Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
MAT146 - Cálculo I
Edson José Teixeira
16 de abril de 2015
MAT146 - Cálculo I
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Vimos anteriormente que dada uma função f , nem sempre esta é bijetora,
ou seja, nem sempre podemos falar na função inversa. Porém, podemos
fazer restrições no domı́nio e/ou no contradomı́nio de maneira torná-la
bijetora e consequentemente inversı́vel.
Se a função f satisfaz certas
condições, seremos capazes de garantir que a sua inversa será derivável
em um ponto f (x0 ). Além disso, somos capazes de explicitar a valor da
derivada da inversa em f (x0 ).
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Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Teorema (Teorema de Derivação da Função Inversa)
Seja f uma função inversı́vel e derivável em um ponto x0 do seu domı́nio
com f 0 (x0 ) 6= 0. Então f −1 será derivável em y0 = f (x0 ) e além disso
0
f −1 (y0 ) =
1
1
= 0 −1
.
f 0 (x0 )
f ((f )(y0 ))
A demonstração deste resultado será omitida. Faremos alguns exemplos
com algumas funções mais simples.
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Seja f : R → R a função dada por
f (x) = 2x + 1.
A função f é derivável, inversı́vel e sua inversa f −1 : R → R é dada por
f −1 (x) =
x
1
− .
2 2
Neste caso é desnecessário aplicar o resultado, uma vez que conseguimos
explicitar a inversa de f e sabemos derivá-la pelas regras apresentadas
anteriormente. Mas mesmo assim, utilizaremos o resultado acima para
aprender a aplicá-lo. Suponhamos que não conhecemos a expressão para
a inversa de f .
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Para isso, seja
y = f −1 (x).
Assim, f (y ) = x. Utilizando derivação implı́cita e a regra da cadeia, temos
f 0 (y ).y 0 = 1.
Daı́,
y 0 = (f −1 )0 (x) =
1
1
= ,
f 0 (y )
2
como já era esperado.
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Exemplo
Seja f : R → R uma função f definida por
f (x) = x 5 + 5x 3 + 2x − 4.
Esta função é bijetora. Assumiremos este fato. Neste caso, não
conseguimos explicitar a sua inversa, mas pelo teorema anterior, somos
capazes de encontrar a derivada da inversa em qualquer ponto f (x0 ).
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Exemplo
Sabemos que o ponto (1, 4) é um ponto sobre o gráfico de f . Desta
forma, o ponto (4, 1) é um ponto sobre o gráfico de f −1 . Calcularemos
(f −1 )0 (4) utilizando teorema anterior. De fato, pelo teorema anterior
temos que
(f −1 )0 (4) =
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1
f
0 (1)
.
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Desta forma, precisamos apenas conhecer f 0 (1), que é facilmente
calculado.
f 0 (x) = 5x 4 + 15x 2 + 2.
Daı́,
f 0 (1) = 22.
Portanto
(f −1 )0 (4) =
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1
1
=
.
f 0 (1)
22
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Vimos anteriormente que as funções trigonométricas não são inversı́veis,
mas podemos fazer restrições no domı́nio e/ou contradomı́nio de maneira a
transformá-las em bijeções, ou seja, inversı́veis. Desta forma, para derivar
as inversas trigonométricas, devemos fazer tais restrições.
Como trabalharemos com funções inversı́veis e deriváveis, seremos capazes
de derivar suas inversas em todos os pontos onde a derivada da função
direta é diferente de zero, como descrito no teorema anterior.
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Função Arcseno
Temos que
h π πi
f : − ,
→ [−1, 1]
2 2
dada por
f (x) = sen x
é inversı́vel. Seja
h π πi
g : [−1, 1] → − ,
2 2
a sua inversa, ou seja,
g (x) = arcsen x.
Fazendo y = g (x), devemos encontrar y 0 =
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dy
.
dx
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Função Arcseno
Temos que
y = arcsen x se, e somente se, sen y = x.
Utilizando derivação implı́cita, obtemos
cos y · y 0 = 1.
Devemos observar primeiramente que, pela a igualdade acima, cos y 6= 0.
π
Daı́ y 6= ± e x 6= ±1.
2
Voltando à igualdade
y0 =
MAT146 - Cálculo I
1
1
=
.
cos y
cos(arcsen x)
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Função Arcseno
Nosso objetivo agora é efetuar a composição cos(arcsen x). Fazendo
α = arcsen x,
devemos encontrar cos α. Observe que
α = arcsen x se, e somente se, x = sen α.
Daı́,
x 2 = sen2 α
1 − x 2 = 1 − sen2 α = cos2 α
p
cos α = ± 1 − x 2
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arcseno
Como
α = arcsen x ∈
−π π
,
2 2
,
temos cos α > 0 e concluı́mos que
y0 =
MAT146 - Cálculo I
1
1
1
=
=√
,
cos(arcsen x)
cos α
1 − x2
−1 < x < 1.
