen cos cos α = 150°
y = sen (90° − 150°). tg 150° = sen (−60°). tg 150°
sec (180° + 150°)
sec (330°)
Aretâng. = b . h
Aretâng. = (2 cos θ) . (2 sen θ)
Aretâng. = 4 sen θ . cos θ
Aretâng. = 2 . (sen θ . cos θ)
Aretâng. = 2 . sen 2θ
sen 60° . tg 30°
y = −sen (60°).(−tg 30°) =
1
sec (30°)
cos 30°
2P = 4sen θ + 4cos θ
2P = 4(sen θ + cos θ)
3
3
1
.
3
2
3
2
y=
⇒
⇒ y =
2
1
4
3
3
2
b)A = 2 . sen2 θ
π
2
π
θ =
4
Área máxima: seno máximo ⇒ 2θ =
20)D
c)2P = 4 . (sen θ + cos θ) ⇒ y = 4 . (sen θ + cos θ)
y2 = 16 . (sen θ + cos θ)2
y2 = 16 . (sen2 θ + 2 . sen θ . cos θ + cos2 θ)
y2 = 16 . (1 + sen 2θ)
O valor que dá o y máximo é também o valor que dá y2
máximo. Para y2 ser máximo, sen 2θ deve ser máximo:
π
π
2 θ = ⇒ θ =
4
2
Como: cos x = cos (–x), então sec x = sec (–x)
cos x + sec x = t
(cos x + sec x)2 = t2
cos2 x + 2 cos x . sec x + sec2 x = t2
1
cos2 x + 2 cos x .
+ sec2 x = t2
cos x
cos2 x + 2 + sec2 x = t2
cos2 x + sec2 x = t2– 2
21)
1+ 2 cos x = 1+ 2 cos x . 1 = 1+ 2 cos x 1− cos x = 1− cos x + 2 cos x − 2 cos2 x = 1+ cos x − 2 cos2 x
.
1+ cos x
1+ cos x
1+ cos x 1− cos x
1− cos 2 x
1− cos 2 x
4
Matemática B
GABARITO
22)D
2 − 2 cos x − s en2 x 2 − 2 cos x − (1− cos2 x ) 2(1− cos x ) − (1− cos x )(1+ cos x ) (1− cos x ) (2 − (1+ cos x ))
=
=
= 1 – cos x
=
1− cos x
1− cos x
1− cos x
1− cos x
II. Falso.
23)E
I. Verdadeiro. sen 310° = –sen 50°
sen 50° = –sen 310°
(II)
F
+
+
–
–
P
F
II. Falso.
Seja sen x = y
y2 + 4y + 3 = 0
s = –4 p = 0
y1 = –1 y2 = –3
sen x = –1 → x = 270°
sen x = –3 → (impossível)
III.Verdadeiro. –1 ≤ sen x ≤ 1
–1 ≤ k –1 ≤ 1
0 ≤ k ≤ 2
IV.Verdadeiro.
A = 21
4
16
4
5
4
8
4
2
con 5 = – cos =
4
sen =
4
nº de voltas
2
2
2
2
III.Verdadeiro.
840° 360°
(III)
720° 2
nº de voltas
120°
sec 840° = sec 120°
1
sec 840° =
cos 120°
1
sec 840° =
−1 2
sec 840° = –2
1
sen 30°
–cossec 30° = – 1
12
–cossec 30° = –2
–cossec 30° =
IV.Verdadeiro. sec α = 2 e cos α = 1
2
Se α ∈ [0°, 360°], então α = 60° ou α = 300°.
π
π
+ 2 sen 0 . sen
1 + 2. 0 . 1
1
2
2 =
= =1
2
1
π
π
0 . 2 + (−1)
cos . sen + cos2 π
2
4
y
sen
60°
24)E
I. Verdadeiro. sen2 x + cos2 x = 1
2
2
(1−k 2 ) + (k + 2) x = 1
2
2
1 – k x + k + 4k + 4 = 1
4k = –4
k = –1
x
1
2
300°
Matemática B
5
GABARITO
04.Verdadeiro.
25)05
y
01. Verdadeiro.
1
π
4
π
2
π
4
3
45°
3π
8
1
45°
3
2π 2π π
=
=
2
m
4
π
−2π
+ (função de primeiro grau)
g(x) =
4
3
Ponto em que a reta corta o eixo y:
π 3,14
<1
Coeficiente linear: ≅
4
4
P=
20
17
45°
3
08.Falso. tg x . sec x < 0
02.Falso.
tg x
sec x
25π + a
88π + a
a
25π + a
a
88π – a
1
3
1
sen (88π – a) = –sen a = –
3
tg . sec
sen (25π + a) = sen a = –
sen (25π + a) – sen (88π – a) = –
1 (−1)
–
=0
3
3
Logo, x deve estar localizado no 3° ou 4° quadrante.
6
Matemática B
x
GABARITO
26)E
A soma envolve apenas ângulos pares, medidos em graus. Tomei ao acaso um deles para análise no ciclo. Escolhi um
ângulo de 12°.
168°
12°
192°
348°
Esse ângulo possui uma determinação em cada quadrante
com os mesmos valores de seno e cosseno, alterando
apenas o sinal. Veja que esses ângulos aparecem na soma
e, como em toda expressão o cosseno está elevado ao
quadrado, a soma pode ser escrita com o:
2
2
(cos
2° + cos 2 4° + ... +
cos2 86° + cos 2 88°
S = cos
0° +
cos2 90° + cos2 180
° + cos2 270° + cos 2 360° + 4
Extremos
Reduções ao 1º Q
S = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 4 . (cos2 2° + cos2 4° + ...+ cos2 86° + cos2 88°)
Veja que 2° e 88° são complementares, logo cos 88° = sen 2°. O mesmo acontece com os ângulos 4° e 86° assim como
com todos os ângulos da expressão:
S = 3 + 4 . (cos2 2° + cos2 4° + ... + sen2 4° + sen2 2°)
S = 3 + 4 . (1
+ 1+
+ 1) ⇒ S = 3 + 4 . 22 = 91
...
22 vezes
27)C


