CÁLCULO L1 — NOTAS DA SEXTA AULA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Resumo. Nesta aula definiremos as demais funções trigonométricas, que são obtidas a
partir das funções seno e cosseno, e determinaremos suas derivadas.
1. As funções tangente e secante
As expressões para as funções tangente e secante são
sen X
tg X =
cos X
1
sec X =
cos X
Estas expressões não estão definidas para todos os valores de X para os quais cos X = 0.
Isto ocorre quando X = π2 + kπ, com k ∈ Z. Portanto, as funções tangente e secante
possuem o mesmo domı́nio que é
n
o
π
X ∈ R : X − não é múltiplo inteiro de π
2
Dividindo a seguinte identidade fundametal
sen2 X + cos2 X = 1
que foi estabelecida na aula anterior, por cos2 X obtemos
µ
¶2
µ
¶2
sen X
1
sen2 X + cos2 X
1
+1=
=
=
cos X
cos2 X
cos2 X
cos X
Isto é,
tg2 X + 1 = sec2 X
(1)
que é a identidade fundamental envolvendo as funções tangente e secante.
Existe uma identidade para a tangente da soma de dois ângulos que estabeleceremos a
seguir. Utilizando a expressão para o seno e o cosseno da soma de dois ângulos, obtemos
que
sen α cos β + cos α sen β
sen(α + β)
=
tg (α + β) =
cos(α + β)
cos α cos β − sen α sen β
Dividindo o numerador e o denominador por cos α cos β, temos que
tg (α + β) =
sen α cos β+cos α sen β
cos α cos β
cos α cos β− sen α sen β
cos α cos β
=
sen α cos β
+
cos α cos β
cos α cos β
−
cos α cos β
cos α sen β
cos α cos β
sen α sen β
cos α cos β
Conseqüentemente
(2)
tg (α + β) =
tg α + tg β
1 − tg α tg β
Estas notas foram escritas pelo professor da disciplina, Manoel Lemos.
1
=
β
sen α
+ sen
cos α
cos β
sen α sen β
1 − cos
α cos β
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Esta expressão só faz sentido quando cos α, cos β e cos(α + β) são todos não nulos. Isto
é, nenhum dos ângulos α, β e α + β é da forma π2 + kπ, para algum k ∈ Z. Este fato foi
utilizado livremente neste parágrafo.
Fazendo α = π em (2), chegamos à
tg (π + β) =
tg π + tg β
0 + tg β
=
= tg β
1 − tg π tg β
1 − 0 tg β
Conseqüentemente π é um múltiplo inteiro do perı́odo da função tangente. Ao fazermos
o gráfico desta função, veremos que π é o seu perı́odo.
Lembre-se que utilizamos Qα para representar o ponto de coordenadas (cos α, sen α).
Na figura seguinte, os segmentos RQα e P S são perpendiculares ao eixo das abscissas.
Quando Qα está no primeiro quadrante,
sen α
RQα
PS
=
=
= PS
cos α
OR
OP
— a terceira igualdade segue pelo Teorema de Tales, pois os triângulos ORQα e OP S são
semelhantes. Portanto, a ordenada do ponto S é igual a tg α. Não é difı́cil extender este
resultado quando o ponto Qα está em outro quadrante que não é o primeiro.
tg α =
S
Y
Qα
O
R
P
X
¢
¡
Observando a coordenada do ponto S, quando α percorre o intervalo − π2 , π2 , concluı́mos
que a função tg α é crescente neste intervalo. Em particular, o seu perı́odo é π. Mais
ainda, os valores de tg α percorrem todo o intervalo (−∞, +∞). O gráfico da função
tangente é representado na próxima figura.
Y
− π2
π
2
X
MANOEL LEMOS
3
Para esta função temos os seguintes limites laterais
lim
X→− π2 +
tg X = −∞ e
lim tg X = +∞
X→ π2 −
Agora apresentaremos dois perı́odos do gráfico da função secante, cuja forma pode ser
facilmente obtida a partir do gráfico do cosseno.
Y
1
π
2
X
Note que
lim sec X = limπ − sec X = +∞ e
X→− π2 +
X→ 2
lim sec X lim − sec X = −∞
X→ π2 +
X→ 3π
2
Regra 1. Se r(X) = tg X, então r0 (X) = sec2 X
A regra do quociente afirma que
r0 (X) =
(3)
f 0 (X)g(X) − f (X)g 0 (X)
f (X)
quando r(X) =
2
g(X)
g(X)
Neste caso f (X) = sen X e g(x) = cos X. Como f 0 (X) = cos X e g 0 (X) = − sen X,
obtemos que
cos X cos X − sen X(− sen X)
cos2 X + sen2 X
1
=
=
= sec2 X
2
2
cos X
cos X
cos2 X
Exemplo 2. Encontre a reta normal à curva de equação Y = tg X no ponto de coordenadas (π, 0).
r0 (X) =
Como esta curva é o gráfico da função f (X) = tg X, a equação da reta normal no
ponto de coordenadas (a, f (a)) é
1
Y − f (a) = − 0 (X − a)
f (a)
quando f 0 (a) 6= 0. Pela Regra 1, f 0 (a) = sec2 a. Para esta função especı́fica, a equação
da reta normal passa a ser
1
Y − tg a = − 2 (X − a)
sec a
Quando a = π, tg π = 0 e sec π = 1. Portanto, a equação da reta normal à esta curva no
ponto de coordenadas (π, 0) é Y −0 = −(X −π) que pode ser reescrita como X +Y −π = 0.
