Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
MATEMÁTICA
MÓDULO 45
TRIGONOMETRIA II
1. Considere a equação
(3 – 2
cos2
x) 1 +
tg2
x
a) (3 – 2 . cos2x) . 1 + tg2 –––
2
⇔ (3 – 2 .
cos2x)
.
sec2
2)
π
cos ––
0
π
π
2
Para x = ––– → cotg ––– = –––––– = ––– = 0
π
1
2
2
sen ––
2
3)
5π
Para x = ––– →
6
x – 6 tg –––
x = 0.
–––
2
2
a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[.
b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x.
RESOLUÇÃO:
π
3
cos ––
–––––
π
6
2
→ cotg ––– = –––––– = ––––––
= 3
π
6
1
sen ––
––
6
2
x
– 6 . tg ––– = 0 ⇔
2
x
sen ––
x
2
––– – 6 . ––––––– = 0 ⇔
x
2
cos ––
2
x
sen ––
3–2.
2
⇔ –––––––––––– – 6 . ––––––– = 0
x
x
cos ––
cos2 ––
2
2
3
5π
– ––––
cos –––
5π
2
6
→ cotg ––– = ––––––– = –––––– = – 3
5π
1
6
sen –––
––
2
6
π
π
5π
Respostas: a) x = ––– ou x = ––– ou x = –––
2
6
6
3 ou cotg x = 0 ou cotg x = – 3
b) cotg x = cos2x
x
x
3 – 2 . cos2x – 6 . sen –– . cos ––
2
2
⇔ –––––––––––––––––––––––––––––––
=0⇔
x
2
cos ––
2
3 – 2 . cos2x – 3 . sen x
⇔ ––––––––––––––––––––––– = 0 ⇔
x
cos2 ––
2
x
⇔ 3 – 2 . (1 – sen2x) – 3 . sen x = 0, com cos ––– ≠ 0 ⇔
2
⇔ 2 . sen2x – 3 . sen x + 1 = 0 ⇔
1
⇔ sen x = 1 ou sen x = –––
2
No intervalo [ 0; π [, resulta:
π
π
5π
x = ––– ou x = ––– ou x = –––
6
2
6
cos x
b) Sendo cotg x = –––––– , temos:
sen x
π
1) Para x = ––– →
6
–1
2. Sobre a equação tg x + cotg x = 2 sen 6x podemos
afirmar que:
π
a) Apresenta uma raiz no intervalo 0 < x < –––
4
π
b) Apresenta duas raízes no intervalo 0 < x < –––
2
π
c) Apresenta uma raíz no intervalo ––– < x < π
2
3. Seja a um número real não nulo, satisfazendo –1 ≤ a ≤ 1.
Se dois ângulos agudos de um triângulo são dados por
1
arc sen a e arc sec –– , então o seno trigonométrico do
a
terceiro ângulo desse triângulo é igual a:
1
a) ––
3
1
b) ––
3
3
c) –––
2
d) 1
2
e) –––
2
3π
d) Apresenta uma raíz no intervalo π < x < –––
2
RESOLUÇÃO:
e) Não apresenta raízes reais.
Se:
RESOLUÇÃO:
1. α = arc sena ⇔ sen α = a
1
1
2. β = arc sec –– ⇔ sec β = –– ⇔ cos β = a então:
a
a
1
Observamos que tg x + cotg x = tg x + ––– ≥ 2 ou
tg x
1
tg x + cotg x = tg + ––– ≤ – 2.
tg x
Como –2 ≤ 2 sen 6x ≤ 2 a igualdade tg x + cotg x = 2 sen 6x somente
é viavel se:
π
sen α = cos β ⇔ α + β = –– (α, β agudos)
2
π
Assim: γ = π – (α + β) = –– ⇔ sen γ = 1
2
Resposta: D
(tg x = 1 e sen 6x = 1) ou (tg x = –1 e sen 6x = –1) mas
π
(tg x = 1 ⇔ x = ––– + kπ ⇔
4
π
3π
⇔ sen 6x = sen 6 ––– + kπ = sen ––– + 6kπ ≠ 1
4
2
3π
tg x = –1 ⇒ x = ––– + kπ ⇒
4
3π
9π
⇒ sen 6x = sen 6 ––– + kπ = sen ––– + 6kπ ≠ – 1
4
2
Logo a equação tg x + cotg x = 2 . sen 6x não admite solução real.