 k 2 π 
 (3k + 5)π 

 : k = 1, 2 yk = sen2 
A = x k = sen2 
: k = 1, 2
 24 


 24 



Como k = 1,2, então + {x1, x2} e B {y2, y2}
A ∪ B = {x1, x2, y1, y2}
Soma = x1 + x2 + y1 + y2
 4π 
  

 
Soma = sen2  π  + sen2   + sen2  8π  + 11π  =
 24   24 
 24 
 24 
 


 
 
sen2  π  + sen2  π  + sen2  π  + sen2 11π 
 6 
 24 
 24 
 3 
11π
são complementares,
Como π e
24
24


 
sen2 11π  = cos2  π 
 24 
 24 
 
 
 
 
Soma = sen2  π  + sen2  π  + sen2  π  + cos2  π 
 6 
 24 
 24 
 3 
 
 
Soma = 1 + sen2  π  + sen2  π 
 6 
 3 
2
2
 1  3 
Soma = 1+   +  
 2  2 
1 3
Soma = 1 + + = 2
4 4
28)B
P=
2π 2π
=
m
3
Matemática B
7
GABARITO
Esboçando o gráfico teremos:
29)f(x) = 1 + sen  2πx − π 

2 
a)P =
f(t)
2π
2π = 1
P =
m
2π
1
sen máx. = 1 

y = 1+ 1 = 2 
Imagem:
 ⇒ Im = [0, 2]
sen min. = −1

y = 1− 1 = 0 
p/2
p
0


b)y = 1 ⇒ 1 + sen  2πx − π  = 1

2 


sen  2πx − π  = 0
2 

π
2πx – = kπ
2
π
2πx = + kπ ÷ (2π)
2
1 K
x= +
4 2
1
Se K = 0, então x =
 4
1 3
⇒ S = ,

 3
4 4
Se K = 1, então x  =
4
3p/2
t
2p
–1
32)A
f(t) = 2sen [3t – (π/3)], t ∈ R.
2 . (−1) = −2
Im
 ⇒ Im = [−2, 2]
2 . (1) = −2 
P=
2π 2π
=
m
3
 −π 
f(0) = 2sen   = 2 . sen (–60°)
 3 

