COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. MARCOS
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EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO
1) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede
vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, qual a distância do topo da escada ao
chão?
GABARITO:
O comprimento da escada é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela
parede, distância do topo da escada ao chão e o comprimento da escada.
Aplicando a razão do seno, temos:

sen30º =

sen30º =

d
2 ⇒ d = 1 ⇒ d = 2 × 1 = 1m
1
2 2
2
2
2) Num triângulo retângulo θ é um ângulo agudo e cosθ =
2
5
GABARITO:
Aplicando as relações fundamentais, temos:
sen 2θ + cos 2 θ = 1
2

2
2
⇒ sen θ +   = 1 ⇒

2
5
i) cos θ = 5
sen 2θ = 1 −
4
⇒ senθ =
25
25 − 4
21
=
25
5

21
21
senθ =
θ
sen
21 5
21
5 ⇒ tgθ =
ii) 
= 5 =
. =
2
cosθ
5 2
2
cosθ = 2
5
5

3) Sabendo-se que cos α= 3/5 e 0 < α< π/2, determine tgα.
GABARITO:
. Calcule senθ e tgθ.
sen 2α + cos 2 α = 1
2
9
25 − 9
16 4

3
2
2
α
=
=
⇒
sen
+
⇒ senα =
  = 1 ⇒ sen α = 1 −

3
5
25
25
25
5
α
cos
=



5

4
senα 5 4 5 4
= = . =
tgα =
cos α 3 5 3 3
5
4) De dois observatórios, localizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é
possível enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45° e 60°, conforme é
mostrado na figura abaixo.
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, calcule a altura h, em
quilômetros, do balão à superfície da Terra.
GABARITO:
Identificando os triângulos retângulos na figura, podemos aplicar as relações:
i) tg 45º = h ⇒ 1 = h ⇒ d = h
d
ii) tg 60º =
d
h
h
⇒ 3=
⇒ h = 30 3 − d 3
30 − d
30 − d
Igualando (i) e (ii), temos:
d = 30 3 − d 3 ⇒ d ( 3 + 1) = 30 3 ⇒ d =
d=
30 3
( 3 + 1)
=
(30 3 )(
)
3 −1
( 3 + 1)( 3 − 1)
30(3 − 3 ) 30(3 − 3 )
=
≅ 15(3 − 1,7) = (15) × (1,3) = 19,5km.
3 −1
2
Logo, h = d = 19,5km.
5) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um
observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação ao topo do
edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que
RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um
ângulo β em relação ao ponto Q no edifício Y.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tgα = 4 tgβ , calcule a altura h do
edifício Y, em metros.
GABARITO:
Observando os triângulos QPT e QRS, calculamos as tangentes de α e β:
QT
QS h − 10
h
e tgβ =
.
tgα =
=
=
PT PT
RS
PT
h
h − 10
= 4.
Como 3tgα = 4tgβ , temos: PT
PT
3h = 4h − 40 ⇒ h = 40m
3.
6) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de
uma escada rolante, conforme a figura a seguir. Determine a altura H, em metros,
atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento.
GABARITO:
A altura do pavimento forma um ângulo de 60º com a escada rolante. No
triângulo retângulo formado temos hipotenusa valendo 10m e cateto com mesma
medida da altura. Temos:
cat.adj H

cos 60º = hip = 10
H 1
10
⇒
= ⇒ 2 H = 10 ⇒ H =
= 5m

10 2
2
cos 60º = 1

2
7) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele
colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 210 metros do edifício e
mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do
teodolito está a 1,5 metros do solo, calcule a altura do edifício.
GABARITO:
A altura “H” do prédio será a soma da altura “h” do triângulo retângulo indicado
na figura e a distância da luneta do teodolito ao solo.
cat.op
h

tg3oº = cat.adj = 200
h
3

⇒
=
⇒ 3h = 210 3 ⇒

210
3
i) 
3
tg30 º = 3
⇒h=
210 3
= 70 3m
3
(
)
ii) H = h + 1,5 = 70 3 + 1,5 = 70(1,7) + 1,5 = 120,5m
8) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua
frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse
ponto sob o ângulo de 45º. Determine a altura aproximada da torre, em metros.
GABARITO:
Observe que foram formados dois triângulos retângulos. Em ambos o cateto
oposto aos ângulos de 30º e 45º é a altura da torre. Repare que na posição 2 o
triângulo é isósceles, logo h = d. Aplicando a razão trigonométrica da tangente
posição 1, temos:
h