Resposta: E
2–
Sejam α, β e γ os ângulos internos de um triângulo.
4. Num triângulo ABC considere conhecidos os ângulos
^
^
BAC e C BA e a medida d do lado AB. Nestas condições,
a área S deste triângulo é dada pela relação:
d2
a) S = ––––––––––––––––
2 sen(BÂC + CB̂A)
d2 (sen BÂC) ( sen CB̂A)
b) S = ––––––––––––––––––––
2 sen(BÂC + CB̂A)
d2 sen CB̂A
c) S = ––––––––––––––––
2 sen(BÂC + CB̂A)
d2 sen BÂC
d) S = ––––––––––––––––
2 cos(BÂC + CB̂A)
d2 (sen BÂC) (sen CB̂A)
e) S = ––––––––––––––––––––
2 cos(BÂC + CB̂A)
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 46
TRIGONOMETRIA II
1. (ITA) – O conjunto-solução de
(tg2x – 1)(1 – cotg2x) = 4, x ≠ kπ/2, k ∈ ⺪, é:
a) {π/3 + kπ/4, k ∈ ⺪}
b) {π/4 + kπ/4, k ∈ ⺪}
c) {π/6 + kπ/4, k ∈ ⺪}
d) {π/8 + kπ/4, k ∈ ⺪}
e) {π/12 + kπ/4, k ∈ ⺪}
RESOLUÇÃO:
π
Para x ≠ k ––– , k ∈ ⺪, temos:
2
(tg2x – 1) (1 – cotg2x) = 4 ⇔
(sen2x – cos2x)
(sen2x – cos2x)
––––––––––––––– = 4 ⇔
⇔ –––––––––––––––
.
cos2x
sen 2x
⇔ (sen2x – cos2x) 2 = 4 sen 2 x cos2 x ⇔
⇔ cos2 (2x) = sen 2 (2x) ⇔ tg 2 (2x) = 1 ⇔
π
π
⇔ tg (2x) = ± 1 ⇔ 2x = ––– + k . ––– , k ∈ ⺪ ⇔
2
4
π
π
⇔ x = ––– + k . ––– , k ∈ ⺪
4
8
O conjunto-solução da equação é:
–––8 + k . –––4 , k ∈ ⺪ π
a) No ∆ ABH (retângulo em H), temos:
h
sen BÂC –– ⇔ h = d . (sen BÂC)
d
π
Resposta: D
b) Aplicando a Lei dos Senos no ∆ ABC, temos:
d
b
–––––––– = –––––––– ⇔
sen AĈB
sen CB̂A
d
b
⇔ –––––––– = –––––––––––––––––––––– ⇔
o
sen CB̂A sen [180 –(BÂC + CB̂A)]
d . (sen CB̂A)
b
d
⇔ –––––––– = –––––––––––––––– ⇔ b = –––––––––––––––
sen CB̂A
sen (BÂC + CB̂A)
sen (BÂC + CB̂A)
d . (sen CB̂A)
––––––––––––––––– . d (sen BÂC)
sen (BÂC + CB̂A)
b.h
c) S∆ ABC = –––– = –––––––––––––––––––––––––––––––– ⇔
2
2
d2 . (sen BÂC) . (sen CB̂A)
⇔ S∆ ABC = –––––––––––––––––––––––––
2 . sen (BÂC + CB̂A)
Resposta: B
–3
tg22α – tg2α
2. Prove que ––––––––––––– = tg3α . tg α
1 – tg22α . tg2α
MÓDULO 47
TRIGONOMETRIA II
RESOLUÇÃO:
(tg2α + tg α).(tg2α – tg α)
tg22α – tg2α
–––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––– =
(1 – tg2α . tg α).(1 + tg2α . tg α)
1 – tg22α . tg2α
(tg2α + tg α)
(tg2α – tg α)
= ––––––––––––––– . ––––––––––––––– = tg3α . tg α
(1 – tg2α . tg α)
(1 + tg2α . tg α)
Resposta: Demonstração
1. A equação [ sen (cos x) ] . [ cos (sen x) ] = 1 é satisfeita
para
π
a) x = ––
4.
b) x = 0.
c) nenhum valor de x.
d) todos os valores de x.
e) todos os valores de x pertencentes ao terceiro
quadrante.