3 
= – 3 ≅ – 1,7
f(0) = 2 . −
 3 
30)C
Esboçando o gráfico temos:
y
2
f(t)
1
x
–2
1
–1
2
t
–1
2π 2π
2π ≅ 6,28
Pseno =
=
m
1
Logo, temos dois pontos de intersecção.
33)E
31)D
Se T = 0, então f(0) = cos
π
=0
2
π
π
Se T = , então f( ) = cos π = –1
2
2
π
Se T = π, então f( ) = cos 3π = 0
2
3π
3π
, então f( ) = cos 2π = 1
Se T =
2
2
8
–2
Pseno =
1
2π
2π
⇒ 4π =
⇒m=
2
m
m
A observação que P = 4π provém do gráfico (quanto leva
para repetir).
• Dm → valores de x
Dm = R
• Im → valores de y
Im → [–3, 3]
Matemática B
GABARITO
• Sobre a paridade, verifica-se que o gráfico
é simétrico em relação à origem do sistema
cartesiano. Portanto, a função é ímpar.
x
• Esboçando o gráfico de y = 3 sen   notamos
 2 
que é igual ao da figura, logo a função descrita
x
é: y = 3 sen  .
 2 
36)D
Im = [–1, +1]
2π
2π
P=
⇒ P = 8π
⇒P=
1
m
4
Esboçando o gráfico temos:
34)E
A variação do número de clientes é dada pela
imagem da função f(x). Calcularemos o mínimo e
o máximo do seno.
sen mín. = –1 ⇒ y = 900 – 800 . (–1)
sen mín. = 900 + 800 = 1700
sen máx. = 1 ⇒ y = 900 – 800 . (1)
sen máx. = 900 – 800 = 100
A diferença entre os valores máximo e o mínimo
da função é: 1700 – 100 = 1600.
35)22
01. Falso.–1 ≤ cos (x) ≤ 1
–1 ≤ 2k – 4 ≤ 1
3 ≤ 2k – 4 ≤ 5
37)C
20 + 120
= 70
2
a → amplitude ⇒ a = 50
2π
π
2π
=c=
c → altera o período ⇒ P =
⇒ 12 =
m
6
c
d → eixo médio ⇒ d =
3 ≤ k ≤ 5 ⇒ {k ∉ R/ 3 2 ≤ K ≤ 5/2}.

π 
A função é: Q(t) = 50 sen b + . t + 70

6 
02.Verdadeiro. f(x) = cos (1/x)
Dm → conjunto dos valores de x que satisfazem as condições de existência.
Dm = {x ∈ R/x ≠ 0} ⇒ D = R*.
Pelo gráfico se t = 2 então Q(2) = 120


Q(2) = 50 sen b + π . 2 + 70

6 

π
120 = 50 sen b +  + 70

3 


π
π
50 = 50 sen b +  ⇒ sen b +  = 1


3 
3 
04.Verdadeiro. Valor mínimo: cos = –1
y = 2 + 5(–1)
y = 2 – 5
y=–3
2π
08.Falso. P =
m
5π
2π
⇒P=
P=
4
2
5
16.Verdadeiro. Os valores do cos x variam entre
–1 e 1. Portanto: Im = [–1, 1]

π
Se sen b +  = 1, então

3 
π π
π π
π
⇒b= – ⇒b=
b+ =
3 2
2 3
6


Portanto, Q (t) = 50 sen  π + π .t + 70
 6 6 
Q (0) = 50 sen  π  + 70
 6 
1
Q (0) = 50 + 70
2
Q (0) = 25 + 70 = 95
Matemática B
9
GABARITO
38)a)Para t = 0 s, temos P = 100 + 20 . sen (2π . 0) = 10
0 mm de Hg.
Para t = 0,75 s, vem P = 100 + 20 . sen (2π . 0,75) =
100 – 20 = 80 mm de Hg.
b)A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando
3π
sen (2πt) = –1 ⇒ sen (2πt) = sen 2
02.Verdadeiro. Período: P =
03.Falso. Observando o gráfico verifica-se que a maior
temperatura foi de 31 °C.
04.Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que a temperatura máxima ocorre em t = 8. Como t = 0 corresponde às 6h, então t = 8 corresponde às 14h.
05.Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que T(t) é
crescente em [0, 8].
a)P = 100 + 20 sen (2π . t)
Se t = 0, então P(0) = 100 + 20 . se (0)
P(0) = 100
Para t = 0, a pressão sanguínea é de 100 mm de
mercúrio.
Se t = 0,75, então P(0,75) = 100 + 20 . sen (2π 0,75)
 