3
h
tg 30º =
=
⇒ 3h = 3h + 40 3 ⇒
d + 40 ⇒

3
h
+
40
h = d
69,2
⇒ 3h − 1,73h ≅ 40(1,73) ⇒ h ≅
= 54,5
1,27
9) Nas figuras abaixo, calcule o valor da medida x. (Considere
.)
a)
x
15º
75
45º
GABARITO:
O ângulo oposto ao lado de 75 vale 180º - (15º + 45º) = 120º. Aplicando a Lei dos
Senos, temos:
x
75
=
⇒x=
sen45º sen120º
2
2 = 75 2 . 2 = 75 2 ( 3 ) = 25.(2,4) = 60
2
3
3
3. 3
2
75.
b)
76
GABARITO:
Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:
( 76 ) 2 = 4 2 + 6 2 − 2(4)(6) cos x
76 = 16 + 36 − 48 cos x
76 − 52 = −48 cos x
24
1
= − ⇒ x = 120º.
24 = −48 cos x ⇒ cos x = −
48
2
10) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB = 3km, BC= 2km e a
medida do ângulo ABC seja de 120°.
a) Calcule a medida do lado AC do triângulo.
b) Calcule o raio dessa circunferência.
GABARITO:
i) O ângulo ABC está oposto ao lado AC. Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:
2
 1
AC = (3) 2 + (2) 2 − 2(3 )(2) cos 120 º = 9 + 4 − 12. −  = 13 + 6 = 19 ⇒ AC = 19
 2
ii) Se o triângulo está inscrito na circunferência, então pela Lei dos Senos a razão
entre cada lado e o respectivo seno do ângulo oposto vale o diâmetro. Isto é, 2R.
Logo,
AC
19
2
2 19
19 3
57
.
= 2R ⇒ 2R =
⇒ 2 R = 19 .
⇒R=
=
=
3
sen120º
3
2 3
3 3
3
2
11) Algebrópolis, Geometrópolis e Aritmetrópolis são cidades do país Matematiquistão,
localizadas conforme a figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância
aproximada de Geometrópolis a Algebrópolis. Considere 2 ≅ 1,4 .
GABARITO:
Encontrando o terceiro ângulo, aplica-se a Lei dos senos:
5
x
1
2
=
⇒ x = 5.
⇒ x = 5 2 ⇒ x = 5(1,4) = 7km
sen30 º sen135 º
2
2
12) A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma
_____
rampa reta, AC , que servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra na
parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 6 m, de B a C é de 10 m e o
ângulo ABC mede 120º. Qual deve ser o valor do comprimento da rampa em metros?
GABARITO:
Aplicação da Lei dos cossenos.
x 2 = 6 2 + 10 2 − 2(6)(10) cos 120 º
 1
x 2 = 36 + 100 − 120. − 
 2
x 2 = 136 + 60 ⇒ x = 196 = 14m.
13) Complete a tabela abaixo:
ARCO
1ª
QUADRANTE
DETERMINAÇÃO
SENO
COSSENO
TANGENTE
-1395º
7π
3
GABARITO:
Utilizando as técnicas para encontrar a 1ª determinação, temos:
i) - 1395º ÷ 360º = - 3, resto - 315º
ii)
7π 6π π
=
+
3
3
3
14) Determine tgx sabendo que
3π
3
≤ x ≤ 2π e senx = − .
2
5
GABARITO:
O intervalo indicado é do 4º quadrante, onde o seno é negativo, cosseno positivo
e tangente negativa. Temos:
sen 2 x + cos 2 x = 1
2
9