RESOLUÇÃO:
[sen(cos x)] . [cos(sen x)] = 1 ⇔ (sen(cos x) = 1 e cos(sen x) = 1) ou
3. O valor do sen 47° + sen 61° – sen 11° – sen 25° é igual
a:
a) cos 47°
b) sen 25°
c) cos 18°
d) sen 12°
e) cos 7o
Resposta: C
25o – 11o =
61o + 47o . cos ––––––––
61o – 47o – 2sen ––––––––
25o + 11o . cos ––––––––
= 2 sen ––––––––
2
2
2
2
= 2sen 54o . cos 7o – 2sen 18 . cos 7o =
= 2 . cos 7o . (sen 54o – sen 18o) =
54o + 18o =
54o – 18o . cos ––––––––
= 2 . cos 7o . 2 sen ––––––––
2
2
= 2 . cos 7o . 2 sen 18o. cos 36o =
2 . sen 18o . cos 18o . cos 36o
= 2 . cos 7o ––––––––––––––––––––––––– =
cos 18o
sen36o cos36o
2 . sen36o cos36o
= 2 . cos 7o . –––––––––––––– = cos 7o . ––––––––––––––––
=
cos18o
cos18o
sen72o
= cos 7o . –––––––
= cos 7 . 1 = cos 7o, pois sen 72o = cos 18o
cos18o
Resposta: E
4–
/
⇔ ∃ x, pois, para qualquer valor de k, p, m, n ∈ ⺪, tem-se
cos x ∉ [– 1;1].
RESOLUÇÃO:
sen 47o + sen 61o – sen 11o – sen 25o =
= (sen 61o + sen 47o) – (sen 25o + sen 11o) =
π
(sen(cos x) = – 1 e cos(sen x) = – 1) ⇔ cos x = –– + 2kπ e sen x = 2pπ
2
3π
ou (cos x = –– + 2mπ e sen x = π + 2nπ), com k, p, m, n ∈ ⺪ ⇔
2
2. Sabendo que tg2
1
1
x + –– π = ––– , para algum
2
6
3. O valor de
tg10x – 5tg8x sec2x + 10tg6x sec4x – 10tg4x sec6x +
π , é:
+ 5tg2x sec8x – sec10x, para todo x ∈ 0, ––
2
1
x ∈ 0, –– π , determine sen x.
2
a) 1
RESOLUÇÃO:
tg2
π
x + ––
6
1
= ––– ⇒ tg
2
2
, pois:
= –––––
2
π
x + ––
6
π
π
2π
––– ≤ x + ––– ≤ –––
6
6
3
Assim:
d) – 1
– sec2x
b) –––––––––
1 + sen2x
e) zero
c) – sec x + tg x
RESOLUÇÃO:
π
Para x ∈ 0; –– temos:
2
tg10x – 5tg8x sec2x + 10tg6x sec4x – 10 tg4x sec6x +
π
3
tg x + ––––
tg x + tg ––
3
2
2
6
–––––––––––––––– = –––– ⇔ –––––––––––––– = –––– ⇔
2
2
π
3
1 – tg –– tg x
1 – –––– . tg x
6
3
2
3
6
2 – –––– tg x ⇔
⇔ 2 tg x + ––––– = 3
3
+ 5tg2x sec8x – sec10x = (tg2x – sec2x)5 =
sen2x
1
= ––––– – –––––
2
cos x cos2x
5
sen2x – 1
5
5
= –––––––
= ––––––––
cos2x cos2x – cos2x
=
= (– 1)5 = – 1
Resposta: D
3 = 3
2 – 6 tg x ⇔
⇔ 6 tg x + 2
⇔ (6 + 6 ) tg x = 3 2 – 2 3 ⇔
2 – 2
3
3 – 2
3
⇔ tg x = –––––––––––– ⇔ tg x = ––––––––––
6
6 + 6 + 1
π
2) Como 0 < x < ––– , podemos então montar o seguinte triângulo
2
retângulo:
do qual podemos concluir que:
3 – 3 – 2
6
sen x = ––––––––––– ⇔ sen x = ––––––––
6
3
2 3 – 6
Resposta: ––––––––
6
–5
MÓDULO 48
TRIGONOMETRIA II
13 – 1
13 – 1
ex = ––––––––– ⇔ x = log e ––––––––
2
2
>0
Dessa forma, a equação admite uma única solução, e esta é positiva.
1. A equação em x,
arctg (ex + 2) – arccotg
ex
––––––
e2x – 1
= ––4 , x ∈ ⺢ \ {0},
π
a) admite infinitas soluções, todas positivas.
b) admite uma única solução, e esta é positiva.
c) admite três soluções que se encontram no intervalo
– –––2, –––2 .
