TUTORIAL – 13B
Data:
Aluno (a):
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Matemática
MATEMÁTICA
Trigonometria
A palavra trigonometria significa, etimologicamente, a medida de triângulos. Tem como objetivo principal
o estudo das relações existentes entre lados e ângulos de um triângulo. É altamente aplicada a estudos
de casos e problemas que envolvam distâncias, na astronomia, na navegação, na aviação, na
cartografia, na topografia.
Triângulos Retângulos
São triângulos que possuem um ângulo reto e dois ângulos agudos. O lado que se opõe ao ângulo reto
denomina-se hipotenusa e os demais lados são os catetos. Ao falarmos em triângulos retângulos
pensamos logo no Teorema de Pitágoras.
Seja ABC o triângulo retângulo de hipotenusa BC e seja AH a altura relativa à hipotenusa. Vemos que
os triângulos ABC, ABH e AHC têm os mesmos ângulos. Logo, existem casos de semelhança. Se
trabalharmos alguns desses casos poderemos escrever, então: b2 = a.n e c2 = a.m. Somando-se as
duas igualdades, teremos: b2 + c2 = a.m + a.n ou seja b2 + c2 = a.(m + n).
Como a = m + n, veremos que b2 + c2 = a2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos).
Razões trigonométricas em um triângulo retângulo
Se construirmos inúmeros triângulos retângulos semelhantes, isto é, se usarmos na construção desses
triângulos os mesmos ângulos agudos, veremos que a razão entre lados terá sempre o mesmo valor,
como conseqüência do fato de estarmos trabalhando com triângulos semelhantes. Assim, por definição,
chamamos a razão entre o cateto que se opõe a um ângulo agudo e a hipotenusa de seno do ângulo
agudo. Do mesmo modo, chamamos de cosseno do ângulo agudo à razão entre o cateto que está
adjacente ao ângulo e à hipotenusa. E, finalmente, chamamos de tangente à razão entre o seno e o
cosseno do ângulo A cotangente será o inverso da tangente. Assim:
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Da figura acima, vemos que: sen C =
AB
= cos B
BC
e
sen B =
AC
= cos C .
BC
Portanto, se dois ângulos são complementares o seno de um é igual ao cosseno do outro.
Em relação às tangentes, tg B =
AC
AB
e tg C =
AB
.
AC
Portanto, se dois ângulos são complementares suas tangentes são inversas.
Triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1
Ao escrevermos o teorema de Pitágoras, veremos que sen2 x + cos2 x = 1.
Obs.: Se dois ângulos agudos  e  são complementares ( +  = 90º), então sen  = cos  e
sen  = cos . Além disso, (tg )(tg ) = 1.
A Lei dos Senos
A medida, em graus ou radianos, de um ângulo central é igual à medida do arco que ele determina.
A medida, em graus ou radianos, de um ângulo inscrito vale a metade do arco que é determinado na
circunferência.
A’
Seja o triângulo ABC um triângulo qualquer inscrito em uma circunferência de raio R. Seja A’B um
diâmetro. Os ângulos inscritos  e A’ são congruentes, pois determinam sobre a circunferência o
mesmo arco BC. O triângulo A’BC é retângulo e o ângulo C é reto, pois A’B é um diâmetro.
Portanto: sen  
a
a
, isto é, 2 R 
.
2R
sen Â
Se repetirmos procedimento análogo, veremos que 2 R 
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-2-
b
sen B
e 2R 
c
.
sen C
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Daí, a Lei dos Senos: 2 R 
a

sen A
b


sen B

c

sen C
A Lei dos Cossenos
Considere o triangulo ABC.
Podemos dividi-lo em dois triângulos retângulo, com as medidas que se seguem. Observe:




a, b, c: são as medidas dos lados do triângulo.
h: é a medida da altura relativa ao lado BC.
x, y: são as medidas dos segmentos que a altura determina sobre o lado BC.
a: ângulo entre os lados c e a.
Partindo desse triângulo, observe:
 No triângulo retângulo ABH, pelo teorema de Pitágoras, temos
c2 = h2 + x2 => h2 = c2 - x2
 No triângulo retângulo ACH, pelo teorema de Pitágoras, temos:
b2 = h2 + y2
=>
h2 = b2 - y2
 Podemos agora fazer uma igualdade entre as alturas h:
Se h2 = h2 então:
b2 - y2 = c2 - x2
b2 = c2 - x2 + y2
Como y = a – x, substituindo em y temos:
b2 = c2 - x2 + (a - x)2
b2 = c2 - x2 + a2 - 2ax + x2
 Cancelando as variáveis x, obtemos:
b2 = c2 + a2 - 2ax
(1)
 No triângulo retângulo ABH, temos:
cos a = x/c
=>
x = c . cos a
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 Substituindo x por c cos a na igualdade (1) obtemos:
b2 = a2 + c2 - 2ax cos a
O resultado acima é conhecido como Lei dos Cossenos.
As unidades de medidas do ângulo – o grau e o radiano.
A ideia do grau é a da volta completa. Vem, provavelmente, da crença nos primórdios da civilização de
que o sol dava uma volta completa ao redor da Terra. Ora, o tempo necessário para o soldar uma volta
completa ao redor do nosso planeta, tido como o centro do universo, era 1 ano. Em 1 ano há
aproximadamente 360 dias. Assim, ao círculo equivale 360º. Portanto, 1º é 1/360 do círculo.
Já o radiano surgiu no final do século XIX. Vem da ideia de se utilizar uma unidade de medida de
ângulo que fosse a mesma para a medida do comprimento do arco correspondente. Sabemos que:
  3,14 e  
C
onde C é o comprimento de uma circunferência e R é o raio do círculo.
2R
Portanto, o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a C = 2R.
A Circunferência Trigonométrica
A fim de se aproveitar a facilidade de se trabalhar com os triângulos retângulos de hipotenusa igual a 1
e, ao mesmo tempo, varrer todos os ângulos de um plano, trabalhamos com a circunferência
trigonométrica. Nela, colocam-se as seguintes condições:
- Possui raio igual a 1 (hipotenusa 1 de um triângulo retângulo);
- É orientada, isto é, possui um sentido positivo (anti-horário) e um sentido negativo (horário);
- Todos os arcos ou ângulos centrais são marcados e medidos a partir do ponto de coordenadas (1, 0)
localizado sobre o eixo das abscissas.
Como, na circunferência trigonométrica o raio é 1, então o seu comprimento vale C = 2(1) = 2.
Para trabalhar-se com o radiano, faz-se a correspondência direta. Logo, em uma circunferência de raio
1 o comprimento da circunferência é igual ao arco em radianos.
De maneira geral, um arco de medida igual a 1 radiano é aquele cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência que o contém.
Obs.: Em uma circunferência, o comprimento de um arco é igual ao produto do raio e do ângulo central
medido em radianos.
Para passarmos de grau para radiano ou vice-versa, trabalhamos com uma regra de três:
2 ------ 360º (volta completa)
 ------------- 180º (meia volta)
Exemplo:
Marcam-se, em uma circunferência de raio 10 cm, os pontos A e B, de modo que a corda AB tem
comprimento de 10 cm. Determinar a medida do arco AB, em radianos.
Solução:
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O arco AB tem o mesmo comprimento do raio. Logo, é lado de um hexágono regular inscrito na
circunferência de raio 10. Assim, o arco definido por esse lado mede
2 
 rad .
6
3
Arcos Côngruos
São arcos que possuem a mesma representação na circunferência trigonométrica. Por exemplo, os
arcos de 30º e 390º são côngruos.
Ex: Determinar o menor arco côngruo não negativo ao arco de 3000º.
Solução:
Basta dividir por 360º. Encontraremos 8 como resultado da divisão e 120º como o resto. Assim, os arcos
de 3000º e 120º são côngruos. O dividendo 8 significa o número de voltas completas ao redor da
circunferência trigonométrica. Ou seja, para se efetuar a marcação do arco de 3000º dá-se 8 voltas
completas na circunferência trigonométrica e depois marca-se um arco de 120º.
Expressão geral de um arco
AM    k.360 ou