P(0,75) = 100 + 20 . sen 3π 
 2 
P(0,75) = 100 + 20 . (–1)
P(0,75) = 80
Para t = 0,75, a pressão sanguínea é de 80 mm de
mercúrio.
40)A
41)B
39)V – V – F – V – V
T
t
Esboço do gráfico da função:
4π
= 2π
3
2π
3
01. Verdadeiro. Temperatura às 6 horas (t = 0):
 4π 
T(0) = 26 + 5 . cos  
 3 
T(0) = 26 + 5 . cos (240°)
T(0) = 26 – 5 . cos (60°)
T(0) = 26 – 5 . 1
2
T(0) = 26 – 2,5 = 23,5° C
10
Para descobrir a posição nos extremos tomamos os
valores extremos de cos x.
5865
5865
= 5100
cos máx. = 1 ⇒ r = =
1+ 0,15 .(1)
115
,
5865
5865
= 6900
cos mín. = –1 ⇒ r = =
1+ 0,15 .(−1) 0, 85
S = 6900 + 5100
S = 12 000 km.
42)A
Final
π
.t+
12
π
.t=
12
t=8
Os ângulos estão medidos em radianos. Sabemos que
1 radiano vale aproximadadmente 57°.
a)Verdadeiro. 7 rad ≅ 7 . 57° = 399°
399° ∈ 1° Q ⇒ sen(7) > 0
b)Falso. 8 rad ≅ 8 . 57° = 456°
456° ∈ 2º Q ⇒ sen (8) > 0
c)Falso. 5 ≅ 2,2
5 rad ≅ 2,2 . 57° = 125,4°
125,4° ∈ 2° Q ⇒ cos ( 5) < 0
d)Falso. Observando os itens b e c temos que
cos ( 5) < 0 e sen (8) > 0. Logo, cos ( 5) < sen (8).
b)Conforme o enunciado, a pressão atinge seu menor
valor em:
P = 80 mm. Mas no item a descobrirmos que
P (0,75) = 80, logo t = 0,75s fornece o menor valor
da pressão no primeiro segundo. Como o período
dessa função é de 1 s, esse fato só se repetirá no
próximo segundo.
Início:
π

 t + 4π = 0
12
3 
π
4π
.t=–
12
3
t = –16
2π
2π
⇒P=
= 24 h
π
m
12
h
3
0,3
0,0
Matemática B
t
1
Como a função começa de seu máximo, então é uma
função cosseno.
h(t) = a + b . cos(m . t)
GABARITO
a  eixo médio ⇒ a =
45)A
3 + 0, 03
= 1,515
2
I. Verdadeiro. 4330° 360°
360
12
730
720
10°
3 − 0, 03
b  amplitude ⇒ b =
= 1,485
2
2π
2π
π
⇒
= 12 ⇒ m =
m
m
6
Com os valores de a, b e m temos:
π
h(t) = 1,515 + 1,485 . cos ( t)
6
Além disso P =
43)D
A divisão indica que o arco percorre 12 voltas
acrescido de 10°, que deverá ser percorrido no
sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto
quadrante do ciclo trigonométrico.
Observe que, ao percorrer o quarto quadrante, a
função seno aumenta o seu valor, portanto nesse
quadrante a função seno é crescente.
Esboço do gráfico:
f
II. Verdadeiro.
t
2π
2π
I. Falso. P =
⇒ 2π ⇒ P = 365 dias.
m
365
II. Verdadeiro. Pôr do sol ocorreu mais cedo: t = 91,25
Admitindo que cada mês possui 30 dias, então t = 91,25,
já se passaram 3 meses (janeiro, fevereiro e março) e já
entramos no mês de abril.
III.Verdadeiro. f(t) mínimo vale 17, h, que equivale às 17h30.
44)B
f(x) = cos x
P é ponto de ordenada máxima da função. Como o maior
valor que cos x pode assumir, a ordenada de P vale 1.
Q é ponto em que o gráfico toca o eixo x, ou seja, y = 0.
Mas, para que cos x = 0, x deve assumir seu primeiro valor
π
em .
2
P (0,1)
AΔ =
Q
π
b . h 2 .1 π
=
= u.a
4
2
2
34
5
30
5
4
5
10
5
3
A divisão indica que o aro percorre 3 voltas acrescido de 4π rad = 144°, parando assim no segundo
5
quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que, ao
percorrer o segundo quadrante, a função cosseno
diminui o seu valor, portanto nesse quadrante a
função cosseno é decrescente.
III.Falso. 1000° 360°
720 2
280°
A divisão indica que o arco percorre 2 voltas acrescido de 280°, parando assim no quarto quadrante.
No quarto quadrante a tangente é negativa.
46)B
Queremos saber t tal que c = 4:
 πt 
4 = 3 + 2sen  
 6 
 πt 
 πt  1
1 = 2sen   ⇒ sen   =
 6 
 6  2
1 tπ π
Primeiro seno que vale : = ⇒ t = 1 h
2 6 6
47)D
I. f (x) = sen (2x)
2π 2π
=
π ≅ 3,14
P=
m
2
A única função que repete em um intervalo de
aproximadamente 3,14 é a alternativa B.
Matemática B
11
GABARITO
II. f (x) = sen |x|
Como |x| = |x|, essa função é par. Entre as alternativas, a única que possui gráfico simétrico em relação
ao eixo y é a C.
III.f (x) = sen (–x)
Estudando o ciclo observa-se que sen (–x) = –sen x,
e o gráfico de y = – sen x aparece na alternativa A.
 29π 
 3 29π 
f 
= 2 . sen  .
 4 3 
 3 
 29π 
 29π 
f 
= 2 . sen 