3
5
d) admite apenas soluções negativas.
e) não admite solução.
RESOLUÇÃO:
π
π
Com – ––– < a < ––– e 0 < b < π, temos:
2
2
6
2α
α
2. O valor da soma ∑ sen –––
sen –––
n
n , para todo
3
3
n=1
α ∈ ⺢, é igual a
1) a = arc tg (ex + 2) ⇔ tg a = ex + 2
ex
2) b = arc cotg ––––––––
e2x – 1
ex
⇔ cotg b = ––––––– ⇔
e2x – 1
e2x – 1
⇔ tg b = –––––––
ex
e2x – 1
––––––––
ex
e2x – 1
= 1 + (ex + 2) . ––––––––
ex
= 1 + (y + 2) .
y2 – 1
–––––– ⇔
y
⇔ y2 + 2y – y2 + 1 = y + y3 – y + 2y2 – 2 ⇔
– 1 + 13
⇔ y = – 1 ou y = –––––––––– ou y =
2
Como y > 0, a única possibilidade e
6–
α
α
c) cos –––– – cos –––– .
243
729
13
– 1 + –––––––––––
2
13
– 1 – ––––––––––
2
α
e) cos –––– – cos α.
729
RESOLUÇÃO:
Lembrando que cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a . sen b, temos:
cos
+
––––
3
2α
n
⇔ y3 + 2y2 – 2y – 3 = 0 ⇔ (y + 1) . (y2 + y – 3) = 0 ⇔
Portanto:
fizermos ex = y, resulta:
y=
α
1
α
d) ––– cos –––– – cos –––– .
729
243
2
Se, na equação:
tg a – tg b
⇔ ––––––––––––– = 1 ⇔ tg a – tg b = 1 + tg a . tg b
1 + tg a . tg b
y2 – 1
(y + 2) – ––––––
y
1
α
α
b) ––– sen –––– – sen –––– .
243
729
2
π
3) a – b = –– ⇔ tg (a – b) = tg (π/4) ⇔
4
(ex + 2) –
1
α
a) ––– cos –––– – cosα .
729
2
= –2 sen
α
––––
3n
– cos
–
––––
3
2α
n
α
––––
3n
=
α
2α
–––
. sen –––
⇔
3
3
n
n
⇔ cos
3α
α
2α
α
– cos ––– = – 2sen ––– . sen ––– ⇔
–––
3
3
3
3
⇔ sen
α
2α
3α
α
. sen ––– = ––– cos ––– – cos ––– ⇔
–––
2
3
3
3
3
n
n
n
n
1
n
n
n
n
Desta forma:
6
=
6
α
1
α
2α
3α
–– cos ––– – cos –––
∑
sen ––– . sen –––
=
n
n
n
2
3
n=1
3
3
3n
n=1
∑
1
= –––
2
cos
–––α3 – cos α +
α
cos ––– +
9
α
α
cos ––– + cos ––– –
81
729
+
α
cos ––– –
27
+
α
cos ––– –
243
1
= –––
2
α
cos ––– –
9
α
cos ––– +
3
α
cos ––– –
81
α
cos ––– +
27
3
⇔ tg α = 0 ou tg2α = 3 ⇔ tg α = 0 ou tg α = ± π
π
⇔ α = 0 ou α = –– , pois α ∈ 0; –– 2
3
2tg α
2) tg α . tg(2α) = – 1 ⇔ tg α . –––––––– = – 1 ⇔
1 – tg2α
/
⇔ 2tg2α = –1 + tg2α ⇔ tg2α = – 1 ⇒ ∃α, pois tg2α ≥ 0
π
Resposta: 0; –– 3
=
α
cos –––
243
– cos α
cos ––––
729
α
4. Resolva a equação 2 sen 11x + cos 3x + 3 sen 3x = 0.
RESOLUÇÃO:
2sen 11x + cos 3x + 3 sen 3x = 0 ⇔
⇔ 2sen 11x = – cos 3x – 3 sen 3x ⇔
3 sen 3x ⇔
1 cos 3x – –––
⇔ sen 11x = – ––
2
2
π . cos 3x + cos ––
π . sen 3x ⇔
⇔ sen 11x = – sen ––
6
6
π + 3x ⇔ sen 11x = sen – ––
π
⇔ sen 11x = – sen ––
6 – 3x ⇔
6
π
π – 3x + 2kπ ou 11x = π – – ––
⇔ 11x = – ––
6 – 3x + 2kπ ⇔
6
kπ
kπ
π
7π
⇔ x = – ––– + ––– ou x = ––– + ––– , com k ∈ ⺪
7
4
84
48
Resposta:
3. (IME) – Resolva a equação tg α + tg (2α) = 2 tg (3α),
sabendo-se que α ∈ [0, π/2).