 3
⇒  −  + cos 2 x = 1 ⇒ cos 2 x = 1 −
⇒ cos x =

3
25
 5
senx = −
5

3
−
senx
3 5
3
tgx =
= 5 =− × =−
4
cos x
5 4
4
5
25 − 9
16 4
=
=
25
25 5
15) Obtenha os valores reais de m para que se possa ter cos x =
2m − 3
.
4
GABARITO:
Considerando que − 1 ≤ cos x ≤ 1 , é necessário verificar as condições de m para as
duas situações e informar a interseção dos intervalos:
2m − 3
1

− 1 ≤ 4 ⇒ −4 ≤ 2m − 3 ⇒ −4 + 3 ≤ 2m ⇒ −1 ≤ 2m ⇒ − 2
⇒ −1 ≤ m ≤ 7 → m ∈ IR .

 2 m − 3 ≤ 1 ⇒ 2 m − 3 ≤ 4 ⇒ 2m ≤ 3 + 4 ⇒ 2 m ≤ 7 ⇒ m ≤ 7
 4
2
16) Sabendo que 2senx + 5 cos x = 0 ,
π
2
< x < π , obtenha senx e cos x .
GABARITO:
O intervalo indicado corresponde ao 2º quadrante, onde senx > 0 e cos x < 0 .
Expressando senx em função de cosx e aplicando a relação fundamental, temos:
5 cos x

2
25 cos 2 x
2senx + 5 cos x = 0 ⇒ senx = −
 5 cos x 
2
⇒ −
+ cos 2 x = 1 ⇒
2
 + cos x = 1 ⇒

2
4


2
2
sen x + cos x = 1

4
⇒ 25 cos 2 x + 4 cos 2 x = 4 ⇒ 29 cos 2 x = 4 ⇒ cos 2 x =
29
i) cos x =
4
2
2 29
=−
=−
<0
29
29
29
 2 29 

5 −
29 
5 cos x
10 29  1  5 29

ii)senx = −
=−
=−
. −  =
>0
2
2
29  2 
29
17) Se x =
3 cos x − 2 senx + tg 2 x
2π
, calcule o valor da expressão y =
.
3
tgx − 2 sen 2 x + cos 4 x
GABARITO:
Substituindo o valor do argumento nas funções da expressão, temos:
 1   3 
 4π 
 3   2 3 
 2π 
 2π 
 2π 
3 −  − 2
+ tg 
+ 3

−  − 
3 cos
 − 2 sen
 + tg 2


 2  2 
 3 
 2   2 
3 
3 
3 



=
=
y=
 2π 
 2π 
 2π 
 4π 
 8π 

3  1
tg 
 − 2 sen 2
 + cos 4
 − 3 − 2 sen
 + cos  − 3 − 2 −

 2  +  − 2 
 3 
 3 
 3 
 3 
 3 


( )
(
)
(
)
−3− 2 3 + 2 3 −3
−3 2
2
= 2 =
.
=3
y=
2 −1
− 2 3 + 2 3 −1 −1
2
2
18) Sabendo que tgx = 2 e π < x <
y=
3π
, calcule o valor da expressão
2
2 sec x. cos sec x
.
3 cot gx
GABARITO:
O intervalo aberto indicado é o 3º quadrante. Escrevendo a expressão em termos
de senos e cossenos e substituindo o valor informado, vem:
 1  1 
2
2
.

2
2 1  2
2 sec x. cos sec x
senx
cos x   senx  cos x.senx
2
=
=
.
= .
y=
= 
 = . sec x
2
3 cos x
3 cot gx
cos x.senx 3 cos x 3  cos x  3
 cos x 
3