 3 
 4 
 29π 
 29π 
 5π 
f 
= 2 . sen   ⇒ f 
= sen (225°)
 3 
 3 
4

 29π 
2 
=– 2
f 
 = 2 . −
 2 
 3 
48)8
   
π

. sen  8π .  t −  3  
9
 3   4  
π


f(t) = . sen  8π .t − 2π

 3
9
2π
P=
m
3
3
2π
P=
= s
= 2π .
8π
8π 4
3
Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a
3
cada s.
4
f(t) =
segudos
repetições
3
4
1
6
x
8
4
3
nº de voltas
51)E
Como a função cos (x) é par, sabe-se que se
cos (x) = cos (–x). Como a função sen (x) é ímpar,
sabe-se que sen (–x) = –sen (x). Então a função f pode
ser escrita como:
1
f(x) = . (sen (x) + cos (x) + sen (x) – cos (x))
2
1
f(x) = . 2sen (x)
2
f(x) = sen (x)
O esboço do gráfico da função sen(x) está no item e.
3
x=6⇒x=8
4
Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições.
52)C
49)D
29
4
24
4
5
4
Queremos saber o valor de t tal que h = 12.
O seno vale 1/2 nos seguintes arcos:
Os valores máximo e mínimo do custo correspondem
aos valores máximo e mínimo de seno.
sen mín. = –1
c = 200 + 120 . (–1)
c = 200 – 120
c = 80
sen máx. = 1
c = 200 + 120 . (1)
c = 200 + 120
c = 320
150° = 5/6
1/2
30° = /6
50)B
K → amplitude
K=2
m → altera o período
2π
m
3
8π 2π
=
⇒m=
4
m
3
tπ π
tπ 5π
= ou =
12 6
12
6
t = 2 ou t = 10
P=
 
Portanto, f(x) = 2 . sen  3x  .
 4 
12
Matemática B
Então o navio pode permanecer no porto entre 2 e 10
horas.
GABARITO
54)11
53)12
a → eixo médio ⇒ a = –1
b → amplitude ⇒ b = 2
Esboço do gráfico:
h (t)
c → altera o período ⇒ P =
8
01. Verdadeiro. Com os valores de a, b e c temos que
f(x) = –1 + 2sen (2x)
02.Verdadeiro. Observando o gráfico verifica-se que
y varia entre –3 e 1, portanto Im = [–3, 1].
04.Falso. Analisando o gráfico verifica-se que o período
é de π.
08.Verdadeiro. f(x) = –1 + 2 . sen (2x) ⇒
π
f   = –1 + 2 . sen 2 . π 
12 
 12 
 π 
π
f   = –1 + 2 . sen ( )
12 
6
 π 
1
f   = –1 + 2 . = –1 + 1 = 0
12 
2
4
6
P=
12
18
24
t
2π
2π
⇒P=
= 24 h
π
m
12
01. Falso. valor mínimo: cos mínimo
h = 8 + 4 . (–1)
h=8–4=4
02.Falso. Observando o gráfico verifica-se que a maré
baixa acontece às 18h.
04.Verdadeiro.
2π
2π
⇒P=
= 24 h
P=
π
m
12
08.Verdadeiro. O gráfico não informa quando h = 10,
descobriremos isso algebricamente.