kπ
π
kπ
7π
V = x ∈ ⺢ x = – ––– + ––– ou x = ––– + ––– , com k ∈ ⺪
7
84
4
48
RESOLUÇÃO:
tg α + tg (2α) = 2tg (3α) ⇒ tg α + tg (2α) = 2 tg (α + 2α) ⇒
tg α + tg(2α)
⇒ (tg α + tg 2α) = 2 . –––––––––––––– ⇔
1 – tg α . tg(2α)
⇔ tg α + tg 2α = 0 ou tg α . tg(2α) = –1
2tg α
1) tg α + tg 2α = 0 ⇒ tg α + –––––––– = 0 ⇒
1 – tg2α
– tg3α + 3tg α
⇒ ––––––––––––––– = 0 ⇔ tg3α – 3tg α = 0 ⇔
1 – tg2α
–7
exercícios-tarefa
■ MÓDULO 45
■ MÓDULO 46
π
2
1. (ITA) – Seja a um número real tal que a ≠ –– + k . π,
em que k ∈ ⺪. Se (x0; y0) é solução do sistema
{
( 2 sec a) . x + (3 tg a) . y = 2 . cos a
,
( 2 tg a ) . x + ( 3 sec a ) . y = 0
então podemos afirmar que
2
4
c) x0 – y0 = 0
d) x0 + y0 = 0
(
1. O número de raízes reais da equação
5
( ––3 x0)2 – (y0)2 = ––9 . cos2 a + 2
e)
■ MÓDULO 47
Σ (cos x)2n = 5, no intervalo [0; 4π], é
n=1
a) x0 + y0 = 3 – 2 sen a
b)
1.
1. Mostre que sen18o . cos 36o = ––
4
a) 2
b) 3
)
d) 5
e) 6
4π , 0 ≤ α ≤ β,
2. Se os números reais α e β, com α + β = –––
3
maximizam a soma sen α + sen β, então α é igual a
π 3
a) ––––– .
3
2
4
–– x0 2 – (y0)2 = –– . cos2 a
3
9
c) 4
2π
b) ––– .
3
3π
c) ––– .
5
5π
d) ––– .
8
7π .
e) –––
12
■ MÓDULO 48
sen θ , 0 < θ , π, é idêntica a
2. A expressão ––––––––
1 + cos θ
θ
θ
θ
a) sec ––
b) cosec ––
c) cotg ––
2
2
2
1. Resolver em ⺢, a equação
θ
d) tg ––
2
π
2. Resolver, em ⺢, a equação arccos x – arcsen x = –––
6
θ
e) ––
2
5sen2x + 3senx . cosx + 6cos2x = 5
resolução dos exercícios-tarefa
■ MÓDULO 45
2) Sabe-se que:
1)
––
sen θ = 2 . sen ––
2 . cos 2
⇔
θ
{
{
(2 sec a)x + (3 tg a)y = 2 cos a
(2 tg a)x + (3 sec a) y = 0
⇔
4 sec2a x2 + 12 sec a . tg a xy + 9 tg2a y2 = 4 cos2a
⇔
4 tg2a x2 + 12 sec a . tg a xy + 9 sec2a y2 = 0
⇔ 4(sec2a – tg2a)x2 + 9(tg2a – sec2a)y2 = 4 cos2a ⇒
2
⇒ 4x2 – 9y2 = 4 cos2a ⇔ –––x
3
2
4
– y2 = ––– cos2a
9
Se (x0;y0) é solução do sistema, então
x
–––
3 0
2
2
4
– (y0)2 = ––– cos2a
9
Resposta: E
θ
θ
2 ––
cos θ = cos2 ––
2 – sen 2
θ
θ
2 ––
sen2 ––
2 + cos 2 = 1
θ
π
––
Assim, para 0 < θ < π ⇔ 0 < ––
2 < 2 , tem-se:
θ
θ
2 . sen –– . cos ––
sen θ
2
2
–––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––– =
θ
θ
θ
θ
1 + cos θ
sen2 –– + cos2 –– + cos2 –– – sen2 ––
2
2
2
2
θ
θ
θ
2 . sen –– . cos ––
sen ––
2
2
2
θ