AM    k.2
onde:
 é a primeira representação positiva do arco
circunferência trigonométrica.
e
k representa o número de voltas completas na
As Linhas Trigonométricas relativas a um mesmo arco
Os eixos cartesianos ortogonais dividem o plano e 4 regiões denominadas de quadrantes. Na imagem
abaixo vemos essa divisão, a circunferência trigonométrica e suas linhas.
A fim de melhor utilizarmos o triângulo retângulo de hipotenusa 1, o eixo das abscissas será chamado
de eixo dos cossenos, o eixo das ordenadas será o eixo dos senos. Paralelo ao eixo dos senos teremos
o eixo das tangentes e paralelo ao eixo dos cossenos teremos o eixo das cotangentes.
Na figura acima, temos:
OA  cos  OB  sen 
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EC  tg 
FD  cotg 
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OC  sec  OD  cossec 
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Do triângulo retângulo OAP podemos escrever o teorema de Pitágoras: sen2  + cos2  = 1, a
Relação Fundamental da Trigonometria vista anteriormente.
Dos
triângulos
retângulos
semelhantes
OAP
e
OEC
podemos
escrever:
sen  cos 
sen 

 EC 
 tg .
EC
1
cos 
Ou então:
1
cos 
1

 OC 
 sec  .
OC
1
cos 
Assim, se escrevermos o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo OEC, teremos:
1  tg 2  sec 2 
relação que pode ser obtida, também, se dividirmos a Relação Fundamental por cos2 .
Do mesmo modo, a partir dos triângulos retângulos semelhantes OPB e ODF podemos escrever:
sen  cos 
cos 