10 = 8 + 4 . sen t. π 
 12 


2 = 4 . sen t. π 
 12 
1


= sen t. π 
 12 
2
150° = 5/6
1/2
2π
2π
⇒π=
=c=2
m
c
55)a)6,5 m
b)Período: 24 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura
máxima: 21,5 m.
π
h(t) = 11,5 + 10 sen [  . (t – 26)]
12 
π
a)t = 0 ⇒ h(0) = 11,5 + 10 sen [  . (– 26)]
12 
13π
]
h(0) = 11,5 + 10 sen [–
6
Como sen(–x) = – sen(x), então:
13π
h(0) = 11,5 – 10 sen (
)
6
30° = /6
13
6
12
6
6
12
6
1 nº de voltas
Com isso,
π
13π
sen (
) = sen ( ).
6
6
π
6
tπ π
tπ 5π
= ou =
12 6
12
6
t = 2 ou t = 10
30° =
Logo, o navio pode permanecer entre 2 e 10 horas.
π
h(0) = 11,5 – 10 . sen ( )
6
h(0) = 11,5 – 10 . sen (30°)
1
h(0) = 11,5 – 10 .
2
h(0) = 11,5 – 5 = 6,5 m
h = 11,5 + 10 . (–1)
h = 11,5 – 10
h = 1,5 m
Matemática B
13
GABARITO
b)As alturas mínima e máxima dependem do valores
mínimo e máximo de sen (x).
sen mín. = –1
sen máx. = 1
h = 11,5 + 10 . (1)
P=2
h = 11,5 + 10
P = 24 s
h = 21,5
2π
P=
π
59)B
 πx 
f(x) = 3 . sen  
 4 
2π
2π
P=
⇒
=8
π
m
4
Portanto, as alturas mínima e máxima valem
1,5 m e 21,5 m, respectivamente, e o período de
repetição vale 24 s.
Gráfico:
B
56)D
3
Suponha a função da forma y = a + b . cos(m . t)
a → eixo médio ⇒ a = 3
b → amplitude ⇒ b = 1
2π
2π
2π
m → altera o período ⇒ P =
⇒3=
=m=
m
m
3
0
A
–3
57)C
L(3) = ?
π
π
C(3) = 2 – cos (3 . ) ⇒ C(3) = 2 – cos ( )
2
6
C(3) = 2 – 0 = 2.
V(3) = 3 2 . sen (3 . π
π
) ⇒ V(3) = 3 2 . sen ( )
12
4
Para que o triângulo possua a maior área é necessário
que ele possua a maior, ou seja, h = 3.
AΔ = b .h ⇒ AΔ = 8 . 3 = 12 u.a.
2
2
60)D
V(3) = 3 2 . 2 = 3
2
L(3) = V(3) – C(3)
L(3) = 3 – 2
L(3) = 1
8
πx
)
6
Primeiro trimestre: (x) = 1, 2, 3
π
f(1) = 100 + 0,5 . (1) + 3sen ( )
6
f(1) = 100 + 0,5 + 3sen (30°)
1
f(1) = 100,5 + 3 .
2
f(1) = 102
f(x) = 100 + 0,5x + 3sen (
Como o lucro é dado em milhares de reais, o lucro
é de R$ 1000,00.
58)D
 
f(2) = 100 + 0,5 . (2) + 3sen  2π 
 6 
f(2) = 100 + 1 + 3sen (60°)
f(2) = 101 + 3 . 3
2
f(2) = 103,55
Esboço do gráfico
P
100
5
0
P=
/2
3/2
2
2π
2π
⇒
= 2π
m
1
5/2
A
 3π 
f(3) = 100 + 0,5 . (3) + 3sen  
 6 
f(3) = 100 + 1,5 + 3sen (90°)
f(3) = 101,5 + 3 . 1
f(3) = 104,5
Total de vendas: 102 + 103,55 + 104,5 = 310,05
A função atinge o mínimo em t = 2π.
14
Matemática B
GABARITO
61)B
Os gráficos a seguir esboçam as funções sen (x) e cos (x).
y
–2
y
0
2
x
0
–2
sen
x
cos
2
O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em relação ao eixo (x).
Representando os gráficos de |sen x| e |cos x| no mesmo sistema temos:
y
cos
sen
0
x
Pontos de intersecção: 8
10
8
4
62)P( , 0); Q(2, 0), R( , 0) e S( , 0)
3
3
3
Pontos em que o gráfico corta o eixo (x) : f(x) = 0
 3πx 
 = 0 ⇒ –1 + x +1 = 0
sen 
.
 2  −1+ x − 1
 3πx 
2
3π.x
ou sen 
= kπ ⇒ x = k
= 0 ⇒  2 
3
2
x +1 = 1
x+1=1⇒x=1
Se K = 1, então x = 2/3
Se K = 2, então x = 4/3
Se K = 3, então x = 2
Se K = 4, então x = 8/3
Se K = 5, então x = 10/3
Todos os pontos possuem abcissas maiores que 1. Observando esse fato saberemos que:
10
4
8
P( ,0); Q(2, 0); R( , 0); S( , 0)
3
3
3
Matemática B
15