= ––––––––––––––––– = –––––––––– = tg ––
θ
θ
2
cos ––
2 . cos2 ––
2
2
Resposta: D
8–
θ
■ MÓDULO 46
2) Fazendo a = arccos x temos cos a = x, com
sen 18° . cos 18° . cos 36°
1) sen 18° . cos 36° = –––––––––––––––––––––– =
cos 18°
2 . sen 18° . cos 18° . cos 36°
1
= –– . –––––––––––––––––––––––––– =
cos 18°
2
1 . 1 . 2 . sen 36° cos 36°
1
sen 72°
= ––
––
–––––––––––––––– = –– . ––––––– =
2
2
4
cos 18°
cos 18°
1
1
= –– . 1 = –– , pois sen 72o = cos 18o
4
4
Resposta: Demonstração
3 ⇔
1 – x2 + 1 – x2 . x = –––
⇔ x . 2
■ MÓDULO 47
1 – x2 = 3 ⇔ 16x2(1 – x2) = 3 ⇔
⇔ 4 . x . 1 ou x = – ––
1 ou
⇔ 16x4 – 16x2 + 3 = 0 ⇔ x = ––
2
2
1) Como 0 ≤ (cos x)2n ≤ 1, tem-se que
5
∑ (cos x)2n = 5 ⇔ (cos x)2 = 1 ⇔ cos x = ± 1 ⇔ x = 0,
n=1
x = π, x = 2π, x = 3π ou x = 4π, pois x ∈ [0; 4π]
3 ou x = – 3
x = –––
–––
2
2
Como durante a resolução tivemos que elevar a
equação ao quadrado, devemos experimentar as
respostas obtidas.
Resposta: D
2)
α+β
α–β
cos –––––
1) sen α + sen β = 2 sen –––––
2
2
4π
α + β = –––
3
1 – x2.
0 ≤ a ≤ π e sen a = Fazendo b = arcsen x temos sen b = x, com
π ≤ b ≤ ––
π e cos b = 1 – x2.
– ––
2
2
π ⇔
Desta forma, arccos x – arcsen x = ––
6
π ⇔ cos(a – b) = cos ––
π ⇔
⇔ a – b = ––
6
6
3 ⇔
⇔ cos a . cos b + sen a . sen b = –––
2
⇒
α–β
2π
⇒ sen α + sen β = 3 cos ––––– = 3 cos α – –– 2
3
2π
2) sen α + sen β = 3 . cos α – –– é máximo para
3
2π
2π
α – –– = 0 ⇒ α = ––
3
3
■ MÓDULO 48
1) 5sen2x + 3sen x . cos x + 6cos2x = 5 ⇔
⇔ 5.(1 – cos2x) + 3sen x . cos x + 6cos2x = 5 ⇔
⇔ 3sen x . cos x + cos2x = 0 ⇔
1 ⇔ arccos x – arcsen x =
Para x = ––
2
π – ––
π = ––
π
1 – arcsen ––
= arccos ––
12 = ––
3
6
6
2
1 ⇔ arccos x – arcsen x =
Para x = – ––
2
1 – arcsen – ––
2π – – ––
π =
= arccos– ––
12 = –––
2
3 6
π
5π ≠ ––
= –––
6
6
3 ⇔ arccos x – arcsen x =
Para x = –––
2
π =
π – ––
3 – arcsen –––
3 = ––
= arccos –––
6 3
2 2 π ≠ ––
π
= – ––
6
6
3 ⇔
⇔ cos x = 0 ou tg x = – –––
3
π + kπ ou x = – ––
π + kπ
⇔ x = ––
2
3
3 ⇔ arccos x – arcsen x =
Para x = – –––
2
3 – arcsen – –––
3 = 5π – – π =
= arccos– –––
–– –– 2 2 6
3
7π
π
1
= ––– ≠ –– , portanto, apenas x = –– é solução.
6
6
2
Resposta:
π + kπ ou x = – ––
π + kπ, com k ∈ ⺞}
V = {x ∈ ⺢ x = ––
2
3
1
Respostas: V= ––
2
⇔ cos x = 0 ou 3sen x + cos x = 0 ⇔
–9
10 –