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Função Arcseno
Uma maneira prática de se efetuar a composição apresentada acima
é construir um triângulo retângulo com hipotenusa 1 e um ângulo α
tal que sen α = x. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos o outro
cateto. Agora, basta encontrar cos α utilizando tal triângulo construı́do.
sen α = x
p
cos α = 1 − x 2
Note que este procedimento prático se restringe a α ∈ (0, π/2).
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Função Arcseno
Exemplo
Seja f (x) = arcsen(x 2 ). Determine f 0 (x).
Usando a regra da cadeia e sabendo a derivada da função arcseno, temos
que
f 0 (x) = p
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1
1−
(x 2 )2
· 2x = √
2x
.
1 − x4
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Função Arccosseno
Analogamente ao caso anterior temos que
f : [0, π] → [−1, 1]
dada por
f (x) = cos x
é inversı́vel. Seja
g : [−1, 1] → [0, π]
a sua inversa, ou seja,
g (x) = arccos x.
Fazendo y = g (x), devemos encontrar y 0 =
MAT146 - Cálculo I
dy
.
dx
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccosseno
Temos que
y = arccos x se, e somente se, cos y = x.
Utilizando derivação implı́cita, obtemos
− sen y · y 0 = 1.
Devemos observar primeiramente que, pela a igualdade acima, sen y 6= 0.
Daı́ y 6= ±π e assim x 6= ±1. Voltando à igualdade
y0 = −
MAT146 - Cálculo I
1
1
=−
.
sen y
sen(arccos x)
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Função Arccosseno
Devemos efetuar a composição sen(arccos x). Fazendo α = arccos x,
vamos encontrar sen α. Observe que
α = arccos x se, e somente se, x = cos α.
Daı́,
x 2 = cos2 α
1 − x 2 = 1 − cos2 α = sen2 α
p
sen α = ± 1 − x 2
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccosseno
Como
α = arccos x ∈ (0, π) ,
temos sen α > 0 e podemos garantir que
y0 = −
MAT146 - Cálculo I
1
1
1
=−
= −√
,
sen(arccos x)
sen α
1 − x2
−1 < x < 1.
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccosseno
Uma maneira prática de se efetuar a composição apresentada acima
é construir um triângulo retângulo com hipotenusa 1 e um ângulo α
tal que cos α = x. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos o outro
cateto. Agora, basta encontrar sen α utilizando tal triângulo construı́do.
cos α = x
p
sen α = 1 − x 2
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Função Arccosseno
Exemplo
Derive f (x) = arccos(x 2 − 5). Pela regra da cadeia, segue que
f 0 (x)
MAT146 - Cálculo I
= −p
1
· 2x
1 − (x 2 − 5)2
2x
= −√
4
−x + 10x 2 − 24
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arctangente
Agora vamos considerar a função inversı́vel
π π
f : − ,
→R
2 2
dada por
f (x) = tg x.
Seja
π π
g :R→ − ,
2 2
a sua inversa, ou seja,
g (x) = arctg x.
Fazendo y = g (x), devemos encontrar y 0 =
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dy
.
dx
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arctangente
Temos que
y = arctg x se, e somente se, tg y = x.
Derivando implı́citamente, obtemos
sec2 y · y 0 = 1.
Assim,
y0 =
MAT146 - Cálculo I
1
1
=
.
sec2 y
sec2 (arctg x)
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Função Arctangente
Devemos efetuar a composição sec(arctg x). Fazendo α = arctg x, devemos
encontrar sec α. Observe que
α = arctg x se, e somente se, x = tg α.
Daı́,
x 2 = tg2 α
1 + x 2 = 1 + tg2 α = sec2 α
sec2 α = x 2 + 1
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UFV
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arctangente
Assim,
y0 =
MAT146 - Cálculo I
1
1
1
=
= 2
,
sec2 (arctg x)
sec2 α
x +1
x ∈ R.
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Função Arctangente
Uma maneira prática de se efetuar a composição apresentada acima é
construir um triângulo retângulo com um cateto medindo 1 e um ângulo
α tal que tg α = x. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos o outro
cateto. Agora, basta encontrar sec α utilizando tal triângulo construı́do.
tg α = x
p
sec α = x 2 + 1
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Função Arctangente
Exemplo
1
. Para derivar esta função utilizamos a
x +1
regra da cadeia e a regra de derivação do quociente. Desta maneira,
0
1
1
0
f (x) = ·
2
x +1
1
+1
x +1
(x + 1)2
−1
=
·
(x + 1)2 + 1 (x + 1)2
1
= − 2
x + 2x + 2
Derive f (x) = arctg
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccotangente
A função
f : (0, π) → R
dada por
f (x) = cotg x
é inversı́vel. Seja
g : R → (0, π)
a sua inversa, ou seja,
g (x) = arccot x.
Fazendo y = g (x), devemos encontrar y 0 =
MAT146 - Cálculo I
dy
.
dx
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccotangente
Temos que
y = arccot x se, e somente se, cotg y = x.
Derivando implı́citamente, obtemos
− cossec2 y · y 0 = 1.