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
Exercı́cio 3. Determine o número de retas tangentes à curva de equação Y = tg X, cuja
abscissa do ponto de tangência pertence ao intervalo [0, 100], que são paralelas a reta de
equação:
(i) X + Y − 256 = 0
(ii) X − Y − 256 = 0
(iii) Y = 0
Regra 4. Se r(X) = sec X, então r0 (X) = tg X sec X
Obtemos r0 (X) substituindo, em (3), f (X) e g(X) por respectivamente 1 e cos X. Neste
caso f 0 (X) = 0, g 0 (X) = − sen X e daı́
r0 (X) =
0 cos X − 1(− sen X)
sen X
sen X 1
=
=
= tg X sec X
2
2
cos X
cos X
cos X cos X
2. As funções cotangente e cossecante
As expressões para as funções cotangente e cossecante são
cos X
cotg X =
sen X
1
cossec X =
sen X
Estas expressões não estão definidas para todos os valores de X para os quais sen X = 0.
Isto ocorre quando X = kπ, com k ∈ Z. Portanto, as funções cotangente e cossecante
possuem o mesmo domı́nio que é
{X ∈ R : X não é múltiplo inteiro de π}
Dividindo a seguinte identidade fundametal
sen2 X + cos2 X = 1
que foi estabelecida na aula antierior, por sen2 X obtemos
µ
¶2
µ
¶2
cos X
1
cos2 X
sen2 X + cos2 X
1
1+
=1+
=
=
=
sen X
sen2 X
sen2 X
sen2 X
sen X
Isto é,
cotg2 X + 1 = cossec 2 X
(4)
Esta identidade será muito utilizada quando lidarmos com estas funções.
Exercı́cio 5. Decida sobre a veracidade de cada uma das seguintes sentenças:
(i) tg α cotg α = 1 para todo número real α que não é múltiplo inteiro de π2
(ii) (tg α + cotg α) sen 2α = 2 para todo número real α que não é múltiplo inteiro de
π
2
O perı́odo da função cotangente é igual a 2π
O perı́odo da função cossecante é igual a 2π
cotg α = cotg(−α)
α cotg β−1
para todos números reais α e β tais que não existe
cotg (α + β) = cotg
cotg α+ cotg β
múltiplo inteiro de π igual a α, β ou α + β
(vii) sec(α + β) = sec α sec β − cossec α cossec β para todos números reais α e β tais
que não existe múltiplo inteiro de π2 igual a α, β ou α + β
(viii) Os valores da cossecante nunca pertencem ao intervalo (−1, 1)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
MANOEL LEMOS
5
(ix) O gráfico de cossec X é obtido a partir do gráfico de sec X após uma translação
horizontal de π2 para a direita.
(x) O gráfico de cotg X é representado na figura seguinte
Y
π
X
Regra 6. Se r(X) = cotg X, então r0 (X) = − cossec2 X
Substituindo em (3), que é regra do quociente, f (x) = cos X e g(X) = sen X, cujas
derivadas são f 0 (X) = − sen X e g 0 (X) = cos X, obtemos que
−( sen2 X + cos2 X)
−1
(− sen X) sen X − cos X cos X
=
=
= − cossec 2 X
2
2
sen X
sen X
sen2 X
Exercı́cio 7. Considere a função f (X) = 3 tg X − 3 cotg X
(i) Calcule f 0 (X)
(ii) Encontre uma expressão para f 0 (X) envolvendo apenas a função cossec 2X
(iii) Caso existam, determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que são horozontais.
¡
¢
(iv) Ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas 9π
,0
4
r0 (X) =
Regra 8. Se r(X) = cossec X, então r0 (X) = − cotg X cossec X
Obtemos r0 (X) substituindo, em (3), f (X) e g(X) por respectivamente 1 e sen X. Neste
caso f 0 (X) = 0, g 0 (X) = cos X e daı́
0 sen X − 1 cos X
− cos X
cos X 1
r0 (X) =
=
=−
= − cotg X cossec X
2
2
sen X
sen X
sen X sen X
3. Respostas dos exercı́cios
3. (i) 0 (ii) 32 (iii) 0 5. (i) V (ii) V (iii) F (é igual a π) (iv) V (v) F (a cotangente é
uma função ı́mpar) (vi) V (vii) F (viii) V (ix) V (x) V 7. (i) 3 sec2 X + 3 cossec 2 X (ii)
12 cossec 2 2X (iii) não existem (iv) Y = 12X − 27π
Conteúdo da sexta aula da disciplina Cálculo L1, oferecida para os cursos de licenciatura em Fı́sica, Matemática e Quı́mica e o bacharelado em Quı́mica Idustrial, no segundo semestre de 2008 na Universidade Federal de Pernambuco, tendo como professor
Manoel Lemos