senx
 senx 
2
2
2
10
y = . 1 + tg 2 x = . 1 + 2 2 = .(5) =
3
3
3
3
(
)
(
)
19) Determine o valor das expressões:
sec 2040º − cos sec(
a) E =
cot g 585º
41π
)
6
GABARITO:
Encontrando os valores para os arcos côngruos, temos:
1
1
= − = −2
1
cos 240º
2
41π 36π 5π
5π
41π
5π
1
1
⇒ cos sec
= cos sec
=
= =2
ii)
=
+
= 6π +
5
π
1
6
6
6
6
6
6
sen
6
2
1
1
iii) 585º = 360º×(1) + 225º ⇒ cot g585º = cot g225º =
= =1
tg225º 1
i) 2040º = 360º×5 + 240º ⇒ sec 2040º = sec 240º =
sec 2040º− cos sec
iv )
cot g585º
41π
6 = − 2 − 2 = −4
1
b) E =
GABARITO:
Encontrando os valores para os arcos côngruos, temos:
1
1
= − = −2
1
cos 120º
2
π
9π 8 π π
π
9π
1
1
= cot g =
= =1
ii)
=
+ = 2π + ⇒ cot g
π 1
4
4 4
4
4
4
tg
4
i) 1200º = 360º×3 + 120º ⇒ sec 1200º = sec 120º =
iii) − 3750º = 360º×( −9) − 210º ⇒ cos sec(−3750º ) = cos sec(−210º ) = cos sec(150º ) =
9π
4 = − 2 −1 = − 3 = 3
iv )
cos sec(−3750º )
−2
−2 2
sec 1200º − cot g
20) Se cos α =
3
senα + tgα
e 3π/2 < α < 2π, calcule E =
.
5
cot gα
GABARITO:
O arco é do 4º quadrante onde senα < 0, tgα < 0 e cotgα < 0.
Utilizando as relações trigonométricas, temos:
1
1
= − = −2
1
sen150º
2
sen 2 α + cos 2 α = 1
2
9
25 − 9
16
4

3
2
i) 
⇒ sen α +   = 1 ⇒ sen 2 α = 1 −
⇒ senα = −
=−
=−
3
25
25
25
5
5
cos α =
5

4
−
senα
4
 45
ii) tgα =
= 5 =  − .  = −
3
cos α
3
 53
5
1
1
3
iii) cot gα =
=
=−
4
tgα
4
−
3
4  4
− +  −  − 12 − 20 − 32
senα + tgα
5  3
32 4 128
15
iv ) E =
. =
=
=
= 15 =
3
3
3
cot gα
15 3
45
−
−
−
4
4
4
21) Se
e
, calcule os valores de
,
.
GABARITO:
O arco x pertence ao 2º quadrante onde a cotg < 0; secx < 0 e cossecx > 0.
Utilizando as relações trigonométricas, temos:
1

cos sec x = senx
1 3
i) 
⇒ cos sec x = =
2 2
senx = 2

3
3
sen 2 x + cos 2 x = 1
2
4
9−4
5
5

 2
ii) 
⇒
+ cos 2 x = 1 ⇒ cos 2 x = 1 − ⇒ cos x = −
=−
=−


2
9
9
9
3
3
senx =
3

⇒ sec x =
1
=
cos x
cos x
iii) cot gx =
=
senx
1
−
−
5
3
=−
3
5
=−
3
5
.
5
5
=−
3 5
5
5
3 =  − 5 . 3  = − 5
 3   2 
2
2


3
22) Resolva as equações abaixo:
a) 2 cos x − 3 = 0
GABARITO:
Analisando as soluções da equação, temos:

π
x = + 2kπ
6

3
2 cos x − 3 = 0 ⇒ 2 cos x = 3 ⇒ cos x =
⇒ ou
;k ∈ Z
2

x = − π + 2kπ ⇒ x =  2π − π  + 2kπ

6
6

e
π
11π

Logo, S =  x ∈ IR / x = + 2kπ ∨ x =
+ 2kπ ; k ∈ Z 

6
6

2
b) 2 sen x + 3senx − 2 = 0
GABARITO:
Essa é uma equação do 2º grau. Substituindo senx = y , temos:
2 sen 2 x + 3senx − 2 = 0 ⇒ 2 y 2 + 3 y − 2 = 0 ⇒ y =
− 3 ± 3 2 − 4(2)(−2) − 3 ± 9 + 16 − 3 ± 5
=
=
⇒
2(2)
4
4