Assim,
y0 = −
MAT146 - Cálculo I
1
1
=−
.
cossec2 y
cossec2 (arccot x)
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Função Arccotangente
Devemos efetuar a composição cossec(arccot x). Fazendo α = arccot x,
devemos encontrar cossec α. Observe que
α = arccot x se, e somente se, x = cotg α.
Daı́,
x 2 = cotg2 α
1 + x 2 = 1 + cotg2 α = cossec2 α
cossec2 α = x 2 + 1
MAT146 - Cálculo I
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccotangente
Assim,
y0
=
=
=
MAT146 - Cálculo I
1
cossec2 (arccot x)
1
−
cossec2 α
1
− 2
, x ∈ R.
x +1
−
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccotangente
Exemplo
0
3
Determine f (x) para f (x) = x arccot
1
x . Pela regra da cadeia e
3
regra do produto, obtemos
f 0 (x)
MAT146 - Cálculo I
−1
1
x 2 ·
3
1+
3
x x3
= 3x 2 arctg
− 3
x2
3 1+
9
x 3
3x
.
= 3x 2 arctg
−
3
9 + x2
=
3x 2 arctg
x 3
+ x3
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arcsecante
A função
h π π i
f : 0,
∪
, π → (−∞, 1] ∪ [1, ∞)
2
2
dada por
f (x) = sec x
é inversı́vel. Seja g a sua inversa, ou seja,
g (x) = arcsec x.
Fazendo y = g (x), devemos encontrar y 0 =
MAT146 - Cálculo I
dy
.
dx
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arcsecante
Temos que
y = arcsec x se, e somente se, sec y = x.
Derivando implı́citamente, obtemos
secy · tg y · y 0 = 1.
Assim, tg y 6= 0, ou seja, y 6= 0 e y 6= π. Daı́,
1
y0 =
sec y · tg y
1
=
sec(arcsec x) · tg(arcsec x)
1
=
.
x · tg(arcsec x)
MAT146 - Cálculo I
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arcsecante
Devemos efetuar a composição tg(arcsec x). Fazendo α = arcsec x,
devemos encontrar tg α. Observe que
α = arcsec x se, e somente se, x = sec α.
Daı́,
x 2 = sec2 α
x 2 − 1 = sec2 α − 1 = tg2 α
p
tg α = ± x 2 − 1
MAT146 - Cálculo I
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arcsecante
Assim,
y0
=
=
=
=
MAT146 - Cálculo I
1
x · tg(arcsec x)
1
x · tg α
1
√
±x · x 2 − 1
1
√
, |x| > 1.
|x| · x 2 − 1
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arcsecante
Exemplo
Encontre f 0 (x), onde f (x) = arcsec(3e x ). Utilizaremos a regra da cadeia.
Assim,
f 0 (x)
=
=
=
MAT146 - Cálculo I
1
p
3e x
|3e x | (3e x )2 − 1
ex
√
e x 9e 2x − 1
1
√
2x
9e − 1
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Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccossecante
A função
h π πi
f : − , 0 ∪ 0,
→ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
2
2
dada por
f (x) = cossec x
é inversı́vel. Seja g a sua inversa, ou seja,
g (x) = arccossec x.
Fazendo y = g (x), devemos encontrar y 0 =
MAT146 - Cálculo I
dy
.
dx
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccossecante
Temos que
y = arccossec x se, e somente se, cossec y = x.
Derivando implı́citamente, obtemos
− cossec y · cotg y · y 0 = 1.
π
Assim, cotg y 6= 0, ou seja, y 6= ± .
2
MAT146 - Cálculo I
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Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccossecante
Daı́,
y0
= −
1
cossec y · cotg y
1
cossec(arccossec x) · cotg(arccossec x)
1
.
x · cotg(arccossec x)
= −
=
MAT146 - Cálculo I
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccossecante
Devemos efetuar a composição cotg(arccossec x). Fazendo α
=
arccossec x, devemos encontrar cotg α. Observe que
α = arccossec x se, e somente se, x = cossec α.
Daı́,
x 2 = cossec2 α
x 2 − 1 = cossec2 α − 1 = cotg2 α
p
cotg α = ± x 2 − 1
MAT146 - Cálculo I
UFV
Derivada da Função Inversa
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccossecante
Assim,
y0
MAT146 - Cálculo I
1
x · cotg(arccossec x)
1
= −
x · cotg α
1
√
= −
±x · x 2 − 1
1
√
= −
, |x| > 1.
|x| · x 2 − 1
= −
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Derivadas das Inversas Trigonométricas
Função Arccossecante
Exemplo
1
Determine f 0 (x), onde f (x) = x arccossec . Utilizaremos a regra do
x
produto e a regra da cadeia.






1
1
 −1

f (x) = arccossec + x − s 
2
x
x2

 1
1
−1
x x
0
1
x
1
+ r
·
x
1 1 − x2 x2
x x2
1
x
= arccossec + √
x
1 − x2
=
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arccossec
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