 FD 
 cot g .
1
FD
sen 
Ou então:
1
sen 
1

 OD 
 cos sec  .
OD
1
sen 
Assim, se escrevermos o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo ODF, teremos:
1  cot g 2  cos sec 2 
Portanto, a secante é definida como sendo o inverso do cosseno e a cossecante é definida como sendo
o inverso do seno. A secante e a cossecante não possuem eixo. Geometricamente, a secante é a
distância da origem ao ponto de intersecção com o eixo das tangentes, ao passo que a cossecante é a
distância da origem ao ponto de intersecção com o eixo das cotangentes.
Seno e cosseno - sinais
O seno é positivo para arcos que pertencem ao primeiro e ao segundo quadrantes.
O cosseno é positivo para arcos do primeiro e do quarto quadrantes.
A tangente é positiva para arcos do primeiro e do terceiro quadrantes.
Seno
Cosseno
Tangente
Dicas úteis:
Seno de (a + b)  “Minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá, seno a cosseno b mais seno b
cosseno a”.
Cosseno de (a + b)  “Cosseno a cosseno b, inverte sem saber”.
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Tangente de (a + b)  “Tem gente que ama mais tem gente que beija. Hum, tem menos gente que ama
e beija”.
Fórmulas de Adição
Fórmulas de Duplicação
Fórmulas de Bissecção
Fórmulas de Transformação
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As funções seno e cosseno
Função seno
Chamamos de função seno a função f(x) = sen x. O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ;
visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 ≤ sen x ≤ 1.
Importante: o valor máximo da função seno é 1 e seu valor mínimo é – 1 !!!
O gráfico da função seno é a curva denominada de senoide. A função é periódica, sendo o período o
seu intervalo de repetição. O período da função f(x) = sen x é 2, pois representa uma volta completa da
circunferência trigonométrica, onde os valores voltam a se repetir na forma de arcos côngruos.
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)
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Observe que esse gráfico é razoável, Pois:
Quando
, 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.
Quando
, 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
Quando
, 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
Quando
, 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]
Função cosseno
Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x.
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio
é unitário e, pela definição do cosseno, –1 ≤ sen x ≤ 1, ou seja:
O gráfico da função cosseno parece muito com o gráfico da função seno. A função é periódica, sendo o
período o seu intervalo de repetição. O período da função f(x) = sen x é 2, pois representa uma volta
completa da circunferência trigonométrica, onde os valores voltam a se repetir na forma de arcos
côngruos.
Importante: o valor máximo da função cosseno é 1 e seu valor mínimo é – 1 !!!
Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrantes (abscissa positiva)
f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrantes (abscissa negativa)
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Observe que esse gráfico é razoável, Pois:
Quando
, 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
Quando
, 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
Quando
, 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
Quando ,
4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.
Exercícios:
1. (Uel 2011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P1, um barco ancorado no
horizonte norte na posição B. Nesta posição P1, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de
90°, como mostrado na figura a seguir.
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a partir da
posição P2. Neste novo ponto de observação P2, o ângulo de visão do barco, em relação à praia, é de
45°. Qual a distância P2 B, aproximadamente?
a) 1000 metros
b) 1014 metros
c) 1414 metros
d) 1714 metros
e) 2414 metros
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2. (Unesp) Se x é a medida de um ângulo em radianos e /2 < x < 3/4, então
a) cos x > 0.
b) cos 2x < 0.
c) tgx > 0.
d) sen x < 0.
e) sen 2x > 0.
3. (Mackenzie) Dentre os valores a seguir, assinale aquele que mais se aproxima de sen 6 + tg 3.
Obs.: valores em radianos.
a) - 0,4
b) - 
c) - /2
d) 1
e) 0,5
4. (Fuvest) Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen50° é
a) 0,2.
b) 0,4.
c) 0,6.
d) 0,8.
e) 1,0.
5. O maior valor da função f(x) = 2 + cos x, com x real, é
a) 1/6.
b) 1/4.
c) 1/2.
d) 1.
e) 3
6. (Uemg 2010) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A
medida do ângulo AF B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o
fazendeiro encontrou a medida correspondente a
a) 400√ .
b) 350√ .
c) 300√ .
d) 250√ .
e) 200√
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7. No triângulo ABC abaixo, AB = 3 cm, BC = 4 cm e
o ângulo ABC mede 60º.
O lado AC tem comprimento de
a) 5 cm
b)
13 cm
c)
37 cm
d) 2 3 cm
e) 3 3 cm
8. Um arco de medida 2000 tem extremidade em que quadrante?
a) primeiro
b) segundo
c) terceiro
d) quarto
e) no eixo das abscissas
9. Sendo x um arco com extremidade no primeiro quadrante, tal que seu seno é igual a
3
, o valor de
5
seu cosseno será igual a
a) 1
3
5
3
c)
4
4
d)
25
4
e)
5
b)
10. Na hora de estudar para sua prova de matemática, Marcelinho resolveu fazer uma tabela, com os
valores do seno, do cosseno e da tangente de alguns ângulos notáveis. Porém, sua mãe o chamou para
jantar e ele não conseguiu terminar a tabela.
30
Seno
45
1
2
Cosseno
3
2
Tangente
3
3
3
2
2
2
3
Completando-se os espaços em branco escreveremos, respectivamente:
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a)90,
2
2
,
e2
2
2
b) 60,
2
3
,
e1
2
3
c) 80,
2
3
,
e1
2
3
d) 60,
2 1
,
e1
2 2
e) 90,
2 1
,
e1
2 2
Gabarito:
1) c;
2) b;
3) a;
4) d;
5) e;
6) e;
7) b;
8) c;
9) e;
10) b;
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