π
−3+5 2 1
 x = + 2kπ

6

 y = 4 = 4 = 2
1
⇒
⇒ senx = ⇒ ou
2
 y = − 3 − 5 = − 8 = −2 < −1 → indefinido

π
5π

 x =  π −  + 2kπ =
4
4
+ 2kπ

6
6

.
5π
π


+ 2kπ ; k ∈ Z  .
Logo, S =  x ∈ IR / x = + 2kπ ∨ x =
6
6


π

− x = 0
3

c) 2 cos
GABARITO:
π π

π
− x = − + + 2kπ
+ 2 kπ


π
2

π

π

3 2
2 cos − x  = 0 ⇒ cos − x  = 0 ⇒ − x = 
⇒
⇒
3
π
π
3
π
3
3

3

 + 2 kπ  − x = − +
+ 2 kπ
 2

3 2

π

11π
π
π



x =  2 π −  + 2kπ
x
2
k
x
2
k
x=
−
=
+
π
=
−
+
π
+ 2 kπ



6






6
6
6
⇒
⇒
⇒
=
− x = 7 π + 2kπ x = − 7 π + 2kπ x =  2π − 7 π  + 2kπ x = 5π + 2kπ

6
6
6



6 

x
d) 4 + 8sen  = 0
2
GABARITO:
 x 7π
 2 = 6 + 2kπ
4
1
x
x
x
x
4 + 8sen  = 0 ⇒ 8sen  = −4 ⇒ sen  = − ⇒ sen  = − ⇒ 
⇒
8
2
2
2
2
2
 x = 11π + 2kπ
 2
6

 7π 
7π
π

x=
+ 4kπ ≡ + 4kπ
x = 2. 6  + 4kπ

π
5π

 



3
3
⇒
⇒
⇒ S =  x ∈ IR / x = + 4kπ ou x =
+ 4kπ
3
3


x = 2. 11π  + 4kπ
 x = 11π + 4kπ ≡ 5 π + 4kπ


3
3

 6 
e) cos(2x) =
GABARITO:
2π
π

2x = 3 + 2kπ ⇒ x = 3 + kπ

1
cos(2x ) = − ⇒ ou
2

4π
2π
2 x =
+ 2kπ ⇒ x =
+ kπ
3
3

π
2π


S =  x ∈ IR / x = + kπ ou x =
+ kπ; k ∈ Z
3
3


f) 2 cos 2 x − 3 cos x + 1 = 0 com 0 ≤ x ≤ π .
GABARITO:
3 −1 1

=
cos x =

±
−
3
9
4
(
2
)(
1
)
±
±
3
1
3
1

4
2⇒
2 cos 2 x − 3 cos x + 1 = 0 ⇒ cos x =
=
=
⇒
2( 2)
4
4
3
+
1
cos x =
=1
4


π


k = 0 ⇒ x = 3
π
i) x = + 2kπ → 
3

k = 1 ⇒ x = π + 2π = 7 π > π → Fora

π



3
3

x = 3 + 2kπ

1
cos x = ⇒ 
5π
5π

⇒
2
x = 5π + 2kπ ⇒ ii) x = 3 + 2kπ → k = 0 ⇒ x = 3 > π → Fora



3


k = 0 ⇒ x = 0
cos x = 1 ⇒ x = 0 + 2kπ
iii) x = 0 + 2kπ → 
k = 1 ⇒ x = 0 + 2π = 2π > π → Fora




 π
⇒ S = 0, 
 3
g) 2.(cosx)2 + 3.(cosx) – 2 = 0, com 0 < x < 2π.
GABARITO:
Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
−3−5

cos x = 4 = −2 → Fora
− 3 ± 9 − 4(2)( −2) − 3 ± 25 − 3 ± 5
i) cos x =
=
=
⇒
2( 2)
4
4
cos x = − 3 + 5 = 2 = 1

4
4 2

π

k =0⇒x=


π

3
x = + 2kπ ⇒ 
3

k = 1 ⇒ x = π + 2π = 7π > 2π → Fora


3
3

1
ii) cos x = ⇒ ou
2

5π


k=0⇒x=

3
x = 5π + 2kπ ⇒ 


3
k = 1 ⇒ x = 5π + 2π = 11π > 2π → Fora


3
3

 π 5π 
Solução :  , 
3 3 